高 等 数 学一、单调性的判别法
x
y
o
)( xfy?
x
y
o
)( xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xf
定理
.
),(],[)(
导内可上连续，在在设函数 babaxfy?
a b
B
A
上单调增加；在
，那末函数内如果在）（
],[
)(0)(),(1
ba
xfyxfba
，内如果在 0)(),()2( xfba
.],[)( 上单调减少在那末函数 baxfy?
证 ),,(,21 baxx,21 xx?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx?
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调减少在 baxfy
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 xey x
.1 xey?
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,D?又二、单调区间求法问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，
导数等于零的点和不可导点，
方法,
,)(
)(0)(
的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程
xf
xfxf
则该区间称为函数的 单调区间,
可能是单调区间的分界点．
符号。然后判断区间内导数的例 2
解
.
31292)( 23
的单调区间确定函数
xxxxf
).,(,D?
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
时，当 0 x
,0)( xf 上单调增加；在 ),0[ 时，当 x0
,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(
单调区间为,]0,( ).,0[
3 2xy?
例 4
证
.)1l n (,0 成立试证时当 xxx
),1l n ()( xxxf设,1)( xxxf则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[,0)0(?f?
时，当 0 x
,0)1ln( xx ).1l n ( xx即注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
)0()( fxf?
三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,
思考题若 0)0(f,是否能断定 )( xf 在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
)0(f )1s i n21(lim 0 xxx 01
但 0,1c o s21s i n41)( xxxxxf
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)(?
k
xf
kx 2
1当 时,01)( xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内,都不单调递增．
k 00?x
)(xf
-0.1 -0.05 0.05 0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0.025
0.05
0.075
一,填空题：
1,函数 71862
23
xxxy 单调区间为 ___ _ __ __
_ ___ __ ___ __ __,
2,函数
2
1
2
x
x
y
在区间 [ -1,1] 上单调 ___ __ __ _,
在 ___ _ __ ___ 上单调减,
3,函数
22
ln xxy 的单调区间为 ___ __ __ ___ __,
单减区间为 ___ _ __ ___ __ __.
二,确定下列函数的单调区间：
1,
xxx
y
694
10
23
；
2,3
2
))(2( xaaxy ( 0?a ) ；
3,xxy 2s i n,
练 习 题三,证明下列不等式：
1,当 0?x 时，
22
1)1l n (1 xxxx ；
2,当 4?x 时，
2
2 x
x；
3,若
0?x
，则
3
6
1
sin xxx,
四,方程 )0(ln aaxx 有几个实根,
五,设
)( xf
在 [ ba,] 上连续，在 ( ba,) 内
)( xf
,试证明：对于 [ ba,] 上任意两 1
x
,2
x
有
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
[ 提示：方法 （ 1 ）
0)( xf
，
)( xf?
单增；方法 （ 2 ）
0)( xf
，
利用泰勒公式 ]
一,1,),3[],1,( 单调增加,]3,1[? 单调减少；
2,增加,),1[],1,(
3,]1,(,),1[ ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[,
二,1,在 ),1[],
2
1
,0(),0,( 内单调减少,
在 ]1,
2
1
[ 上单调增加；
2,在 ),[],
3
2
,( aa 内单调增加,
在 ],
3
2
[ aa 上单调减少；
练习题答案
3,在 ]
32
,
2
[
kk
上单调增加,
在 ]
22
,
32
[
kk
上单调减少,),2,1,0(k,
四,(1)
e
a
1
时没有实根；
(2)
e
a
1
0 时有两个实根；
(3)
e
a
1
时只有 ex? 一个实根,
一、曲线凹凸的定义问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B
C
定义
,
2
)()(
)
2
(,,
,)(
2121
21
xfxfxx
fxx
IIxf
恒有点上任意两如果对上连续在区间设
,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹且在内连续在如果 babaxf;)(],[)( 的或凸内的图形是凹在那末称 baxf
,2 )()()2( 2121 xfxfxxf如果恒有;)( 的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那末称 Ixf
．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称 Ixf )(
二、曲线凹凸的判定
x
y
o
)( xfy?
x
y
o
)( xfy?
a b
A
B
递增)( xf?
a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果
),(,
),(,],[)(
ba
babaxf;],[)(,0)()1( 上的图形是凹的在则 baxfxf
.],[)(,0)()2( 上的图形是凸的在则 baxfxf
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,
1、定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2、拐点的求法 则点)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0"?xf,
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
方法 1:
,0)(,)( 00 xfxxf 且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
例 2
.
143 34
凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 xxy
解,s inc os xxy,c oss in xxy
.s inc o s xxy
,0y令,47,43 21 xx得
2)43(f,0? 2)47(f,0?
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,47(),0,43(
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,94 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
四、小结曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2.
思考题设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 xf,
其中 ),(0 bax?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答因为 0)( 0 xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf? ),( 0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1,若函数 )( xfy? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2,曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3,曲线 )1l n(
2
xy 的拐点为 _____ ____ _.
4,曲线 )1l n ( xy 拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r ct a n
的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
)( yx?
.
四、求曲线
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题五,试证明曲线
1
1
2
x
x
y 有三个拐点位于同一直线上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy
的拐点？
七,试决定
22
)3( xky 中 k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点,
一,1,),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3,]2,(),,2[),
2
,2(
2
e； 4,)2ln,1(),2ln,1(?,
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r ct a n
e,在 ]
2
1
,( 内是凹的,
在 ),
2
1
[ 内是凸的,
四、拐点 )
2
3
,
3
32
( aa 及 )
2
3
,
3
32
( aa?,
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
练习题答案
-2 2 4
-1.5
-1
-0.5
0.5
六、
2
9
,
2
3
ba,
七,
8
2
k,
第五题图
例 证明当 x>0时,.
6s i n
3x
xx
证：令
6s i n)(
3x
xxxF
21co s)(
2x
xxF 0])2( s i n)2[(222s i n2 22
22
xxxx
∴ F(x)在 (0,+∞)内单调上升，又 F(0)=0,F(x)在 x=0处连续，
利用单调性证明不等式
:,0)( 即 xF,
6s i n,06s i n
33 x
xxxxx
.
2
3 2
yxyx
eeeyx
时，当例
xexf?)(证：设是凹的。)(0)( xfxf
22
)()()
2(
2121
22121
xxxx ee
exfxfxxf
.2 2
yxyx
eeeyx
时，即当例 5 求 的凹凸区间及其拐点。 3)1()( xxxf
解：
),,(,)1()( 3 xxxxf
,1)1(31)(
3 2
3
x
xxxf
,
9
)12(2)(
3 5x
xxf
令 得,0)("?xf,21x
当 x=0时,f(x)不存在。
用 x=0和 x = -1/2将定义域分开：
)443,21( 3 和（ 0,0）为曲线的拐点。
x (- ∞,
2
1
)
2
1
(
2
1
,0 )
0 ( 0,+ ∞ )
f? ( x) + 0? 不存在 +
f ( x) ∪ 3
4
4
3
∩ 0 ∪
x
y
o
)( xfy?
x
y
o
)( xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xf
定理
.
),(],[)(
导内可上连续，在在设函数 babaxfy?
a b
B
A
上单调增加；在
，那末函数内如果在）（
],[
)(0)(),(1
ba
xfyxfba
，内如果在 0)(),()2( xfba
.],[)( 上单调减少在那末函数 baxfy?
证 ),,(,21 baxx,21 xx?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx?
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调减少在 baxfy
例 1
解
.1 的单调性讨论函数 xey x
.1 xey?
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,D?又二、单调区间求法问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，
导数等于零的点和不可导点，
方法,
,)(
)(0)(
的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程
xf
xfxf
则该区间称为函数的 单调区间,
可能是单调区间的分界点．
符号。然后判断区间内导数的例 2
解
.
31292)( 23
的单调区间确定函数
xxxxf
).,(,D?
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
时，当 0 x
,0)( xf 上单调增加；在 ),0[ 时，当 x0
,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(
单调区间为,]0,( ).,0[
3 2xy?
例 4
证
.)1l n (,0 成立试证时当 xxx
),1l n ()( xxxf设,1)( xxxf则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[,0)0(?f?
时，当 0 x
,0)1ln( xx ).1l n ( xx即注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
)0()( fxf?
三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,
思考题若 0)0(f,是否能断定 )( xf 在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
)0(f )1s i n21(lim 0 xxx 01
但 0,1c o s21s i n41)( xxxxxf
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)(?
k
xf
kx 2
1当 时,01)( xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内,都不单调递增．
k 00?x
)(xf
-0.1 -0.05 0.05 0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0.025
0.05
0.075
一,填空题：
1,函数 71862
23
xxxy 单调区间为 ___ _ __ __
_ ___ __ ___ __ __,
2,函数
2
1
2
x
x
y
在区间 [ -1,1] 上单调 ___ __ __ _,
在 ___ _ __ ___ 上单调减,
3,函数
22
ln xxy 的单调区间为 ___ __ __ ___ __,
单减区间为 ___ _ __ ___ __ __.
二,确定下列函数的单调区间：
1,
xxx
y
694
10
23
；
2,3
2
))(2( xaaxy ( 0?a ) ；
3,xxy 2s i n,
练 习 题三,证明下列不等式：
1,当 0?x 时，
22
1)1l n (1 xxxx ；
2,当 4?x 时，
2
2 x
x；
3,若
0?x
，则
3
6
1
sin xxx,
四,方程 )0(ln aaxx 有几个实根,
五,设
)( xf
在 [ ba,] 上连续，在 ( ba,) 内
)( xf
,试证明：对于 [ ba,] 上任意两 1
x
,2
x
有
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
[ 提示：方法 （ 1 ）
0)( xf
，
)( xf?
单增；方法 （ 2 ）
0)( xf
，
利用泰勒公式 ]
一,1,),3[],1,( 单调增加,]3,1[? 单调减少；
2,增加,),1[],1,(
3,]1,(,),1[ ； ]1,0(],1,(];1,0(),0,1[,
二,1,在 ),1[],
2
1
,0(),0,( 内单调减少,
在 ]1,
2
1
[ 上单调增加；
2,在 ),[],
3
2
,( aa 内单调增加,
在 ],
3
2
[ aa 上单调减少；
练习题答案
3,在 ]
32
,
2
[
kk
上单调增加,
在 ]
22
,
32
[
kk
上单调减少,),2,1,0(k,
四,(1)
e
a
1
时没有实根；
(2)
e
a
1
0 时有两个实根；
(3)
e
a
1
时只有 ex? 一个实根,
一、曲线凹凸的定义问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B
C
定义
,
2
)()(
)
2
(,,
,)(
2121
21
xfxfxx
fxx
IIxf
恒有点上任意两如果对上连续在区间设
,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹且在内连续在如果 babaxf;)(],[)( 的或凸内的图形是凹在那末称 baxf
,2 )()()2( 2121 xfxfxxf如果恒有;)( 的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那末称 Ixf
．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称 Ixf )(
二、曲线凹凸的判定
x
y
o
)( xfy?
x
y
o
)( xfy?
a b
A
B
递增)( xf?
a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果
),(,
),(,],[)(
ba
babaxf;],[)(,0)()1( 上的图形是凹的在则 baxfxf
.],[)(,0)()2( 上的图形是凸的在则 baxfxf
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,
1、定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2、拐点的求法 则点)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0"?xf,
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
方法 1:
,0)(,)( 00 xfxxf 且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
例 2
.
143 34
凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 xxy
解,s inc os xxy,c oss in xxy
.s inc o s xxy
,0y令,47,43 21 xx得
2)43(f,0? 2)47(f,0?
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,47(),0,43(
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,94 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
四、小结曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2.
思考题设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 xf,
其中 ),(0 bax?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答因为 0)( 0 xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf? ),( 0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1,若函数 )( xfy? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2,曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3,曲线 )1l n(
2
xy 的拐点为 _____ ____ _.
4,曲线 )1l n ( xy 拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r ct a n
的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
)( yx?
.
四、求曲线
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题五,试证明曲线
1
1
2
x
x
y 有三个拐点位于同一直线上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy
的拐点？
七,试决定
22
)3( xky 中 k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点,
一,1,),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3,]2,(),,2[),
2
,2(
2
e； 4,)2ln,1(),2ln,1(?,
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r ct a n
e,在 ]
2
1
,( 内是凹的,
在 ),
2
1
[ 内是凸的,
四、拐点 )
2
3
,
3
32
( aa 及 )
2
3
,
3
32
( aa?,
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
练习题答案
-2 2 4
-1.5
-1
-0.5
0.5
六、
2
9
,
2
3
ba,
七,
8
2
k,
第五题图
例 证明当 x>0时,.
6s i n
3x
xx
证：令
6s i n)(
3x
xxxF
21co s)(
2x
xxF 0])2( s i n)2[(222s i n2 22
22
xxxx
∴ F(x)在 (0,+∞)内单调上升，又 F(0)=0,F(x)在 x=0处连续，
利用单调性证明不等式
:,0)( 即 xF,
6s i n,06s i n
33 x
xxxxx
.
2
3 2
yxyx
eeeyx
时，当例
xexf?)(证：设是凹的。)(0)( xfxf
22
)()()
2(
2121
22121
xxxx ee
exfxfxxf
.2 2
yxyx
eeeyx
时，即当例 5 求 的凹凸区间及其拐点。 3)1()( xxxf
解：
),,(,)1()( 3 xxxxf
,1)1(31)(
3 2
3
x
xxxf
,
9
)12(2)(
3 5x
xxf
令 得,0)("?xf,21x
当 x=0时,f(x)不存在。
用 x=0和 x = -1/2将定义域分开：
)443,21( 3 和（ 0,0）为曲线的拐点。
x (- ∞,
2
1
)
2
1
(
2
1
,0 )
0 ( 0,+ ∞ )
f? ( x) + 0? 不存在 +
f ( x) ∪ 3
4
4
3
∩ 0 ∪
