积分法原 函 数选择
u
有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容
1、原函数如果在区间 I 内，可导函数 )( xF 的导函数为
)( xf,即 Ix,都 有 )()( xfxF 或
dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf 或
dxxf )( 在区间 I 内原函数,
定义原函数存在定理如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,使 Ix,都有
)()( xfxF,
即,连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义在区间 I 内，函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数称为 )( xf 在区间 I 内的 不定积分,记为? dxxf )(,
CxFdxxf )()(
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
dxxgxf )]()([1 0 dxxgdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
dxxkf )(2 0? dxxfk )( （ k 是常数,)0?k
(3) 不定积分的性质
)()( xfdxxfdxd dxxfdxxfd )(])([
CxFdxxF )()( CxFxdF )()(
3、基本积分表
kCkxkdx ()1( 是常数 )
)1(1)2(
1
Cxdxx
Cxxdx ln)3(
dxx 21 1)4( Cx?a r c t a n
dxx 21 1)5( Cx?a rc s in
xdxc o s)6( Cx?sin
x d xs i n)7( Cx cos
xd xx t ans e c)10( Cx?sec
xdxx c o tc s c)11( Cx csc
dxe x)12( Cex?
xdx2c o s)8(xdx2s e c Cx?tan
xdx2si n)9(xdx2c s c Cx co t
dxa x)13( Caa
x?
ln
Cxxdx c oslnt an)16(
Cxxdx s i nlnc ot)17(
Cxxxdx )t anl n ( s e cs e c)18(
Cxxxdx )c otl n ( c s cc s c)19(
Caxadxxa a r c t a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ln2 11)22( 22
Caxdxxa a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
)ln (
1)24(
22
22
Cax axadxax ln2 11)21( 22Cxsh)14(?xdx ch
xdx Cxch)15( sh
5、第一类换元法
4、直接积分法定理 1 设 )( uf 具有原函数,)( xu 可导，
则有换元公式
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法,;)(.1 1 dxxxf nn? ;)(.2 dxxxf;)(l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( si n.5 x d xxf ;)(.6 dxaaf xx
常见类型,;s ec)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )(a r c ta n.8 2 dxx xf?
6、第二类换元法定理 设 )( tx 是单调的、可导的函数，并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
则有换元公式
)()()]([)( xtdtttfdxxf
其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
第二类换元公式常用代换,
.,)(.1 Rbatx
.s i n,)(
.2
22 taxxaxf 令如三角函数代换
.,)(
.3
22 a s h txxaxf 令如双曲函数代换
.1.4 tx?令倒置代换
7、分部积分法分部积分公式
dxvuuvdxvu
duvuvu d v
8.选择 u的有效方法,LIATE选择法
L----对数函数； I----反三角函数；
A----代数函数； T----三角函数；
E----指数函数； 哪 个在前哪个选作 u.
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分定义 两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数； naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
真分式化为部分分式之和的 待定系数法四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA d x ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn;a r c ta n
ln
2
.3
4
2
4
2
2
2
22
C
q
x
q
N
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
p
p
p
Mp
dxqpxx Nqpxx dxpxMdxqpxx NMx nMpnn )()( )2(2)(.4 2 222
此两积分都可积,后者有递推公式令 2ta n xu?
21
2s i n
u
ux
2
2
1
1cos
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
（ 2） 三角函数有理式的积分定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )c o s,( s i n xxR
（ 3） 简单无理函数的积分讨论类型,),( n baxxR? ),( n ecx baxxR
解决方法,作代换去掉根号．;n ecx baxt令 ;n baxt令二、典型例题例 1
dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式解
.49 32 dxxx
xx
求
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
1
2
3ln
1
2t
dt
dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
tx?)23(令例 2
解
.c o s1 )s i n1( dxx xe
x
求
dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[( xx dexxde )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
dxx xx求
]5)1[l n ( 2 xx?
,1 1 2x
]5)1[l n (5)1l n ( 22 xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx
)12 21(11 22 xxxx
例 4
解
.1122 dxxx x求
,1tx?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
原式
dttt 211
222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt 21a r c s in
.1a r c si n1
2
Cxxx
(倒代换 )
例 5
解
.
1 632
xxx
eee
dx求
,6 te x?令,ln6 tx?,6 dttdx?
dttttt 61 1 23原式 dtttt )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt?
设
)1()()1()1)(1(6 22 ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 DCBA
dttttt )1 331 36( 2原式
Ctttt a r c ta n3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
例 6
解
.)1l n(ar c t an 2 dxxxx求
dxxx )1l n ( 2 )1()1l n (21 22 xdx
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx
]21)1l n ()1(`21[a r c ta n 222 xxxxd原式
xxxx a r c ta n])1l n ()1[(`21 222
dxxxx ]1)1[ln (21 2
2
2
例 7
解
.)2( 10 xx dx求
)2( 1010
9
xx
dxx原式?
)2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx )]2l n ([l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx
.
2
)1l n (
2
]3)1l n ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
例 8
解
.
)1()1(3 42 xx
dx求
.)1()11()1()1( 23 43 42 xxxxx?
,11 xxt令,)1( 2 2 dxxdt则有
原式
2
3 4 )1()
1
1
( x
x
x
dx
dtt 3
4
2
1
Ct 3
1
2
3,
1
1
2
3 3 C
x
x?
例 9
解
.c o s1 s i n dxxxx求
dx
x
xx
x
2
c o s2
2
c o s
2
s i n2
2
原式
dxxdxxx
2
ta n
2
c o s2 2
dxxdxxxx 2ta n2ta n2ta n
.2ta n Cxx
例 10
解
dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
dxxf xfxfxf xf求
dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf
例 11
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf?设
,
1,
11,1
1,
)(
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在xf? ).( xF则必存在原函数须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
,211 12 CC即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
,121 23 CC即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ＋可得
,1 CC?联立并令一,选择题：
1,设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不同的原函数，且 0)(?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF )()(
21；
（ B ） CxFxF )()(
21；
（ C ） )()(
21
xCFxF? ；
（ D ） CxFxF )()(
21
.
2,若,)()(
'
xfxF? 则
)( xdF = （ ）
（ A ） )( xf ； （ B ） )( xF ；
（ C ）
Cxf?)(； （ D ）
CxF?)(
.
测 验 题
3,)( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ） CBA,,都不对,
5,函数
2
)()( xxxf 的一个原函数?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx?,
6,已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2,
21 yx 时且
,这个函数是 （ ）
（ A ）;
2
Cxy
（ B ）;1
2
xy
（ C ） C
x
y
2
2;
（ D ）
.1 xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
dxe
x
2； （ B ）
3
1 x
dx；
（ C ）
dx
xln
1； （ D ）
dx
x
xln
.
8,
,)()( CxFdxxf 且,batx 则
dttf )( （ ）
（ A ） CxF?)( ；
（ B ）
CtF?)(;
（ C ） CbatF
a
)(
1;
（ D ）
CbatF )(
,
9,
dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
1
ln
1
.
10,
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
9
)14(
1
36
1；
（ C ）
C
x
9
)14(
1
36
1； （ D ）
C
x
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
dx
xx
1
co s
1
2; 2,
52
2
xx
dx;
3,
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n(; 4,
dx
x
x
22
2
)1(;
5,?
2
11 x
dx; 6,?
dx
xx
x
1
1
22;
7,
)1(
2 xx
ee
dx; 8,? x d xx a rcco s
2;
9,?
23
48
11
xx
dxx; 1 0,?
dx
x
x
32
)1(
a rcco s
.
三、设
0,)32(
0,)1l n(
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
co ssin)(
'
,( ba,为不同时为零的常数 ),求 )( xf,
五、
0?x设当时,)(
'
xf 连续，求
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1,D ； 2,D ； 3,B ； 4,D ； 5,D ；
6,B ； 7,D ； 8,B ； 9,D ； 1 0,C.
二,1,C
x
1
s i n ； 2,C
x
2
1
a rcta n
2
1；
3,Cxx
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4,xa rcta n
2
1
C
x
x
2
12
1；
5,Cx
x
x
x
a rc s i n
11
2；
测验题答案
6,C
xx
x
1
a rc s i n
1
2；
7,Cee
xx
)a rcta n( ；
8,Cxxxx
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a rcc o s
3
1；
9,
4
1
4
4
x
Cxx )2l n()1l n(
44；
10,Cxx
x
x
2
2
1ln
2
1
a rc co s
1
.
四, )s i n(l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab )]c o s ( l n)(,
五,C
xe
xf
x
)(
.
三、
dxxf )(
0,1)14(
0,)]1l n([
2
1
)1l n(
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.
u
有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容
1、原函数如果在区间 I 内，可导函数 )( xF 的导函数为
)( xf,即 Ix,都 有 )()( xfxF 或
dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf 或
dxxf )( 在区间 I 内原函数,
定义原函数存在定理如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,使 Ix,都有
)()( xfxF,
即,连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义在区间 I 内，函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数称为 )( xf 在区间 I 内的 不定积分,记为? dxxf )(,
CxFdxxf )()(
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
dxxgxf )]()([1 0 dxxgdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
dxxkf )(2 0? dxxfk )( （ k 是常数,)0?k
(3) 不定积分的性质
)()( xfdxxfdxd dxxfdxxfd )(])([
CxFdxxF )()( CxFxdF )()(
3、基本积分表
kCkxkdx ()1( 是常数 )
)1(1)2(
1
Cxdxx
Cxxdx ln)3(
dxx 21 1)4( Cx?a r c t a n
dxx 21 1)5( Cx?a rc s in
xdxc o s)6( Cx?sin
x d xs i n)7( Cx cos
xd xx t ans e c)10( Cx?sec
xdxx c o tc s c)11( Cx csc
dxe x)12( Cex?
xdx2c o s)8(xdx2s e c Cx?tan
xdx2si n)9(xdx2c s c Cx co t
dxa x)13( Caa
x?
ln
Cxxdx c oslnt an)16(
Cxxdx s i nlnc ot)17(
Cxxxdx )t anl n ( s e cs e c)18(
Cxxxdx )c otl n ( c s cc s c)19(
Caxadxxa a r c t a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ln2 11)22( 22
Caxdxxa a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
)ln (
1)24(
22
22
Cax axadxax ln2 11)21( 22Cxsh)14(?xdx ch
xdx Cxch)15( sh
5、第一类换元法
4、直接积分法定理 1 设 )( uf 具有原函数,)( xu 可导，
则有换元公式
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法,;)(.1 1 dxxxf nn? ;)(.2 dxxxf;)(l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( si n.5 x d xxf ;)(.6 dxaaf xx
常见类型,;s ec)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )(a r c ta n.8 2 dxx xf?
6、第二类换元法定理 设 )( tx 是单调的、可导的函数，并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
则有换元公式
)()()]([)( xtdtttfdxxf
其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
第二类换元公式常用代换,
.,)(.1 Rbatx
.s i n,)(
.2
22 taxxaxf 令如三角函数代换
.,)(
.3
22 a s h txxaxf 令如双曲函数代换
.1.4 tx?令倒置代换
7、分部积分法分部积分公式
dxvuuvdxvu
duvuvu d v
8.选择 u的有效方法,LIATE选择法
L----对数函数； I----反三角函数；
A----代数函数； T----三角函数；
E----指数函数； 哪 个在前哪个选作 u.
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分定义 两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
其中 m,n 都是非负整数； naaa,,,10? 及
mbbb,,,10? 都是实数，并且 00?a,00?b,
真分式化为部分分式之和的 待定系数法四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA d x ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn;a r c ta n
ln
2
.3
4
2
4
2
2
2
22
C
q
x
q
N
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
p
p
p
Mp
dxqpxx Nqpxx dxpxMdxqpxx NMx nMpnn )()( )2(2)(.4 2 222
此两积分都可积,后者有递推公式令 2ta n xu?
21
2s i n
u
ux
2
2
1
1cos
u
ux
ux a r c t a n2?
duudx 21 2
dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
（ 2） 三角函数有理式的积分定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 )c o s,( s i n xxR
（ 3） 简单无理函数的积分讨论类型,),( n baxxR? ),( n ecx baxxR
解决方法,作代换去掉根号．;n ecx baxt令 ;n baxt令二、典型例题例 1
dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式解
.49 32 dxxx
xx
求
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
1
2
3ln
1
2t
dt
dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
tx?)23(令例 2
解
.c o s1 )s i n1( dxx xe
x
求
dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[( xx dexxde )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
dxx xx求
]5)1[l n ( 2 xx?
,1 1 2x
]5)1[l n (5)1l n ( 22 xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx
)12 21(11 22 xxxx
例 4
解
.1122 dxxx x求
,1tx?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
原式
dttt 211
222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt 21a r c s in
.1a r c si n1
2
Cxxx
(倒代换 )
例 5
解
.
1 632
xxx
eee
dx求
,6 te x?令,ln6 tx?,6 dttdx?
dttttt 61 1 23原式 dtttt )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt?
设
)1()()1()1)(1(6 22 ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 DCBA
dttttt )1 331 36( 2原式
Ctttt a r c ta n3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
例 6
解
.)1l n(ar c t an 2 dxxxx求
dxxx )1l n ( 2 )1()1l n (21 22 xdx
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx
]21)1l n ()1(`21[a r c ta n 222 xxxxd原式
xxxx a r c ta n])1l n ()1[(`21 222
dxxxx ]1)1[ln (21 2
2
2
例 7
解
.)2( 10 xx dx求
)2( 1010
9
xx
dxx原式?
)2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx )]2l n ([l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx
.
2
)1l n (
2
]3)1l n ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
例 8
解
.
)1()1(3 42 xx
dx求
.)1()11()1()1( 23 43 42 xxxxx?
,11 xxt令,)1( 2 2 dxxdt则有
原式
2
3 4 )1()
1
1
( x
x
x
dx
dtt 3
4
2
1
Ct 3
1
2
3,
1
1
2
3 3 C
x
x?
例 9
解
.c o s1 s i n dxxxx求
dx
x
xx
x
2
c o s2
2
c o s
2
s i n2
2
原式
dxxdxxx
2
ta n
2
c o s2 2
dxxdxxxx 2ta n2ta n2ta n
.2ta n Cxx
例 10
解
dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
dxxf xfxfxf xf求
dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf
例 11
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf?设
,
1,
11,1
1,
)(
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在xf? ).( xF则必存在原函数须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
,211 12 CC即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
,121 23 CC即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ＋可得
,1 CC?联立并令一,选择题：
1,设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不同的原函数，且 0)(?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF )()(
21；
（ B ） CxFxF )()(
21；
（ C ） )()(
21
xCFxF? ；
（ D ） CxFxF )()(
21
.
2,若,)()(
'
xfxF? 则
)( xdF = （ ）
（ A ） )( xf ； （ B ） )( xF ；
（ C ）
Cxf?)(； （ D ）
CxF?)(
.
测 验 题
3,)( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ） CBA,,都不对,
5,函数
2
)()( xxxf 的一个原函数?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx?,
6,已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2,
21 yx 时且
,这个函数是 （ ）
（ A ）;
2
Cxy
（ B ）;1
2
xy
（ C ） C
x
y
2
2;
（ D ）
.1 xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
dxe
x
2； （ B ）
3
1 x
dx；
（ C ）
dx
xln
1； （ D ）
dx
x
xln
.
8,
,)()( CxFdxxf 且,batx 则
dttf )( （ ）
（ A ） CxF?)( ；
（ B ）
CtF?)(;
（ C ） CbatF
a
)(
1;
（ D ）
CbatF )(
,
9,
dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
1
ln
1
.
10,
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
9
)14(
1
36
1；
（ C ）
C
x
9
)14(
1
36
1； （ D ）
C
x
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
dx
xx
1
co s
1
2; 2,
52
2
xx
dx;
3,
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n(; 4,
dx
x
x
22
2
)1(;
5,?
2
11 x
dx; 6,?
dx
xx
x
1
1
22;
7,
)1(
2 xx
ee
dx; 8,? x d xx a rcco s
2;
9,?
23
48
11
xx
dxx; 1 0,?
dx
x
x
32
)1(
a rcco s
.
三、设
0,)32(
0,)1l n(
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
co ssin)(
'
,( ba,为不同时为零的常数 ),求 )( xf,
五、
0?x设当时,)(
'
xf 连续，求
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1,D ； 2,D ； 3,B ； 4,D ； 5,D ；
6,B ； 7,D ； 8,B ； 9,D ； 1 0,C.
二,1,C
x
1
s i n ； 2,C
x
2
1
a rcta n
2
1；
3,Cxx
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4,xa rcta n
2
1
C
x
x
2
12
1；
5,Cx
x
x
x
a rc s i n
11
2；
测验题答案
6,C
xx
x
1
a rc s i n
1
2；
7,Cee
xx
)a rcta n( ；
8,Cxxxx
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a rcc o s
3
1；
9,
4
1
4
4
x
Cxx )2l n()1l n(
44；
10,Cxx
x
x
2
2
1ln
2
1
a rc co s
1
.
四, )s i n(l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab )]c o s ( l n)(,
五,C
xe
xf
x
)(
.
三、
dxxf )(
0,1)14(
0,)]1l n([
2
1
)1l n(
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.
