高 等 数 学一、隐函数的导数定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy?
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1*
.,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
0
00
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
所确定的求由方程例 032 2 75 xxyy
.0
0?
xdx
dyxy 处的导数在隐函数
,解 求导，由于方程把方程两边分别对 x
两边的导数相等，所以
.021125 64 xdxdydxdyy
。由此得 25 211 4
6
y
x
dx
dy
，从原方程得因为当时 0?x
2
1
0
,0
xdx
dyy 所以
3
4
323,2
xo
y
.323,21916 3
22
处的切线方程在点求椭圆例 yx
所求切线由导数的几何意义知道解,,
.' 2 xyk的斜率为有对求导把椭圆方程的两边分别,
,0.928 dxdyyx
.169 yxdxdy从而代入上式得当,323,2 yx
4
3
2
xdx
dy
于是所求切线方程为
,24 3323 xy
.03843 yx即所确定的隐函数的二阶求由方程例 0s i n21 4 yyx
.2
2
dx
yd导数
,解 得应用隐函数的求导方法,
0.c o s211 dxdyydxdy
.co s2 2 ydxdy于是得求导上式两边再对,x
22
2
c o s2
s in2
y
dx
dyy
dx
yd
0s i n21 yyxy 是由方程上式右端分式中的
.所确定的隐函数
,co s2
s in4
3y
y
例 5
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3*
33
线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
.1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为
,xy?即 显然通过原点,
例 6*,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4110yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
得41
1
0
y
xy,1,0 yx代入,16
1
1
0
y
xy
二、对数求导法观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy?
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,
--------对数求导法适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
的导数求例
43
21
7
xx
xx
y
4ln3ln2ln1ln
2
1ln xxxxy
的函数，得是求导，注意到上式两边对
x
yx
,4131211121'1?
xxxxyy
，得假定先在两边取对数：解 4?x
4
1
3
1
2
1
1
1
2
'
xxxx
y
y于是
;43
21,1
xx
xxyx 时当
4
1
3
1
2
1
1
1
2
'
xxxx
y
y
43
21,32
xx
xxyx 时当上面相同的结果用同样的方法可以得与例 9
解
.),0(s i n yxxy x 求设等式两边取对数得 xxy lns inln
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s i nlncos1
)1s i nln( co s xxxxyy
)s i nln( co ss i n x xxxx x
一般地
)0)(()()( )( xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd又
)(ln)()( xfdxdxfxf
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
例如
,
,2
2ty
tx
2
xt?
22 )
2(
xty
4
2x
xy 21
消去参数问题,消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,)( )( 中在方程
ty
tx
,)( )( 二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
即例 10 已知椭圆的参数方程为
tby
tax
s in
c os
o
b
a x
y 相应的点处的切线方程求椭圆在 4
t
2,20
baM
解
:,4 的坐标是椭圆上的相应点时当 oMt
,2 24co s aax o,2 24s i n bby o
的切线斜率为曲线在点 oM
a
b
ta
tb
ta
tb
dx
dy
ttt
44 s i n
c o s
'c o s
's i n
4
.
2
2
2
2
ax
a
bby
02 abaybx化简后得切线方程即得椭圆在点处的代入点斜式方程,
tby
tax
s in
c os
例 11
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t
t
cos1
s in
taa
ta
co s
s in
2
co s1
2
s i n
2
tdx
dy
.1?
.方程处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n(
t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt 时当所求切线方程为
)12(axay
)22( axy即例 12
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,cos
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在
t
t
)c os(
)
2
1s in(
0
2
0
tv
gttv
dx
dy
c os
s in
0
0
v
gtv
.c o ss in
0
00
0?
v
gtv
dx
dy
tt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
00 )co s( 0 ttttx tvdt
dxv
cos0v?
00 )2
1s i n( 2
0 tttty gttvdt
dyv
00 s in gtv
时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv 2020020 s i n2 tggtvv
例 13*
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)s in(c os3
c oss in3
2
2
tta
tta
tta n
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
)co s(
)t a n(
3?
ta
t
tta
t
s i nc os3
s e c
2
2
ta
t
s in3
s ec 4?
四、相关变化率
,)()( 都是可导函数及设 tyytxx
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
,之间存在某种关系与而变量 yx
,之间也存在一定关系与从而它们的变化率 dtdydtdx
.化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变例 14
解
,500./140,
500
率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升米处离地面铅直一汽球从离开观察员则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
ht
500t an
h
求导得上式两边对 t dtdhdtd 5001s e c 2
,/1 4 0 秒米?dtdh? 2s e c,500 2米时当 h
)/(14.0 分弧度 dtd? 仰角增加率
米500
米500
例 15
解
,20
,120,4000
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以则水库内水量为水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV 380 00
,/28 80 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /10 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 h
五、小结隐函数求导法则,直接对方程两边求导 ;
对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 ;
参数方程求导,实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ; 解法,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,
思考题设
)(
)(
ty
tx
，由
)(
)(
t
t
y
x
)0)(( t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
,对吗？
思考题解答不对．
xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt
t
一,填空题：
1,设 01552
223
yxyyxx 确定了 y 是 x 的函数，则
)1,1(
dx
dy
=_______ _,?
2
2
dx
yd
______ __.
2,曲线 7
33
xyyx 在点 （ 1,2 ）处的切线方程是 ________ ___.
3,曲线
tty
ttx
s i n
co s
在
2
t 处的法线方程 ______ __.
4,已知
tey
tex
t
t
sin
co s
,则
dx
dy
=______ ；
3
t
dx
dy
=______,
5,设
yx
exy
,则
dx
dy
=____ ____,
练 习 题二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
y
xey 1 ；
2,)t a n ( yxy ；
3,
y
x
xy? )00( yx,,
三,用对数求导法则求下列函数的导数：
1,
2
x
xy? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
x
xx
y ；
3,
x
exxy 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
tby
tax
sin
co s；
2,
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf 存在且不为零,
五,求由参数方程
tty
tx
a r ct a n
)1l n (
2
所确定的函数的三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)(,求 )( xf?,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？
八,水注入深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
xxy
yxyyyxxyx；
2,02311 yx 3,0
22
yx ；
4,32,
s i nco s
co ss i n
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
；
2,- )(ta n)(cs c2
32
yxcyx ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
yxy
xxyy
.
练习题答案三,1,)1ln2(
1
2
xx
x；
2,]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
xxxx
xx；
3,]
)1(2
co t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf
.
五、
3
4
8
1
t
t?
,六、
2
1
2
x
,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
( 米 / 分 ).
例 8*
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x 求设函数 y=y(x)由方程 0)s in ( 222 xyeyx x
所确定,
dxdy xyyxy yxey
x
2)c o s (2
)c o s (2
22
222
求 y?
解,02)22()c o s ( 222 yxyeyyxyx x
2) 设
),1(
,)(
3 tefy
tfx? 其中 f 可导,且,,0)0(
0 tdx
dyf 求
3)0( )0(3)( )1(3
0
33
0
f
f
tf
efe
dx
dy
t
tt
t
解：
.)( 形式称为显函数xfy?
0),(?yxF )( xfy? 隐函数的显化问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
例 1*
.,
0
0?
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对 x
0 dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
0
00
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
所确定的求由方程例 032 2 75 xxyy
.0
0?
xdx
dyxy 处的导数在隐函数
,解 求导，由于方程把方程两边分别对 x
两边的导数相等，所以
.021125 64 xdxdydxdyy
。由此得 25 211 4
6
y
x
dx
dy
，从原方程得因为当时 0?x
2
1
0
,0
xdx
dyy 所以
3
4
323,2
xo
y
.323,21916 3
22
处的切线方程在点求椭圆例 yx
所求切线由导数的几何意义知道解,,
.' 2 xyk的斜率为有对求导把椭圆方程的两边分别,
,0.928 dxdyyx
.169 yxdxdy从而代入上式得当,323,2 yx
4
3
2
xdx
dy
于是所求切线方程为
,24 3323 xy
.03843 yx即所确定的隐函数的二阶求由方程例 0s i n21 4 yyx
.2
2
dx
yd导数
,解 得应用隐函数的求导方法,
0.c o s211 dxdyydxdy
.co s2 2 ydxdy于是得求导上式两边再对,x
22
2
c o s2
s in2
y
dx
dyy
dx
yd
0s i n21 yyxy 是由方程上式右端分式中的
.所确定的隐函数
,co s2
s in4
3y
y
例 5
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3*
33
线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC
解,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
.1
所求切线方程为 )23(23 xy,03 yx即
2
3
2
3 xy法线方程为
,xy?即 显然通过原点,
例 6*,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4110yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
得41
1
0
y
xy,1,0 yx代入,16
1
1
0
y
xy
二、对数求导法观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy?
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,
--------对数求导法适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
的导数求例
43
21
7
xx
xx
y
4ln3ln2ln1ln
2
1ln xxxxy
的函数，得是求导，注意到上式两边对
x
yx
,4131211121'1?
xxxxyy
，得假定先在两边取对数：解 4?x
4
1
3
1
2
1
1
1
2
'
xxxx
y
y于是
;43
21,1
xx
xxyx 时当
4
1
3
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2
1
1
1
2
'
xxxx
y
y
43
21,32
xx
xxyx 时当上面相同的结果用同样的方法可以得与例 9
解
.),0(s i n yxxy x 求设等式两边取对数得 xxy lns inln
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s i nlncos1
)1s i nln( co s xxxxyy
)s i nln( co ss i n x xxxx x
一般地
)0)(()()( )( xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd又
)(ln)()( xfdxdxfxf
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
例如
,
,2
2ty
tx
2
xt?
22 )
2(
xty
4
2x
xy 21
消去参数问题,消参困难或无法消参如何求导?
t
),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy
,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
t
dt
dx
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即
,)( )( 中在方程
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tx
,)( )( 二阶可导若函数
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tx
)(2
2
dx
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dx
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dx
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dx
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)(
1
)(
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即例 10 已知椭圆的参数方程为
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tax
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c os
o
b
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y 相应的点处的切线方程求椭圆在 4
t
2,20
baM
解
:,4 的坐标是椭圆上的相应点时当 oMt
,2 24co s aax o,2 24s i n bby o
的切线斜率为曲线在点 oM
a
b
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'c o s
's i n
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2
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02 abaybx化简后得切线方程即得椭圆在点处的代入点斜式方程,
tby
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例 11
解
dt
dx
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dy
dx
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t
t
cos1
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2
co s1
2
s i n
2
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dy
.1?
.方程处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n(
t
tay
ttax
.),12(,2 ayaxt 时当所求切线方程为
)12(axay
)22( axy即例 12
解
.)2(;)1(
,
2
1
s i n
,cos
,
,,
0
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0
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的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
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v
x
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.
,
)1(
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可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在
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t
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轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt,)2( 0
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时刻炮弹的速度为在 0t?
22 yx vvv 2020020 s i n2 tggtvv
例 13*
解
.
s i n
c o s
3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
tay
tax
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)s in(c os3
c oss in3
2
2
tta
tta
tta n
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd?
)co s(
)t a n(
3?
ta
t
tta
t
s i nc os3
s e c
2
2
ta
t
s in3
s ec 4?
四、相关变化率
,)()( 都是可导函数及设 tyytxx
相关变化率问题,
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
,之间存在某种关系与而变量 yx
,之间也存在一定关系与从而它们的变化率 dtdydtdx
.化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变例 14
解
,500./140,
500
率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升米处离地面铅直一汽球从离开观察员则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
ht
500t an
h
求导得上式两边对 t dtdhdtd 5001s e c 2
,/1 4 0 秒米?dtdh? 2s e c,500 2米时当 h
)/(14.0 分弧度 dtd? 仰角增加率
米500
米500
例 15
解
,20
,120,4000
,/8
0
3
水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以则水库内水量为水深为设时刻
),(
),(
tV
tht
234 0 0 0)( htV?
求导得上式两边对 t dtdhhdtdV 380 00
,/28 80 0 3 小时米?dtdV?
小时米 /10 4.0?dtdh 水面上升之速率
060
,20 米时当 h
五、小结隐函数求导法则,直接对方程两边求导 ;
对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导 ;
参数方程求导,实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ; 解法,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,
思考题设
)(
)(
ty
tx
，由
)(
)(
t
t
y
x
)0)(( t?
可知
)(
)(
t
t
y
x
,对吗？
思考题解答不对．
xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt
t
一,填空题：
1,设 01552
223
yxyyxx 确定了 y 是 x 的函数，则
)1,1(
dx
dy
=_______ _,?
2
2
dx
yd
______ __.
2,曲线 7
33
xyyx 在点 （ 1,2 ）处的切线方程是 ________ ___.
3,曲线
tty
ttx
s i n
co s
在
2
t 处的法线方程 ______ __.
4,已知
tey
tex
t
t
sin
co s
,则
dx
dy
=______ ；
3
t
dx
dy
=______,
5,设
yx
exy
,则
dx
dy
=____ ____,
练 习 题二,求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
y
xey 1 ；
2,)t a n ( yxy ；
3,
y
x
xy? )00( yx,,
三,用对数求导法则求下列函数的导数：
1,
2
x
xy? ；
2,
5
4
)1(
)3(2
x
xx
y ；
3,
x
exxy 1s i n,
四,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
yd
：
1,
tby
tax
sin
co s；
2,
)()(
)(
tftfty
tfx
设 )( tf 存在且不为零,
五,求由参数方程
tty
tx
a r ct a n
)1l n (
2
所确定的函数的三阶导数
3
3
dx
yd
,
六、设
)( xf
满足
xx
fxf
3
)
1
(2)(,求 )( xf?,
七,在中午十二点正甲船的 6 公里 / 小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里 / 小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？
八,水注入深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，
其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？
一,1,
3
4
,
5210
)(1020846
2
2
xxy
yxyyyxxyx；
2,02311 yx 3,0
22
yx ；
4,32,
s i nco s
co ss i n
tt
tt； 5,
yx
yx
ex
ye
.
二,1,
3
2
)2(
)3(
y
ye
y
；
2,- )(ta n)(cs c2
32
yxcyx ；
3,
3
22
)1(l n
)1(l n)1(l n
yxy
xxyy
.
练习题答案三,1,)1ln2(
1
2
xx
x；
2,]
1
5
3
4
)2(2
1
[
)1(
)3(2
5
4
xxxx
xx；
3,]
)1(2
co t
1
[1s i n
2
1
x
x
x
e
e
x
x
exx
,
四,1,
ta
b
32
s i n； 2,
)(
1
tf
.
五、
3
4
8
1
t
t?
,六、
2
1
2
x
,
七,-2.8( 公里 / 小时 ).
八,204.0
25
16
( 米 / 分 ).
例 8*
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x 求设函数 y=y(x)由方程 0)s in ( 222 xyeyx x
所确定,
dxdy xyyxy yxey
x
2)c o s (2
)c o s (2
22
222
求 y?
解,02)22()c o s ( 222 yxyeyyxyx x
2) 设
),1(
,)(
3 tefy
tfx? 其中 f 可导,且,,0)0(
0 tdx
dyf 求
3)0( )0(3)( )1(3
0
33
0
f
f
tf
efe
dx
dy
t
tt
t
解：
