高 等 数 学
（ 1）常用积分公式汇集成的表称为 积分表,
（ 2）积分表是按照被积函数的类型来排列的,
（ 4）积分表见,高等数学,（四版）上册
（同济大学数学教研室主编）第 452页．
（ 3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果,
一、关于积分表的说明例 1 求,)43( 2 dxx
x?
被积函数中含有 bax?
在积分表（一）中查得公式（ 7）
Cbax
bbax
adxbax
x?
||ln
1
22
现在 4,3 ba 于是
,43
4|43|ln
9
1
43 2 Cxxdxx
x?
二、例题例 2 求,c os45 1 dxx 被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个
224,5 baba 选公式（ 105）
将 代入得 4,5 ba
xba dxcos Cxba baba baba 2t ancot2ar
dxx c os45 1,2t a n3c o t32 Cx
ar
例 3 求,94 2xx
dx
表中不能直接查出,需先进行 变量代换,
令 ux?2 222 394 ux
94 2xx dx
22 3
2
2
1
u
u
du
22 3uu du
被积函数中含有,3 22?u
在积分表（六）中查得公式（ 37）
22 axx dx Caxa xa 22 ||ln1
22 3uu du Cuu 22 33 ||ln31
将 代入得xu 2?
94 2xx dx,943 ||2ln31 2 Cxx
例 4 求,si n 4 xdx?
在积分表（十一）中查得公式（ 95）
xdxn? s in
xd xnnn xx n
n
2
1
s i n1coss i n
利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果,这个公式叫 递推公式,
现在 4?n 于是
xdx? 4s in xdxxx 2
3
s i n434 coss i n
xdx2s in对积分 使用公式（ 93）
xdx2s in Cxx 2s i n412
xdx 4s in 434 co ss i n
3
xx,2s i n412 Cxx
说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在，
但原函数不一定都是初等函数,
例,2 dxe x?,s in dxx x,ln1? dxx
练 习 题
.
1
1
.8.2.7
.
1
1
.6.
)1(
1
.5
.3sin.4.
2
a rcs i n.3
.92.2.
94
.1
:
22
22
2
2
2
dx
x
x
dxxx
dx
xx
dx
xx
xdxedx
x
x
dxx
x
dx
x
定积分利用积分表计算下列不练习题答案
.
2
1
a rcs i n2)1)(1(.8
.)2l n(
2
1
4
2)1(
.7.
1
a rcco s.6
.
1
ln
1
.5).3co s33s i n2(
13
.4
.4
42
a rcs i n)1
2
(.3
.922l n(
4
29
92
2
1
.2
.942ln
2
1
.1
2
22
2
2
2
22
2
C
x
xx
Cxx
xxx
C
x
C
x
x
x
xx
e
Cx
xxx
Cxxx
Cxx
x
（ 1）常用积分公式汇集成的表称为 积分表,
（ 2）积分表是按照被积函数的类型来排列的,
（ 4）积分表见,高等数学,（四版）上册
（同济大学数学教研室主编）第 452页．
（ 3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果,
一、关于积分表的说明例 1 求,)43( 2 dxx
x?
被积函数中含有 bax?
在积分表（一）中查得公式（ 7）
Cbax
bbax
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x?
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现在 4,3 ba 于是
,43
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x?
二、例题例 2 求,c os45 1 dxx 被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个
224,5 baba 选公式（ 105）
将 代入得 4,5 ba
xba dxcos Cxba baba baba 2t ancot2ar
dxx c os45 1,2t a n3c o t32 Cx
ar
例 3 求,94 2xx
dx
表中不能直接查出,需先进行 变量代换,
令 ux?2 222 394 ux
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u
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被积函数中含有,3 22?u
在积分表（六）中查得公式（ 37）
22 axx dx Caxa xa 22 ||ln1
22 3uu du Cuu 22 33 ||ln31
将 代入得xu 2?
94 2xx dx,943 ||2ln31 2 Cxx
例 4 求,si n 4 xdx?
在积分表（十一）中查得公式（ 95）
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xd xnnn xx n
n
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1
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利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果,这个公式叫 递推公式,
现在 4?n 于是
xdx? 4s in xdxxx 2
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s i n434 coss i n
xdx2s in对积分 使用公式（ 93）
xdx2s in Cxx 2s i n412
xdx 4s in 434 co ss i n
3
xx,2s i n412 Cxx
说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在，
但原函数不一定都是初等函数,
例,2 dxe x?,s in dxx x,ln1? dxx
练 习 题
.
1
1
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.
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