第五章 测量误差的基本知识
5-1 概述
一, 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的, 外界环境, 观测者
的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因, 都可能导致
测量误差的产生 。 通常把测量仪器, 观测者的技术水平和
外界环境三个方面综合起来, 称为观测条件 。 观测条件不
理想和不断变化, 是产生测量误差的根本原因 。 通常把观
测条件相同的各次观测, 称为等精度观测；观测条件不同
的各次观测, 称为不等精度观测 。
第五章 测量误差的基本知识具体来说, 测量误差主要来自以下三个方面：
(1) 外界条件 主要指观测环境中气温, 气压, 空气
湿度和清晰度, 风力以及大气折光等因素的不断变化, 导
致测量结果中带有误差 。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中, 不
能保证仪器的结构能满足各种几何关系, 这样的仪器必然
会给测量带来误差 。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所
限以及技术熟练程度不同, 也会在仪器对中, 整平和瞄准
等方面产生误差 。
测量误差按其对测量结果影响的性质, 可分为系统误
差和偶然误差 。
第五章 测量误差的基本知识
二, 系统误差
在相同的观测条件下, 对某量进行了 n次观测, 如果
误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化, 这种
误差称为系统误差 。 系统误差一般具有累积性 。
系统误差产生的主要原因之一, 是由于仪器设备制造
不完善 。 例如, 用一把名义长度为 50m的钢尺去量距, 经
检定钢尺的实际长度为 50.005 m,则每量尺, 就带有
+0.005 m的误差 (“+”表示在所量距离值中应加上 ),丈量
的尺段越多, 所产生的误差越大 。 所以这种误差与所丈量
的距离成正比 。
第五章 测量误差的基本知识
再如, 在水准测量时, 当视准轴与水准管轴不平行而产生
夹角时, 对水准尺的读数所产生的误差为 l*i″ /ρ ″
（ ρ ″ =206265″, 是一弧度对应的秒值 ),它与水准仪至
水准尺之间的距离 l成正比, 所以这种误差按某种规律变
化 。
系统误差具有明显的规律性和累积性, 对测量结果的
影响很大 。 但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律,
所以可以采取措施加以消除或减少其影响 。
第五章 测量误差的基本知识
三, 偶然误差
在相同的观测条件下, 对某量进行了 n次观测, 如果
误差出现的大小和符号均不一定, 则这种误差称为偶然误
差, 又称为随机误差 。 例如, 用经纬仪测角时的照准误差,
钢尺量距时的读数误差等, 都属于偶然误差 。
偶然误差, 就其个别值而言, 在观测前我们确实不能
预知其出现的大小和符号 。 但若在一定的观测条件下, 对
某量进行多次观测, 误差列却呈现出一定的规律性, 称为
统计规律 。 而且, 随着观测次数的增加, 偶然误差的规律
性表现得更加明显 。
第五章 测量误差的基本知识
偶然误差具有如下四个特征：
① 在一定的观测条件下, 偶然误差的绝对值不会超过
一定的限值 (本例为 1.6″ )；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多
(或概率大 )；
③ 绝对值相等的正, 负误差出现的机会相等；
④ 在相同条件下, 同一量的等精度观测, 其偶然误差
的算术平均值, 随着观测次数的无限增大而趋于零,
第五章 测量误差的基本知识
第一个特性说明偶然误差的, 有界性, 。 它说明偶
然误差的绝对值有个限值, 若超过这个限值, 说明观测条
件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的
,密集性,, 即越是靠近 0″, 误差分布越密集；第三个
特性反映了偶然误差的对称性, 即在各个区间内, 正负误
差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的
,抵偿性,, 它可由第三特性导出, 即在大量的偶然误差
中, 正负误差有相互抵消的特征 。 因此, 当 n无限增大时,
偶然误差的算术平均值应趋于零 。
第五章 测量误差的基本知识
5-2 衡量精度的指标
测量成果中都不可避免地含有误差, 在测量工作中,
使用, 精度, 来判断观测成果质量好坏的 。 所谓精度, 就
是指误差分布的密集或离散程度 。 误差分布密集, 误差就
小, 精度就高；反之, 误差分布离散, 误差就大, 精度就
低 。
一, 中误差及其计算
1 中误差的定义
在相同的观测条件下, 对同一未知量进行 n次观测,
所得各个真误差平方的平均值, 再取其平方根, 称为中误
差, 用 m表示, 即：
式中 ［ ΔΔ］ 为真误差 Δ 的平方和, n为观测次数 。
第五章 测量误差的基本知识
一组观测中的每一个观测值, 都具有相同的精度 。 也
就是说, 中误差仅是一组真误差的代表值, 代表了这一组
测量中任一个观测值的精度 。 所以, 通常把 m称为观测值
中误差或一次观测值中误差 。
2 用真误差计算中误差
有时, 我们可以知道某些量的真值, 这样, 就可很容
易地求得观测值的真误差 。 例如, 三角形内角和的真值为
180°, 通过观测三角形的三个内角, 就可以求得三角形
内角和的真误差 (即三角形的闭合差 ),据此, 就可以利用
上式计算中误差 。
第五章 测量误差的基本知识
3 用改正数计算中误差
利用, 改正数, 来求中误差 。 所谓改正数, 就是最或
是值与观测值之差, 用 v表示, 即：
v=x-l
式中 v为观测值的改正数； l为观测值； x为观测值的
最或是值 。
设对某个量进行 n次观测, 观测值为 li（ i=1,2… n)，
则它的最或是值就是 n个观测值的算术平均值, 即
于是改正数为 vi＝ x－ lI （ i＝１, ２ … n） 根据误
差理论的推导 (此处从略 ),可得白塞尔公式：
上式求得的为一次观测值的中误差 。
第五章 测量误差的基本知识
二, 相对误差
中误差和真误差都是绝对误差, 误差的大小与观测量
的大小无关 。 然而, 有些量如长度, 绝对误差不能全面反
映观测精度, 因为长度丈量的误差与长度大小有关 。 例如,
分别丈量了两段不同长度的距离, 一段为 100m,另一段为
200m,但中误差皆为 ± 0.02m。 显然不能认为这两段距离
观测成果的精度相同 。 为此, 需要引入, 相对误差, 的概
念, 以便能更客观地反映实际测量精度 。
相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之
比, 用 K表示 。 相对误差习惯于用分子为 1的分数形式表示,
分母愈大, 表示相对误差愈小, 精度也就愈高 。
第五章 测量误差的基本知识
三, 极限误差
根据偶然误差的第一个特性, 在一定的观测条件下,
偶然误差的绝对值不会超过一定的限值, 这个限值就是极
限误差, 简称限差 。 限差是偶然误差的限制值, 用作观测
成果取舍的标准 。 如果观测值的偶然误差超过限差, 则认
为该观测值不合格, 应舍去不用 。 因此, 测量上常取三倍
中误差作为极限误差 Δ 限, 也称允许误差, 即,Δ 限 =3m
第五章 测量误差的基本知识
5-3 误差传播定律
对于能直接观测的量 (如角度, 距离, 高差等 ),经过
多次观测后, 便可通过真误差或改正数计算出观测值的中
误差, 作为评定观测值精度的标准 。 但在实际工作中, 某
些未知量不可能或不便于直接进行观测, 而需要由另一些
直接观测量根据一定的函数关系计算出来, 这些未知量即
为观测值的函数 。 例如, 在水准测量中, 两点间的高差
h=a-b,则 h是直接观测值 a和 b的函数；在三角高程测量的
计算公式中, 如果觇标高 v等于仪器高 i,则 h=ltanδ, 这
时, 高差 h就是观测值 l和 δ 的函数, 等等 。
本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下,
如何求观测值函数中误差的问题 。 阐述观测值中误差与函
数中误差之间数学关系的定律, 称为误差传播定律 。
第五章 测量误差的基本知识
一, 线性函数
1 倍数函数
设有函数 Z=Kx
式中 x为直接观测值, 其中误差为 mx；Ｋ为常数； Z为
观测值 x的函数 。
若对 x作 n次同精度观测, 则有：
mＺ 2＝Ｋ 2mx2 或 mＺ ＝Ｋ mx
上式表明：对于倍数函数, 函数的中误差等于观测值
中误差的 K倍 。
第五章 测量误差的基本知识
2 和, 差函数
设有函数 Z=x± y
式中, x,y为两个相互独立的观测值, 均作了 n次观
测, 其中误差分别为 mx和 my。 用同样的方法可推导出,
3 一般线性函数
设有函数 Z=K１ x１ ± K2x２ ± … ± Knxn
式中, K１, K２ … Kn为常数 ;x１, x２ … xn为独立观
测值, 其相应的中误差分别为 m１, m２ … mn。 根据倍数函
数与和差函数的中误差公式, 可列出求一般线性函数
中误差的公式为：
mＺ 2＝ （ Ｋ１ m１ ） ２＋ （ Ｋ２ m２ ） ２＋ … ＋
（ Ｋ nmn） ２
第五章 测量误差的基本知识
二, 非线性函数
设有非线性函数 Z=f(x１, x２ … xn）
式中, x１, x２ … xn为独立观测值, 其相应的中误差
分别为 m１, m２ … mn。
则有
上式是误差传播定律的一般形式, 其他形式的函数都
是它的特例, 所以该式具有普遍意义 。
第五章 测量误差的基本知识
5-4 算术平均值及其中误差
在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观
测, 其观测值分别为 l１,
l２, …, ln,观测值的真值为 X,则观测值的真误差为：
Δ １＝ l１－Ｘ,
Δ ２＝ l２－Ｘ,…………,Δ n＝ ln－Ｘ, 将等式两边取和
并除以观测次数 n,得：
[Δ ]/n＝ [l]/n-X
式中 ［ l］ /n称为算术平均值, 习惯上以 x表示；当观
测次数 n无限增大时, 根据偶然误差的第四特性, 式中
［ Δ ］ /n趋于零 。 于是有,x=X。
第五章 测量误差的基本知识
上式表明, 当观测次数无限增多时, 各个观测值的
算术平均值趋近于未知量的真值 。 当 n为有限值时, 通常
取算术平均值为最可靠值 (最或是值 ),并以它作为测量的
最后成果 。
算术平均值的一般表达式为,x=（ l１＋ l２＋ … ＋ ln）
/n＝ [l]/n
由于观测值 li的真误差 Δ i一般是不知道的, 所以实
际工作中常采用观测值的改正数 vi来计算中误差 。 各观测
值的改正数,v１＝ x－ l１, v２＝ x－ l２, ……………
vn＝ x－ ln,将上式两边求和, 有,［ v］ =nx-［ l］
因 x=[l]/n,所以 ［ v］ =0。 此式可作为改正数计算正
确性的检查 。
算得改正数后, 可计算观测值的中误差：
第五章 测量误差的基本知识
由于算术平均值是观测值的线性函数, 即：
因是同精度观测, 各观测值的中误差均为 m。 设算术平均值的
中误差为 M,则按线性函数中误差传播定律公式, 得：
即
上式表明, 算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比,
或者说, 算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍 。
第五章 测量误差的基本知识
5-1 概述
一, 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的, 外界环境, 观测者
的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因, 都可能导致
测量误差的产生 。 通常把测量仪器, 观测者的技术水平和
外界环境三个方面综合起来, 称为观测条件 。 观测条件不
理想和不断变化, 是产生测量误差的根本原因 。 通常把观
测条件相同的各次观测, 称为等精度观测；观测条件不同
的各次观测, 称为不等精度观测 。
第五章 测量误差的基本知识具体来说, 测量误差主要来自以下三个方面：
(1) 外界条件 主要指观测环境中气温, 气压, 空气
湿度和清晰度, 风力以及大气折光等因素的不断变化, 导
致测量结果中带有误差 。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中, 不
能保证仪器的结构能满足各种几何关系, 这样的仪器必然
会给测量带来误差 。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所
限以及技术熟练程度不同, 也会在仪器对中, 整平和瞄准
等方面产生误差 。
测量误差按其对测量结果影响的性质, 可分为系统误
差和偶然误差 。
第五章 测量误差的基本知识
二, 系统误差
在相同的观测条件下, 对某量进行了 n次观测, 如果
误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化, 这种
误差称为系统误差 。 系统误差一般具有累积性 。
系统误差产生的主要原因之一, 是由于仪器设备制造
不完善 。 例如, 用一把名义长度为 50m的钢尺去量距, 经
检定钢尺的实际长度为 50.005 m,则每量尺, 就带有
+0.005 m的误差 (“+”表示在所量距离值中应加上 ),丈量
的尺段越多, 所产生的误差越大 。 所以这种误差与所丈量
的距离成正比 。
第五章 测量误差的基本知识
再如, 在水准测量时, 当视准轴与水准管轴不平行而产生
夹角时, 对水准尺的读数所产生的误差为 l*i″ /ρ ″
（ ρ ″ =206265″, 是一弧度对应的秒值 ),它与水准仪至
水准尺之间的距离 l成正比, 所以这种误差按某种规律变
化 。
系统误差具有明显的规律性和累积性, 对测量结果的
影响很大 。 但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律,
所以可以采取措施加以消除或减少其影响 。
第五章 测量误差的基本知识
三, 偶然误差
在相同的观测条件下, 对某量进行了 n次观测, 如果
误差出现的大小和符号均不一定, 则这种误差称为偶然误
差, 又称为随机误差 。 例如, 用经纬仪测角时的照准误差,
钢尺量距时的读数误差等, 都属于偶然误差 。
偶然误差, 就其个别值而言, 在观测前我们确实不能
预知其出现的大小和符号 。 但若在一定的观测条件下, 对
某量进行多次观测, 误差列却呈现出一定的规律性, 称为
统计规律 。 而且, 随着观测次数的增加, 偶然误差的规律
性表现得更加明显 。
第五章 测量误差的基本知识
偶然误差具有如下四个特征：
① 在一定的观测条件下, 偶然误差的绝对值不会超过
一定的限值 (本例为 1.6″ )；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多
(或概率大 )；
③ 绝对值相等的正, 负误差出现的机会相等；
④ 在相同条件下, 同一量的等精度观测, 其偶然误差
的算术平均值, 随着观测次数的无限增大而趋于零,
第五章 测量误差的基本知识
第一个特性说明偶然误差的, 有界性, 。 它说明偶
然误差的绝对值有个限值, 若超过这个限值, 说明观测条
件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的
,密集性,, 即越是靠近 0″, 误差分布越密集；第三个
特性反映了偶然误差的对称性, 即在各个区间内, 正负误
差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的
,抵偿性,, 它可由第三特性导出, 即在大量的偶然误差
中, 正负误差有相互抵消的特征 。 因此, 当 n无限增大时,
偶然误差的算术平均值应趋于零 。
第五章 测量误差的基本知识
5-2 衡量精度的指标
测量成果中都不可避免地含有误差, 在测量工作中,
使用, 精度, 来判断观测成果质量好坏的 。 所谓精度, 就
是指误差分布的密集或离散程度 。 误差分布密集, 误差就
小, 精度就高；反之, 误差分布离散, 误差就大, 精度就
低 。
一, 中误差及其计算
1 中误差的定义
在相同的观测条件下, 对同一未知量进行 n次观测,
所得各个真误差平方的平均值, 再取其平方根, 称为中误
差, 用 m表示, 即：
式中 ［ ΔΔ］ 为真误差 Δ 的平方和, n为观测次数 。
第五章 测量误差的基本知识
一组观测中的每一个观测值, 都具有相同的精度 。 也
就是说, 中误差仅是一组真误差的代表值, 代表了这一组
测量中任一个观测值的精度 。 所以, 通常把 m称为观测值
中误差或一次观测值中误差 。
2 用真误差计算中误差
有时, 我们可以知道某些量的真值, 这样, 就可很容
易地求得观测值的真误差 。 例如, 三角形内角和的真值为
180°, 通过观测三角形的三个内角, 就可以求得三角形
内角和的真误差 (即三角形的闭合差 ),据此, 就可以利用
上式计算中误差 。
第五章 测量误差的基本知识
3 用改正数计算中误差
利用, 改正数, 来求中误差 。 所谓改正数, 就是最或
是值与观测值之差, 用 v表示, 即：
v=x-l
式中 v为观测值的改正数； l为观测值； x为观测值的
最或是值 。
设对某个量进行 n次观测, 观测值为 li（ i=1,2… n)，
则它的最或是值就是 n个观测值的算术平均值, 即
于是改正数为 vi＝ x－ lI （ i＝１, ２ … n） 根据误
差理论的推导 (此处从略 ),可得白塞尔公式：
上式求得的为一次观测值的中误差 。
第五章 测量误差的基本知识
二, 相对误差
中误差和真误差都是绝对误差, 误差的大小与观测量
的大小无关 。 然而, 有些量如长度, 绝对误差不能全面反
映观测精度, 因为长度丈量的误差与长度大小有关 。 例如,
分别丈量了两段不同长度的距离, 一段为 100m,另一段为
200m,但中误差皆为 ± 0.02m。 显然不能认为这两段距离
观测成果的精度相同 。 为此, 需要引入, 相对误差, 的概
念, 以便能更客观地反映实际测量精度 。
相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之
比, 用 K表示 。 相对误差习惯于用分子为 1的分数形式表示,
分母愈大, 表示相对误差愈小, 精度也就愈高 。
第五章 测量误差的基本知识
三, 极限误差
根据偶然误差的第一个特性, 在一定的观测条件下,
偶然误差的绝对值不会超过一定的限值, 这个限值就是极
限误差, 简称限差 。 限差是偶然误差的限制值, 用作观测
成果取舍的标准 。 如果观测值的偶然误差超过限差, 则认
为该观测值不合格, 应舍去不用 。 因此, 测量上常取三倍
中误差作为极限误差 Δ 限, 也称允许误差, 即,Δ 限 =3m
第五章 测量误差的基本知识
5-3 误差传播定律
对于能直接观测的量 (如角度, 距离, 高差等 ),经过
多次观测后, 便可通过真误差或改正数计算出观测值的中
误差, 作为评定观测值精度的标准 。 但在实际工作中, 某
些未知量不可能或不便于直接进行观测, 而需要由另一些
直接观测量根据一定的函数关系计算出来, 这些未知量即
为观测值的函数 。 例如, 在水准测量中, 两点间的高差
h=a-b,则 h是直接观测值 a和 b的函数；在三角高程测量的
计算公式中, 如果觇标高 v等于仪器高 i,则 h=ltanδ, 这
时, 高差 h就是观测值 l和 δ 的函数, 等等 。
本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下,
如何求观测值函数中误差的问题 。 阐述观测值中误差与函
数中误差之间数学关系的定律, 称为误差传播定律 。
第五章 测量误差的基本知识
一, 线性函数
1 倍数函数
设有函数 Z=Kx
式中 x为直接观测值, 其中误差为 mx；Ｋ为常数； Z为
观测值 x的函数 。
若对 x作 n次同精度观测, 则有：
mＺ 2＝Ｋ 2mx2 或 mＺ ＝Ｋ mx
上式表明：对于倍数函数, 函数的中误差等于观测值
中误差的 K倍 。
第五章 测量误差的基本知识
2 和, 差函数
设有函数 Z=x± y
式中, x,y为两个相互独立的观测值, 均作了 n次观
测, 其中误差分别为 mx和 my。 用同样的方法可推导出,
3 一般线性函数
设有函数 Z=K１ x１ ± K2x２ ± … ± Knxn
式中, K１, K２ … Kn为常数 ;x１, x２ … xn为独立观
测值, 其相应的中误差分别为 m１, m２ … mn。 根据倍数函
数与和差函数的中误差公式, 可列出求一般线性函数
中误差的公式为：
mＺ 2＝ （ Ｋ１ m１ ） ２＋ （ Ｋ２ m２ ） ２＋ … ＋
（ Ｋ nmn） ２
第五章 测量误差的基本知识
二, 非线性函数
设有非线性函数 Z=f(x１, x２ … xn）
式中, x１, x２ … xn为独立观测值, 其相应的中误差
分别为 m１, m２ … mn。
则有
上式是误差传播定律的一般形式, 其他形式的函数都
是它的特例, 所以该式具有普遍意义 。
第五章 测量误差的基本知识
5-4 算术平均值及其中误差
在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观
测, 其观测值分别为 l１,
l２, …, ln,观测值的真值为 X,则观测值的真误差为：
Δ １＝ l１－Ｘ,
Δ ２＝ l２－Ｘ,…………,Δ n＝ ln－Ｘ, 将等式两边取和
并除以观测次数 n,得：
[Δ ]/n＝ [l]/n-X
式中 ［ l］ /n称为算术平均值, 习惯上以 x表示；当观
测次数 n无限增大时, 根据偶然误差的第四特性, 式中
［ Δ ］ /n趋于零 。 于是有,x=X。
第五章 测量误差的基本知识
上式表明, 当观测次数无限增多时, 各个观测值的
算术平均值趋近于未知量的真值 。 当 n为有限值时, 通常
取算术平均值为最可靠值 (最或是值 ),并以它作为测量的
最后成果 。
算术平均值的一般表达式为,x=（ l１＋ l２＋ … ＋ ln）
/n＝ [l]/n
由于观测值 li的真误差 Δ i一般是不知道的, 所以实
际工作中常采用观测值的改正数 vi来计算中误差 。 各观测
值的改正数,v１＝ x－ l１, v２＝ x－ l２, ……………
vn＝ x－ ln,将上式两边求和, 有,［ v］ =nx-［ l］
因 x=[l]/n,所以 ［ v］ =0。 此式可作为改正数计算正
确性的检查 。
算得改正数后, 可计算观测值的中误差：
第五章 测量误差的基本知识
由于算术平均值是观测值的线性函数, 即：
因是同精度观测, 各观测值的中误差均为 m。 设算术平均值的
中误差为 M,则按线性函数中误差传播定律公式, 得：
即
上式表明, 算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比,
或者说, 算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍 。
第五章 测量误差的基本知识
