高 等 数 学一、和、差、积、商的求导法定理,)(),( 处可导在点如果函数 xxvxu
);()(])()([)1( xvxuxvxu
,)( 处也可导在点分母不为零商则它们的和、差、积,x
);()()()(])()([)2( xvxuxvxuxvxu
).0)(()( )()()()(])( )([)3( 2 xvxv xvxuxvxuxv xu
证明（ 1）：
)()()( xvxuxf
由导数定义有：
这表示，函数 )(xf 在点 x 处也可导，且
)()()( ''' xvxuxf
以上结果简单地写成：
''')( vuvu
''')( vuvu
类似地可得证明（ 2）：
条件：
处可导在点而函数 xxvxu )(),(
)()()( ''' xvxuxf结论：
h
xfhxfxf
h
)()()( l i m
0
'
h
xvxuhxvhxu
h
)]()([)]()([ lim
0
)()( '' xvxu
0
])()()()([l i m
h
xvhxv
h
xuhxu
h
);()(])()([)1( xvxuxvxu
证 (3) ),0)((,)( )()( xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
lim
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)()(
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lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu
.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
wuvwvuvwuu v w)(
二、例题分析例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy
解 xxxy lnc o ss in2
xxxy lnc osc os2 xxx ln)s in(s in2
xxx
1co ss i n2
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx
例 3,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss inc o s)( s in
x
xx
2
22
c os
s i nc os x
x
2
2 s e cc o s
1
.s e c)( t a n 2 xx即
.c s c)( c o t 2 xx同理可得例 4,s e c 的导数求 xy?
解 )( s e c xy
x
x
2co s
)(co s,t a ns e c xx?
x
x
2cos
sin?
.co tcsc)( csc xxx同理可得例 5,的导数求 s h xy?
解 ])(
2
1[)( xx ees h xy )(2
1 xx ee
.chx?
同理可得 s h xc h x)(
xcht h x 2
1)(
)c o s1( x
三、小结注意,);()(])()([ xvxuxvxu
.)( )(])( )([ xv xuxv xu
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题求曲线 上与 轴平行的切线方程,
32 xxy x
思考题解答
232 xy 令 0y 032 2 x
3
2
1?x 3
2
2x
切点为?
9
64,
3
2?
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64y和求曲线 上与 轴平行的切线方程,
32 xxy x
一,填空题：
1,设 xxy s i n,则 y? = _____ ___ __.
2,设
x
eay
xx
2
3,则
dx
dy
=_____ ___ __.
3,设
)13(
2
xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= ___ ____ ___,
4,设
1s e ct a n2 xxy
,则 y
= ___ ____ __.
5,设
55
3
)(
2
x
x
xfy?
,则 )0(f? = ___ ____ _.
6,曲线 xy s i n
2
在 0?x 处的切线轴与 x
正向的夹角为 ______ ___,
练 习 题二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
； 2,
110
110
x
x
y ；
3,
2
1
cs c2
x
x
y
； 4,
t
t
xf
1
1
)(,求 )4(f? ；
5,)0,0(
ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
与
x
轴交点处的切线方程,
一,1,)co s
2
s i n
( x
x
x
x? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
；
3,
2?； 4,)t a ns e c2(s e c xxx? ； 5,
25
3； 6,
4
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
； 2,
2
)110(
10ln210
x
x；
3,
22
2
)1(
]2co t)1[(cs c2
x
xxxx
； 4,
18
1；
5,)(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
,
三,)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b?
,
四、
022 yx
和
022 yx
.
练习题答案
).(,0),1ln ( 0,)( xfxx xxxf 求设解,1)( xf,0时当?x
,0时当?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (l i m)(
0
)11l n (1lim 0 xhhh
,1 1 x
思考
,0时当?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
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.0,
1
1
0,1
)(
x
x
x
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,)( 处也可导在点分母不为零商则它们的和、差、积,x
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证明（ 1）：
)()()( xvxuxf
由导数定义有：
这表示，函数 )(xf 在点 x 处也可导，且
)()()( ''' xvxuxf
以上结果简单地写成：
''')( vuvu
''')( vuvu
类似地可得证明（ 2）：
条件：
处可导在点而函数 xxvxu )(),(
)()()( ''' xvxuxf结论：
h
xfhxfxf
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0
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xvxuhxvhxu
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.)( 处可导在 xxf?
推论;)(])([)1(
11
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i
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21
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xfxfxf
xfxfxfxf
wuvwvuvwuu v w)(
二、例题分析例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy
解 23 xy x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy
解 xxxy lnc o ss in2
xxxy lnc osc os2 xxx ln)s in(s in2
xxx
1co ss i n2
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx
例 3,t a n 的导数求 xy?
解 )co ss i n()( t a n xxxy
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x
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2
22
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x
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解 )( s e c xy
x
x
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)(co s,t a ns e c xx?
x
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.co tcsc)( csc xxx同理可得例 5,的导数求 s h xy?
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2
1[)( xx ees h xy )(2
1 xx ee
.chx?
同理可得 s h xc h x)(
xcht h x 2
1)(
)c o s1( x
三、小结注意,);()(])()([ xvxuxvxu
.)( )(])( )([ xv xuxv xu
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
思考题求曲线 上与 轴平行的切线方程,
32 xxy x
思考题解答
232 xy 令 0y 032 2 x
3
2
1?x 3
2
2x
切点为?
9
64,
3
2?
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64y和求曲线 上与 轴平行的切线方程,
32 xxy x
一,填空题：
1,设 xxy s i n,则 y? = _____ ___ __.
2,设
x
eay
xx
2
3,则
dx
dy
=_____ ___ __.
3,设
)13(
2
xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= ___ ____ ___,
4,设
1s e ct a n2 xxy
,则 y
= ___ ____ __.
5,设
55
3
)(
2
x
x
xfy?
,则 )0(f? = ___ ____ _.
6,曲线 xy s i n
2
在 0?x 处的切线轴与 x
正向的夹角为 ______ ___,
练 习 题二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
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； 2,
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x
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1
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ba
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x
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.
三,求抛物线 cbxaxy
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
与
x
轴交点处的切线方程,
一,1,)co s
2
s i n
( x
x
x
x? ； 2,
2
2
ln3
x
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；
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3； 6,
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二,1,
22
)1(
21
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x
； 2,
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10ln210
x
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3,
22
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18
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四、
022 yx
和
022 yx
.
练习题答案
).(,0),1ln ( 0,)( xfxx xxxf 求设解,1)( xf,0时当?x
,0时当?x
h
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思考
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