高 等 数 学有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数；
naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
x
xx,
1
1
2 xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )(?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2
则分解后为 042 qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk
212
22
2
11
)()(?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x,
32 x
B
x
A
),2()3(3 xBxAx?
),23()(3 BAxBAx
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
B
A
65
3
2
xx
x,
3
6
2
5
xx
例 1
2)1(
1
xx
,1)1( 2 x Cx BxA
)1()1()1(1 2 xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1 A 取,1?x 1 B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1 C
.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx
例 2
例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx
dxxx 2)1( 1 dxxxx
1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx
解例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x?
)1)(21(
1
2xx
),21)(()1(1 2 xCBxxA
,)2()2(1 2 ACxCBxBA
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 CBA
,121 2x CBxxA
)1)(21(
1
2xx
整理得例 5 求积分解
.)1)(21( 1 2 dxxx
dx
x
x
dx
x
2
1
5
1
5
2
21
5
4
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx 22 1 1511 251)21l n(52
.a r c t a n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx
例 6 求积分解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
令 6xet?,ln6 tx,6 dttdx?
dx
eee
xxx?
6321
1
dttttt 61 1 23
dtttt )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt
21
33
1
36
Ctttt a r c t a n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
2
3)1l n(3ln6 tt dt
tt
td
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx
讨论积分,)( 2
dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx
令 tpx 2
,4
2
2 pqa,
2
MpNb则
dxqpxx NMx n)( 2
dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22
,222 atqpxx,bMtNMx记
,1)2(?n
dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 natn
M,
)(
1
22 dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1(?n dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ;2arct an Ca
px
a
b
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )c o s,( s i n xxR
2c os2s i n2s i n
xxx
2
s ec
2
tan2
2 x
x
,
2
t an1
2
t an2
2 x
x
,2s i n2c osc os 22 xxx
二、三角函数有理式的积分
2
s ec
2
t an1
cos
2
2
x
x
x
,
2
t an1
2
t an1
2
2
x
x
令 2tan xu?
,1 2s i n 2uux,11c os 2
2
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )cos,( s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
（万能置换公式）
例 7 求积分,c oss i n1 s i n dxxx x
解,1 2s i n 2uux
2
2
1
1cos
u
ux
,
1
2
2 duudx
由万能置换公式
dxxx x c o ss i n1 s i n duuu u )1)(1( 2 2
duuu uuu )1)(1( 112 2
22
duuu uu )1)(1( )1()1( 2
22
duuu 211 duu 1 1
ua r c t a n? )1l n(21 2u Cu |1|ln
2t an
xu
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2t an1|ln C
x
例 8 求积分,s in14? dxx
解（一）,2t an xu?,1 2s i n 2uux,1 2 2 duudx
dxx4s in1 duu uuu 4 642 8 331
Cuuuu ]3333 1[81
3
3,
2
t an
24
1
2
t an
8
3
2
t an8
3
2
t an24
1
3
3 C
xx
xx
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux,1 1 2 duudx
dxx4s in1
du
u
u
u
24
2
1
1
1
1
duu u 4
21
Cuu 13 1 3,c otc ot31 3 Cxx
解（三） 可以不用万能置换公式,
dxx4s in1 dxxx )cot1(cs c 22
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c )(c o t xd?
.c ot31c ot 3 Cxx
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1 dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n BABABA
dxxx xs i n3s i n s i n1 dxxx xc o s2s i n2 s i n1
dxxx x 2c oss i n4 s i n1
dxxx 2c oss i n 141 dxx2c os 141
dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1 dx
x2c os
1
4
1
dxxdxxx s i n141c oss i n41 2 dxx2c os 141
dxxxdx s i n141)( c osc os 141 2 dxx2c os 141
xcos4
1?
2t a nln4
1 x?,t an
4
1 Cx
讨论类型 ),,( n baxxR? ),,( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 dxx xx 11
解 令 tx x1,1 2tx x
三、简单无理函数的积分
,112 tx,12 22 t tdtdx
dxx xx 11 dtt ttt 222 121 12 2
2
t
dtt
dtt 1112 2 Cttt 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x?
例 11 求积分,11
1
3 dxxx
解 令 16 xt,6 5 dxdtt
dxxx 3 11 1 dtttt 523 61
dtt t 16
3
Ctttt |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213 dxxx
x
解 先对分母进行有理化原式 dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
dxxx )1213(
)13(1331 xdx )12(1221 xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1,
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其?A ____,
B ____ __ _ _,?C __ _ __ _ __ __ ；
2,
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
A
__ __ _,
B
__ __ _,
C
__ _ __ _ _ ；
3,计算?
,
s i n2 x
dx
可用万能代换?xs i n __ _ __ __ __ _ _,
dx _ _ __ __ __ _ __ __ ；
4,计算?
,
mbax
dx
令?t ___,?x __ _,?dx __ _ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ __ _ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
321 xxx
xdx； 2,
xxx
dx
22
1；
3,
dx
x
4
1
1； 4,
x
dx
2
s i n3；
5,?
5co ss i n2 xx
dx； 6,?
dx
x
x
11
11；
7,?
x
dx
x
x
1
1； 8,?
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
dx
x
x
3
1； 2,
dx
xx
x
s i n
co s1；
3,
24
1 xx
dx； 4,
dx
x
x
3
2
co s
sin；
5,
dx
x
x
28
3
)1(； 6,dx
x
x
sin1
sin；
7,
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9, dxxx
22
)]1[l n( ； 10,
xdxx a rcs i n1
2；
11,dx
xx
xx
co ssin
co ssin； 12,
))(( xbax
dx
.
二,1,C
xx
x
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2,Cx
xx
x
a rc ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3,)12a rcta n(
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
x
xx
xx
C )12a r ct a n (
4
2；
一,1,2,1,1? ； 2,-1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
；
4,bax?,
a
bt?2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4,C
x
3
ta n2
a rc ta n
32
1；
5,C
x
5
1
2
ta n3
a rcta n
5
1；
6,Cxxx )11l n(414 ；
7,
xx
xx
11
11
ln C
x
x
1
1
a r c t a n2,或
Cx
x
x
a rcs i n
11
ln
2；
8,C
x
x
3
1
1
2
3
.
三,1,C
xx
1
1
)1(2
1
2；
2,Cxx )s i nl n ( ；
3,C
x
x
x
x
2
3
32
1
3
)1(；
4,Cxx
x
x
)ta nl n( s ec
2
1
co s2
s i n
2；
5,Cx
x
x
4
8
4
a rct a n
8
1
)1(8；
6,Cx
x
2
ta n1
2
,或
Cxxx t a ns e c；
7,C
x
x
66
)1(
ln ；
8,Ce
e
xe
x
x
x
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
2)1l n(12
)]1[l n
22
22；
10,xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
C
x
4
2；
11,C
x
x
xx?
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s(s i n
2
1；
12,C
xb
ax
a r c ta n2,
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数；
naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn?这有理函数是 真分式 ；
,)2( mn?这有理函数是 假分式 ；
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
x
xx,
1
1
2 xx
难点 将有理函数化为部分分式之和,
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )(?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21? 都是常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
（ 2）分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2
则分解后为 042 qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk
212
22
2
11
)()(?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x,
32 x
B
x
A
),2()3(3 xBxAx?
),23()(3 BAxBAx
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
B
A
65
3
2
xx
x,
3
6
2
5
xx
例 1
2)1(
1
xx
,1)1( 2 x Cx BxA
)1()1()1(1 2 xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1 A 取,1?x 1 B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1 C
.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx
例 2
例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx
dxxx 2)1( 1 dxxxx
1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx
解例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x?
)1)(21(
1
2xx
),21)(()1(1 2 xCBxxA
,)2()2(1 2 ACxCBxBA
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 CBA
,121 2x CBxxA
)1)(21(
1
2xx
整理得例 5 求积分解
.)1)(21( 1 2 dxxx
dx
x
x
dx
x
2
1
5
1
5
2
21
5
4
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx 22 1 1511 251)21l n(52
.a r c t a n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx
例 6 求积分解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
令 6xet?,ln6 tx,6 dttdx?
dx
eee
xxx?
6321
1
dttttt 61 1 23
dtttt )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt
21
33
1
36
Ctttt a r c t a n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
2
3)1l n(3ln6 tt dt
tt
td
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A? ;)()3( 2 nqpxx NMx
讨论积分,)( 2
dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx
令 tpx 2
,4
2
2 pqa,
2
MpNb则
dxqpxx NMx n)( 2
dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22
,222 atqpxx,bMtNMx记
,1)2(?n
dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 natn
M,
)(
1
22 dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1(?n dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ;2arct an Ca
px
a
b
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )c o s,( s i n xxR
2c os2s i n2s i n
xxx
2
s ec
2
tan2
2 x
x
,
2
t an1
2
t an2
2 x
x
,2s i n2c osc os 22 xxx
二、三角函数有理式的积分
2
s ec
2
t an1
cos
2
2
x
x
x
,
2
t an1
2
t an1
2
2
x
x
令 2tan xu?
,1 2s i n 2uux,11c os 2
2
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )cos,( s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
（万能置换公式）
例 7 求积分,c oss i n1 s i n dxxx x
解,1 2s i n 2uux
2
2
1
1cos
u
ux
,
1
2
2 duudx
由万能置换公式
dxxx x c o ss i n1 s i n duuu u )1)(1( 2 2
duuu uuu )1)(1( 112 2
22
duuu uu )1)(1( )1()1( 2
22
duuu 211 duu 1 1
ua r c t a n? )1l n(21 2u Cu |1|ln
2t an
xu
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2t an1|ln C
x
例 8 求积分,s in14? dxx
解（一）,2t an xu?,1 2s i n 2uux,1 2 2 duudx
dxx4s in1 duu uuu 4 642 8 331
Cuuuu ]3333 1[81
3
3,
2
t an
24
1
2
t an
8
3
2
t an8
3
2
t an24
1
3
3 C
xx
xx
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux,1 1 2 duudx
dxx4s in1
du
u
u
u
24
2
1
1
1
1
duu u 4
21
Cuu 13 1 3,c otc ot31 3 Cxx
解（三） 可以不用万能置换公式,
dxx4s in1 dxxx )cot1(cs c 22
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c )(c o t xd?
.c ot31c ot 3 Cxx
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1 dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n BABABA
dxxx xs i n3s i n s i n1 dxxx xc o s2s i n2 s i n1
dxxx x 2c oss i n4 s i n1
dxxx 2c oss i n 141 dxx2c os 141
dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1 dx
x2c os
1
4
1
dxxdxxx s i n141c oss i n41 2 dxx2c os 141
dxxxdx s i n141)( c osc os 141 2 dxx2c os 141
xcos4
1?
2t a nln4
1 x?,t an
4
1 Cx
讨论类型 ),,( n baxxR? ),,( n ecx baxxR
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 dxx xx 11
解 令 tx x1,1 2tx x
三、简单无理函数的积分
,112 tx,12 22 t tdtdx
dxx xx 11 dtt ttt 222 121 12 2
2
t
dtt
dtt 1112 2 Cttt 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x?
例 11 求积分,11
1
3 dxxx
解 令 16 xt,6 5 dxdtt
dxxx 3 11 1 dtttt 523 61
dtt t 16
3
Ctttt |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213 dxxx
x
解 先对分母进行有理化原式 dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
dxxx )1213(
)13(1331 xdx )12(1221 xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx
简单无理式的积分,
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1,
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其?A ____,
B ____ __ _ _,?C __ _ __ _ __ __ ；
2,
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
A
__ __ _,
B
__ __ _,
C
__ _ __ _ _ ；
3,计算?
,
s i n2 x
dx
可用万能代换?xs i n __ _ __ __ __ _ _,
dx _ _ __ __ __ _ __ __ ；
4,计算?
,
mbax
dx
令?t ___,?x __ _,?dx __ _ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ __ _ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
321 xxx
xdx； 2,
xxx
dx
22
1；
3,
dx
x
4
1
1； 4,
x
dx
2
s i n3；
5,?
5co ss i n2 xx
dx； 6,?
dx
x
x
11
11；
7,?
x
dx
x
x
1
1； 8,?
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
dx
x
x
3
1； 2,
dx
xx
x
s i n
co s1；
3,
24
1 xx
dx； 4,
dx
x
x
3
2
co s
sin；
5,
dx
x
x
28
3
)1(； 6,dx
x
x
sin1
sin；
7,
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9, dxxx
22
)]1[l n( ； 10,
xdxx a rcs i n1
2；
11,dx
xx
xx
co ssin
co ssin； 12,
))(( xbax
dx
.
二,1,C
xx
x
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2,Cx
xx
x
a rc ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3,)12a rcta n(
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
x
xx
xx
C )12a r ct a n (
4
2；
一,1,2,1,1? ； 2,-1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
；
4,bax?,
a
bt?2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4,C
x
3
ta n2
a rc ta n
32
1；
5,C
x
5
1
2
ta n3
a rcta n
5
1；
6,Cxxx )11l n(414 ；
7,
xx
xx
11
11
ln C
x
x
1
1
a r c t a n2,或
Cx
x
x
a rcs i n
11
ln
2；
8,C
x
x
3
1
1
2
3
.
三,1,C
xx
1
1
)1(2
1
2；
2,Cxx )s i nl n ( ；
3,C
x
x
x
x
2
3
32
1
3
)1(；
4,Cxx
x
x
)ta nl n( s ec
2
1
co s2
s i n
2；
5,Cx
x
x
4
8
4
a rct a n
8
1
)1(8；
6,Cx
x
2
ta n1
2
,或
Cxxx t a ns e c；
7,C
x
x
66
)1(
ln ；
8,Ce
e
xe
x
x
x
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
2)1l n(12
)]1[l n
22
22；
10,xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
C
x
4
2；
11,C
x
x
xx?
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s(s i n
2
1；
12,C
xb
ax
a r c ta n2,
