高 等 数 学一、反函数的导数定理
0)(,)( yIyx y 且内单调、可导在某区间如果函数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
,)( 内也可导在对应区间那末它的反函数 xIxfy?
.)(1)( xxf且有证明：
,xIx取 xx?以增量给的单调性可知由 )( xfy?,0y
于是有,
1
y
xx
y
连续又有 )( xf
),0(0 xy
0)( y?又知
x
yxf
x?

0
lim)(
y
xy

1lim
0
)(
1
y
.)(1)( yxf
),0( xIxxx
结论：反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
0)(
)(

y
Iyx y
且内单调、可导在某区间条件：函数
？
即例 1,a r cs i n 的导数求函数 xy?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 yIyx?
,0c o s)( s i n yy且 内有在 )11( xI
)( s i n
1)( a rc s i n
yx ycos
1?
y2s i n1
1
,1
1
2x
.1 1)( a r c c o s 2xx同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx
)(a rc s in?x
.1 1)co t( 2xxarc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( aaa yy且,),0( 内有在 xI
)(
1)( l o g
ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 yy Iax?
特别地,1)(ln xx
二、复合函数的求导法定理：,)(
0 可导在点如果函数 xxu
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
,)]([ 0 可导在点则复合函数 xxfy
,)()( 00 可导在点而 xuufy
).()( 00
0
xufdxdy xx且其导数为证明：
可导在点由 0)( uufy?
)(lim 00 ufuyu
)0l i m()( 00 uufuy即
uuufy)( 0
x
y
x?
0
lim ])([l i m 00 x
u
x
uuf
x?

x
u
x
uuf
xxx?

0000 limlimlim)(
).()( 00 xuf
可导在点而可导在点条件：函数
)(
)(,)(
00
0
xu
ufyxxu

)()(
,
)]([
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfy
xx?

为且其导数可导在点结论：
？
推广 ),(),(),( xvvuufy设
.
)]}([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy

的导数为则复合函数
例 3,s i nln 的导数求函数 xy?
解,s in,ln xuuy
dx
du
du
dy
dx
dy x
u co s
1
x
x
sin
cos? xcot?
)( s in1 xu
例 4,)1( 102 的导数求函数 xy
解 )1()1(10 292 xxdxdy
xx 2)1(10 92,)1(20 92 xx
例 5,ar c s i n22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy
解 )ar c s i n2()2(
2
22
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa

.22 xa
)0(?a
)( a r c s i n2)')(2()'2(
2
2222
a
xaxaxxax
22
2
1 xa )'(
)(1
1
2 2
2
a
x
a
x
a
)')(
2
1)(
2(
22
22
xa
xa
x?
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 xxx )2(3
1
12 xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey?
解 )1( s i n
1s i n
xey x )1(1co s
1s i n
xxe x
.1co s1
1s i n
2 xex
x
,)'2(2131)'1(1121' 22 xxxxy
三、小结反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf?在 处不可导，0?x?)1(
取 4)( xxgu 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf在 处可导，0?x?)2(
若 )( uf 在 0u 不可导,)( xgu? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
一,填空题：
1,设
4
)52( xy,则 y? = __ _ __ __ _ __ _.
2,设 xy
2
s i n?,则 y? = __ _ __ __ _ __ __,
3,设 )a rcta n(
2
xy?,则 y? = __ _ __ __ _ __ __,
4,设 xy c o sln?,则 y
= __ _ __ __ _ __ __,
5,设
xx
y
2t a n
10?,则 y
= _ __ _ __ __ _ __ _.
6,设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy?,
则
dx
dy
= __ _ __ __ _ __ _.
7,设
x
k
exf
t a n
)(?
,则
)( xf?
= __ _ __ __ _ __,
若 ef
4
，则
k
__ _ __ _ __ __ _,
练 习 题二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a rc co s? ； 2,
x
x
y
2sin；
3,)l n (
22
xaxy ； 4,)c o tl n ( c s c xxy ；
5,
2
)
2
(a rcs i n
x
y? ； 6,
x
ey
a r c t a n；
7,
x
x
y
a rc co s
a rc s i n； 8,
x
x
y
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy 的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0(?f,0)0(f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明)( xfF 在 0?x 处也可导,
一,1,
3
)52(8?x ； 2,x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x；
4,xt a n? ； 5,)2s ec22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx；
6,)(2
2
xfx? ； 7,xxke
kx
k
21t a n
s e ct a n
,
2
1
.
二,1,
1
22
xx
x； 2,
2
2s i n2co s2
x
xxx?；
3,
22
1
xa?； 4,
xc s c；
5,
2
4
2
a rcs i n2
x
x； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x；
练习题答案
7,
22
)(a rcco s12 xx?； 8,
)1(2)1(
1
xxx
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf

.
,求 y?(?/2).
x
xy
2
2
c o s1
c o s1

22
22
)c o s1(
s i nc o s2)c o s1()c o s1(s i nc o s2
x
xxxxxxy

22 )c os1(
2s i n2
x
x
,y?(?/2)=0.
1
2 xnxy ns i ns i n
xxnnxxnxny nn c o ss i ns i ns i nc o s )1(
xnxn
xnxxnxxn
n
n
)1s i n (s i n
)co ss i ns i n( co ss i n
1
1

思考
.的导数求函数 xxxy
解 )(2 1 xxxxxxy
))(2 11(2 1 xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx

思考