1
高 等 数 学
2
一、问题的提出实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx变到设边长由
,20xA?正方形面积?
2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx?0
xx?0
3
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy
),()2( xox 的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
4
二、微分的定义定义
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
,)( 在某区间内有定义设函数 xfy?
在这区间内及 xxx00 如果
)()()( 00 xoxAxfxxfy
，
),( 无关的常数是与其中成立 xA?则称函数
,)( 0 可微在点 xxfy? 为函数并且称 xA
,)( 0 的微分相应于自变量增量在点 xxxfy
.),( 00 0 xAdyxdfdy xxxx 即或记作
5
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
y
xA
xo
)(1 ).0(1 x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx
6
定理证：
可微在点 0)( xxf
).(
,)(
0
0
xfA
xxf
且可导在点函数条件 结论可微在点已知函数 0)( xxf
).(,)( 00 xfAxxf且处可导在点函数,”
Axfxy o
x
'lim
0
)( xAxy
,” 上面过程已证
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数
)( xoxAy
x
xoA
x
y
)(
xxxo)(
7
例 1
解 xxdy )( 3?,3 2 x
02.0
2
2
02.0
2 3
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ).( xfdxdy
".",微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
时的微分当求函数 02.0,23 xxxy
8
四、微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
）
x
y
o?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当
dy
y?
xx0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?
9
五、微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
0)(?Cd dxxxd 1)(
x d xxd 2s e c)( t a n?
x d xxd s i n)( c o sx d xxd c o s)( s i n?
x d xxd 2c s c)( c o t
x d xxxd t a ns e c)( s e c? x d xxxd c otc s c)( c s c
10
a d xaad xx ln)(?
2,函数和、差、积、商的微分法则
dvduvud )(
dxeed xx?)(
dx
x
xd
21
1)( ar cs i n
dxxxd 21 1)( a r c t a n
dxxxd 1)( ln?
dx
x
xd
21
1)( a r cc o s
dxxxa r cd 21 1)c o t(
dxaxxd a ln1)( l o g?
C d uCud?)(
udvv d uuvd)(
2)( v
udvv d u
v
ud
11
例 2
解
.),l n ( 2 dyexy x 求设
,21 2
2
x
x
ex
xey
,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx
.s in)( c o s,3)( 3131 xxee xx
dxxedxexdy xx )s in()3(c o s 3131
.)s inc o s3(31 dxxxe x
12
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
),()( xfxfy 有导数设函数
dttxfdy )()(
,)( dxdtt,)( dxxfdy
结论,
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
微分形式的不变性
dxxfdy )(
13
例 4
解
.,s in dybxey ax 求设
)(s in)(c o s axdebxbxb x dedy axax
dxaebxb d xbxe axax )(s inc o s
.)s inc o s( dxbxabxbe ax
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设
.12,s in xuuy?
ud udy c o s )12()12c o s ( xdx
dxx 2)12c o s (,)12c o s (2 dxx
14
例 5
解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立,
).()()( s in)2(;c o s)()1( 2 xdxdtd td
,c o s)( s in)1( td ttd
)( s i n1co s tdtdt
.co s)s i n1( tdtCtd
);s in1( td
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
c os2
)(
)( s i n)2( 22
,co s4 2xxx?
).()c o s4()( s in 22 xdxxxxd
15
七、小结微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题函数的增量问题 微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导?
★
★
16
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
000
00
它是无穷小实际上的定义域是它的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxxfdy
xfxxf
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量线方程在点处的切在点是曲线而微分处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
★
17
思考题 因为一元函数 )( xfy? 在
0x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说,微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？
18
思考题解答说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,
19
一,填空题,
1,已知函数
2
)( xxf? 在点 x 处的自变量的增量 为
0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么自变量 x 的始值为 __________,
2,微分的几何意义是 __________,
3,若 )( xfy? 是可微函数，则当
0 x
时,
dyy 是关于
x?
的 ________ 无穷小,
4,
x d xd?s i n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?
,
5,dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,
6,x d xd 3s ec___ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2
,
7,
x
exy
22
,
_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _
22
dxdedy
x
,
8,_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
(a r ct a n
2
x
e
d dxde
x
_ _ _ _ _ _ _ _?
,
练 习 题
20
二,求下列函数的微分,
1,
1
2
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n( xy ；
3,
2
1a r c s i n xy ；
4,
2
2
1
1
a rc ta n
x
x
y
；
5,xey
x
3c o s
3
,求
3
x
dy ；
6,求由方程
22
)co s ( yxxy? 所确定的 y 微分,
21
一,1,- 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4,Cx
co s
1；
5,Ce
x
2
2
1； 6,Cx?3ta n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
x
x
e
e
e
e
4
2
4
2
22
,
2
22
,
二,1,dxx
2
3
2
)1(
；
2,dx
x
x
1
)1l n(2
；
练习题答案
22
3,
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4,dx
x
x
4
1
2；
5,
dx3；
6,dx
x
y
.
23
2222
)(1
1)( a r c t a n
yx
y d xx d y
x
y d xx d y
x
yx
yd
2222
22 22
2
1)( l n
yx
y dyxdx
yx
y dyxdxyxd
于是 xdy-ydx=xdx+ydy,.
dxyx yxdy
例 6 设由 确定 y为 x的函数,求 dy.22lna r c t a n yx
x
y
解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有
)( l n)( a r c t a n 22 yxdxyd
高 等 数 学
2
一、问题的提出实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx变到设边长由
,20xA?正方形面积?
2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx?0
xx?0
3
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy
),()2( xox 的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
4
二、微分的定义定义
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
,)( 在某区间内有定义设函数 xfy?
在这区间内及 xxx00 如果
)()()( 00 xoxAxfxxfy
，
),( 无关的常数是与其中成立 xA?则称函数
,)( 0 可微在点 xxfy? 为函数并且称 xA
,)( 0 的微分相应于自变量增量在点 xxxfy
.),( 00 0 xAdyxdfdy xxxx 即或记作
5
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
y
xA
xo
)(1 ).0(1 x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx
6
定理证：
可微在点 0)( xxf
).(
,)(
0
0
xfA
xxf
且可导在点函数条件 结论可微在点已知函数 0)( xxf
).(,)( 00 xfAxxf且处可导在点函数,”
Axfxy o
x
'lim
0
)( xAxy
,” 上面过程已证
.)(),(,
,)(
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xxfy
即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数
)( xoxAy
x
xoA
x
y
)(
xxxo)(
7
例 1
解 xxdy )( 3?,3 2 x
02.0
2
2
02.0
2 3
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
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即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ).( xfdxdy
".",微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
时的微分当求函数 02.0,23 xxxy
8
四、微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
）
x
y
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x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当
dy
y?
xx0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?
9
五、微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
0)(?Cd dxxxd 1)(
x d xxd 2s e c)( t a n?
x d xxd s i n)( c o sx d xxd c o s)( s i n?
x d xxd 2c s c)( c o t
x d xxxd t a ns e c)( s e c? x d xxxd c otc s c)( c s c
10
a d xaad xx ln)(?
2,函数和、差、积、商的微分法则
dvduvud )(
dxeed xx?)(
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21
1)( ar cs i n
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11
例 2
解
.),l n ( 2 dyexy x 求设
,21 2
2
x
x
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,21
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dx
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xedy
x
x
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx
.s in)( c o s,3)( 3131 xxee xx
dxxedxexdy xx )s in()3(c o s 3131
.)s inc o s3(31 dxxxe x
12
六、微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
),()( xfxfy 有导数设函数
dttxfdy )()(
,)( dxdtt,)( dxxfdy
结论,
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
微分形式的不变性
dxxfdy )(
13
例 4
解
.,s in dybxey ax 求设
)(s in)(c o s axdebxbxb x dedy axax
dxaebxb d xbxe axax )(s inc o s
.)s inc o s( dxbxabxbe ax
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设
.12,s in xuuy?
ud udy c o s )12()12c o s ( xdx
dxx 2)12c o s (,)12c o s (2 dxx
14
例 5
解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立,
).()()( s in)2(;c o s)()1( 2 xdxdtd td
,c o s)( s in)1( td ttd
)( s i n1co s tdtdt
.co s)s i n1( tdtCtd
);s in1( td
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x
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)( s i n)2( 22
,co s4 2xxx?
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15
七、小结微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题函数的增量问题 微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导?
★
★
16
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
000
00
它是无穷小实际上的定义域是它的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxxfdy
xfxxf
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量线方程在点处的切在点是曲线而微分处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
★
17
思考题 因为一元函数 )( xfy? 在
0x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说,微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？
18
思考题解答说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,
19
一,填空题,
1,已知函数
2
)( xxf? 在点 x 处的自变量的增量 为
0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么自变量 x 的始值为 __________,
2,微分的几何意义是 __________,
3,若 )( xfy? 是可微函数，则当
0 x
时,
dyy 是关于
x?
的 ________ 无穷小,
4,
x d xd?s i n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _?
,
5,dxed
x2
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6,x d xd 3s ec___ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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练 习 题
20
二,求下列函数的微分,
1,
1
2
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2,
2
)]1[l n( xy ；
3,
2
1a r c s i n xy ；
4,
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a rc ta n
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3
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dy ；
6,求由方程
22
)co s ( yxxy? 所确定的 y 微分,
21
一,1,- 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4,Cx
co s
1；
5,Ce
x
2
2
1； 6,Cx?3ta n
3
1；
7,
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二,1,dxx
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1
)1l n(2
；
练习题答案
22
3,
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4,dx
x
x
4
1
2；
5,
dx3；
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23
2222
)(1
1)( a r c t a n
yx
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y d xx d y
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2222
22 22
2
1)( l n
yx
y dyxdx
yx
y dyxdxyxd
于是 xdy-ydx=xdx+ydy,.
dxyx yxdy
例 6 设由 确定 y为 x的函数,求 dy.22lna r c t a n yx
x
y
解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有
)( l n)( a r c t a n 22 yxdxyd
