高 等 数 学一、计算函数增量的近似值
,
,0)()( 00
很小时且处的导数在点若
x
xfxxfy
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rA设,05.0,10 厘米厘米 rr
rrdAA205.0102 ).( 2厘米
.)( 0 xxf 00 xxxx dyy
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf?
)()( 00 xfxxfy,)( 0 xf
.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x?;0)(.2 附近的近似值在点求?xxf
.)0()0()( xffxf
,)()()( 000 xxfxfxxf
.,00 xxx令
.2 3)3(,21)3( ff
)3 6 03co s (0360co s o 3 6 03si n3c o s
3602
3
2
1,4924.0?
例 1,0360c o s o 的近似值计算?
解,c o s)( xxf?设 )(,s in)( 为弧度xxxf
,3 6 0,30 xx?
常用近似公式 )( 很小时x;111)1( x
n
xn
证明,1)()1( n xxf设,)1(1)(
11 nx
nxf
.1)0(,1)0( nff
xffxf )0()0()(,1 nx
);(s i n)2( 为弧度xxx?
);(t a n)3( 为弧度xxx? ;1)4( xe x
.)1ln()5( xx
例 2,计算下列各数的近似值解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03?e
33 5.110005.998)1(
3 )
1 0 0 0
5.11(1 0 0 0
3 0 0 1 5.0110
)0 0 1 5.0311(10,995.9?
03.01)2( 03.0e,97.0?
三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义：
.,
,
的绝对误差叫做那末为它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末即又知道它的误差不超过测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误差 与 相对误差,
例 3
.
,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对求出它的面积米正方形边长为?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy?
,41.2 时当?x ).(8081.5)41.2( 22 my
41.241.2 2 xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
0 0 5.082.4 y?面积的绝对误差为 ).(0 2 4 1.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf
00 xxxx dyy,)( 0xf
),()()()( 000 xxxfxfxf
,很小时当 x?
,0时当?x
一,填空题,
1,利用公式 ))(()()( 000 xxxfxfxf 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2,当 0?x 时,由 公 式 dyy 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( x ； ____ ____t an?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ； _ _ _ _ _ _ _ _0 0 2.1ln?,
二,利用微分计算当 x 由?45 变到 0145,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 0 1 7 4 5 3.01 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T 2,其中 980?g 厘米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多少？
练 习 题四,求近似值：
1,?1 3 6t a n ； 2,5002.0a r c s i n ； 3,3 996,
五、设 0?A,且
n
AB,证明
1?
n
n n
nA
B
ABA,并计算
10
1 0 0 0 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产 （教材 2 - 1 8 图）所示的扇形板，半径 R = 2 0 0
毫米，要求中心角? 为?55 产品检验时，一般用测量弦长 L 的办法来间接测量中心角?,如果测量弦长 L
时的误差
L
= 0,1 毫米，问由此而引起的中心角测量误差 是多少？
一,1,
0
xx? ； 2,002.0,013 09.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1,- 0.96509 ； 2,7430
o； 3,9.9867,
五,1.9953,
六,3%,
七、
0 0 0 5 6.0?
( 弧度 )= 551,
练习题答案
,
,0)()( 00
很小时且处的导数在点若
x
xfxxfy
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rA设,05.0,10 厘米厘米 rr
rrdAA205.0102 ).( 2厘米
.)( 0 xxf 00 xxxx dyy
二、计算函数的近似值;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf?
)()( 00 xfxxfy,)( 0 xf
.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x?;0)(.2 附近的近似值在点求?xxf
.)0()0()( xffxf
,)()()( 000 xxfxfxxf
.,00 xxx令
.2 3)3(,21)3( ff
)3 6 03co s (0360co s o 3 6 03si n3c o s
3602
3
2
1,4924.0?
例 1,0360c o s o 的近似值计算?
解,c o s)( xxf?设 )(,s in)( 为弧度xxxf
,3 6 0,30 xx?
常用近似公式 )( 很小时x;111)1( x
n
xn
证明,1)()1( n xxf设,)1(1)(
11 nx
nxf
.1)0(,1)0( nff
xffxf )0()0()(,1 nx
);(s i n)2( 为弧度xxx?
);(t a n)3( 为弧度xxx? ;1)4( xe x
.)1ln()5( xx
例 2,计算下列各数的近似值解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03?e
33 5.110005.998)1(
3 )
1 0 0 0
5.11(1 0 0 0
3 0 0 1 5.0110
)0 0 1 5.0311(10,995.9?
03.01)2( 03.0e,97.0?
三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，
而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做 间接测量误差,
定义：
.,
,
的绝对误差叫做那末为它的近似值如果某个量的精度值为
aaAa
A
.的相对误差叫做的比值而绝对误差与 aa aAa?
问题,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法,将误差确定在某一个范围内,
.
,
,
,
,,
的相对误差限叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末即又知道它的误差不超过测得它的近似值是如果某个量的精度值是
A
a
A
aA
aA
A
A
A
A
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误差 与 相对误差,
例 3
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,,005.041.2
误差并估计绝对误差与相对求出它的面积米正方形边长为?
解 则面积为设正方形边长为,,yx.2xy?
,41.2 时当?x ).(8081.5)41.2( 22 my
41.241.2 2 xx xy,82.4?
,005.0?x?边长的绝对误差为?
0 0 5.082.4 y?面积的绝对误差为 ).(0 2 4 1.0 2m?
y
y?面积的相对误差为?
8081.5
0241.0? %.4.0?
四、小结近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf
00 xxxx dyy,)( 0xf
),()()()( 000 xxxfxfxf
,很小时当 x?
,0时当?x
一,填空题,
1,利用公式 ))(()()( 000 xxxfxfxf 计算 )( xf
时，要求 ______ 很小,
2,当 0?x 时,由 公 式 dyy 可 近 似 计 算
_ _ _ _ _ _ _)1l n ( x ； ____ ____t an?x,由此得
_ _ _ _ _ _ _45t a n ； _ _ _ _ _ _ _ _0 0 2.1ln?,
二,利用微分计算当 x 由?45 变到 0145,时，函数
xy c o s? 的增量的近似值 ( 0 1 7 4 5 3.01 弧度 ).
三,已知单摆的振动周期
g
l
T 2,其中 980?g 厘米 / 秒
2
,l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20
厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多少？
练 习 题四,求近似值：
1,?1 3 6t a n ； 2,5002.0a r c s i n ； 3,3 996,
五、设 0?A,且
n
AB,证明
1?
n
n n
nA
B
ABA,并计算
10
1 0 0 0 的近似值,
六、已知测量球的直径 D 有 1% 的相对误差，问用公式
3
6
DV
计算球的体积时，相对误差有多大？
七、某厂生产 （教材 2 - 1 8 图）所示的扇形板，半径 R = 2 0 0
毫米，要求中心角? 为?55 产品检验时，一般用测量弦长 L 的办法来间接测量中心角?,如果测量弦长 L
时的误差
L
= 0,1 毫米，问由此而引起的中心角测量误差 是多少？
一,1,
0
xx? ； 2,002.0,013 09.0,,xx,
二,0021.0
2160
2
,
三、约需加长 2.23 厘米,
四,1,- 0.96509 ； 2,7430
o； 3,9.9867,
五,1.9953,
六,3%,
七、
0 0 0 5 6.0?
( 弧度 )= 551,
练习题答案
