高 等 数 学洛必达法则型未定式解法型及一,:00
定义
.
0
0
)(
)(
lim
)()(
)(
)(
型未定式或常把这种极限称为在．通可能存在、也可能不存极限大，那末都趋于零或都趋于无穷与时，两个函数或如果当

xF
xf
xFxf
xax
x
ax
例如,,tanlim0 x xx?,s inln s inlnlim 0 bxaxx?)00( )(?;)()(,)1( 都趋于零及函数时当设
xFxfax?
定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
);(
)(
)(lim)3( 或为无穷大存在
xF
xf
ax?
;0)(
)()(,)2(

xF
xFxfa
且都存在及点的某去心邻域内在
.
)(
)(lim
)(
)(lim
xF
xf
xF
xf
axax?

那末证 定义 f(a)=F(a)=0 辅助函数
,,0 ),()(1

ax
axxfxf,
,0
),()(
1

ax
axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf

)(
)(
F
f

)( 之间与在 ax?
,,aax时当,)( )(lim AxF xfax,)( )(lim AFfa
.)( )(lim)( )(lim)( )(lim AFfFfxF xf
aaxax

.,该法则仍然成立时当x
使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续满足型，且仍属如果 )(),(
0
0
)(
)(
xFxf
xF
xf
.)( )(lim)( )(lim)( )(lim xF xfxF xfxF xf axaxax
.)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf xx
例 1
解
.ta nlim
0 x
x
x?
求
)(
)( t a nlim
0?

x
x
x
原式 1se clim
2
0
x
x
,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1

xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1

xx
x
x
原式 26 6lim
1?
x
x
x,2
3?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a rc t a n
2l i m
x
x
x

求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x

原式
2
2
1lim x
x
x?
,1?
例 4
解
.s inln s inlnlim
0 bx
ax
x?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0?

原式
.1?
)00(
)(
ax
bx
x c o s
c o slim
0?
axbxb
bxaxa
x?

c o s
c o slim
0
例 5
解
.3t ant anlim
2
x
x
x
求
x
x
x 3s ec3
s eclim
2
2
2

原式
x
x
x
2
2
2
cos
3coslim
3
1

xx
xx
x s inc os2
3s in3c os6lim
3
1
2

x
x
x 2s in
6s inlim
2

x
x
x 2c os2
6c os6lim
2

,3?
)(
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 6
解
.t a nt a nlim 2
0 xx
xx
x
求
30
t a nlim
x
xx
x

原式
2
2
0 3
t anlim
x
x
x?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x

2
2
0 3
lim
x
x
x?
.31?
型未定式解法二,00,1,0,,0
例 7
解
.lim 2 xx ex求 )0(
x
e x
x 2
lim

2
lim
x
x
e

,
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
型0.1
步骤,,10,0100或
2lim x
e x
x
原式例 8
解
).1s in1(lim
0 xxx
求 )(
0
1
0
1,
00
00

xx
xx
x s in
s inlim
0?

原式
xxx
x
x co ss in
co s1lim
0?

,0?
型.2
步骤,
xxx
x
x s inc o s2
s inlim
0?
步骤,
型00,1,0.3

ln0
1ln
0ln0
1
0
ln
0
0
使指数部分化为运用对数恒等式
a
ea
.0
例 9
解
.lim0 xx x求 )0( 0
xx
x
e ln
0
lim?
原式
xxxe lnlim0
2
0 1
1
lim
x
x
x
e

0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0
xx
x e
ln
0lim
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x
x?
求 )1(?
xx
x
e?
1
1
ln
1
lim原式
x
x
xe 1
lnlim
1 1
1
lim
1
x
xe,1e
例 11
解
.)( c otl i m ln
1
0
x
x
x?
求 )( 0?
,)( c o t )l n( c o tln
1
ln
1 x
xx ex运用对数恒等式得
)ln ( co tln 1lim
0
xx
x

x
xx
x 1
s i n
1
cot
1
lim
2
0

xx
x
x s inco s
lim
0?

,1,1 e原式
xx
x
e ln1
1
1
lim?
例 12
解
.co slim x xx
x

求
1
s in1lim x
x

原式 ).s in1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
)co s11(lim xx
x

原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
三、小结洛必达法则 型00,1,0
型 型0型0
0
型 gfgf 1 fg fggf 11 11
取对数令 gfy?
思考题设
)(
)(
l i m
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
的极限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答不一定．
例,s in)( xxxf xxg?)(
显然
)(
)(lim
xg
xf
x 1
c os1lim x
x
极限不存在．
但?
)(
)(lim
xg
xf
x x
xx
x
s inlim?
1?
极限存在．
一,填空题：
1,洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _,___ ____ ___ ___,_ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _,___ ____ ___ ___,等型的未定式的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n(
l i m
0
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
lim
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题二,用洛必达法则求下列极限,
1,
2
2
)2(
si nln
l i m
x
x
x

； 2,
xa r c
x
x
c o t
)
1
1l n (
lim
；
3,
xx
x
2c o tl i m
0?； 4,)
1
1
1
2
(lim
2
1?
x
x
x；
5,x
x
x
s i n
0
lim
； 6,
x
x x
t a n
0
)
1
(lim
；
7,
x
x
x )a r c t a n
2
(lim

,
三,讨论函数
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当当
,
在 处点 0?x 的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0； 2,1 ； 3,1.
二,1,
8
1； 2,1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5,1 ；
6,1 ； 7,
2
e,
三、连续,
练习题答案
3
22
0 )1(
22lim

x
xxxx
x e
eexexe例：求
解：原式 30 22lim x exxee
xxx
x

20 3
21lim
x
eexe xxx
x

6
1
6l i m 0?

x
eexe xxx
x
例 3
x
xx
x 30 s in
s in11lim
.1212 sinlim 3
0

x
xx
x
.)s in11( s inlim 3
0 xxx
xx
x