高 等 数 学问题? x d x2c o s,2s i n Cx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx
x d x2c o s dtt c os21 Ct s i n21,2s i n21 Cx
一、第一类换元法在一般情况下：
设 ),()( ufuF 则,)()( CuFduuf
如果 )( xu （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([
CxFdxxxf )]([)()]([
由此可得换元法定理证明,条件
)()('
)
ufuF
xu
结论
CuFduuf ))( （
设 )( uf 具有原函数，
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
dxxg )( 化为,)()]([ dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu 可导，
则有换元公式定理 1
例 1 求,2si n? xdx
解 （一）? x d x2s in )2(2s i n21 xxd;2c os21 Cx
解 （二）? x d x2s in x d xx c o ss i n2
)( s i ns i n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 （三）? x d x2s in x d xx c o ss i n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
大家可以看到三种解法的结果因方法的不同而形式上不同，但在实质上是相同的，即它们的导数均是 sin2x.
例 2 求,23 1 dxx
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21
.23ln21 Cx
dxbaxf )( baxuduufa ])([1一般地
)23(23 121 xdx
例 3 求,)ln21(
1 dx
xx
解 dxxx )ln21( 1 )( l n
ln21
1 xd
x
)ln21(ln21 121 xdx
xu ln21
duu121 Cu ln21,ln21ln
2
1 Cx
例 4 求,)1( 3 dxxx
解 dxxx 3)1( dxx
x?
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx
221 )1(2
1
1
1 C
xCx
.)1(2 11 1 2 Cxx
例 5 求,1 22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
a
x
d
a
xa
2
1
11
.ar c t an1 Caxa
例 8 求
22 xa dx
解：
22 xa dx
2)(1
1
a
x
dx
a
2
)(1
a
x
a
x
d
c
a
x a r c s in
例 6 求,25812 dxxx
解 dxxx 25812 dxx 9)4(
1
2
dx
x
1
3
4
1
3
1
22
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a r c t a n31 Cx
例 7 求,1 1 dxe x
解 dxe x1 1 dxe
ee
x
xx
11
dxee x
x
11 dxeedx x
x
1
)1(1 1 xx ededx
.)1l n ( Cex x
例 8 求,)11(
1
2 dxex
xx
解,
111
2xxx
dxex xx
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx,1 Ce xx
例 9 求,1232 1 dxxx
原式dxxxxx xx 12321232 1232
dxxdxx 12413241
)12(1281)32(3281 xdxxdx
,1212132121 33 Cxx
例 10 求解
.c os1 1 dxx
dxxc os1 1
dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
dxxx2c os1 c os1 dxx x2s i nc os1
)( s i ns i n 1s i n 1 22 xdxdxx
.s i n1c ot Cxx
例 11 求解
.coss i n 52 xdxx
xdxx 52 c o ss i n )( s i nco ss i n 42 xxdx
)( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
)( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,
例 12 求解
.2co s3co s? xdxx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA
),5c os( c o s212c os3c os xxxx
dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5s i n101s i n21 Cxx
例 13 求解 （一） dxxs in1
.csc? xdx
xdxc sc
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
2
2
cos
2
t an
1
2
x
d
xx
2
t an
2
t an
1 x
d
x
Cx
2
t a nln,c o tc s cln Cxx
c t g xx
x
x
xx
xx
x
x
x
c s c
s i n
c o s1
2
s i n
2
c o s2
2
s i n
2
s i n2
2
c o s
2
s i n
2
t a n:注解 （二） dxxs in1? xdxc sc dxxx2s i ns i n
)( c osc os1 1 2 xdxxu c o s?
duu 21 1 duuu 1 11 121
Cuu 11ln21,c os1 c os1ln21 Cxx
类似地可推出,)t anl n ( s ecs ec Cxxxd x
问题?1 25 dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx sin?,c o s td tdx
dxxx 25 1 t d ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
设 )( tx 是单调的、可导的函数，
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
则有换元式并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
定理 2
证明,条件 结论的原函数为设 )()]([)( ' ttft
0)(' t?并且
)()()]([)( xtdtttfdxxf
Cx )]([ 1?
CxFdxxf )()(
)]([)( 1 xxF
则 dxdtdtdxF )( )()]([ ttf
)(
1
t
)(1 x )( tx ·,
)]([ tf
).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 21 求
dxxa 22
解,求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式 22 xa?
1c o ss i n 22 tt
来化去根式。
,
22
,s i n ttax设 那么
taaxa 22222 s i n,c o s ta?
,c os t dtadx?
，所以积分化为于是根式化成了三角式
dxxa 22 c o sc o s t d tata t dta 22 c os
cttt d t
4
2s i n
2
c o s 2
dxxa 22 故
ctta )
4
2s i n
2
(2
cttata co ss i n
22
22
所以由于,
22
,s i n ttax
a
xt a r c s in?
tt 2s i n1c o s
2
1?
a
x
a
xa 22
于是所求积分为
dxxa 22
cxax
a
xa 222
2
1ar cs i n
2
cttata co ss i n22
22
例 16 求解
).0(1 22 adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c
dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1
tdts e c Ctt t a ns e cln
t a
x22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x?
2,2t
Ctt t a ns e cln
例 18 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t tdttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttat an t ans e c
tdts e c Ctt t a ns e cln
t a
x 22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x
例 17 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? tdtdx c os2 2,2t
dxxx 23 4 t d ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )c o s51c o s31(32 53t2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa?可令 ;s in tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用 双曲代换,
1s i n hco sh 22 tt?
taxtax c o s h,s i n h 也可以化掉根式
td tadx c o sh?
dxax 221 dtta ta c os hc os h Ctdt
Caxar s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x?
例 中,令 dxax 221 tax s in h?
积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
说明 (3)
例 19 求 dxx
x?
2
5
1 （三角代换很繁琐）
21 xt令,122 tx,td txdx?
dxxx 2
5
1
tdt
t
t 22 1
dttt 12 24
Cttt 35 3251,1)348(151 242 Cxxx
解
,dtxtdx?
例 20 求解
.1 1 dxe x
xet 1令,12 te x
,122 dtt tdx
dxe x1 1 dt
t 1
2
2 dttt
1
1
1
1
Ctt 11ln
,11ln2 Cxe x
,1ln 2 tx
dtt tt 121 2
,11ln 2 C
e
e
x
x
说明 (4) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx?
例 21 求 dxxx )2(
1
7
令 tx 1?,12 dttdx
dxxx )2( 17
dt
t
t
t
27
1
2
1?
dtt
t
7
6
21
Ct |21|ln141 7
解
)21(21 1141 77 tdt
C
x
|121|ln
14
1 7
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx?
n
例 23 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dttt 2
2
1
116
dtt 21 116
Ctt ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx
基本积分表;c o slnt a n)16( Cxx d x;s i nlnc o t)17( Cxx d x;ta ns e clns e c)18( Cxxx d x;c o tc s clnc s c)19( Cxxx d x;ar c t an11)20( 22 Caxadxxa;ln
2
11)22(
22 Cxa
xa
a
dx
xa
;arcs i n1)23( 22 Caxdxxa
.ln1)24( 22
22
Caxxdx
ax
;ln
2
11)21(
22 Cax
ax
a
dx
ax
三、小结两类积分换元法：
（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换基本积分表 (2)
思考题求积分,)1( l n)ln( dxxxx p
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln(
dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p
1,lnln
1,
1
)ln(
1
pCxx
pC
p
xx
p
一,填空题：
1,若 CxFdxxf
)()( 而 )( xu 则
duuf )( _ ____ ______ __ __ ；
2,求 )0(
22
adxax 时，可作变量代换 _ ______
_ ______ __ _____,然后再求积分；
3,求?
dx
xx
2
1
1
时可先令?x ______ _ __ ；
4,
dxx
____ _ )1(
2
xd? ；
5,?
dxe
x
2 ___ )1( 2
x
ed
；
6,?
x
dx
____ )ln53( xd? ；
练 习 题
7,
2
91 x
dx
= ___ _ )3a r c t a n( xd ；
8,?
2
1 x
xdx
____ )1(
2
xd? ；
9,dt
t
tsin
____ ________ _____ ；
10,
22
2
xa
dxx
____ ________ ___,
二,求下列不定积分,（第一类换元法）
1,?
dx
xa
xa ； 2,?
)ln(lnln xxx
dx ；
3,
2
2
1
.1t a n
x
x d x
x ； 4,
xx
ee
dx；
5,
dxxx
32
1 ； 6,
dx
x
xx
4
s i n1
co ss i n；
7,
dx
xx
xx
3
c o ss i n
c o ss i n； 8,
dx
x
x
2
49
1；
9,?
dx
x
x
2
3
9； 10,
)4(
6
xx
dx；
11,?
dx
xx
x
)1(
a rcta n； 1 2,
dx
xex
x
x
)1(
1；
13,?
dx
x
x
2
a r cc o s2
1
10； 14,? dx
xx
x
s i nco s
ta nln
.
三,求下列不定积分,（第二类换元法）
1,
2
1 xx
dx；
2,
32
)1( x
dx；
3,?
x
dx
21；
4,?
dx
xa
x
x
2；
5,设? x d x
n
ta n,求证：
2
1
ta n
1
1
n
n
n
Ix
n
I,并求
x d x
5
ta n
.
练习题答案一,1,CuF?)( ; ； 2,tax s e c? 或 tax c s c? ；
3,
t
1； 4,
2
1； 5,-2 ； 6,
5
1；
7,
3
1； 8,? ； 9,Ct?co s2 ；
10,Cxa
a
x
a
xa
)(a rc s i n
2
22
2
2
.
二,1,Cxa
a
x
a
22
a rcs i n ； 2,Cx?lnlnln ；
3,Cx )1l n (c o s
2； 4,Ce
x
a r c t a n ；
5,Cx
2
3
3
)1(
9
2； 6,Cx?)a rct a n(s i n
2
1
2；
7,Cxx
3
2
)co s(s i n
2
3；
8,C
xx
4
49
3
2
a rcs i n
2
1
2；
9,Cx
x
)9l n (
2
9
2
2
2；
10,C
x
x
4
ln
24
1
6
6；
11,Cx?
2
)(a rcta n ；
12,Cxexe
xx
)1l n()l n( ；
13,C
x
10ln2
10
a r cco s2； 1 4,Cx?
2
)ta n(l n
2
1
.
三,1,Cxxx )]1l n([a rcs i n
2
1
2；
2,C
x
x
2
1；
3,Cxx )21l n(2 ；
4,)2(2
2
a r c s i n3
2
xaxa
a
x
a
+ Cxax
xa
)2(
2
.
练习：求
tg xxdx2c o s
解：原式
ctg x
tg x
d tg x 2
2)c o s( s i n xx dx求解：原式 =
cxc t g
x
dx
x
dx
)
4
(
2
1
)
4
(s i n
2
1
)]
4
s i n (
2
1
[
22
解例 14 设 求,,c o s)( s i n 22 xxf )(f
令 xu 2s in?,1c o s 2 ux
,1)( uuf
duuuf 1)(,21 2 Cuu
.21)( 2 Cxxxf
例 15 求解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
dx
x
x
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
)
2
( ar c s i n
2
ar c s i n
1 x
d
x?
.
2
ar cs i nln C
x
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx
x d x2c o s dtt c os21 Ct s i n21,2s i n21 Cx
一、第一类换元法在一般情况下：
设 ),()( ufuF 则,)()( CuFduuf
如果 )( xu （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([
CxFdxxxf )]([)()]([
由此可得换元法定理证明,条件
)()('
)
ufuF
xu
结论
CuFduuf ))( （
设 )( uf 具有原函数，
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
dxxg )( 化为,)()]([ dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu 可导，
则有换元公式定理 1
例 1 求,2si n? xdx
解 （一）? x d x2s in )2(2s i n21 xxd;2c os21 Cx
解 （二）? x d x2s in x d xx c o ss i n2
)( s i ns i n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 （三）? x d x2s in x d xx c o ss i n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
大家可以看到三种解法的结果因方法的不同而形式上不同，但在实质上是相同的，即它们的导数均是 sin2x.
例 2 求,23 1 dxx
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21
.23ln21 Cx
dxbaxf )( baxuduufa ])([1一般地
)23(23 121 xdx
例 3 求,)ln21(
1 dx
xx
解 dxxx )ln21( 1 )( l n
ln21
1 xd
x
)ln21(ln21 121 xdx
xu ln21
duu121 Cu ln21,ln21ln
2
1 Cx
例 4 求,)1( 3 dxxx
解 dxxx 3)1( dxx
x?
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx
221 )1(2
1
1
1 C
xCx
.)1(2 11 1 2 Cxx
例 5 求,1 22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
a
x
d
a
xa
2
1
11
.ar c t an1 Caxa
例 8 求
22 xa dx
解：
22 xa dx
2)(1
1
a
x
dx
a
2
)(1
a
x
a
x
d
c
a
x a r c s in
例 6 求,25812 dxxx
解 dxxx 25812 dxx 9)4(
1
2
dx
x
1
3
4
1
3
1
22
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a r c t a n31 Cx
例 7 求,1 1 dxe x
解 dxe x1 1 dxe
ee
x
xx
11
dxee x
x
11 dxeedx x
x
1
)1(1 1 xx ededx
.)1l n ( Cex x
例 8 求,)11(
1
2 dxex
xx
解,
111
2xxx
dxex xx
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx,1 Ce xx
例 9 求,1232 1 dxxx
原式dxxxxx xx 12321232 1232
dxxdxx 12413241
)12(1281)32(3281 xdxxdx
,1212132121 33 Cxx
例 10 求解
.c os1 1 dxx
dxxc os1 1
dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
dxxx2c os1 c os1 dxx x2s i nc os1
)( s i ns i n 1s i n 1 22 xdxdxx
.s i n1c ot Cxx
例 11 求解
.coss i n 52 xdxx
xdxx 52 c o ss i n )( s i nco ss i n 42 xxdx
)( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
)( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,
例 12 求解
.2co s3co s? xdxx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA
),5c os( c o s212c os3c os xxxx
dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5s i n101s i n21 Cxx
例 13 求解 （一） dxxs in1
.csc? xdx
xdxc sc
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
2
2
cos
2
t an
1
2
x
d
xx
2
t an
2
t an
1 x
d
x
Cx
2
t a nln,c o tc s cln Cxx
c t g xx
x
x
xx
xx
x
x
x
c s c
s i n
c o s1
2
s i n
2
c o s2
2
s i n
2
s i n2
2
c o s
2
s i n
2
t a n:注解 （二） dxxs in1? xdxc sc dxxx2s i ns i n
)( c osc os1 1 2 xdxxu c o s?
duu 21 1 duuu 1 11 121
Cuu 11ln21,c os1 c os1ln21 Cxx
类似地可推出,)t anl n ( s ecs ec Cxxxd x
问题?1 25 dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx sin?,c o s td tdx
dxxx 25 1 t d ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
设 )( tx 是单调的、可导的函数，
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
则有换元式并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
定理 2
证明,条件 结论的原函数为设 )()]([)( ' ttft
0)(' t?并且
)()()]([)( xtdtttfdxxf
Cx )]([ 1?
CxFdxxf )()(
)]([)( 1 xxF
则 dxdtdtdxF )( )()]([ ttf
)(
1
t
)(1 x )( tx ·,
)]([ tf
).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 21 求
dxxa 22
解,求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式 22 xa?
1c o ss i n 22 tt
来化去根式。
,
22
,s i n ttax设 那么
taaxa 22222 s i n,c o s ta?
,c os t dtadx?
，所以积分化为于是根式化成了三角式
dxxa 22 c o sc o s t d tata t dta 22 c os
cttt d t
4
2s i n
2
c o s 2
dxxa 22 故
ctta )
4
2s i n
2
(2
cttata co ss i n
22
22
所以由于,
22
,s i n ttax
a
xt a r c s in?
tt 2s i n1c o s
2
1?
a
x
a
xa 22
于是所求积分为
dxxa 22
cxax
a
xa 222
2
1ar cs i n
2
cttata co ss i n22
22
例 16 求解
).0(1 22 adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c
dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1
tdts e c Ctt t a ns e cln
t a
x22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x?
2,2t
Ctt t a ns e cln
例 18 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t tdttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttat an t ans e c
tdts e c Ctt t a ns e cln
t a
x 22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x
例 17 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? tdtdx c os2 2,2t
dxxx 23 4 t d ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 t d ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )c o s51c o s31(32 53t2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa?可令 ;s in tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用 双曲代换,
1s i n hco sh 22 tt?
taxtax c o s h,s i n h 也可以化掉根式
td tadx c o sh?
dxax 221 dtta ta c os hc os h Ctdt
Caxar s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x?
例 中,令 dxax 221 tax s in h?
积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
说明 (3)
例 19 求 dxx
x?
2
5
1 （三角代换很繁琐）
21 xt令,122 tx,td txdx?
dxxx 2
5
1
tdt
t
t 22 1
dttt 12 24
Cttt 35 3251,1)348(151 242 Cxxx
解
,dtxtdx?
例 20 求解
.1 1 dxe x
xet 1令,12 te x
,122 dtt tdx
dxe x1 1 dt
t 1
2
2 dttt
1
1
1
1
Ctt 11ln
,11ln2 Cxe x
,1ln 2 tx
dtt tt 121 2
,11ln 2 C
e
e
x
x
说明 (4) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换,1tx?
例 21 求 dxxx )2(
1
7
令 tx 1?,12 dttdx
dxxx )2( 17
dt
t
t
t
27
1
2
1?
dtt
t
7
6
21
Ct |21|ln141 7
解
)21(21 1141 77 tdt
C
x
|121|ln
14
1 7
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx?
n
例 23 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dttt 2
2
1
116
dtt 21 116
Ctt ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx
基本积分表;c o slnt a n)16( Cxx d x;s i nlnc o t)17( Cxx d x;ta ns e clns e c)18( Cxxx d x;c o tc s clnc s c)19( Cxxx d x;ar c t an11)20( 22 Caxadxxa;ln
2
11)22(
22 Cxa
xa
a
dx
xa
;arcs i n1)23( 22 Caxdxxa
.ln1)24( 22
22
Caxxdx
ax
;ln
2
11)21(
22 Cax
ax
a
dx
ax
三、小结两类积分换元法：
（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换基本积分表 (2)
思考题求积分,)1( l n)ln( dxxxx p
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln(
dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p
1,lnln
1,
1
)ln(
1
pCxx
pC
p
xx
p
一,填空题：
1,若 CxFdxxf
)()( 而 )( xu 则
duuf )( _ ____ ______ __ __ ；
2,求 )0(
22
adxax 时，可作变量代换 _ ______
_ ______ __ _____,然后再求积分；
3,求?
dx
xx
2
1
1
时可先令?x ______ _ __ ；
4,
dxx
____ _ )1(
2
xd? ；
5,?
dxe
x
2 ___ )1( 2
x
ed
；
6,?
x
dx
____ )ln53( xd? ；
练 习 题
7,
2
91 x
dx
= ___ _ )3a r c t a n( xd ；
8,?
2
1 x
xdx
____ )1(
2
xd? ；
9,dt
t
tsin
____ ________ _____ ；
10,
22
2
xa
dxx
____ ________ ___,
二,求下列不定积分,（第一类换元法）
1,?
dx
xa
xa ； 2,?
)ln(lnln xxx
dx ；
3,
2
2
1
.1t a n
x
x d x
x ； 4,
xx
ee
dx；
5,
dxxx
32
1 ； 6,
dx
x
xx
4
s i n1
co ss i n；
7,
dx
xx
xx
3
c o ss i n
c o ss i n； 8,
dx
x
x
2
49
1；
9,?
dx
x
x
2
3
9； 10,
)4(
6
xx
dx；
11,?
dx
xx
x
)1(
a rcta n； 1 2,
dx
xex
x
x
)1(
1；
13,?
dx
x
x
2
a r cc o s2
1
10； 14,? dx
xx
x
s i nco s
ta nln
.
三,求下列不定积分,（第二类换元法）
1,
2
1 xx
dx；
2,
32
)1( x
dx；
3,?
x
dx
21；
4,?
dx
xa
x
x
2；
5,设? x d x
n
ta n,求证：
2
1
ta n
1
1
n
n
n
Ix
n
I,并求
x d x
5
ta n
.
练习题答案一,1,CuF?)( ; ； 2,tax s e c? 或 tax c s c? ；
3,
t
1； 4,
2
1； 5,-2 ； 6,
5
1；
7,
3
1； 8,? ； 9,Ct?co s2 ；
10,Cxa
a
x
a
xa
)(a rc s i n
2
22
2
2
.
二,1,Cxa
a
x
a
22
a rcs i n ； 2,Cx?lnlnln ；
3,Cx )1l n (c o s
2； 4,Ce
x
a r c t a n ；
5,Cx
2
3
3
)1(
9
2； 6,Cx?)a rct a n(s i n
2
1
2；
7,Cxx
3
2
)co s(s i n
2
3；
8,C
xx
4
49
3
2
a rcs i n
2
1
2；
9,Cx
x
)9l n (
2
9
2
2
2；
10,C
x
x
4
ln
24
1
6
6；
11,Cx?
2
)(a rcta n ；
12,Cxexe
xx
)1l n()l n( ；
13,C
x
10ln2
10
a r cco s2； 1 4,Cx?
2
)ta n(l n
2
1
.
三,1,Cxxx )]1l n([a rcs i n
2
1
2；
2,C
x
x
2
1；
3,Cxx )21l n(2 ；
4,)2(2
2
a r c s i n3
2
xaxa
a
x
a
+ Cxax
xa
)2(
2
.
练习：求
tg xxdx2c o s
解：原式
ctg x
tg x
d tg x 2
2)c o s( s i n xx dx求解：原式 =
cxc t g
x
dx
x
dx
)
4
(
2
1
)
4
(s i n
2
1
)]
4
s i n (
2
1
[
22
解例 14 设 求,,c o s)( s i n 22 xxf )(f
令 xu 2s in?,1c o s 2 ux
,1)( uuf
duuuf 1)(,21 2 Cuu
.21)( 2 Cxxxf
例 15 求解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
dx
x
x
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
)
2
( ar c s i n
2
ar c s i n
1 x
d
x?
.
2
ar cs i nln C
x
