高 等 数 学一、问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有例如,当 x 很小时,xe x 1,xx )1ln (
[ )()( 0xfxf ]
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf
（如下图）
)()( 0xfxf?
))(()()( 000 xxxfxfxf
xey?
xy 1
o
xey?
o
xy?
)1ln( xy
不足,
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf?
误差 )()()( xPxfxR 可估计
1、精确度不高； 2、误差不能估计,
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1(?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010
误差 )()()( xPxfxR nn
二,nP 和 nR 的确定
0x
)(xfy?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n?
)()( 00 xfxP n
)()( 00 xfxP n

2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同近似程度越来越好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)(
),( 00 xfa?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000

得 ),,2,1,0()(
!
1
0
)( nkxf
ka
k
k
),(1 01 xfa )(!2 02 xfa
, )(! 0)( xfan nn
通过计算 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)(
三、泰勒 (Taylor)中值定理泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x
的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶的导数,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n

其中 10
)1(
)(
)!1(
)()(
n
n
n xxn
fxR? (? 在
0x 与 x 之间 ),
则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx? 的一个
n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
证明,由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶导数,且两函数 )( xR n 及 10 )( nxx 在以 0x 及 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n?

0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0

n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 xRxRxRxR nnnnn?
如此下去,经过 )1(?n 次后,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1

n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
!1
)(
)(
)(
)1(
1
0?
n
R
xx
xR
n
n
n
n?
( 之间与在 nx 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在
x
xnn
R
n
n

两函数 )(xRn? 及 nxxn ))(1( 0 在以 0x 及 1? 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得

n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx? 的幂展开的 n 次近似多项式?

n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
)()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n?

则由上式得
,0)()1( xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn
拉格朗日形式的余项

1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)(

nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf
)()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n?

皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00

n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR即注意,1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf
2,取 0
0
x,
在 0 与 x 之间,令 )10( x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
n
n
n
x
n
xf
xR
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf

)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2

n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf?
麦克劳林 (Maclaurin)公式四、简单的应用例 1 求 xexf?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf
1)0()0()0()0( )( nffff?
xn exf )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2

n
xn
x x
n
e
n
xxxe?
由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx
估计误差 )0(?x设
!
1
!2
111,1
nex取
.)!1( 3 n其误差 )!1( n eR n
).10()!1()!1()( 11
n
x
n
x
n xn
ex
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
si n
22
1253

n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1co s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132

n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x

)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx

例 2 计算 4
0
3c o s2
lim
2
x
xe x
x

.
解 )(!211 442
2 xoxxe x
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x
4
44
0
)(
12
7
lim
x
xox
x
原式,
12
7?
xy?
xy si n?
播放五、小结
1,T a y l o r 公式在近似计算中的应用 ;
播放
2,T aylor 公式的数学思想 - -- 局部逼近,
思考题利用泰勒公式求极限 3
0
)1(s i nl i m
x
xxxe x
x

思考题解答
)(!3!21 3
32
xoxxxe x
)(!3s i n 3
3
xoxxx

30
)1(s i nl i m
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
0
)1()(
!3
)(
!3!2
1
lim
x
xxxoxxxoxxx
x

3
3
33
0
)(
!3!2l i m
x
xoxx
x

,3
1?
一,当 1
0
x 时，求函数
x
xf
1
)(? 的 n 阶泰勒公式,
二,求函数
x
xexf?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
三,验证
2
1
0 x 时，按公式
62
1
32
xx
xe
x
计算
x
e 的近似值，可产生的误差小于 0.0 1,并求 e 的近似值，使误差小于 0.01,
四,应用三阶泰勒公式求
3
30 的近似值，并估计误差,
五,利用泰勒公式求极限：
1,
x
ex
x
x
4
2
0 sin
co s
lim
2
；
2,)]
1
1l n([l i m
2
x
xx
x

.
练 习 题一,])1()1()1(1[
1
2 n
xxx
x

)1,0(
)]1(1[
)1(
)1(
2
1
1

n
n
n
x
x
.
二、
)!1(!2
3
2

n
xx
xxxe
n
x
)10(,)1(
)!1(
1
1

nx
xexn
n
.
三,6 4 5.1?e,
四、
5
3
3
1088.1,10724.330
R,
五,1,
12
1
,2,
2
1
.
练习题答案