高 等 数 学一、问题的提出求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围 —— 根的隔离．
区间内的唯一实根．
使所求的根是位于这个确定一个区间 ],[ ba
问题,高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法．
间．称为所求实根的隔离区区间 ],[ ba
轴交点的大概位置．定出它与的图形，然后从图上如图，精确画出
x
xfy )(?
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根．
常用方法 —— 二分法和切线法（牛顿法）
二、二分法
，上连续，在区间设 0)()(],[)( bfafbaxf；，那末如果 11 0)(f
作法：
).(2],[ 11 fbaba,计算的中点取
，内仅有一个实根在＝０且方程?),()( baxf
区间．即是这个根的一个隔离于是 ],[ ba
,,)()( 1111 bbaaff 同号，那末取与如果
);(
2
1
0)()(
11
1111
abab
babfaf
,且，即知由?
,,)()( 1111 baabff 同号，那末取与如果
);(211111 ababba 及也有?
总之，
);(211111 ababba 且时，可求得当 １
);(
2
1
)(
2
1
],[
222
22112
11
abab
baba
ba
且时，可求得当复上述做法，作为新的隔离区间，重以
).(
2
1
,
abab
ban
nnn
nn
且可求得次如此重复?
．小于的近似值，那末其误差作为或如果以
)(
2
1
ab
ba
n
nn
例１
.10,
04.19.01.1
3
23
使误差不超过的实根的近似值用二分法求方程 xxx
解,4.19.01.1)( 23 xxxxf令
.),()( 内连续在显然xf
,9.02.23)( 2 xxxf?
.0)(,049.1 xf
,),()( 内单调增加在故xf
如图至多有一个实根．0)( xf
,06.1)1(,04.1)0( ff?
.]1,0[0)( 内有唯一的实根在 xf
.]1,0[,1,0 即是一个隔离区间取 ba
计算得,;1,5.0,055.0)(,5.0 1111 baf 故;75.0,5.0,032.0)(,75.0 2222 baf 故;75.0,6 2 5.0,016.0)(,6 2 5.0 2333 baf 故;6 8 7.0,6 2 5.0,00 6 2.0)(,6 8 7.0 4444 baf 故;6 8 7.0,6 5 6.0,00 5 4.0)(,6 5 6.0 5555 baf 故;6 7 2.0,6 5 6.0,00 0 5.0)(,6 7 2.0 6666 baf 故;6 7 2.0,6 6 4.0,00 2 5.0)(,6 6 4.0 7777 baf 故;6 7 2.0,6 6 8.0,00 1 0.0)(,6 6 8.0 8888 baf 故;6 7 2.0,6 7 0.0,00 0 2.0)(,6 7 0.0 9999 baf 故
.6 7 1.0,6 7 0.0,00 0 1.0)(,6 7 1.0 10101010 baf 故
.6 7 1.06 7 0.0
.10,671.0
,670.0
3?其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的不足近似值即三、切线法
，上具有二阶导数，在设 0)()(],[)( bfafbaxf
定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）．
上保持定号．在及且 ],[)()( baxfxf
，内有唯一个的实根在＝０则方程?),()( baxf
是根的一个隔离区间．],[ ba
如图，
．更接近方程的根比轴的交点的横坐标线与作切线，这切那个端点（此端点记作同号的在纵坐标与
01
00
)))(,(
)(
xx
x
xfx
xf
,0 ax?令
).)(()( 000 xxxfxfy则切线方程为
A
B
x
y
o a b?1x
)(xfy?
0)(,0)(
0)(,0)(
xfxf
bfaf
作切线，在点 ))(,( 11 xfx
.)( )(
1
1
12 xf
xfxx
得根的近似值如此继续，得根的近似值
)1()( )(
1
1
1
n
n
nn xf
xfxx
.,)()(,0 bxxfbf 可记同号与如果注意
,)( )(
0
0
01 xf
xfxx
得令,0?y
A
B
x
y
o a b?1x
)(xfy?
2x
例２
.10,
04.19.01.1
3
23
使误差不超过的实根的近似值用切线法求方程 xxx
解,4.19.01.1)( 23 xxxxf令
.0)1(,0)0(.]1,0[ ff是一个隔离区间上，如图，在 ]1,0[
,02.26)( xxf
,09.02.23)( 2 xxxf
同号，与 )()( xfxf,10 x令代入 (1),得 ;7 3 8.0)1( )1(11 ffx;674.0)738.0( )738.0(738.02 ffx;671.0)674.0( )674.0(674.03 ffx;6 7 1.0)6 7 1.0( )6 7 1.0(6 7 1.04 ffx 计算停止,
.10,671.0 3?其误差都小于得根的近似值为四、小结求方程近似实根的常用方法,
二分法、切线法（牛顿法）、割线法．
切线法实质,特定的迭代法．
求方程的根的 迭代法 是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程,
基本思想,)(0)( xxxf
))( )()(( xf xfxx
优点,１,形式简单便于计算 ;2.形式多样便于选择,
练 习 题
．误差不超过使法求这个根的近似值，唯一的实根，并用二分内有在区间一、试证明方程
01.0
)1,0(0163 23 xxx
．
过的近似根，使误差不超二、求方程
01.0
0133 xx
练习题答案
．一,19.018.0 0 x
．二,33.032.0 0 x
１．确定根的大致范围 —— 根的隔离．
区间内的唯一实根．
使所求的根是位于这个确定一个区间 ],[ ba
问题,高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法．
间．称为所求实根的隔离区区间 ],[ ba
轴交点的大概位置．定出它与的图形，然后从图上如图，精确画出
x
xfy )(?
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根．
常用方法 —— 二分法和切线法（牛顿法）
二、二分法
，上连续，在区间设 0)()(],[)( bfafbaxf；，那末如果 11 0)(f
作法：
).(2],[ 11 fbaba,计算的中点取
，内仅有一个实根在＝０且方程?),()( baxf
区间．即是这个根的一个隔离于是 ],[ ba
,,)()( 1111 bbaaff 同号，那末取与如果
);(
2
1
0)()(
11
1111
abab
babfaf
,且，即知由?
,,)()( 1111 baabff 同号，那末取与如果
);(211111 ababba 及也有?
总之，
);(211111 ababba 且时，可求得当 １
);(
2
1
)(
2
1
],[
222
22112
11
abab
baba
ba
且时，可求得当复上述做法，作为新的隔离区间，重以
).(
2
1
,
abab
ban
nnn
nn
且可求得次如此重复?
．小于的近似值，那末其误差作为或如果以
)(
2
1
ab
ba
n
nn
例１
.10,
04.19.01.1
3
23
使误差不超过的实根的近似值用二分法求方程 xxx
解,4.19.01.1)( 23 xxxxf令
.),()( 内连续在显然xf
,9.02.23)( 2 xxxf?
.0)(,049.1 xf
,),()( 内单调增加在故xf
如图至多有一个实根．0)( xf
,06.1)1(,04.1)0( ff?
.]1,0[0)( 内有唯一的实根在 xf
.]1,0[,1,0 即是一个隔离区间取 ba
计算得,;1,5.0,055.0)(,5.0 1111 baf 故;75.0,5.0,032.0)(,75.0 2222 baf 故;75.0,6 2 5.0,016.0)(,6 2 5.0 2333 baf 故;6 8 7.0,6 2 5.0,00 6 2.0)(,6 8 7.0 4444 baf 故;6 8 7.0,6 5 6.0,00 5 4.0)(,6 5 6.0 5555 baf 故;6 7 2.0,6 5 6.0,00 0 5.0)(,6 7 2.0 6666 baf 故;6 7 2.0,6 6 4.0,00 2 5.0)(,6 6 4.0 7777 baf 故;6 7 2.0,6 6 8.0,00 1 0.0)(,6 6 8.0 8888 baf 故;6 7 2.0,6 7 0.0,00 0 2.0)(,6 7 0.0 9999 baf 故
.6 7 1.0,6 7 0.0,00 0 1.0)(,6 7 1.0 10101010 baf 故
.6 7 1.06 7 0.0
.10,671.0
,670.0
3?其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的不足近似值即三、切线法
，上具有二阶导数，在设 0)()(],[)( bfafbaxf
定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）．
上保持定号．在及且 ],[)()( baxfxf
，内有唯一个的实根在＝０则方程?),()( baxf
是根的一个隔离区间．],[ ba
如图，
．更接近方程的根比轴的交点的横坐标线与作切线，这切那个端点（此端点记作同号的在纵坐标与
01
00
)))(,(
)(
xx
x
xfx
xf
,0 ax?令
).)(()( 000 xxxfxfy则切线方程为
A
B
x
y
o a b?1x
)(xfy?
0)(,0)(
0)(,0)(
xfxf
bfaf
作切线，在点 ))(,( 11 xfx
.)( )(
1
1
12 xf
xfxx
得根的近似值如此继续，得根的近似值
)1()( )(
1
1
1
n
n
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xfxx
.,)()(,0 bxxfbf 可记同号与如果注意
,)( )(
0
0
01 xf
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得令,0?y
A
B
x
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)(xfy?
2x
例２
.10,
04.19.01.1
3
23
使误差不超过的实根的近似值用切线法求方程 xxx
解,4.19.01.1)( 23 xxxxf令
.0)1(,0)0(.]1,0[ ff是一个隔离区间上，如图，在 ]1,0[
,02.26)( xxf
,09.02.23)( 2 xxxf
同号，与 )()( xfxf,10 x令代入 (1),得 ;7 3 8.0)1( )1(11 ffx;674.0)738.0( )738.0(738.02 ffx;671.0)674.0( )674.0(674.03 ffx;6 7 1.0)6 7 1.0( )6 7 1.0(6 7 1.04 ffx 计算停止,
.10,671.0 3?其误差都小于得根的近似值为四、小结求方程近似实根的常用方法,
二分法、切线法（牛顿法）、割线法．
切线法实质,特定的迭代法．
求方程的根的 迭代法 是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程,
基本思想,)(0)( xxxf
))( )()(( xf xfxx
优点,１,形式简单便于计算 ;2.形式多样便于选择,
练 习 题
．误差不超过使法求这个根的近似值，唯一的实根，并用二分内有在区间一、试证明方程
01.0
)1,0(0163 23 xxx
．
过的近似根，使误差不超二、求方程
01.0
0133 xx
练习题答案
．一,19.018.0 0 x
．二,33.032.0 0 x
