高 等 数 学一、渐近线定义,,)( 沿着曲线移向无穷点时上的一动点当曲线 Pxfy?
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
或如果
,的距离趋向于零到某定直线如果点 LP
.)( 的一条渐近线就称为曲线那么直线 xfyL?
.)(0 的一条铅直渐近线就是那么 xfyxx
例如,)3)(2( 1 xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
)()(lim)(lim 为常数或如果 bbxfbxf xx
例如,a r c ta n xy?
有水平渐近线两条,,2,2 yy
.)( 的一条水平渐近线就是那么 xfyby
3.斜渐近线
),(0)]()([lim
0)]()([lim
为常数或如果
babaxxf
baxxf
x
x
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
,])([lim baxxfx
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy
.)( 的一条斜渐近线就是那么 xfybaxy
注意,;
)(
lim)1( 不存在如果
x
xf
x
,])([l i m,)(l i m)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy?
)(lim 1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的铅直渐近线 x
x
xf
x
)(l i m?又
)1(
)3)(2(2lim
xx
xx
x,2?
]2
)1(
)3)(2(2[lim x
x
xx
x
)1(
)1(2)3)(2(2lim
x
xxxx
x
,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线 xy
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf
解 ).,1()1,(,D
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf
图形的描绘函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 2,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
三、作图举例
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )
85,23(C
11? 3131?
.1)( 23 的图形作函数 xxxxf
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
123 xxxy
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xW
.
2
)1)(1()( 2 2xexxx
2
2
2
1l i m)(l i m x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
.21)( 2
2x
ex
,2)( 2
2x
exx
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1)( xex?
例 4,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,
.0?x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
.2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
:补充点 );0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 xxxf
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
si n
)(? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy sin?
一,填空题：
1,曲线
x
ey
1
的水平渐近线为 __ __ __ __ __ _ __ __,
2,曲线
1
1
x
y 的水平渐近线为 __ __ __ __ __ _ __ _,
铅直渐近线为 __ __ __ _ __ __ __ _,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
；
2,
22
)1( xxy ；
3,
xy s i nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
的渐近线并画图,
练 习 题一,1,1?y ； 2,1,0 xy,
练习题答案
x
y
392
31 1ox
y
1? 321o
3223?
1图 2图二、
x
y
o
3图
232
三、
.0;
x
xy
铅直渐近线斜渐近线
x
y
1? o
1
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
或如果
,的距离趋向于零到某定直线如果点 LP
.)( 的一条渐近线就称为曲线那么直线 xfyL?
.)(0 的一条铅直渐近线就是那么 xfyxx
例如,)3)(2( 1 xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
)()(lim)(lim 为常数或如果 bbxfbxf xx
例如,a r c ta n xy?
有水平渐近线两条,,2,2 yy
.)( 的一条水平渐近线就是那么 xfyby
3.斜渐近线
),(0)]()([lim
0)]()([lim
为常数或如果
babaxxf
baxxf
x
x
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
,])([lim baxxfx
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy
.)( 的一条斜渐近线就是那么 xfybaxy
注意,;
)(
lim)1( 不存在如果
x
xf
x
,])([l i m,)(l i m)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy?
)(lim 1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的铅直渐近线 x
x
xf
x
)(l i m?又
)1(
)3)(2(2lim
xx
xx
x,2?
]2
)1(
)3)(2(2[lim x
x
xx
x
)1(
)1(2)3)(2(2lim
x
xxxx
x
,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线 xy
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf
解 ).,1()1,(,D
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf
图形的描绘函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 2,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
三、作图举例
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )
85,23(C
11? 3131?
.1)( 23 的图形作函数 xxxxf
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
123 xxxy
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xW
.
2
)1)(1()( 2 2xexxx
2
2
2
1l i m)(l i m x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
.21)( 2
2x
ex
,2)( 2
2x
exx
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1)( xex?
例 4,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,
.0?x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
.2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
:补充点 );0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 xxxf
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
si n
)(? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy sin?
一,填空题：
1,曲线
x
ey
1
的水平渐近线为 __ __ __ __ __ _ __ __,
2,曲线
1
1
x
y 的水平渐近线为 __ __ __ __ __ _ __ _,
铅直渐近线为 __ __ __ _ __ __ __ _,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
；
2,
22
)1( xxy ；
3,
xy s i nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
的渐近线并画图,
练 习 题一,1,1?y ； 2,1,0 xy,
练习题答案
x
y
392
31 1ox
y
1? 321o
3223?
1图 2图二、
x
y
o
3图
232
三、
.0;
x
xy
铅直渐近线斜渐近线
x
y
1? o
1
