高 等 数 学一、函数极值的定义
o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
,),(
,),()( 0
内的一个点是内有定义在区间设函数
ba
xbaxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
,)()(,,
,
00
0
均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
xfxfxx
x
,)()(,,
,
00
0
均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
xfxfxx
x;)()( 0 的一个极大值是函数就称 xfxf
.)()( 0 的一个极小值是函数就称 xfxf
二、函数极值的求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,
定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
,)( 点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
那末必定 0)( 0'?xf,
.是极值点但函数的驻点却不一定
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
x
y
o x
y
o0x 0x
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x )()(l i m)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf )()( 00
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值,同理可证 (2).
(1) 当 0)(
0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)(
0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
三、小结极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
思考题下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答不正确．
例?
0,2
0),
1
s i n2(2
)(
2
x
x
x
x
xf
当 0?x 时, )0()( fxf )
1s i n2(2
xx? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 xx x1cos 在 –1和 1之间振荡因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立．
xxxxf
1c o s)1s i n2(2)(
ò￠ ì ìa ￡o
1?￠μ ·′ ó3 μ? ê? oˉ êy μ? _____ ___ Dê,
2?￠ è? oˉ êy )( xfyú
0
xx?
é μ? ￡ò?ü?ú μ?
0
x
′| μ?
μμ μ? ±× òa ìt?D?a ____ ____ ___,
3?￠ oˉ êy 3
2
)1(2 xy μμ μa ___ ____ _ ￡?
3
1
)1(23 xy μμ?a _ ____ ____ _,
4?￠ òa oˉ êy
0,1
0,
)(
3
xx
xx
xf
x
μ±
_ _ _ _ _ _ _?x
ê± ￡?
为极____ ____?y
Dμ ￡? μ±
时__ ___ __ _?x
￡?
为极____ ____?y ′ó?μ,
练 习 题二、求下列函数的极值：
1,xey
x
co s? ；
2,
x
xy
1；
3,方程 0
2
ye
yx
所确定的函数 )( xfy? ；
4,
0,0
0,
2
1
x
xe
y
x
.
三,证明题：
1,如果 dcxbxaxy
23
满足条 03
2
acb,
则函数无极值,
2,设 )( xf 是有连续的二阶导数的偶函数 0)( xf,
则 0?x 为 )( xf 的极值点,
一,1,局部； 2,0)(
0
xf ；
3,(1,2),无； 4,1,0,)
1
(,
1
3
e
ee;
二,1,极大值
k
eky
2
4
2
2
)2
4
(,极小值
),2,1,0(
2
2
))12(
4
(
)12(
4
keky
k；
2,极大值
e
eey
1
)(? ；
3,极小值
1)0(y；
4,极小值
0)0(?y
.
练习题答案一、最值的求法
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
上连续，在若函数 ],[)( baxf
为零的点，并且至多有有限个导数除个别点外处处可导，
.],[)( 在上的最大值与最小值存在则 baxf
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
二、应用举例例 1
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
，最大值 142)4(?f比较得,7)1(?f最小值
141232 23 xxxy
点击图片任意处播放 \暂停例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 B处向正东追击，
速度为 2千米 /分钟．
问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
解公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts 公里4
B?
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss?
)(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
,0)( ts令得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
小）值．值即为所求的最（或最点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻例 3 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套, 101 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( x
10
18050 x
1068)20()( xxxR
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 350 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高,
最大收入为?
10
3 5 068)203 5 0()( xR
)(1089 0 元?
点击图片任意处播放 \暂停例 4
形面积最大．
所围成的三角及线处的切线与直使曲线在该点上求一点，曲边成一个曲边三角形，在围及抛物线，由直线
80
80
2
2
xy
xy
xyxy
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为为则切线 PT
),(2 000 xxxyy
,200 xy ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x
,0)1616643(41 020 xxS令解得 ).(16,316 00 舍去 xx
8)316(s?,0?,274096)316( 为极大值 s
.274096)316( 最大者为所有三角形中面积的故?s
三、小结注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
思考题 若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最小值，且 )( af? 存在，是否一定有 0)( af？
思考题解答结论不成立,因为最值点不一定是内点,
例 xxfy )( ]1,0[?x
在 有最小值，但0?x 01)0(f
一,填空题：
1,最值可 _ ___ __ __ ___ __ 处取得,
2,函数
23
32 xxy ( 41 x ) 的最大值为 __ __
__ __ _ ；最小值为 ___ __ ___ __,
3,函数
2
100 xy 在 [0,8] 上的最大值为 _ __ ___
__ __ __ ；最小值为 __ __ ___ __ __,
4,设有重量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力
f
的作用而开始移动，摩擦系数
=0,25,问力
f
与水平线的交角
为 __ __ _ 时，才可使力
f
的大小为最小，则此问题的目标函数为 _ __ __ ___ _ _ _ _ __,
讨论区间为 __ __ ___ __ ___ _.
练 习 题
5,从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为 __ _ __ _ _ _ _ 时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
__ _ __ __ _ __ __ _ __ _ 考察区间为 __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _,
二,求函数
x
xy
54
2
( 0?x ) 的最值,
三,求数列
n
n
2
10
的最大项,
四,要造一圆柱形油灌，体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
五、由 2xy?,0?y,ax? ( 0?a ) 围成一曲边三角形
OA B,在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲线 2xy? 的切线与 OA,OB 围成的三角形面积最大,
一,1,区间端点及极值点；
2,最大值 80)4(?y,最小值 5)1(y ；
3,10,6 ； 4,)
2
,0[,
si nc os
,ar c t an
p
f ；
5,?
3
8
,)2,0(,4
24
642
2
3
R
V,
二、
3x
时函数有最小值 27.
三,14.
四,.1:1:;
2
2,
2
33
hd
v
h
v
r
五、
)
9
4
,
3
2
(
2
aa
.
练习题答案例 4
解
.2,)1()2()( 3 22 的极值求出函数 xxxxf
3
1
)1)(14)(2(32)( xxxxf
.0)(,4/1;)(,1 xfxxfx 时不存在时当
x )1,2( )2,4/1(?)4/1,1(1? 4/1?
)(xf?
)(xf
0
极小值极大值?
)1(?f极小值,0?)4/1(?f极大值,16/9)4/9( 32?
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
解
,
0
00
0
)(
xxe
x
xxe
xf
x
x
0
0
0
)(
xxee
x
xxee
xf
xx
xx
不可导令 f?(x)=0,得 x =1，,01|)()1(
1 xxxx xeeef
∴ x=1为极大值点，极大值 1)1( ef
∵ 在 (-1,0)内,f?(x)<0; 在 (0,1)内,f?(x)>0;
例 5 求 的极值，并求其在 [-1,1]上的最值。xexxf ||)(
∴ x=0为极小值点，极小值 f (0)=0.
.0)0(
,)1(,0)0()1(,)1( 1
f
effefef
最小值得最大值比较与又
)1l n (2:.10 2xx a r c t g x求证例
0,02)(
)1l n (2)(,2
xa r c t g xxf
xx a r c t g xxf
得唯一驻点令证
,0)(.0)0(
0,02
1
2
)(
2
xff
x
x
xf
是最小值是极小点又?
).1l n (2 2xx a r c t g x即
o x
y
a b
)(xfy?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
,),(
,),()( 0
内的一个点是内有定义在区间设函数
ba
xbaxf
定义函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
,)()(,,
,
00
0
均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
xfxfxx
x
,)()(,,
,
00
0
均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
xfxfxx
x;)()( 0 的一个极大值是函数就称 xfxf
.)()( 0 的一个极小值是函数就称 xfxf
二、函数极值的求法设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且在 0x 处取得极值,
定理 1(必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf
注意,
,)( 点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy?,00xy,0 不是极值点但?x
那末必定 0)( 0'?xf,
.是极值点但函数的驻点却不一定
(1) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx,
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
定理 2(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
(是极值点情形 )
(2) 如果 ),,(
00
xxx 有 ;0)(
'
xf 而 ),(
00
xxx
有 0)(
'
xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx 及 ),(
00
xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
x
y
o x
y
o0x 0x
求极值的步骤,
);()1( xf?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf
963)( 2 xxxf
，令 0)( xf,3,1 21 xx得驻点 列表讨论
x )1,( ),3()3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0 0
极大值极小值
)3(f极小值,22)1(?f极大值,10?
)3)(1(3 xx
593)( 23 xxxxf
M
m
图形如下设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
xf,0)(
0
''
xf,那末定理 3(第二充分条件 )
证 )1( x xfxxfxf x )()(l i m)( 0000?,0?
异号，与故 xxfxxf )()( 00
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
时，当 0 x )()( 00 xfxxf有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值,同理可证 (2).
(1) 当 0)(
0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)(
0
''
xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 xxxxf
2463)( 2 xxxf
，令 0)( xf,2,4 21 xx得驻点
)2)(4(3 xx
,66)( xxf?
)4(f?,018? )4(?f故极大值,60?
)2(f,018? )2(f故极小值,48
20243)( 23 xxxxf 图形如下
M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf
例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 xxf
)2()2(32)( 3
1
xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx
时，当 2?x ;0)( xf
时，当 2?x,0)( xf
.)(1)2( 的极大值为 xff
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
三、小结极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
思考题下命题正确吗？ 如果 0x 为 )( xf 的极小值点，那么必存在
0x 的某邻域，在此邻域内,)( xf 在 0x 的左侧下降，而在 0x 的右侧上升,
思考题解答不正确．
例?
0,2
0),
1
s i n2(2
)(
2
x
x
x
x
xf
当 0?x 时, )0()( fxf )
1s i n2(2
xx? 0?
于是 0?x 为 )( xf 的极小值点当 0?x 时，
当 0?x 时，
,0)1s i n2(2 xx x1cos 在 –1和 1之间振荡因而 )( xf 在 0?x 的两侧都不单调,
故命题不成立．
xxxxf
1c o s)1s i n2(2)(
ò￠ ì ìa ￡o
1?￠μ ·′ ó3 μ? ê? oˉ êy μ? _____ ___ Dê,
2?￠ è? oˉ êy )( xfyú
0
xx?
é μ? ￡ò?ü?ú μ?
0
x
′| μ?
μμ μ? ±× òa ìt?D?a ____ ____ ___,
3?￠ oˉ êy 3
2
)1(2 xy μμ μa ___ ____ _ ￡?
3
1
)1(23 xy μμ?a _ ____ ____ _,
4?￠ òa oˉ êy
0,1
0,
)(
3
xx
xx
xf
x
μ±
_ _ _ _ _ _ _?x
ê± ￡?
为极____ ____?y
Dμ ￡? μ±
时__ ___ __ _?x
￡?
为极____ ____?y ′ó?μ,
练 习 题二、求下列函数的极值：
1,xey
x
co s? ；
2,
x
xy
1；
3,方程 0
2
ye
yx
所确定的函数 )( xfy? ；
4,
0,0
0,
2
1
x
xe
y
x
.
三,证明题：
1,如果 dcxbxaxy
23
满足条 03
2
acb,
则函数无极值,
2,设 )( xf 是有连续的二阶导数的偶函数 0)( xf,
则 0?x 为 )( xf 的极值点,
一,1,局部； 2,0)(
0
xf ；
3,(1,2),无； 4,1,0,)
1
(,
1
3
e
ee;
二,1,极大值
k
eky
2
4
2
2
)2
4
(,极小值
),2,1,0(
2
2
))12(
4
(
)12(
4
keky
k；
2,极大值
e
eey
1
)(? ；
3,极小值
1)0(y；
4,极小值
0)0(?y
.
练习题答案一、最值的求法
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
上连续，在若函数 ],[)( baxf
为零的点，并且至多有有限个导数除个别点外处处可导，
.],[)( 在上的最大值与最小值存在则 baxf
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
二、应用举例例 1
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
，最大值 142)4(?f比较得,7)1(?f最小值
141232 23 xxxy
点击图片任意处播放 \暂停例 2 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 B处向正东追击，
速度为 2千米 /分钟．
问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
解公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts 公里4
B?
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss?
)(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
,0)( ts令得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
小）值．值即为所求的最（或最点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻例 3 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套, 101 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( x
10
18050 x
1068)20()( xxxR
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 350 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高,
最大收入为?
10
3 5 068)203 5 0()( xR
)(1089 0 元?
点击图片任意处播放 \暂停例 4
形面积最大．
所围成的三角及线处的切线与直使曲线在该点上求一点，曲边成一个曲边三角形，在围及抛物线，由直线
80
80
2
2
xy
xy
xyxy
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为为则切线 PT
),(2 000 xxxyy
,200 xy ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x
,0)1616643(41 020 xxS令解得 ).(16,316 00 舍去 xx
8)316(s?,0?,274096)316( 为极大值 s
.274096)316( 最大者为所有三角形中面积的故?s
三、小结注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
思考题 若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最小值，且 )( af? 存在，是否一定有 0)( af？
思考题解答结论不成立,因为最值点不一定是内点,
例 xxfy )( ]1,0[?x
在 有最小值，但0?x 01)0(f
一,填空题：
1,最值可 _ ___ __ __ ___ __ 处取得,
2,函数
23
32 xxy ( 41 x ) 的最大值为 __ __
__ __ _ ；最小值为 ___ __ ___ __,
3,函数
2
100 xy 在 [0,8] 上的最大值为 _ __ ___
__ __ __ ；最小值为 __ __ ___ __ __,
4,设有重量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力
f
的作用而开始移动，摩擦系数
=0,25,问力
f
与水平线的交角
为 __ __ _ 时，才可使力
f
的大小为最小，则此问题的目标函数为 _ __ __ ___ _ _ _ _ __,
讨论区间为 __ __ ___ __ ___ _.
练 习 题
5,从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为 __ _ __ _ _ _ _ 时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
__ _ __ __ _ __ __ _ __ _ 考察区间为 __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _,
二,求函数
x
xy
54
2
( 0?x ) 的最值,
三,求数列
n
n
2
10
的最大项,
四,要造一圆柱形油灌，体积为
V
，问底半径
r
和高
h
等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
五、由 2xy?,0?y,ax? ( 0?a ) 围成一曲边三角形
OA B,在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲线 2xy? 的切线与 OA,OB 围成的三角形面积最大,
一,1,区间端点及极值点；
2,最大值 80)4(?y,最小值 5)1(y ；
3,10,6 ； 4,)
2
,0[,
si nc os
,ar c t an
p
f ；
5,?
3
8
,)2,0(,4
24
642
2
3
R
V,
二、
3x
时函数有最小值 27.
三,14.
四,.1:1:;
2
2,
2
33
hd
v
h
v
r
五、
)
9
4
,
3
2
(
2
aa
.
练习题答案例 4
解
.2,)1()2()( 3 22 的极值求出函数 xxxxf
3
1
)1)(14)(2(32)( xxxxf
.0)(,4/1;)(,1 xfxxfx 时不存在时当
x )1,2( )2,4/1(?)4/1,1(1? 4/1?
)(xf?
)(xf
0
极小值极大值?
)1(?f极小值,0?)4/1(?f极大值,16/9)4/9( 32?
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
解
,
0
00
0
)(
xxe
x
xxe
xf
x
x
0
0
0
)(
xxee
x
xxee
xf
xx
xx
不可导令 f?(x)=0,得 x =1，,01|)()1(
1 xxxx xeeef
∴ x=1为极大值点，极大值 1)1( ef
∵ 在 (-1,0)内,f?(x)<0; 在 (0,1)内,f?(x)>0;
例 5 求 的极值，并求其在 [-1,1]上的最值。xexxf ||)(
∴ x=0为极小值点，极小值 f (0)=0.
.0)0(
,)1(,0)0()1(,)1( 1
f
effefef
最小值得最大值比较与又
)1l n (2:.10 2xx a r c t g x求证例
0,02)(
)1l n (2)(,2
xa r c t g xxf
xx a r c t g xxf
得唯一驻点令证
,0)(.0)0(
0,02
1
2
)(
2
xff
x
x
xf
是最小值是极小点又?
).1l n (2 2xx a r c t g x即
