高 等 数 学例 xx c o ss i n xs i n 是 xcos 的原函数,
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
ò dxxf )( I,
一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 xx c o ss i n xCx c o ss i n
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
(2) 若不唯一，它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a r c t an 2xx
.a r c t an1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxxdx?,)( 2 Cxxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
Cxdxx;||ln)3( Cx
x
dx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s in Cx?
x d xs i n)7( ;c o s C
xdx 2c os)8(x d x2s e c
xdx 2s i n)9(x d x2c s c ;c o t Cx;ta n Cx?
x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
s h x d x)14( ;Cchx?
c h x d x)15( ;Cshx?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
例 5 求
3xdx
解：
dxx
x
dx
33
c
x
13
13
c
x
2
2
1
例 6 求
3 xx
dx
解：
3 xxdx dxx?
3
4
c
x
1
3
4
1
3
4
cx
3
1
3
c
x
3
3
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 7 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
例 8 求积分解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.||lna r c t a n Cxx
例 9 求积分解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
dxxx x )1( 21 22
2
dxxx xx )1(1 22
22
dxxdxx 22 1 11
.a r c t a n1 Cxx
例 10 求积分解,在这里我们要用到倍角公式
.2c os1 1 dxx
dxx2c os1 1 dxx 1c o s21 1 2
dxx2c os 121,t an21 Cx
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
1c o s22c o s 2 xx x2s in21 xx 22 s inc o s
例 11 求
x dx? 2t a n
解,基本积分表中没有这种类型的积分，先利用三角恒等式变形，然后再求积分：
xdx? 2t a n
dxx )1( s e c 2
dxx d x2s e c
cxx t a n
基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结思考题符号函数?
0,1
0,0
0,1
s gn)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),(
思考题解答不存在,
假设有原函数 )(xF?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误所以 在 内不存在原函数,),()(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数,
一,填空题：
1,一个已知的函数，有 ______ 个原函数，其中任意两个的差是一个 ______ ；
2,)( xf 的 ________ 称为 )( xf 的不定积分；
3,把 )( xf 的一个原函数 )( xF 的图形叫做函数 )( xf
的 ________,它的方程是 )( xFy?,这样不定积
dxxf )( 在几何上就表示 __ __ __ __,它的方程是
CxFy )(；
4,由 )()(
'
xfxF? 可 知,在 积 分 曲 线 族
CxFy )(
)( 是任意常数C
上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是 ______ 的；
5,若
)( xf
在某区间上 __ __ _ _,则在该区间上
)( xf
的原函数一定存在；
练习题
6,?
dxxx __ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _ _ ；
7,?
xx
dx
2
__ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ ；
8, dxxx )23(
2
__ __ __ __ __ _ __ __ _ _ ；
9, dxxx )1)(1(
3
_____ _ __ __ _ __ ；
10,?
dx
x
x
2
)1(
=_ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _,
t?￠?ó áD 2¨?y ·? ￡o
1?￠?
dx
x
x
2
2
1
2?￠ dx
x
xx
3
2532
3,? dx
x
2
co s
2
4,? dx
xx
x
22
s i nco s
2co s
5, dxxx
x
)
1
1(
2
6,?
xdx
x
xx
2
2
22
s e c
1
s i n
三、一曲线通过点 )3,(
2
e,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程,
四、证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i nhco s h
co s hs i nh,
2
1
2
都是和的原函数,
一,1,无穷多,常数； 2,全体原函数；
3,积分曲线,积分曲线族； 4,平行； 5,连续；
6,Cx?
2
5
5
2； 7,Cx
2
3
3
2；
8,Cxx
x
2
2
3
3
2
3；
9,Cxxx
x
2
3
2
53
3
2
5
2
3
,
10,Cxxx
2
5
2
3
5
2
3
4
2,
练习题答案二,1,Cxx a r c t a n ； 2,Cx
x
3ln2ln
)
3
2
(5
2 ；
3,C
xx
2
sin； Cxx )t a n( c o t.4 ；
5,C
x
x
4
2
7
)7(4； 6,
Cxa r cx c o tt a n
.
三、
Cxy ln
.
例：求 dx
xx
x?
22 sinco s
2co s
dxxx xx 22
22
s i nc o s
s i nc o s解：原式
dxxdxx 22 co s1sin 1
cxx t a nc o t
12 òa òú )( xfyú μ? ))(,( xfx ′| μ?
D D±?ê?a xx s i ns e c 2?￡ò ′ú ó? y?á μ
μa )5,0( ￡ó ′ú μ? ·? 3ì,
解,s i ns e c 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6c o st a n xxy
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
ò dxxf )( I,
一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 xx c o ss i n xCx c o ss i n
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
(2) 若不唯一，它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a r c t an 2xx
.a r c t an1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxxdx?,)( 2 Cxxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
Cxdxx;||ln)3( Cx
x
dx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s in Cx?
x d xs i n)7( ;c o s C
xdx 2c os)8(x d x2s e c
xdx 2s i n)9(x d x2c s c ;c o t Cx;ta n Cx?
x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
s h x d x)14( ;Cchx?
c h x d x)15( ;Cshx?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
例 5 求
3xdx
解：
dxx
x
dx
33
c
x
13
13
c
x
2
2
1
例 6 求
3 xx
dx
解：
3 xxdx dxx?
3
4
c
x
1
3
4
1
3
4
cx
3
1
3
c
x
3
3
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 7 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
例 8 求积分解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.||lna r c t a n Cxx
例 9 求积分解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
dxxx x )1( 21 22
2
dxxx xx )1(1 22
22
dxxdxx 22 1 11
.a r c t a n1 Cxx
例 10 求积分解,在这里我们要用到倍角公式
.2c os1 1 dxx
dxx2c os1 1 dxx 1c o s21 1 2
dxx2c os 121,t an21 Cx
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
1c o s22c o s 2 xx x2s in21 xx 22 s inc o s
例 11 求
x dx? 2t a n
解,基本积分表中没有这种类型的积分，先利用三角恒等式变形，然后再求积分：
xdx? 2t a n
dxx )1( s e c 2
dxx d x2s e c
cxx t a n
基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结思考题符号函数?
0,1
0,0
0,1
s gn)(
x
x
x
xxf
在 内是否存在原函数？为什么？ ),(
思考题解答不存在,
假设有原函数 )(xF?
0,
0,
0,
)(
xCx
xC
xCx
xF
但 )( xF 在 0?x 处不可微，故假设错误所以 在 内不存在原函数,),()(xf
结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数,
一,填空题：
1,一个已知的函数，有 ______ 个原函数，其中任意两个的差是一个 ______ ；
2,)( xf 的 ________ 称为 )( xf 的不定积分；
3,把 )( xf 的一个原函数 )( xF 的图形叫做函数 )( xf
的 ________,它的方程是 )( xFy?,这样不定积
dxxf )( 在几何上就表示 __ __ __ __,它的方程是
CxFy )(；
4,由 )()(
'
xfxF? 可 知,在 积 分 曲 线 族
CxFy )(
)( 是任意常数C
上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是 ______ 的；
5,若
)( xf
在某区间上 __ __ _ _,则在该区间上
)( xf
的原函数一定存在；
练习题
6,?
dxxx __ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _ _ ；
7,?
xx
dx
2
__ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ ；
8, dxxx )23(
2
__ __ __ __ __ _ __ __ _ _ ；
9, dxxx )1)(1(
3
_____ _ __ __ _ __ ；
10,?
dx
x
x
2
)1(
=_ __ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _,
t?￠?ó áD 2¨?y ·? ￡o
1?￠?
dx
x
x
2
2
1
2?￠ dx
x
xx
3
2532
3,? dx
x
2
co s
2
4,? dx
xx
x
22
s i nco s
2co s
5, dxxx
x
)
1
1(
2
6,?
xdx
x
xx
2
2
22
s e c
1
s i n
三、一曲线通过点 )3,(
2
e,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程,
四、证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i nhco s h
co s hs i nh,
2
1
2
都是和的原函数,
一,1,无穷多,常数； 2,全体原函数；
3,积分曲线,积分曲线族； 4,平行； 5,连续；
6,Cx?
2
5
5
2； 7,Cx
2
3
3
2；
8,Cxx
x
2
2
3
3
2
3；
9,Cxxx
x
2
3
2
53
3
2
5
2
3
,
10,Cxxx
2
5
2
3
5
2
3
4
2,
练习题答案二,1,Cxx a r c t a n ； 2,Cx
x
3ln2ln
)
3
2
(5
2 ；
3,C
xx
2
sin； Cxx )t a n( c o t.4 ；
5,C
x
x
4
2
7
)7(4； 6,
Cxa r cx c o tt a n
.
三、
Cxy ln
.
例：求 dx
xx
x?
22 sinco s
2co s
dxxx xx 22
22
s i nc o s
s i nc o s解：原式
dxxdxx 22 co s1sin 1
cxx t a nc o t
12 òa òú )( xfyú μ? ))(,( xfx ′| μ?
D D±?ê?a xx s i ns e c 2?￡ò ′ú ó? y?á μ
μa )5,0( ￡ó ′ú μ? ·? 3ì,
解,s i ns e c 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6c o st a n xxy
