高 等 数 学一、高阶导数的定义定义 即处可导在点的导数如果函数,)()( xxfxf?
,)()(lim))((
0
存在
x
xfxxfxf
x?
.)())(( 处的二阶导数在点为函数则称 xxfxf
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
.,),( 3
3
dx
ydyxf
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
'.',2 ybaxy 求例
,' ay?解：
'.',s i n 3 sts 求例
,c o s ' ts解：
,4 阶导数求指数函数的例 n
,' xey?解
xn ey?一般地，可得
xnx ee?即二,高阶导数求法举例
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
.0''?y
,s i n '' 2 ts
,'' xey?,''' xey?
满足关系式函数证明例 22,5 xxy
01'' 3yy
求导，得将证 22,xxy
,
2
1
22
22
'
22 xx
x
xx
x
y
2
2
2
2
22
22
12
''
xx
xx
x
xxx
y
32
1
2
1
2
3 y
xx
22
22
22
12
xxxx
xxx
01'' 3yy于是例 6,),( )( nyRxy 求设
解 1 xy
)( 1xy 2)1( x
3)2)(1( x))1(( 2xy
)1()1()1()( nxny nn?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy?,!n? )!()1( ny n,0?
例 7,),1ln ( )( nyxy 求设
解注意,
xy 1
1
2)1(
1
xy
3)1(
!2
xy 4
)4(
)1(
!3
xy
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 8,,s in )( nyxy 求设?
解 xy c os )2s in ( x
)2co s ( xy )22s i n ( x )22s i n ( x
)22co s ( xy )
23s i n (
x
)2s i n ()( nxy n
)2co s ()( co s )( nxx n同理可得
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn CuCu?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
莱布尼兹公式例 10,,)20(22 yexy x 求设?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx )1()1()()4( )(?
n
nn
x
nx )!1()1()( ln)5( 1)(
)2s i n ()( s i n)2( )( nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( aaaa nxnx xnx ee?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 11,,11 )5(2 yxy 求设
解 )1111(21112 xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( xxy
])1( 1)1( 1[60 66 xx
三、小结高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf
求,)(af
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf
)( xg 不一定存在 故用定义求 )(af
)(af ax afxfax )()(lim 0)( af
ax
xf
ax?
)(li m
)]()()(2[l i m xgaxxgax )(2 ag?
一,填空题：
1,设
t
e
t
y
s i n
则 y =__ __ __ ___,
2,设
xy t an?
,则 y = ___ __ ___ _.
3,设 xxy a rcta n)1(
2
,则 y = _ ___ __ __.
4,设
2
x
xey?,则 y = ___ __ ___ _.
5,设 )(
2
xfy?,)( xf
存在，则
y
= __ ___ __ __,
6,设
6
)10()( xxf,则 )2(f
=___ __ ___ _.
7,设
nn
nnn
axaxaxax
1
2
2
1
1
( n
aaa,,,
21
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf
,
则 )(
)1(
xf
n?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题二,求下列函数的二阶导数,
1,
x
xx
y
42
3
；
2,xxy lnco s
2；
3,)1l n (
2
xxy,
三,试从
ydy
dx
1
，导出,
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
；
2,
5
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
,
四、验证函数 xx ececy 21 (?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 yy?,
五,下列函数的 n 阶导数,
1,xey
x
co s? ；
2,
x
x
y
1
1；
3,
23
2
3
xx
x
y ;
4,xxxy 3s i n2s i ns i n?,
一,1,te
t
c o s2
； 2,xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c ta n2
x
x
x
； 4,)23(2
2
2
xxe
x；
5,)(4)(2
222
xfxxf ； 6,20 736 0 ；
7,!n ； 8,)!1(?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ；
3,
2
3
2
)1( x
x
.
练习题答案五,1,)
4
co s ()2(
nxe
xn；
2,
1
)1(
!2
)1(
n
n
x
n；
3,)2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
n
xx
n
nn
n；
4,)
2
2s i n (2[
4
1?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
n
x
n
x
nn
,
例 1 ).0(),0(,a r ct a n ffxy 求设解 21 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx
))1( 2( 22 x xy 322
)1(
)13(2
x
x
022 )1(
2)0(
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
xx
xf;0?,2
42
2222
)1(
]')1) [ (2()1()'2(
x
xxxx
例 9,),,(s in )( nax ybabxey 求为常数设?
解 bxbebxaey axax c o ss in
)c o ss in( bxbbxae ax
)a r ct a n()s i n (22 abbxbae ax
)]c o s ()s in ([22 bxbebxaebay axax
)2s in (2222 bxbaeba ax
)s i n ()( 222)( nbxebay axnn )a r ct a n( ab
例 12,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设
解 3232 )( c o s)( s i n xxy
)c o sc o ss i n) ( s i nc o s( s i n 422422 xxxxxx
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n
x2s i n431 2 2 4c os1431 x
x4co s8385
).24co s (483)( nxy nn
,)()(lim))((
0
存在
x
xfxxfxf
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.)())(( 处的二阶导数在点为函数则称 xxfxf
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
.,),( 3
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二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
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dx
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记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
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.)(,),( )()( n
n
n
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dx
xfd
dx
ydyxf 或二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf?
'.',2 ybaxy 求例
,' ay?解：
'.',s i n 3 sts 求例
,c o s ' ts解：
,4 阶导数求指数函数的例 n
,' xey?解
xn ey?一般地，可得
xnx ee?即二,高阶导数求法举例
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
.0''?y
,s i n '' 2 ts
,'' xey?,''' xey?
满足关系式函数证明例 22,5 xxy
01'' 3yy
求导，得将证 22,xxy
,
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01'' 3yy于是例 6,),( )( nyRxy 求设
解 1 xy
)( 1xy 2)1( x
3)2)(1( x))1(( 2xy
)1()1()1()( nxny nn?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy?,!n? )!()1( ny n,0?
例 7,),1ln ( )( nyxy 求设
解注意,
xy 1
1
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1
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3)1(
!2
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)4(
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)1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 8,,s in )( nyxy 求设?
解 xy c os )2s in ( x
)2co s ( xy )22s i n ( x )22s i n ( x
)22co s ( xy )
23s i n (
x
)2s i n ()( nxy n
)2co s ()( co s )( nxx n同理可得
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn CuCu?
)()(
0
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)2()1()()(
!
)1()1(
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莱布尼兹公式例 10,,)20(22 yexy x 求设?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
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22
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1920
22202
218
2192220
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)9520(2 2220 xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx )1()1()()4( )(?
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nn
x
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)2s i n ()( s i n)2( )( nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( aaaa nxnx xnx ee?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 11,,11 )5(2 yxy 求设
解 )1111(21112 xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( xxy
])1( 1)1( 1[60 66 xx
三、小结高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf
求,)(af
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf
)( xg 不一定存在 故用定义求 )(af
)(af ax afxfax )()(lim 0)( af
ax
xf
ax?
)(li m
)]()()(2[l i m xgaxxgax )(2 ag?
一,填空题：
1,设
t
e
t
y
s i n
则 y =__ __ __ ___,
2,设
xy t an?
,则 y = ___ __ ___ _.
3,设 xxy a rcta n)1(
2
,则 y = _ ___ __ __.
4,设
2
x
xey?,则 y = ___ __ ___ _.
5,设 )(
2
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存在，则
y
= __ ___ __ __,
6,设
6
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7,设
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1
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21
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf
,
则 )(
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练 习 题二,求下列函数的二阶导数,
1,
x
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y
42
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；
2,xxy lnco s
2；
3,)1l n (
2
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三,试从
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1
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1,
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四、验证函数 xx ececy 21 (?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 yy?,
五,下列函数的 n 阶导数,
1,xey
x
co s? ；
2,
x
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1
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3,
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4,xxxy 3s i n2s i ns i n?,
一,1,te
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； 2,xx t a ns e c2
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5,)(4)(2
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7,!n ； 8,)!1(?n,
二,1,
3
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ln2c o s2
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练习题答案五,1,)
4
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例 1 ).0(),0(,a r ct a n ffxy 求设解 21 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx
))1( 2( 22 x xy 322
)1(
)13(2
x
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42
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x
xxxx
例 9,),,(s in )( nax ybabxey 求为常数设?
解 bxbebxaey axax c o ss in
)c o ss in( bxbbxae ax
)a r ct a n()s i n (22 abbxbae ax
)]c o s ()s in ([22 bxbebxaebay axax
)2s in (2222 bxbaeba ax
)s i n ()( 222)( nbxebay axnn )a r ct a n( ab
例 12,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设
解 3232 )( c o s)( s i n xxy
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).24co s (483)( nxy nn
