洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理常用的泰勒公式型00,1,0
型 型0型0
0
型
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF?)(
)()( bfaf?
0?n
gfgf 1 fg
fggf 11 11 取对数令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用一、主要内容
1、罗尔中值定理罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间
],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
f
2、拉格朗日中值定理拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
).10()( 0 xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
3、柯西中值定理柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
aFbF
afbf
成立,
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
4、洛必达法则定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
注意,洛必达法则的使用条件,
泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x
的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶的导数,则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx? 的一个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
5、泰勒中值定理
)()()!1( )()( 010
)1(
之间与在其中 xxxxnfxR n
n
n?
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x
)(
1
)1(
32
)1l n (
1
132
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
6、导数的应用定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；
在，那末函数内如果在可导内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
(1) 函数单调性的判定法
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个点内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
定义
(2) 函数的极值及其求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,
定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf 符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 (第一充分条件 )
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号在在驻点左右的正负号或检查 xfxf
.)4( 求极值步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大点，则该点的若目标函数只有唯一驻
(4) 曲线的凹凸与拐点定义;)(
,
2
)()(
)
2
(,,
,)(
2121
21
的上的图形是（向上）凹在那末称恒有两点上任意如果对上连续在区间设
Ixf
xfxfxx
fxx
IIxf
;)(
,
2
)()(
)
2
(
,,
2121
21
的上的图形是（向上）凸在那末称恒有上任意两点如果对区间
Ixf
xfxfxx
f
xxI
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
定理 1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在导数内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0"?xf,
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数 )(
'
xf 和二阶导数 )(
"
xf ;
求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
(5) 函数图形的描绘第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
.1.1 20 dxyds弧微分
.lim.2
0
0
ds
dK
s
曲率
.
)1( 2
3
2y
yk
(6) 弧微分 曲率 曲率圆曲率的计算公式
.),(
,.
1
,
,).0(
),()(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图圆为半径作为圆心以使取一点在凹的一侧处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
Mkk
yxMxfy
定义
,是曲率中心D,是曲率半径?
.1,1 kk
曲率圆.3 0
总习题三
).)((')()(,),(,
),(,],[)(:)(.3
abfafbfba
babaxfxf
使内不存在点但在处处可导内除某一点外在上连续在满足列举一个函数
),22(||)(, xxxf设解
.)2,2(0,]2,2[)( 内处处可导外在除上连续在 xxf
,1)('),0,2( xfx
,1)('),2,0( xfx
,0)2()2( ff又
.0)(',)2,2( f使在任何点内的所有可导点中不存所以在
)].()([lim,)('lim.4 xfaxfkxf xx 求设
:,由拉格朗日定理解
.,)(')()( 之间与介于 axxafxfaxf
)]()([lim xfaxfx
afx )('lim
ak?
.]1,0[3)(.5 3 上不可能有两个零点在证明多项式 axxxf;,,]1,0[)(,2121 xxxx?不妨设内有两个零点假设反证法证明;0)()(,21 xfxf则
.0)('),,(,21 fxx 使存在由罗尔定理
,33)(' 2 xxf而
1033 2即
.)1,0(),( 21 矛盾这与 xx?
.]1,0[3)( 3 上不可能有两个零点在多项式 axxxf
.)1,0(
)(,0
12
.6 1010
内至少有一个零点在证明多项式设 nnn xaxaaxf
n
aaa
121
0 12)(:
nn x
n
axaxaxF?设解;0)0(?F则 0
12)1(
10?
n
aaaF n?;0)('),1,0(, F使至少存在一个由罗尔定理
0,10 nnaaa即
.)1,0()( 10 内至少有一个零点在多项式 nn xaxaaxf
.0)(')(),,0(
,0)(,),0(,],0[)(.7
ffa
afaaxf
使证明存在一点且内可导在上连续在设
),()(,xxfxF?设证明
),(0)0( aFF则;],0[)( 上满足罗尔定理的条件在 axF
0)('),,0( Fa 使存在一点
.0)(')(, ff即
1
2
1
2
21 t a n
t a n,
2
0)1(
:.11
x
x
x
xxx 时当证明下列不等式
20,
t a n)(, x
x
xxF设证明
2
2 t a ns ec
)(' x xxxxF xx
xx
22 c o s
2s in21?
xxxxx 2s i n2,s i n,0 时当
.)2,0()(,0)(',0 上单调增加在所以时当?xFxFx
时当证明下列不等式
1
1
2
2 t a nt a n
x
x
x
x
1
2
1
2
t an
t an:
x
x
x
x?即
x
xxx
1
a r c t a n)1l n (,0)2( 时当
xxxxf a r c t a n)1l n()1()(,设证明
21
1)1l n (1)('
xxxf
2
2
1)1ln ( x
xx
0?
)0()(,)( fxfxf 单调增加
0a r c t a n)1l n ()1( xxx
x
xx
1
a r c t a n)1ln (
.
)0(s i n.15
求出该点处的曲率半径最小上那一点处的曲率半径曲线弧 xxy
xy s in,?解
,c os' xy?,s in'' xy
2
3
2 )co s1(
|s in|
x
xK
2
3
2 )co s1(
s in
x
x
32
2
1
22
3
2
)c o s1(
)s i n(c o s2)c o s1(
2
3s i n)c o s1(c o s
'
x
xxxxxx
K
32
22
1
2
)c os1(
)s i n1()c os1(c os2
x
xxx
20'
xK令;0',20 Kx?当;0',2 Kx当
.,2 取得最小值取得最大值时在 Kx?
2
s i n
2
c o s1
1
2
3
2
2
xK
1?
)('')(2)()(lim:,)(''.17 02 00000 xfh xfhxfhxfxf h证明存在设
2
000
0
)(2)()(lim:
h
xfhxfhxf
h
证明
h
hxfhxf
h 2
)(')('lim 00
0
h
hxfxfxfhxf
h 2
)(')(')(')('lim 0000
0
h hxfxfh xfhxf hh )(')('lim)(')('lim21 000000
)('')(''21 00 xfxf
)('' 0xf?
.5
0s i n)co s()(,.20
阶无穷小的关于时为当使和试确定常数
x
xxxbaxxfba
存在且非零依题意解 50 )(lim,,x xfx?
0)0()0(''')0('')0(')0( )4( fffff
xbxaxf 2c o sc o s1)('
xbxaxf 2s i n2s i n)(''
xbxaxf 2c o s4c o s)('''
xbxaxf 2s i n8s i n)()4(
04
01
ba
ba
3
1
3
4
b
a
例,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x
求极限解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx
)(21 22 xoxx
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x
原式,21
二、典型例题例 4
).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx
证明不等式证 ),0(ln)( ttttf令
,1ln)( ttf则,01)( ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx即
.2ln)(lnln yxyxyyxx即例 7
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数
x
x
xy
解,)1( 定义域,1x
),,1()1,1()1,(即
1)( 2?
x
xxxf? ),( xf 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
x
x,
)1(
)3(
22
22
x
xx
,0y令,3,0,3x得
y? 22
2
)1(
)3(2
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 xx
,0y令,0?x得可能拐点的横坐标
,l i m)3( yx? ;没有水平渐近线?
,lim 01 yx又,l im 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
,li m 01 yx,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
x
ya
x
lim? )1(1l i m 2
x
xx
xx,1?
)(lim axyb x )(lim xyx 1lim 2 x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点
xx
xx
列表如下,
x )3,( )1,0()1,3(3? )0,1(?
y?
y
y?
1? 0
极大值
0
拐点
0 0?
x 31
y?
y
y?
极小值
0?
)3,1( ),3(
3xy极大值,323?
3xy极小值,323
).0,0(拐点为
,)1( )3(' 22
22
x
xxy
22
2
)1(
)3(2''
x
xxy
12 x
xxy
x
y
o
xy?
1? 1
作图一,选择题,
1,一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的方法,
（ C ） 它们都先肯定了
点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是什么，也没有给出求 ξ 的方法,
测 验 题
2,若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba,使 0)(f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba,使 0)(f ；
（ C ） 恰存在一点 ),( ba,使 0)(?
f；
（ D ） 对任意的 ),( ba,不一定能使 0)(?
f
,
3,已知
)( xf
在 ],[ ba 可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有两个不同的根
与
，那么在
),( ba
（ ）
0)(?
xf
.
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若 )( xf 在
],[ ba
上连续，在 ),( ba 内可导，且
),( bax?
时,0)(?
xf
，又
0)(?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在 ],[ ba 上单调增加，且
0)(?bf；
（ B ）
)( xf
在 ],[ ba 上单调增加，且
0)(?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)(?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的正负号无法确定,
6,0)(
0
xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( xf,
二阶导数 0)( xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设
0)(lim)(lim
xFxf
axax
，且在点
a
的某邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)(?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax?
存在是
)(
)(
lim
'
'
xF
xf
ax?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
10,?
x
x
x
co s1
1co s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
lim
ax
axax
ax
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
；
3,)]
1
1l n([l i m
2
x
xx
x
； 4,
x
x
x
co s1
s i n
lim
0
；
三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
)1l n(
1
,
五、设 dcxbxaxxf
23
)( 有拐点（ 1,2 ）,
并在该点有水平切线,)( xf 交 x 轴于点（ 3,0 ）,
求
)( xf
,
六、确定 cba,,的值，使抛物线 cbxaxy
2
与正弦曲线在点 )1,
2
(
相切，并有相同的曲率,
七、绘出函数 )1l n()(
2
xxf 的图形,
八、设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，在 (0,1 ) 内可导，且
1)1(,0)0( ff,试证：对任意给定的正数 ba,在
)1,0( 内存在不同的,，使 ba
f
b
f
a
)()(
''
,
一,1,D ； 2,D ； 3,A ； 4,B ； 5,D ；
6,B ； 7,C ； 8,D ； 9,B ； 10,C.
二,1,
a2
1； 2,
2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三,1:2,
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
xxxxf,
六、
8
1
22
1
2
2
xxy?,
测验题答案七、
x
y
1? 1o
2ln
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理常用的泰勒公式型00,1,0
型 型0型0
0
型
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF?)(
)()( bfaf?
0?n
gfgf 1 fg
fggf 11 11 取对数令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用一、主要内容
1、罗尔中值定理罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间
],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
f
2、拉格朗日中值定理拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
).10()( 0 xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
3、柯西中值定理柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
aFbF
afbf
成立,
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
4、洛必达法则定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
注意,洛必达法则的使用条件,
泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x
的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶的导数,则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx? 的一个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
5、泰勒中值定理
)()()!1( )()( 010
)1(
之间与在其中 xxxxnfxR n
n
n?
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x
)(
1
)1(
32
)1l n (
1
132
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
6、导数的应用定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；
在，那末函数内如果在可导内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
(1) 函数单调性的判定法
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个点内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
定义
(2) 函数的极值及其求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0'?xf,
定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf 符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 (第一充分条件 )
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号在在驻点左右的正负号或检查 xfxf
.)4( 求极值步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大点，则该点的若目标函数只有唯一驻
(4) 曲线的凹凸与拐点定义;)(
,
2
)()(
)
2
(,,
,)(
2121
21
的上的图形是（向上）凹在那末称恒有两点上任意如果对上连续在区间设
Ixf
xfxfxx
fxx
IIxf
;)(
,
2
)()(
)
2
(
,,
2121
21
的上的图形是（向上）凸在那末称恒有上任意两点如果对区间
Ixf
xfxfxx
f
xxI
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
定理 1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在导数内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0"?xf,
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数 )(
'
xf 和二阶导数 )(
"
xf ;
求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
(5) 函数图形的描绘第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势 ;
第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
.1.1 20 dxyds弧微分
.lim.2
0
0
ds
dK
s
曲率
.
)1( 2
3
2y
yk
(6) 弧微分 曲率 曲率圆曲率的计算公式
.),(
,.
1
,
,).0(
),()(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图圆为半径作为圆心以使取一点在凹的一侧处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
Mkk
yxMxfy
定义
,是曲率中心D,是曲率半径?
.1,1 kk
曲率圆.3 0
总习题三
).)((')()(,),(,
),(,],[)(:)(.3
abfafbfba
babaxfxf
使内不存在点但在处处可导内除某一点外在上连续在满足列举一个函数
),22(||)(, xxxf设解
.)2,2(0,]2,2[)( 内处处可导外在除上连续在 xxf
,1)('),0,2( xfx
,1)('),2,0( xfx
,0)2()2( ff又
.0)(',)2,2( f使在任何点内的所有可导点中不存所以在
)].()([lim,)('lim.4 xfaxfkxf xx 求设
:,由拉格朗日定理解
.,)(')()( 之间与介于 axxafxfaxf
)]()([lim xfaxfx
afx )('lim
ak?
.]1,0[3)(.5 3 上不可能有两个零点在证明多项式 axxxf;,,]1,0[)(,2121 xxxx?不妨设内有两个零点假设反证法证明;0)()(,21 xfxf则
.0)('),,(,21 fxx 使存在由罗尔定理
,33)(' 2 xxf而
1033 2即
.)1,0(),( 21 矛盾这与 xx?
.]1,0[3)( 3 上不可能有两个零点在多项式 axxxf
.)1,0(
)(,0
12
.6 1010
内至少有一个零点在证明多项式设 nnn xaxaaxf
n
aaa
121
0 12)(:
nn x
n
axaxaxF?设解;0)0(?F则 0
12)1(
10?
n
aaaF n?;0)('),1,0(, F使至少存在一个由罗尔定理
0,10 nnaaa即
.)1,0()( 10 内至少有一个零点在多项式 nn xaxaaxf
.0)(')(),,0(
,0)(,),0(,],0[)(.7
ffa
afaaxf
使证明存在一点且内可导在上连续在设
),()(,xxfxF?设证明
),(0)0( aFF则;],0[)( 上满足罗尔定理的条件在 axF
0)('),,0( Fa 使存在一点
.0)(')(, ff即
1
2
1
2
21 t a n
t a n,
2
0)1(
:.11
x
x
x
xxx 时当证明下列不等式
20,
t a n)(, x
x
xxF设证明
2
2 t a ns ec
)(' x xxxxF xx
xx
22 c o s
2s in21?
xxxxx 2s i n2,s i n,0 时当
.)2,0()(,0)(',0 上单调增加在所以时当?xFxFx
时当证明下列不等式
1
1
2
2 t a nt a n
x
x
x
x
1
2
1
2
t an
t an:
x
x
x
x?即
x
xxx
1
a r c t a n)1l n (,0)2( 时当
xxxxf a r c t a n)1l n()1()(,设证明
21
1)1l n (1)('
xxxf
2
2
1)1ln ( x
xx
0?
)0()(,)( fxfxf 单调增加
0a r c t a n)1l n ()1( xxx
x
xx
1
a r c t a n)1ln (
.
)0(s i n.15
求出该点处的曲率半径最小上那一点处的曲率半径曲线弧 xxy
xy s in,?解
,c os' xy?,s in'' xy
2
3
2 )co s1(
|s in|
x
xK
2
3
2 )co s1(
s in
x
x
32
2
1
22
3
2
)c o s1(
)s i n(c o s2)c o s1(
2
3s i n)c o s1(c o s
'
x
xxxxxx
K
32
22
1
2
)c os1(
)s i n1()c os1(c os2
x
xxx
20'
xK令;0',20 Kx?当;0',2 Kx当
.,2 取得最小值取得最大值时在 Kx?
2
s i n
2
c o s1
1
2
3
2
2
xK
1?
)('')(2)()(lim:,)(''.17 02 00000 xfh xfhxfhxfxf h证明存在设
2
000
0
)(2)()(lim:
h
xfhxfhxf
h
证明
h
hxfhxf
h 2
)(')('lim 00
0
h
hxfxfxfhxf
h 2
)(')(')(')('lim 0000
0
h hxfxfh xfhxf hh )(')('lim)(')('lim21 000000
)('')(''21 00 xfxf
)('' 0xf?
.5
0s i n)co s()(,.20
阶无穷小的关于时为当使和试确定常数
x
xxxbaxxfba
存在且非零依题意解 50 )(lim,,x xfx?
0)0()0(''')0('')0(')0( )4( fffff
xbxaxf 2c o sc o s1)('
xbxaxf 2s i n2s i n)(''
xbxaxf 2c o s4c o s)('''
xbxaxf 2s i n8s i n)()4(
04
01
ba
ba
3
1
3
4
b
a
例,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x
求极限解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx
)(21 22 xoxx
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x
原式,21
二、典型例题例 4
).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx
证明不等式证 ),0(ln)( ttttf令
,1ln)( ttf则,01)( ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx即
.2ln)(lnln yxyxyyxx即例 7
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数
x
x
xy
解,)1( 定义域,1x
),,1()1,1()1,(即
1)( 2?
x
xxxf? ),( xf 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
x
x,
)1(
)3(
22
22
x
xx
,0y令,3,0,3x得
y? 22
2
)1(
)3(2
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 xx
,0y令,0?x得可能拐点的横坐标
,l i m)3( yx? ;没有水平渐近线?
,lim 01 yx又,l im 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
,li m 01 yx,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
x
ya
x
lim? )1(1l i m 2
x
xx
xx,1?
)(lim axyb x )(lim xyx 1lim 2 x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点
xx
xx
列表如下,
x )3,( )1,0()1,3(3? )0,1(?
y?
y
y?
1? 0
极大值
0
拐点
0 0?
x 31
y?
y
y?
极小值
0?
)3,1( ),3(
3xy极大值,323?
3xy极小值,323
).0,0(拐点为
,)1( )3(' 22
22
x
xxy
22
2
)1(
)3(2''
x
xxy
12 x
xxy
x
y
o
xy?
1? 1
作图一,选择题,
1,一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的方法,
（ C ） 它们都先肯定了
点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是什么，也没有给出求 ξ 的方法,
测 验 题
2,若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba,使 0)(f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba,使 0)(f ；
（ C ） 恰存在一点 ),( ba,使 0)(?
f；
（ D ） 对任意的 ),( ba,不一定能使 0)(?
f
,
3,已知
)( xf
在 ],[ ba 可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有两个不同的根
与
，那么在
),( ba
（ ）
0)(?
xf
.
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若 )( xf 在
],[ ba
上连续，在 ),( ba 内可导，且
),( bax?
时,0)(?
xf
，又
0)(?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在 ],[ ba 上单调增加，且
0)(?bf；
（ B ）
)( xf
在 ],[ ba 上单调增加，且
0)(?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)(?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的正负号无法确定,
6,0)(
0
xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( xf,
二阶导数 0)( xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设
0)(lim)(lim
xFxf
axax
，且在点
a
的某邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)(?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax?
存在是
)(
)(
lim
'
'
xF
xf
ax?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
10,?
x
x
x
co s1
1co s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
lim
ax
axax
ax
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
；
3,)]
1
1l n([l i m
2
x
xx
x
； 4,
x
x
x
co s1
s i n
lim
0
；
三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
)1l n(
1
,
五、设 dcxbxaxxf
23
)( 有拐点（ 1,2 ）,
并在该点有水平切线,)( xf 交 x 轴于点（ 3,0 ）,
求
)( xf
,
六、确定 cba,,的值，使抛物线 cbxaxy
2
与正弦曲线在点 )1,
2
(
相切，并有相同的曲率,
七、绘出函数 )1l n()(
2
xxf 的图形,
八、设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，在 (0,1 ) 内可导，且
1)1(,0)0( ff,试证：对任意给定的正数 ba,在
)1,0( 内存在不同的,，使 ba
f
b
f
a
)()(
''
,
一,1,D ； 2,D ； 3,A ； 4,B ； 5,D ；
6,B ； 7,C ； 8,D ； 9,B ； 10,C.
二,1,
a2
1； 2,
2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三,1:2,
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
xxxxf,
六、
8
1
22
1
2
2
xxy?,
测验题答案七、
x
y
1? 1o
2ln
