高 等 数 学一、问题的提出自由落体运动的瞬时速度问题：
0s t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
s
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,t?运动时间
t
sv
平均速度
0
0
tt
ss
).(
2 0 tt
g
,0时当 tt? 取极限得
2
t)(tlimlimv 0
0
0
00
g
tt
ss
tttt
瞬时速度,0gt?
2gt
2
1s?运用自由落体公式：
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置播放如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 N MTMN ).,(),,( 00 yxNyxM设的斜率为割线 MN
0
0t an
xx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
,,0 xxMN C 线曲沿的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx?
即：
T
0x xo x
y )(xfy?
C
N
M
x?
y?
二、导数的定义,
定义,的某个邻域内在点设函数
0)( xxfy?
点处取得增量在当自变量有定义 (,0 xxx?
取相应地函数时仍在该邻域内 yxx,)0
与如果得增量 yxfxxfy );()( 00
x
yxx
x?
0
lim 0 即时的极限存在，之比当并处可导在点则称函数存在。,)( 0xxfy?
,)( 0 处的导数在点称这个极限为函数 xxfy?
,0xxy记为
,)( 00 xxxx dx xdfdxdy 或
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
其它形式,
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000即,
.
,0
慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy?
★
★
关于导数的说明：
.)(,的一个确定的导数值都对应着对于任一 xfIx?
x
xfxxfy
x?
)()(l i m
0
即
.)()(l i m)(
0 h
xfhxfxf
h
或注意,,)()(.1
00 xxxfxf
★
.)( 的导函数这个函数叫做原来函数 xf
.)(),(,dx xdfdxdyxfy 或记作
思考题,
函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf?
与导函数 )( xf? 有什么区别与联系？
思考题解答,
由导数的定义知,)(
0
xf? 是一个具体的数值,)( xf? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix,有唯一值 )( xf? 与之对应，所以两者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两者的 联系 是：在某点
0
x 处的导数 )(
0
xf? 即是导函数 )( xf? 在 0x 处的函数值．
★
2.右导数,
单侧导数,
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
0
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
0
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点
0x 处可导? ★
。
左导数 )( 0xf 和右 导数 )( 0xf 都存在且相等如果 )( xf 在开区间ba,内可 导,
★
且 )( af
及 )( bf
都存在,
就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
三、由定义求导数,;)()(lim
0 x
xfxxf
x?
x
yy
x?
0
lim求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解,h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
CC
h
0lim
.0?
.0)(C即;)()(lim
0 h
xfhxf
h
例 2,)( s in)( s in,s in)(
4
xxxxxf 及求设函数解,h xhxx h s i n)s i n (lim)( s i n 0
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
c os)( s in?
xx
xx,
2
2?
提示：
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解,h xhxx
nn
h
n
)(lim)(
0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)(?x例如,12
1
2
1 x,
2
1
x?
)( 1x 11)1( x,12x
提示：
例 4,)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x
解,
.ln)( aaa xx即
.)( xx ee
)(' xf
h
xfhxfa
h
x )()(lim)(
0
aa x ln?
h
aa hx
h
1lim
0
h
aa xhx
h
0
lim
例 5,)1,0(log 的导数求函数 aaxy a
解,h xhxy aa
h
lo g)(lo glim
0
ax
e
x
x aa
ln
1l o g1)( l o g即
.1)( ln xx
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
lim
0
.lo g1 ex a?
)1(l o glim1
0
h
x
ah x
h
x
ex x
x
1
0
)1(l i m由于例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf
解,xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf
h
h
h
fhf
hh
00
l i m)0()0(l i m,1?
h
h
h
fhf
hh
00 lim
)0()0(lim,1
),0()0( ff即,0)( 点不可导在函数 xxfy
四、导数的几何意义与物理意义
o x
y )(xfy?
T
0x
M
1.几何意义,
)(,t an)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为法线方程为
).)(( 000 xxxfyy
).()(1 0
0
0 xxxfyy
切线与法线的斜率互为负倒数。
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线
x
y?
解,由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx 212
1
xx
.4
所求切线方程为法线方程为
),21(42 xy
),21(412 xy
.044 yx即
.01582 yx即五、可导与连续的关系,
定理,凡可导函数都是连续函数,
证明,
)(l i m 00 xfxyx
))( 0 xxfxy （?
xxxfy)( 0
))(()(lim lim lim
0000
xxxxfy
xxx
可导在点条件：函数 0)( xxf 连续在点结论：函数 0)( xxf
结论：凡可导函数都是连续函数
0l i m
0
y
x
0)]()([ 0l i m
0
xfxf
xx
)()( 0l i m
0
xfxf
xx
=0 即：
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数
xf
xxfxfxf
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx
注意,该定理的逆定理不成立,
★
3 1 xy
x
y
0 1
,)(.2 0 连续在点设函数 xxf
例如,
,1)( 3 xxf
.1 处不可导在?x
,)()(limlim 00
00
x
xfxxf
x
y
xx
但
)(.)( 0 不可导有无穷导数在点称函数 xxf
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在讨论函数
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nlim 0 xxx
.0)( 处连续在 xxf
处有但在 0?x x x
x
x
y
00
1s i n)0(
x
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx
.0)( 处不可导在 xxf
0)(lim)0( 0 xff x?
六、小结,
1,导数的实质,增量比的极限 ;
2,axf )( 0 )( 0xf ;)( 0 axf
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
连续直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
一,填空题：
1,设 )( xf 在
0
xx? 处可导，即 )(
0
xf? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
2,已知物体的运动规律为
2
ts?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3,设
3 2
1
)( xxy?
,
2
2
1
)(
x
xy?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy?,则它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4,设 2)( xxf?,则 )( xff _ _ _ _ __ ___ __ ___ __ ；
)( xff ___ __ ___ __ ___ __ __,
5,曲线 xey? 在点 )1,0( 处的切线方程为
___ __ ___ __ ___ __ __ _.
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf? 存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1,A
xx
xfxf
xx
0
0
)()(
lim
0；
2,A
h
hf
h
)(
lim
0
，其中 )0(0)0( ff 且 存在；
3,A
h
hxfhxf
h
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若
)( xf
为偶函数且 )0(f
存在，则 0)0(?
f
.
四,设函数
0,0
0,
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条件,)( xf 在
0?x
处 (1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在
1?x
处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf,求
)( xf
.
七,证明：双曲线
2
axy?
上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2 a
.
八,设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为 x,于是分布在区间 ]1,0[ 上细棒的质量 m 是 x 的函数 )( xmm?,应怎样确定细棒在点
0
x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫作这细棒的线密度）？
一,1,)(
0
xf? ； 2,)(
0
xf ；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2
x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5,01 yx,
二,1,
)(
0
xf?； 2,)0(f； 3,
)(2
0
xf?
.
四,(1) 当
0?k
时,
)( xf
在
0?x
处连续；
(2) 当
1?k
时,
)( xf
在
0?x
处可导,且
0)0(f；
(3) 当
2?k
及
0?x
时,
)( xf?
在
0?x
处连续,
五、
1,2 ba
.
六,
0,1
0,co s
)(
x
xx
xf
,八、
0
xx
dx
dm
.
练习题答案返回和差化积公式：
继续例题 2：
)
2
s i n ()
2
s i n (2c o sc o s
)
2
c o s ()
2
c o s (2c o sc o s
)
2
s i n ()
2
c o s (2s i ns i n
)
2
c o s ()
2
s i n (2s i ns i n
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
二项式定理：
222110)( bacbacacba nnnnnn n
nnnnnn
n bcbac n
)1()1(1
继续例题 3：
iini
n bac
+….
….
)!(!
!
ini
n
c in
这里顺便指出，根据函数 )(xf 在点
0x
处的导数 )(' xf 的定义，
h
xfhxf
h
xf
)()(
lim 00
0
)( 0'
是一个极限，而极限存在的充分必要条件是 左、右极限都存在且相等，因此，
)(' xf
存在即 )(xf 在点
0x
处可导的充分必要条件是左、右极限 h xfhxf
h
)()( 00
0lim
及 h xfhxf
h
)()( 00
0lim
都存在且相等，这两个极限分别称为函数 )(xf 在点
0x
处的左导数和右导数，记作
)( 0' xf? )( 0' xf?
h
fhf
h 2
)3()3(lim
0 h
fhf
h?
)3()3(lim
2
1
0
1)3(21 f
已知 h fhf
h 2
)3()3(lim
0
求,2)3(f
解：
x
fxf
x?
)3()3(lim
2
1
0
思考 1
设 f(x)在点 x=a处可导，求 x xafxaf
x
)()(lim
0
.
解：
x
xafxaf
x
)()(lim
0
x
afxafafxaf
x
)]()([)]()([lim
0
)(2)()( afafaf
思考 2
已知 f(x)在 x=1处可导，试确定 a,b的值,
1.,
1,
1
2
)( 2
xbxa
x
xxf例：设
1
)1()1(
1
lim
1
1
1
2
lim)1( 2
2
1
2
1
xx
x
x
xf
xx
,1lim1 1lim)1(
11
ax aaxx baxf
xx
;1 ba
解,∵ 可导必连续
1)1 2(lim)(lim 2
11
x
bax
xx
.2, ba
18.证明,双曲线 xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a2.
证明,设双曲线 xy=a2上任一点为 (x0,y0),
则 x0y0=a2
0
2
x
ay
o?即
)(,02
0
2
0
2
xxxaxay切线方程它在两坐标轴上的的截距依次为,
|2| 0xx?
||2
0
2
x
ay?
构成的三角形面积为,
2
0
2
0 2||2|2|2
1 a
x
axS
2
0
2
0 )(' x
axf
1
)(22
:
0
2
0
x
a
y
x
x截距式为
0s t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
s
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,t?运动时间
t
sv
平均速度
0
0
tt
ss
).(
2 0 tt
g
,0时当 tt? 取极限得
2
t)(tlimlimv 0
0
0
00
g
tt
ss
tttt
瞬时速度,0gt?
2gt
2
1s?运用自由落体公式：
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置播放如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 N MTMN ).,(),,( 00 yxNyxM设的斜率为割线 MN
0
0t an
xx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
,,0 xxMN C 线曲沿的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx?
即：
T
0x xo x
y )(xfy?
C
N
M
x?
y?
二、导数的定义,
定义,的某个邻域内在点设函数
0)( xxfy?
点处取得增量在当自变量有定义 (,0 xxx?
取相应地函数时仍在该邻域内 yxx,)0
与如果得增量 yxfxxfy );()( 00
x
yxx
x?
0
lim 0 即时的极限存在，之比当并处可导在点则称函数存在。,)( 0xxfy?
,)( 0 处的导数在点称这个极限为函数 xxfy?
,0xxy记为
,)( 00 xxxx dx xdfdxdy 或
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
其它形式,
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000即,
.
,0
慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy?
★
★
关于导数的说明：
.)(,的一个确定的导数值都对应着对于任一 xfIx?
x
xfxxfy
x?
)()(l i m
0
即
.)()(l i m)(
0 h
xfhxfxf
h
或注意,,)()(.1
00 xxxfxf
★
.)( 的导函数这个函数叫做原来函数 xf
.)(),(,dx xdfdxdyxfy 或记作
思考题,
函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf?
与导函数 )( xf? 有什么区别与联系？
思考题解答,
由导数的定义知,)(
0
xf? 是一个具体的数值,)( xf? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix,有唯一值 )( xf? 与之对应，所以两者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两者的 联系 是：在某点
0
x 处的导数 )(
0
xf? 即是导函数 )( xf? 在 0x 处的函数值．
★
2.右导数,
单侧导数,
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
0
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
;)()(lim)()(lim)( 00
00
0
0
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
函数 )( xf 在点
0x 处可导? ★
。
左导数 )( 0xf 和右 导数 )( 0xf 都存在且相等如果 )( xf 在开区间ba,内可 导,
★
且 )( af
及 )( bf
都存在,
就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
三、由定义求导数,;)()(lim
0 x
xfxxf
x?
x
yy
x?
0
lim求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解,h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
CC
h
0lim
.0?
.0)(C即;)()(lim
0 h
xfhxf
h
例 2,)( s in)( s in,s in)(
4
xxxxxf 及求设函数解,h xhxx h s i n)s i n (lim)( s i n 0
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
c os)( s in?
xx
xx,
2
2?
提示：
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解,h xhxx
nn
h
n
)(lim)(
0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
)(?x例如,12
1
2
1 x,
2
1
x?
)( 1x 11)1( x,12x
提示：
例 4,)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x
解,
.ln)( aaa xx即
.)( xx ee
)(' xf
h
xfhxfa
h
x )()(lim)(
0
aa x ln?
h
aa hx
h
1lim
0
h
aa xhx
h
0
lim
例 5,)1,0(log 的导数求函数 aaxy a
解,h xhxy aa
h
lo g)(lo glim
0
ax
e
x
x aa
ln
1l o g1)( l o g即
.1)( ln xx
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
lim
0
.lo g1 ex a?
)1(l o glim1
0
h
x
ah x
h
x
ex x
x
1
0
)1(l i m由于例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf
解,xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf
h
h
h
fhf
hh
00
l i m)0()0(l i m,1?
h
h
h
fhf
hh
00 lim
)0()0(lim,1
),0()0( ff即,0)( 点不可导在函数 xxfy
四、导数的几何意义与物理意义
o x
y )(xfy?
T
0x
M
1.几何意义,
)(,t an)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为法线方程为
).)(( 000 xxxfyy
).()(1 0
0
0 xxxfyy
切线与法线的斜率互为负倒数。
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线
x
y?
解,由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx 212
1
xx
.4
所求切线方程为法线方程为
),21(42 xy
),21(412 xy
.044 yx即
.01582 yx即五、可导与连续的关系,
定理,凡可导函数都是连续函数,
证明,
)(l i m 00 xfxyx
))( 0 xxfxy （?
xxxfy)( 0
))(()(lim lim lim
0000
xxxxfy
xxx
可导在点条件：函数 0)( xxf 连续在点结论：函数 0)( xxf
结论：凡可导函数都是连续函数
0l i m
0
y
x
0)]()([ 0l i m
0
xfxf
xx
)()( 0l i m
0
xfxf
xx
=0 即：
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数
xf
xxfxfxf
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx
注意,该定理的逆定理不成立,
★
3 1 xy
x
y
0 1
,)(.2 0 连续在点设函数 xxf
例如,
,1)( 3 xxf
.1 处不可导在?x
,)()(limlim 00
00
x
xfxxf
x
y
xx
但
)(.)( 0 不可导有无穷导数在点称函数 xxf
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在讨论函数
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nlim 0 xxx
.0)( 处连续在 xxf
处有但在 0?x x x
x
x
y
00
1s i n)0(
x
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx
.0)( 处不可导在 xxf
0)(lim)0( 0 xff x?
六、小结,
1,导数的实质,增量比的极限 ;
2,axf )( 0 )( 0xf ;)( 0 axf
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
连续直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
一,填空题：
1,设 )( xf 在
0
xx? 处可导，即 )(
0
xf? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
x
xfxxf
x
,
2,已知物体的运动规律为
2
ts?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3,设
3 2
1
)( xxy?
,
2
2
1
)(
x
xy?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy?,则它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4,设 2)( xxf?,则 )( xff _ _ _ _ __ ___ __ ___ __ ；
)( xff ___ __ ___ __ ___ __ __,
5,曲线 xey? 在点 )1,0( 处的切线方程为
___ __ ___ __ ___ __ __ _.
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf? 存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1,A
xx
xfxf
xx
0
0
)()(
lim
0；
2,A
h
hf
h
)(
lim
0
，其中 )0(0)0( ff 且 存在；
3,A
h
hxfhxf
h
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若
)( xf
为偶函数且 )0(f
存在，则 0)0(?
f
.
四,设函数
0,0
0,
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条件,)( xf 在
0?x
处 (1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在
1?x
处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf,求
)( xf
.
七,证明：双曲线
2
axy?
上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2 a
.
八,设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为 x,于是分布在区间 ]1,0[ 上细棒的质量 m 是 x 的函数 )( xmm?,应怎样确定细棒在点
0
x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫作这细棒的线密度）？
一,1,)(
0
xf? ； 2,)(
0
xf ；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2
x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5,01 yx,
二,1,
)(
0
xf?； 2,)0(f； 3,
)(2
0
xf?
.
四,(1) 当
0?k
时,
)( xf
在
0?x
处连续；
(2) 当
1?k
时,
)( xf
在
0?x
处可导,且
0)0(f；
(3) 当
2?k
及
0?x
时,
)( xf?
在
0?x
处连续,
五、
1,2 ba
.
六,
0,1
0,co s
)(
x
xx
xf
,八、
0
xx
dx
dm
.
练习题答案返回和差化积公式：
继续例题 2：
)
2
s i n ()
2
s i n (2c o sc o s
)
2
c o s ()
2
c o s (2c o sc o s
)
2
s i n ()
2
c o s (2s i ns i n
)
2
c o s ()
2
s i n (2s i ns i n
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
二项式定理：
222110)( bacbacacba nnnnnn n
nnnnnn
n bcbac n
)1()1(1
继续例题 3：
iini
n bac
+….
….
)!(!
!
ini
n
c in
这里顺便指出，根据函数 )(xf 在点
0x
处的导数 )(' xf 的定义，
h
xfhxf
h
xf
)()(
lim 00
0
)( 0'
是一个极限，而极限存在的充分必要条件是 左、右极限都存在且相等，因此，
)(' xf
存在即 )(xf 在点
0x
处可导的充分必要条件是左、右极限 h xfhxf
h
)()( 00
0lim
及 h xfhxf
h
)()( 00
0lim
都存在且相等，这两个极限分别称为函数 )(xf 在点
0x
处的左导数和右导数，记作
)( 0' xf? )( 0' xf?
h
fhf
h 2
)3()3(lim
0 h
fhf
h?
)3()3(lim
2
1
0
1)3(21 f
已知 h fhf
h 2
)3()3(lim
0
求,2)3(f
解：
x
fxf
x?
)3()3(lim
2
1
0
思考 1
设 f(x)在点 x=a处可导，求 x xafxaf
x
)()(lim
0
.
解：
x
xafxaf
x
)()(lim
0
x
afxafafxaf
x
)]()([)]()([lim
0
)(2)()( afafaf
思考 2
已知 f(x)在 x=1处可导，试确定 a,b的值,
1.,
1,
1
2
)( 2
xbxa
x
xxf例：设
1
)1()1(
1
lim
1
1
1
2
lim)1( 2
2
1
2
1
xx
x
x
xf
xx
,1lim1 1lim)1(
11
ax aaxx baxf
xx
;1 ba
解,∵ 可导必连续
1)1 2(lim)(lim 2
11
x
bax
xx
.2, ba
18.证明,双曲线 xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a2.
证明,设双曲线 xy=a2上任一点为 (x0,y0),
则 x0y0=a2
0
2
x
ay
o?即
)(,02
0
2
0
2
xxxaxay切线方程它在两坐标轴上的的截距依次为,
|2| 0xx?
||2
0
2
x
ay?
构成的三角形面积为,
2
0
2
0 2||2|2|2
1 a
x
axS
2
0
2
0 )(' x
axf
1
)(22
:
0
2
0
x
a
y
x
x截距式为
