高 等 数 学一、初等函数的求导问题
0)(C
1.常数和基本初等函数的导数公式
1)( xx
aaa xx ln)( xx ee)(
xx 2s ec)( t an
xx c o s)( s in
xxx t a ns e c)( s e c xxx c o tc s c)( c s c
xx s in)( c o s
xx 2c s c)( c o t
ax
xa
ln
1)( lo g
x
x 1)( ln
21
1)( ar cs i n
x
x
2.函数的和、差、积、商的求导法则设 )(),( xvvxuu 可导，则
（ 3） vuvuuv?+)(,)0()( 2 v
v
vuvu
v
u（ 4）,
（ 2） uccu)( ( 是常数 )C（ 1） vuvu)(,
21
1)( a r c t a n
xx +?
21 1)c o t( xxa r c +
21
1)( ar cco s
x
x
3.复合函数的求导法则
),(),( xuufy 而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
).()()(
)]([
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfy
或的导数为则复合函数例 1,的导数求函数 xxxy ++?
解 )(2 1?++++ xxxxxxy
))(2 11(2 1?+++++? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx +++++?
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
+?++
+++?
例 2 xnxy ns i ns i n
xxnnxxnxny nn c o ss i ns i ns i nc o s )1(+
)c o ss i ns i n( c o ss i n 1 xnxxnxxn n?+
xnxn n )1s i n (s i n 1 +
例 3,)]( s in[ 的导数求函数 nnn xfy
解 )]( s in[)]( s in[1 nnnnn xfxnfy
)( s in)( s in1 nnn xxn 1c o s n nxx
).( s in)]( s in[)( s in
)]( s in[c o s
1
113
nnnnn
nnnnn
xxfx
xfxxn
二、双曲函数与反双曲函数的导数
c h xs h x)( s h xc h x)(
c h x
s h xt h x
xch
xshxcht h x
2
22
)(
即
xch
t h x 21)(
同理
)11(11 22 xxxx ++++? 21 1 x+?
1
1
2 x
21
1
x
)1ln ( 2xxa r s h x ++
2
2
1
)1()(
xx
xxa r s h x
++
++
)(?chxar
)(?thxar
三、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键,正确分解初等函数的复合结构,
思考题幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf? ),( +x
在 处不可导，0?x?)1(
2)( xxf? ),( +
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题：
1,设
n
x
x
y
ln
,则 y? = _ __ _ __ __ _ _.
2,设
x
y
1
co sln?,则 y? = _ __ _ __ __ _ _.
3,设 xxy +?,则 y? = _ __ _ __ __ _ _.
4,设
tt
tt
ee
ee
y
+
,则 y
= _ __ _ __ __ _,
5,设
)999()2)(1()( xxxxxf
则
)0(f?
= __ __ __ __ _ _.
二,求下列函数的导数：
1,)1t a n h ( 2xy ；
2,?y s in har )1( 2?x ；
练 习 题
3,?y c o s har )(
2 x
e ；
4,
x
xey
c o s h
s i n h? ；
5,
2
)
2
(a rc ta n
x
y? ；
6,
x
ey
1
s i n
2
；
7,
2
1
2
a rc s i n
t
t
y
+
,
一,1,
1
ln1
+
n
x
xn； 2,
xx
1
ta n
1
2； 3,
xxx
x
+
+
4
12；
4,
t
2
co s h
1； 5,-99 9!.
二,1,
)1(co s h
2
22
x
x； 2,
22
2
24
++ xx
x；
3,
1
2
4
2
x
x
e
e； 4,)s i nh(co s h
2co s h
xxe
x
+ ；
5,
2
a rc ta n
4
4
2
x
x+； 6,
x
e
xx
1
s i n
2
2
2
sin
1?；
练习题答案
7,
+
+
1,
1
2
1,
1
2
2
2
2
2
t
t
t
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（ 2） uccu)( ( 是常数 )C（ 1） vuvu)(,
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3.复合函数的求导法则
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注意,初等函数的导数仍为初等函数,
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du
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或的导数为则复合函数例 1,的导数求函数 xxxy ++?
解 )(2 1?++++ xxxxxxy
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例 2 xnxy ns i ns i n
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二、双曲函数与反双曲函数的导数
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即
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同理
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2
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三、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键,正确分解初等函数的复合结构,
思考题幂函数在其定义域内（ ）,
（ 1 ） 必可导； （ 2 ）必不可导；
（ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 3
2
)( xxf? ),( +x
在 处不可导，0?x?)1(
2)( xxf? ),( +
在定义域内处处可导,?)2(
一,填空题：
1,设
n
x
x
y
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,则 y? = _ __ _ __ __ _ _.
2,设
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1
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3,设 xxy +?,则 y? = _ __ _ __ __ _ _.
4,设
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5,设
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则
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二,求下列函数的导数：
1,)1t a n h ( 2xy ；
2,?y s in har )1( 2?x ；
练 习 题
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