高 等 数 学问题dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvv
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式一、基本内容例 1 求积分,co s? xdxx
解（一） 令,c o s xu?
2
2
1 dxx d xdv
xdxx co s xdxxxx s i n2cos2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu?,
解（二） 令,xu? xdx d xdv s i nc o s
xdxx co s xxd s i n xdxxx s i ns i n
.c oss i n Cxxx
x d xdu s in则
dxdu?
2
2
1 xv?则
xv s in?
2
21c os xxd
.duvuvu d v
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu?
,xx dedxedv
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）
,xu? dxedv x?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
xevx dxdu 2 则
dxdu?则 xev?
xdex 2
例 3 求积分,a rct a n? xdxx
解 令,a r c t a n xu?
2
2x
dx d xdv
x d xx a rct a n )( arct an2arct an2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a rct an2
dxxxx )1 11(21arct an2 2
2
.)arct an(21arct an2
2
Cxxxx
dxxdu 21 1则
2
2x
v?
例 4 求积分,ln3? x d xx
解,ln xu?
,
4
4
3 xddxxdv
x d xx ln3 dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,u
dx
x
du 1?则 4
4x
v?
例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解? dxx )s i n ( l n )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
dxxxxxx 1)c o s ( l n)s i n( l n
)][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
dxx )s i n ( l n,)]c os ( l n)[ s i n( l n2 Cxxx
dxxxx )c o s ( l n)s i n ( l n
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解? xdxe x s in xxdes in
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n xx x d exe c o ss i n
)c o sc o s(s i n xdexexe xxx
xdxexxe xx s i n)c o s( s i n
xdxe x s i n,)cos( s i n2 Cxxe
x
注意循环形式例 8 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe?,求 dxxfx )(,
解 dxxfx )( )( xxdf,)()( dxxfxxf
,)( 2 Cedxxf x ),()( xfdxxf
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex,2 Ce x
合理选择,正确使用分部积分公式
vu?,
dxvuuvdxvu
二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，
应注意什么？
思考题解答注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例? xdxe x c o s
第一次时若选 xu c o s1?
xdxe x c o s dxxexe xx s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2?
一、填空题：
1,xdxx s i n ____ ___ __ __ ___ __ ；
2,xdxa rc s i n ____ ___ __ __ ___ _ ；
3,计算? xdxx ln
2
,?u可设 _____,?dv ___ __ __ _ ；
4,计算?
x d xe
x
co s,?u可设 __ _ _,?dv __ ___ __ _ ；
5,计算? x d xx a rcta n
2
，
u可设
____,
dv
__ ___ _ ；
6,计算 dxxe x,?u可设 __ __ _ _,?dv __ _ __ __ __ _,
二,求下列不定积分：
1,? dx
x
x
2
co s 22 ； 2,? dx
x
x
2
3)(l n；
练 习 题
3,? nx d xe
ax
co s ； 4,? dxe
x3；
5,? dxx )co s (l n ； 6,?
dx
x
xe
x
2
3
2
ar c t an
)1(
,
三,已知
x
xs i n
是 )( xf 的原函数，求? dxxxf )(
'
.
四,设 CxFdxxf )()(,)( xf 可微，且 )( xf 的反函数 )(
1
xf
存在，则
CxfFxxfdxxf )()()( 111,
一,1,Cxxx s i nc o s ；
2,Cxxx 21a r c s i n ；
3,dxxx 2,ln ； 4,,xe? xdxc o s ；
5,dxxx 2,a rct a n ； 6,dxex x?,.
二,1,Cxxxxx
x
s i nc o ss i n
2
1
6
2
3；
2,Cxxx
x
]6ln6)(l n3)[(l n
1
23；
3,Cnxnnxa
na
e
ax
)sinc o s(
22
4,Cxxe
x
)22(3
33 2
3；
练习题答案
5,Cxx
x
)]s i n (l n)[c o s (l n
2；
6,Ce
x
x
x
a r ct a n
2
12
1；
7,Cexe
x
ex
xx
x
2
2
.
三,C
x
x
x
sin2
co s,
例 7 求积分,1arct an 2 dxx xx
解,11 22 xxx
dxx xx 21arct an 21a rct a n xxd
)( arct an1arct an1 22 xdxxx
dxxxxx 222 1 11a r c t a n1
dxxxx 22 1 1arct an1
令 tx ta n?
dxx 21 1?
tdtt
2
2 s ect an1
1 td ts ec
Ctt )t a nl n ( s e c Cxx )1l n( 2
dxx xx 21arct an
xx a r c t a n1 2,)1l n( 2 Cxx
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu? 和 )( xvv? 具有连续导数,
,vuvuuv,vuuvv
,dxvuuvdxvu,duvuvu d v
分部积分公式一、基本内容例 1 求积分,co s? xdxx
解（一） 令,c o s xu?
2
2
1 dxx d xdv
xdxx co s xdxxxx s i n2cos2
22
显然,选择不当,积分更难进行,vu?,
解（二） 令,xu? xdx d xdv s i nc o s
xdxx co s xxd s i n xdxxx s i ns i n
.c oss i n Cxxx
x d xdu s in则
dxdu?
2
2
1 xv?则
xv s in?
2
21c os xxd
.duvuvu d v
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu?
,xx dedxedv
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法）
,xu? dxedv x?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )u
xevx dxdu 2 则
dxdu?则 xev?
xdex 2
例 3 求积分,a rct a n? xdxx
解 令,a r c t a n xu?
2
2x
dx d xdv
x d xx a rct a n )( arct an2arct an2
22
xdxxx
dxxxxx 2
22
1
1
2a rct an2
dxxxx )1 11(21arct an2 2
2
.)arct an(21arct an2
2
Cxxxx
dxxdu 21 1则
2
2x
v?
例 4 求积分,ln3? x d xx
解,ln xu?
,
4
4
3 xddxxdv
x d xx ln3 dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,u
dx
x
du 1?则 4
4x
v?
例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解? dxx )s i n ( l n )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
dxxxxxx 1)c o s ( l n)s i n( l n
)][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
dxx )s i n ( l n,)]c os ( l n)[ s i n( l n2 Cxxx
dxxxx )c o s ( l n)s i n ( l n
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解? xdxe x s in xxdes in
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n xx x d exe c o ss i n
)c o sc o s(s i n xdexexe xxx
xdxexxe xx s i n)c o s( s i n
xdxe x s i n,)cos( s i n2 Cxxe
x
注意循环形式例 8 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe?,求 dxxfx )(,
解 dxxfx )( )( xxdf,)()( dxxfxxf
,)( 2 Cedxxf x ),()( xfdxxf
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex,2 Ce x
合理选择,正确使用分部积分公式
vu?,
dxvuuvdxvu
二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，
应注意什么？
思考题解答注意前后几次所选的 应为同类型函数,u
例? xdxe x c o s
第一次时若选 xu c o s1?
xdxe x c o s dxxexe xx s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2?
一、填空题：
1,xdxx s i n ____ ___ __ __ ___ __ ；
2,xdxa rc s i n ____ ___ __ __ ___ _ ；
3,计算? xdxx ln
2
,?u可设 _____,?dv ___ __ __ _ ；
4,计算?
x d xe
x
co s,?u可设 __ _ _,?dv __ ___ __ _ ；
5,计算? x d xx a rcta n
2
，
u可设
____,
dv
__ ___ _ ；
6,计算 dxxe x,?u可设 __ __ _ _,?dv __ _ __ __ __ _,
二,求下列不定积分：
1,? dx
x
x
2
co s 22 ； 2,? dx
x
x
2
3)(l n；
练 习 题
3,? nx d xe
ax
co s ； 4,? dxe
x3；
5,? dxx )co s (l n ； 6,?
dx
x
xe
x
2
3
2
ar c t an
)1(
,
三,已知
x
xs i n
是 )( xf 的原函数，求? dxxxf )(
'
.
四,设 CxFdxxf )()(,)( xf 可微，且 )( xf 的反函数 )(
1
xf
存在，则
CxfFxxfdxxf )()()( 111,
一,1,Cxxx s i nc o s ；
2,Cxxx 21a r c s i n ；
3,dxxx 2,ln ； 4,,xe? xdxc o s ；
5,dxxx 2,a rct a n ； 6,dxex x?,.
二,1,Cxxxxx
x
s i nc o ss i n
2
1
6
2
3；
2,Cxxx
x
]6ln6)(l n3)[(l n
1
23；
3,Cnxnnxa
na
e
ax
)sinc o s(
22
4,Cxxe
x
)22(3
33 2
3；
练习题答案
5,Cxx
x
)]s i n (l n)[c o s (l n
2；
6,Ce
x
x
x
a r ct a n
2
12
1；
7,Cexe
x
ex
xx
x
2
2
.
三,C
x
x
x
sin2
co s,
例 7 求积分,1arct an 2 dxx xx
解,11 22 xxx
dxx xx 21arct an 21a rct a n xxd
)( arct an1arct an1 22 xdxxx
dxxxxx 222 1 11a r c t a n1
dxxxx 22 1 1arct an1
令 tx ta n?
dxx 21 1?
tdtt
2
2 s ect an1
1 td ts ec
Ctt )t a nl n ( s e c Cxx )1l n( 2
dxx xx 21arct an
xx a r c t a n1 2,)1l n( 2 Cxx
