第五章 测量误差
土 木 工 程 测 量
教学课件
的基本知识
工程测量学
5 测量误差的基本知识
通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，
对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述
有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和
直接观测平差。
工程测量学
5 测量误差的基本知识
对未知量进行测量的过程，称为 观测 。测量所获得的数值称为
观测值 。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实
质上表现为 观测值 与其 真实值 (简称为 真值 )之间的差异，这种差异
称为 测量误差 或 观测误差 。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.1 观测及观测误差
观测
观测值
真实值
测量误差 观测误差
用 Li代表观测值, X代表真值, 则有
Δ i=Li-X (5-1)
式中 Δ i就是 观测误差, 通常称为 真误差, 简称误差 。
i i (5 1)
真误差
一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
工程测量学
5 测量误差的基本知识
观测误差来源于三个方面：
① 观测者视觉鉴别能力和技术水平；
② 仪器、工具的精密程度；
③ 观测时外界条件的好坏。
三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果
的精度。观测条件相同的各次观测称为 等精度观测 ；观测条件不相
同的各次观测，称为 非等精度观测 。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.2 观测误差的来源
观测条件
一般认为, 在测量中人们总希望测量误差越小越好, 甚至趋近
于零 。
在实际生产中, 据不同的测量目的, 允许含有一定程度的误差
工程测量学
5 测量误差的基本知识
根据性质不同, 观测误差可分为粗差, 系统误差和偶然误差三
种, 即
Δ =Δ 1+Δ 2+Δ 3 (5-2)
§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
⑴ 粗差 —— 是一种大级量的观测误差, 例如超限的观测值中往
往含有粗差 。 粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差 。
产生的原因,疏忽大意, 失职；仪器自身或受外界干扰发生故
障等 。
含有粗差的观测值都不能使用 。 在观测中应尽量避免出现粗差
,发现粗差的有效方法是, 进行必要的 重复 观测, 通过多余观测条
件, 采用必要而又严密的 检核, 验算 等 。
= 1+ 2+ 3 (5-2)
工程测量学
5 测量误差的基本知识
⑵ 系统误差 —— 在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号
和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。
系统误差具有积累性，对测量结果影响很大 。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：
①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统
误差的影响 。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后
视视距差等。
② 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的
改正 。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖
直角进行指标差改正等。
③ 将系统误差限制在允许范围内 。有的系统误差既不便计算改
正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管
水准器轴 不垂直于 仪器竖轴 的误差对水平角的影响，对于这类系统
误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细
整平将其影响减小到允许范围内。
工程测量学
5 测量误差的基本知识
⑶ 偶然误差 —— 在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测
时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
产生偶然误差的原因往往是 不固定的 和 难以控制 的，如观测者
的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也
会产生偶然误差。
粗差 可以发现并被剔除,系统误差 能够加以改正，而 偶然误差
是不可避免 的,并且是消除不了的 。它在消除了粗差和系统误差的
观测值中占主导地位
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性
，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且
误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了 358个三角形的全部内
角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于
真值 180° (表 5-1)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
负误差 正误差 合计 误差区间
d Δ
个数 k 频率 k / n 个数 k 频率 k / n 个数 k 频率 k / n
0 ″～ 3 ″
3 ″～ 6 ″
6 ″～ 9 ″
9 ″～ 12 ″
12 ″～ 15 ″
18 ″～ 21 ″
21 ″～ 24 ″
> 2 4 ″
45
40
33
23
17
13
6
4
0
0, 1 2 6
0, 1 1 2
0, 0 9 2
0, 0 6 4
0, 0 4 7
0, 0 3 6
0, 0 1 7
0, 0 1 1
0
46
41
33
21
16
13
5
2
0
0, 1 2 8
0, 1 1 5
0, 0 9 2
0, 0 5 9
0, 0 4 5
0, 0 3 6
0, 0 1 4
0, 0 0 6
0
91
81
66
44
33
26
11
6
0
0, 2 5 4
0, 2 2 7
0, 1 8 4
0, 1 2 3
0, 0 9 2
0, 0 7 2
0, 0 3 1
0, 0 1 7
0
∑ 181 0, 5 0 5 177 0, 4 9 5 358 1, 0 0
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
从表 5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律,小误差
比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频
率相近，最大误差不超过 24″。
统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：
特性 1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值
不超过一定的限值。 (范围 )
特性 2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出
现的频率小。 (绝对值大小 )
特性 3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 (符号 )
特性 4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为 0，
即 (抵偿性 ) (5-3)
本章此处及以后,[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即
∑Δi=[Δ]
(5-3) ? ? 0limlim 21 ?? ?
??
?????
?? nnnn
n?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
用 图示法 可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表 5-1的数据，
以误差大小为横坐标，以频率 k/n与区间 dΔ的比值为纵坐标，如图
5-1所示。这种图称为 频率直方图 。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
可以设想，当误差个数 n→∞,同时又无限缩小误差区间 dΔ，图
5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图 5-2所示。该
曲线称为 误差分布曲线 。
其函数式为：
(5-4) 2
2
2
2
1)( ?
??
??
??? efy
即正态分布曲线上任一点
的纵坐标 y均为横坐标 Δ的函
数。 标准差 大小反映观测精
度的高低，定义为：
(5-5)
nn
][ 2lim ?
??
??? 上式可知,σ的大小决定于一定条件下偶然误差出现
的绝对值的大小。
2
2
2
2
1 ?
??
?
?
? e
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
在图 5-1中各矩形的
面积是频率 k/n。由概
率统计可知，频率 k/n
就是真误差出现在区间
dΔ上的概率 p(Δ)(图 5-2)，
记为：
(5-6)? ? ? ? ??????
? dfdp d n
k
式 (5-4)和式 (5-6)中 f(Δ)是误差分布的概率的 概率密度函数,简称
密度函数 。
2
2
2
2
1 ?
??
?
?
? e
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一
种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都 具有同样的精度 。
为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法,绘出频率直
方图或误差分布表加以分析来衡量 。但这样做实际应用十分不便，
又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差
分布的 密集 或 离散 程度，即应 反映其离散度的大小,作为衡量精度
的指标。
下面介绍几种常用的衡量精度的指标。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.1 中 误 差
由式 (5-5)定义的 标准差 是衡量精度的一种标准，但那是理论上
的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中
定义 中误差 m作为衡量精度的一种标准,
(5-7)
n
m
2][?
??
在式 (5-4)中，当 Δ=0时，以中
误差 m代替标准差 σ（图 5－ 3）
是最大值 2 1)( mf ???
(5-4) 2
2
2
2
1)( ?
??
??
??? efy
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.1 中 误 差
因此在一组观测值中，当小误差比较集中时,m1较小，则曲线
形状较陡峭，如图 5-3中 f1(Δ)，表示该组观测精度较高； f2(Δ)的曲线
形状较平缓，其误差分布比较离散,m2较大，表明该组观测精度低。
如果令 f(Δ)的二阶导数等于 0，
可求得曲线拐点的横坐标：
? ? 01-)( 22 22232 1 ???? ??? ???? ef
Δ=± σ≈± m
也就是说,中误差的几何意
义即为偶然误差分布曲线两个拐
点的横坐标 。
Δ=± σ≈± m (5-8)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.2 相 对 误 差
中误差和真误差都是绝对误差 。 在衡量观测值精度时，单纯用
绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为
100m和 200m的两段距离，中误差皆为 ± 0.02m。显然不能认为两段
距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差
的概念。 相对误差 K是误差 m的绝对值与观测值 D的比值,
(5-9)
||
1||
m
DD
mK ??
上式中当 m为中误差时,K称为 相对中误差 。
在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检
核。 相对较差 定义为：
(5-10)
D
DD
D
D
D- 1
?
? ??
平均平均平均
返往D
相对较差是 相对真误差,它反映往返测量的符合程度。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.3 极限 误 差和容许误差
⑴ 极限误差
由偶然误差的特性 1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝
对值不会超过一定的限值。这个限值就是 极限误差 。标准差或中误
差是衡量 观测精度 的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，
但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式 (5-4)和式 (5-
6)有：
表示真误差落在 (-σ,+σ)内的概率等于 0.683。同理可
得：
(5-11)? ? ?
?
? ??????? ??
???
??? 683.022
2
2
1 deP
(5-12)? ? ?
?
? ??????? ??
???
???
2
22
1 955.022 22
2
deP
(5-13)? ? ?
?
? ??????? ??
???
???
3
32
1 997.033 22
2
deP
(5-4) 2
2
2
2
1)( ?
??
??
??? efy
(5-6)? ? ? ? ??????
? dfdp d n
k
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.3 极限 误 差和容许误差
⑴ 极限误差
上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差
在 ± σ范围以外的个数约占误差总数的 32%； 在 ± 2σ范围以外的个
数约占 4.5%；在 ± 3σ范围以外的个数只占 0.3%。
绝对值大于 3σ的真误差出现的概率很小，因此可以认为 ± 3σ是
真误差实际出现的 极限,即 3σ是极限误差：
Δ极限 =3σ (5-14)Δ极限 =3σ (5-14)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.3 极限 误 差和容许误差
⑵ 容许误差
测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的
大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以 2倍 或 3倍 中
误差作为偶然误差的容许值，称为 容许误差,即
Δ容 =2σ≈2m (5-15)
或 Δ容 =3σ≈3m (5-16)
Δ容 =2σ≈2m (5-15)
Δ容 =3σ≈3m (5-16)
前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许
误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量
工作中 通常以中误差作为衡量精度的指标 。但在实际工作中，某些
未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量
根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两
点间的距离 D，可以用光电测距仪测量斜距 S，并用经纬仪测量竖
直角 α，以函数关系 D=Scosα来推算。显然，在此情况下,函数 D的
中误差与观测值 S及 α的中误差之间,必定有一定的关系。阐述这种
函数关系的定律，称为 误差传播定律 。
设有一般函数
Z=f(X1,X2,…, Xn) (5-17)
式中 X1,X2,…, Xn为可 直接观测 的未知量； Z为不便于直接
观测的未知量。
其中函数 Z的中误差为 mZ，各独立变量 X1,X2,… Xn对应的
观测值中误差分别为 m1,m2,… mn，如果知道了 mz与 mi之间的关系，
就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。 各变量的观测
值中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律 。
Z=f(X1,X2,…, Xn)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
设 xi(i=1,2,……, n)的独立观测值为 li,其相应的真误差为 Δxi。
由于 Δxi的存在，使函数 Z亦产生相应的 真误差 ΔZ。将 (5-17)取全微
分
因误差 Δxi及 ΔZ都很小，故在上式中，可近似用 Δxi及 ΔZ代替
dx及 dz，于是有
n
n
dxxFdxxFdxxFdz ?????????? ?2
2
1
1
n
n
xxFxxFxxFz ?????????????? ?2
2
1
1
式中 为函数 f对各自变量的偏导数。将 xi=li代入各偏导数
中，即为确定的常数，设 ix
F
?
?
? ? ilxxF f
iii
????
则上式可写成 ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+f nΔxn
为了求得函数和观测值之间的 中误差关系式,设想对各 xi进行
了 k次观测，则可写出 k个类似上式的关系式
ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+f nΔxn
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
)()(
22
)(
11
)(
)2()2(
22
)2(
11
)2(
)1()1(
22
)1(
11
)1(
k
nn
kkk
nn
nn
xfxfxfz
xfxfxfz
xfxfxfz
????????
????????
????????
?
??????
?
?
将上式各式等号两边平方后，再相加，得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
???????????
n
jiji
jijinn xxffxfxfxfz
,1,
222
2
2
2
2
1
2
1
2 ?
上式两端各除以 k
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
??????????? n
jiji
ji
ji
n
n k
xxff
k
xf
k
xf
k
xf
k
z
,1,
2
2
2
22
2
2
12
1
2
?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
设对各 xi的观测值 li为彼此独立的观测，则 ΔxiΔxj当 i≠j时，亦为
偶然误差 。根据偶然误差的特性 4 可知,上式末项当 k→∞ 时趋近
于零,即
故
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
??????????? n
jiji
ji
ji
n
n k
xxff
k
xf
k
xf
k
xf
k
z
,1,
2
2
2
22
2
2
12
1
2
?
? ? 0lim ???
?? k
xx
k
ji
? ? ? ? ? ? ? ? )(lim 22222
2
2
12
1
2
lim kxfkxfkxfkz nnk
k
????????
????
?
根据中误差（标准差）的定义（ 5-5)，上式可写成
22222221212 nnz fff ???? ???? ?
当 k为有限值时，可写为,
22222221212 nnz mfmfmfm ???? ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：
各观测值是相互独立的变量，而当 li为未知量 xi的直接观测值时，可
认为各 li之间满足相互独立的条件 。
利用它不难导出表 5-2所列简单函数的误差传播定律。
(5-26)? ? ? ? ? ? 222
2
22
1
2
21 nx
f
x
f
x
f
z mmmm n?
?
?
?
?
? ????? ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
除了标准实体，自然界中任何单个未知量 (如某一角度，某一长
度等 )的 真值 都是无法确知的，只有通过 重复观测,才能对其作出
可靠的估计 。在测量中，重复测量的目的还在于 提高 观测成果的 精
度,同时也为了 发现和消除粗差 。
重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产
生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准
则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的
调整，给以 适当的改正,从而求得观测值的 最佳估值,同时对观测
进行 质量评估 。人们把这一数据处理的过程称作 测量平差 。
对一个未知量的直接观测值进行平差，称为 直接观测平差 。据
观测条件，有 等精度 直接观测平差和 不等精度 直接观测平差。平差
结果是得到未知量最可靠的估值 (最可靠值 )，最接近其真值，称为
,最或是值,。
测量平差
直接观测平差
最或是值
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
在等精度直接观测平差中,观测值的算术平均值是未知量的 最
或是值 。
即 x=(l1+l2+…+l n)/n=[l]/n (5-27)
5.4.1 求 最 或 是 值
x=(l1+l2+…+l n)/n=[l]/n (5-27)
观测值 与 最或是值之差,称为,最或是误差,，用符号
vi(i=1,2,…n) 来表示。
Vi=li-x (i=1,2,…n) (5-28)
将 n 个最或是误差 vi相加，有：
[v]=[l]-nx=0 (5-29)
即最或是误差的总和为 0。式 (5-29)可以用作计算中的检核，若
vi值计算无误，其总和必然为 0。 显然当观测次数 n→∞ 时, vi=Δi
（真误差）。
Vi=li-x (i=1,2,…n) (5-28)
[v] [l]- 0 (5-29)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
⑴ 观测值中误差
由于独立观测中单个未知量的 真值 X是无法确知的，
因此 真误差 Δi也是未知的，所以不能直接应用 (5-7)求得 中
误差 。但可用有限个等精度观测值 li求出 最或是值 x后，再
按公式 (5-28)计算 最或是误差,用最或是误差 vi计算观测
值的中误差。公式推导从略。
5.4.2 评 定 精 度
(5-34)
1
][ 2
??? n
vm
式 (5-34)是等精度观测中 用最或是误差计算中误差 的
公式。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
⑵ 最或是值的中误差
设对某量进行 n次等精度观测，观测值为 l1,l2,…, ln,中误差为 m。
最或是值 x的中误差 M的计算公式推导如下：
5.4.2 评 定 精 度
根据误差传播定律，有：
(5-35)
nnnnn
l lllx 1
2
1
1
1][ ????? ?
(5-36) 221221221 )()()( mmmM
nnn ????? ?
所以 (5-37)
n
mM ??
顾及式 (5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下：
(5-38)
)1(
][ 2
??? nn
vM
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也
各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求 未知量的最可
靠估值 时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，，因为
较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。
不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值,权,的数值来表
示。,权,是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例
如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是
等精度的。设第一组观测了 4次，其观测值为 l1,l2,l3,l4； 第二组观
测了 3次，观测值为 l1’,l2’,l3’。这些观测值的可靠程度都相同，
每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即
(5-39)
32
'
3
'
2
'
1 lllL ???41 4321 llllL ????
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
对于观测值 L1,L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应
为：
(5-40)
34
34
7
21
'
3
'
2
'
14321
?
??????? ?? LLlllllllL
权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比
值，权通常用字母 p表示，且恒取正值。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的
观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，
也可根据中误差来定义观测值的权。
5.5.1 权与中误差的关系
设 n个不等精度观测观测值的中误差分别为 m1,m2,…m n，则
权可以用下式来定义：
其中 λ可取为任意正常数 。
(5-42)
22
2
2
1
,,21
nmnmm
ppp ??? ??? ?
前面所举的例子,l1,l2,l3,l4和 l1’,l2’,l3’是等精度观测,观
测值的中误差为 m，则第 1组的 算术平均值 L1的中误差 m1可以根据
式 (5-37)得：
mm 411 ?
同理，可得第 2组算术平均值 L2的中误差为,mm 312 ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
在式 (5-42)中分别代入 m1和 m2，得：
5.5.1 权与中误差的关系
式中 λ为任意常数。设 λ=m2,则 L1,L2的权为
由上式可知,权与中误差的平方成反比。任意选择 λ值，可以
使权变为便于计算的数值 。
L1：
3
2
2
2
4
1
2
22
1
m
mm
m
p
p
??
?
?
??
??
L2：
λ=m2
p1=4,p2=3
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
5.5.1 权与中误差的关系
[例 5－ 9] 对某一角度进行了 n次观测，求算术平均值的权。
由例 5－ 9可知，取一测回角度观测值之权为 1，则 n个测回观测
值的算术平均值的权为 n。故角度观测的权与其测回数成正比。在
不等精度观测中引入,权” 的概念，可以建立各观测值之间的精度
比值，以便更合理地处理观测数据。
解 设一测回角度观测值的中误差为 m，由式（ 5－ 37），
算术平均值的中误差为 M＝ m/n1/2。
由权的定义并设 λ＝ m2，则一测回观测值的权为：
p=λ/m2=1p=λ/m2=1
算术平均值的权为,px=λ/(m2/n)=n
例如，设每一测回的观测值的中误差为 m2，其权为 p0，并设 λ
＝ m2，则有,p0=λ/m2=1 （ 5－ 43）p0=λ/m2=1 （ 5－ 43）
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
5.5.1 权与中误差的关系
相应的有中误差的另一表达式：
等于 1的权称 单位权,而使权等于 1的中误差称 单位中误差,一
般用 m0(或 μ)表示。对于中误差为 mi的观测值，其权 pi为：
(5-44)
2
2
0
im
m
ip ?
(5-45)
ipi
mm 10?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
设对同一未知量进行了 n次非等精度观测，观测值为 l1,l2,…,
ln，其相应的权为 p1,p2,……, pn,则加权算术平均值 L0为非等
精度观测值的 最或是值 (最可靠值 )，其计算公式可写为
5.5.2 加 权平均值与中误差的关系
校核计算式为：
式中 vi=li-L0为最或是误差。
(5-46)
n
nn
ppp
lplplpL
???
????
?
?
21
2211
0
或 (5-47)
][
][
0 p
plL ?
(5-48)0][ ?pv
由式 (5-47)，根据误差传播定律，可得 L0的中误差 M0为：
(5-49) )(
][
1 222
2
2
2
2
1
2
12
2
0 nn mpmpmppM ???? ?
式中,m1,m2,…,m n为 l1,l2…l n的中误差。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
根据权的定义公式 (5-42)和式 (5-44)
5.5.2 加 权平均值与中误差的关系
p1m12=p2m22=…=p nmn2=m02
(5-50)
][
2
02
0 p
mM ?
有 (m0为单位权中误差 )
(5-44)
2
2
0
im
m
ip ?
(5-42)
22
2
2
1
,,21
nmnmm
ppp ??? ??? ?
所以
(5-49) )(
][
1 222
2
2
2
2
1
2
12
2
0 nn mpmpmppM ???? ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
5.5.2 加 权平均值与中误差的关系
实际上常用最或是误差 vi=L0-li来计算中误差 M0，与式 (5-38)类
似，有：
(5-51)
1
][
0
2
??? n
pvm
(5-52)
)1]([
][
0
2
??? np
pvM
(5-50)
][
2
02
0 p
mM ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识
习题与思考题
1,2,3,4,6,7,15,16,17
工程测量学
5 测量误差的基本知识
7.1.1 地下水
图 7-10
地下水的类型§ 5.2
?sAs
§ 10.2 工程地质测绘
工程测量学
5 测量误差的基本知识
课程简介
本课程包括建筑工程中广泛应用的
课程内容：
绪 论
第一章
第二章
第三章
第四章
第一部分
课程目录
工程测量学
5 测量误差的基本知识
2.4.2 特性
1,特性
平行 垂直 倾斜
A B
C
a b
c
A
B
C
a b
c
A
B
Ca
c
b
实形性
类似性
积聚性
工程测量学
5 测量误差的基本知识
工程测量学
5 测量误差的基本知识
祝同学们节日快乐
土 木 工 程 测 量
教学课件
的基本知识
工程测量学
5 测量误差的基本知识
通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，
对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述
有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和
直接观测平差。
工程测量学
5 测量误差的基本知识
对未知量进行测量的过程，称为 观测 。测量所获得的数值称为
观测值 。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实
质上表现为 观测值 与其 真实值 (简称为 真值 )之间的差异，这种差异
称为 测量误差 或 观测误差 。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.1 观测及观测误差
观测
观测值
真实值
测量误差 观测误差
用 Li代表观测值, X代表真值, 则有
Δ i=Li-X (5-1)
式中 Δ i就是 观测误差, 通常称为 真误差, 简称误差 。
i i (5 1)
真误差
一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
工程测量学
5 测量误差的基本知识
观测误差来源于三个方面：
① 观测者视觉鉴别能力和技术水平；
② 仪器、工具的精密程度；
③ 观测时外界条件的好坏。
三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果
的精度。观测条件相同的各次观测称为 等精度观测 ；观测条件不相
同的各次观测，称为 非等精度观测 。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.2 观测误差的来源
观测条件
一般认为, 在测量中人们总希望测量误差越小越好, 甚至趋近
于零 。
在实际生产中, 据不同的测量目的, 允许含有一定程度的误差
工程测量学
5 测量误差的基本知识
根据性质不同, 观测误差可分为粗差, 系统误差和偶然误差三
种, 即
Δ =Δ 1+Δ 2+Δ 3 (5-2)
§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
⑴ 粗差 —— 是一种大级量的观测误差, 例如超限的观测值中往
往含有粗差 。 粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差 。
产生的原因,疏忽大意, 失职；仪器自身或受外界干扰发生故
障等 。
含有粗差的观测值都不能使用 。 在观测中应尽量避免出现粗差
,发现粗差的有效方法是, 进行必要的 重复 观测, 通过多余观测条
件, 采用必要而又严密的 检核, 验算 等 。
= 1+ 2+ 3 (5-2)
工程测量学
5 测量误差的基本知识
⑵ 系统误差 —— 在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号
和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。
系统误差具有积累性，对测量结果影响很大 。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：
①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统
误差的影响 。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后
视视距差等。
② 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的
改正 。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖
直角进行指标差改正等。
③ 将系统误差限制在允许范围内 。有的系统误差既不便计算改
正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管
水准器轴 不垂直于 仪器竖轴 的误差对水平角的影响，对于这类系统
误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细
整平将其影响减小到允许范围内。
工程测量学
5 测量误差的基本知识
⑶ 偶然误差 —— 在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测
时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
产生偶然误差的原因往往是 不固定的 和 难以控制 的，如观测者
的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也
会产生偶然误差。
粗差 可以发现并被剔除,系统误差 能够加以改正，而 偶然误差
是不可避免 的,并且是消除不了的 。它在消除了粗差和系统误差的
观测值中占主导地位
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性
，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且
误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了 358个三角形的全部内
角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于
真值 180° (表 5-1)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
负误差 正误差 合计 误差区间
d Δ
个数 k 频率 k / n 个数 k 频率 k / n 个数 k 频率 k / n
0 ″～ 3 ″
3 ″～ 6 ″
6 ″～ 9 ″
9 ″～ 12 ″
12 ″～ 15 ″
18 ″～ 21 ″
21 ″～ 24 ″
> 2 4 ″
45
40
33
23
17
13
6
4
0
0, 1 2 6
0, 1 1 2
0, 0 9 2
0, 0 6 4
0, 0 4 7
0, 0 3 6
0, 0 1 7
0, 0 1 1
0
46
41
33
21
16
13
5
2
0
0, 1 2 8
0, 1 1 5
0, 0 9 2
0, 0 5 9
0, 0 4 5
0, 0 3 6
0, 0 1 4
0, 0 0 6
0
91
81
66
44
33
26
11
6
0
0, 2 5 4
0, 2 2 7
0, 1 8 4
0, 1 2 3
0, 0 9 2
0, 0 7 2
0, 0 3 1
0, 0 1 7
0
∑ 181 0, 5 0 5 177 0, 4 9 5 358 1, 0 0
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
从表 5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律,小误差
比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频
率相近，最大误差不超过 24″。
统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：
特性 1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值
不超过一定的限值。 (范围 )
特性 2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出
现的频率小。 (绝对值大小 )
特性 3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 (符号 )
特性 4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为 0，
即 (抵偿性 ) (5-3)
本章此处及以后,[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即
∑Δi=[Δ]
(5-3) ? ? 0limlim 21 ?? ?
??
?????
?? nnnn
n?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
用 图示法 可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表 5-1的数据，
以误差大小为横坐标，以频率 k/n与区间 dΔ的比值为纵坐标，如图
5-1所示。这种图称为 频率直方图 。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
可以设想，当误差个数 n→∞,同时又无限缩小误差区间 dΔ，图
5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图 5-2所示。该
曲线称为 误差分布曲线 。
其函数式为：
(5-4) 2
2
2
2
1)( ?
??
??
??? efy
即正态分布曲线上任一点
的纵坐标 y均为横坐标 Δ的函
数。 标准差 大小反映观测精
度的高低，定义为：
(5-5)
nn
][ 2lim ?
??
??? 上式可知,σ的大小决定于一定条件下偶然误差出现
的绝对值的大小。
2
2
2
2
1 ?
??
?
?
? e
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.1 观测误差概述
5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
在图 5-1中各矩形的
面积是频率 k/n。由概
率统计可知，频率 k/n
就是真误差出现在区间
dΔ上的概率 p(Δ)(图 5-2)，
记为：
(5-6)? ? ? ? ??????
? dfdp d n
k
式 (5-4)和式 (5-6)中 f(Δ)是误差分布的概率的 概率密度函数,简称
密度函数 。
2
2
2
2
1 ?
??
?
?
? e
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一
种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都 具有同样的精度 。
为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法,绘出频率直
方图或误差分布表加以分析来衡量 。但这样做实际应用十分不便，
又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差
分布的 密集 或 离散 程度，即应 反映其离散度的大小,作为衡量精度
的指标。
下面介绍几种常用的衡量精度的指标。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.1 中 误 差
由式 (5-5)定义的 标准差 是衡量精度的一种标准，但那是理论上
的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中
定义 中误差 m作为衡量精度的一种标准,
(5-7)
n
m
2][?
??
在式 (5-4)中，当 Δ=0时，以中
误差 m代替标准差 σ（图 5－ 3）
是最大值 2 1)( mf ???
(5-4) 2
2
2
2
1)( ?
??
??
??? efy
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.1 中 误 差
因此在一组观测值中，当小误差比较集中时,m1较小，则曲线
形状较陡峭，如图 5-3中 f1(Δ)，表示该组观测精度较高； f2(Δ)的曲线
形状较平缓，其误差分布比较离散,m2较大，表明该组观测精度低。
如果令 f(Δ)的二阶导数等于 0，
可求得曲线拐点的横坐标：
? ? 01-)( 22 22232 1 ???? ??? ???? ef
Δ=± σ≈± m
也就是说,中误差的几何意
义即为偶然误差分布曲线两个拐
点的横坐标 。
Δ=± σ≈± m (5-8)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.2 相 对 误 差
中误差和真误差都是绝对误差 。 在衡量观测值精度时，单纯用
绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为
100m和 200m的两段距离，中误差皆为 ± 0.02m。显然不能认为两段
距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差
的概念。 相对误差 K是误差 m的绝对值与观测值 D的比值,
(5-9)
||
1||
m
DD
mK ??
上式中当 m为中误差时,K称为 相对中误差 。
在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检
核。 相对较差 定义为：
(5-10)
D
DD
D
D
D- 1
?
? ??
平均平均平均
返往D
相对较差是 相对真误差,它反映往返测量的符合程度。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.3 极限 误 差和容许误差
⑴ 极限误差
由偶然误差的特性 1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝
对值不会超过一定的限值。这个限值就是 极限误差 。标准差或中误
差是衡量 观测精度 的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，
但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式 (5-4)和式 (5-
6)有：
表示真误差落在 (-σ,+σ)内的概率等于 0.683。同理可
得：
(5-11)? ? ?
?
? ??????? ??
???
??? 683.022
2
2
1 deP
(5-12)? ? ?
?
? ??????? ??
???
???
2
22
1 955.022 22
2
deP
(5-13)? ? ?
?
? ??????? ??
???
???
3
32
1 997.033 22
2
deP
(5-4) 2
2
2
2
1)( ?
??
??
??? efy
(5-6)? ? ? ? ??????
? dfdp d n
k
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.3 极限 误 差和容许误差
⑴ 极限误差
上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差
在 ± σ范围以外的个数约占误差总数的 32%； 在 ± 2σ范围以外的个
数约占 4.5%；在 ± 3σ范围以外的个数只占 0.3%。
绝对值大于 3σ的真误差出现的概率很小，因此可以认为 ± 3σ是
真误差实际出现的 极限,即 3σ是极限误差：
Δ极限 =3σ (5-14)Δ极限 =3σ (5-14)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.3 极限 误 差和容许误差
⑵ 容许误差
测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的
大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以 2倍 或 3倍 中
误差作为偶然误差的容许值，称为 容许误差,即
Δ容 =2σ≈2m (5-15)
或 Δ容 =3σ≈3m (5-16)
Δ容 =2σ≈2m (5-15)
Δ容 =3σ≈3m (5-16)
前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许
误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量
工作中 通常以中误差作为衡量精度的指标 。但在实际工作中，某些
未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量
根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两
点间的距离 D，可以用光电测距仪测量斜距 S，并用经纬仪测量竖
直角 α，以函数关系 D=Scosα来推算。显然，在此情况下,函数 D的
中误差与观测值 S及 α的中误差之间,必定有一定的关系。阐述这种
函数关系的定律，称为 误差传播定律 。
设有一般函数
Z=f(X1,X2,…, Xn) (5-17)
式中 X1,X2,…, Xn为可 直接观测 的未知量； Z为不便于直接
观测的未知量。
其中函数 Z的中误差为 mZ，各独立变量 X1,X2,… Xn对应的
观测值中误差分别为 m1,m2,… mn，如果知道了 mz与 mi之间的关系，
就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。 各变量的观测
值中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律 。
Z=f(X1,X2,…, Xn)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
设 xi(i=1,2,……, n)的独立观测值为 li,其相应的真误差为 Δxi。
由于 Δxi的存在，使函数 Z亦产生相应的 真误差 ΔZ。将 (5-17)取全微
分
因误差 Δxi及 ΔZ都很小，故在上式中，可近似用 Δxi及 ΔZ代替
dx及 dz，于是有
n
n
dxxFdxxFdxxFdz ?????????? ?2
2
1
1
n
n
xxFxxFxxFz ?????????????? ?2
2
1
1
式中 为函数 f对各自变量的偏导数。将 xi=li代入各偏导数
中，即为确定的常数，设 ix
F
?
?
? ? ilxxF f
iii
????
则上式可写成 ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+f nΔxn
为了求得函数和观测值之间的 中误差关系式,设想对各 xi进行
了 k次观测，则可写出 k个类似上式的关系式
ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+f nΔxn
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
)()(
22
)(
11
)(
)2()2(
22
)2(
11
)2(
)1()1(
22
)1(
11
)1(
k
nn
kkk
nn
nn
xfxfxfz
xfxfxfz
xfxfxfz
????????
????????
????????
?
??????
?
?
将上式各式等号两边平方后，再相加，得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
???????????
n
jiji
jijinn xxffxfxfxfz
,1,
222
2
2
2
2
1
2
1
2 ?
上式两端各除以 k
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
??????????? n
jiji
ji
ji
n
n k
xxff
k
xf
k
xf
k
xf
k
z
,1,
2
2
2
22
2
2
12
1
2
?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
设对各 xi的观测值 li为彼此独立的观测，则 ΔxiΔxj当 i≠j时，亦为
偶然误差 。根据偶然误差的特性 4 可知,上式末项当 k→∞ 时趋近
于零,即
故
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
??????????? n
jiji
ji
ji
n
n k
xxff
k
xf
k
xf
k
xf
k
z
,1,
2
2
2
22
2
2
12
1
2
?
? ? 0lim ???
?? k
xx
k
ji
? ? ? ? ? ? ? ? )(lim 22222
2
2
12
1
2
lim kxfkxfkxfkz nnk
k
????????
????
?
根据中误差（标准差）的定义（ 5-5)，上式可写成
22222221212 nnz fff ???? ???? ?
当 k为有限值时，可写为,
22222221212 nnz mfmfmfm ???? ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.3 误 差 传 播 定 律
上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：
各观测值是相互独立的变量，而当 li为未知量 xi的直接观测值时，可
认为各 li之间满足相互独立的条件 。
利用它不难导出表 5-2所列简单函数的误差传播定律。
(5-26)? ? ? ? ? ? 222
2
22
1
2
21 nx
f
x
f
x
f
z mmmm n?
?
?
?
?
? ????? ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
除了标准实体，自然界中任何单个未知量 (如某一角度，某一长
度等 )的 真值 都是无法确知的，只有通过 重复观测,才能对其作出
可靠的估计 。在测量中，重复测量的目的还在于 提高 观测成果的 精
度,同时也为了 发现和消除粗差 。
重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产
生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准
则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的
调整，给以 适当的改正,从而求得观测值的 最佳估值,同时对观测
进行 质量评估 。人们把这一数据处理的过程称作 测量平差 。
对一个未知量的直接观测值进行平差，称为 直接观测平差 。据
观测条件，有 等精度 直接观测平差和 不等精度 直接观测平差。平差
结果是得到未知量最可靠的估值 (最可靠值 )，最接近其真值，称为
,最或是值,。
测量平差
直接观测平差
最或是值
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
在等精度直接观测平差中,观测值的算术平均值是未知量的 最
或是值 。
即 x=(l1+l2+…+l n)/n=[l]/n (5-27)
5.4.1 求 最 或 是 值
x=(l1+l2+…+l n)/n=[l]/n (5-27)
观测值 与 最或是值之差,称为,最或是误差,，用符号
vi(i=1,2,…n) 来表示。
Vi=li-x (i=1,2,…n) (5-28)
将 n 个最或是误差 vi相加，有：
[v]=[l]-nx=0 (5-29)
即最或是误差的总和为 0。式 (5-29)可以用作计算中的检核，若
vi值计算无误，其总和必然为 0。 显然当观测次数 n→∞ 时, vi=Δi
（真误差）。
Vi=li-x (i=1,2,…n) (5-28)
[v] [l]- 0 (5-29)
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
⑴ 观测值中误差
由于独立观测中单个未知量的 真值 X是无法确知的，
因此 真误差 Δi也是未知的，所以不能直接应用 (5-7)求得 中
误差 。但可用有限个等精度观测值 li求出 最或是值 x后，再
按公式 (5-28)计算 最或是误差,用最或是误差 vi计算观测
值的中误差。公式推导从略。
5.4.2 评 定 精 度
(5-34)
1
][ 2
??? n
vm
式 (5-34)是等精度观测中 用最或是误差计算中误差 的
公式。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.4 等精度直接观测平差
⑵ 最或是值的中误差
设对某量进行 n次等精度观测，观测值为 l1,l2,…, ln,中误差为 m。
最或是值 x的中误差 M的计算公式推导如下：
5.4.2 评 定 精 度
根据误差传播定律，有：
(5-35)
nnnnn
l lllx 1
2
1
1
1][ ????? ?
(5-36) 221221221 )()()( mmmM
nnn ????? ?
所以 (5-37)
n
mM ??
顾及式 (5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下：
(5-38)
)1(
][ 2
??? nn
vM
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也
各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求 未知量的最可
靠估值 时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，，因为
较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。
不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值,权,的数值来表
示。,权,是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例
如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是
等精度的。设第一组观测了 4次，其观测值为 l1,l2,l3,l4； 第二组观
测了 3次，观测值为 l1’,l2’,l3’。这些观测值的可靠程度都相同，
每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即
(5-39)
32
'
3
'
2
'
1 lllL ???41 4321 llllL ????
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
对于观测值 L1,L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应
为：
(5-40)
34
34
7
21
'
3
'
2
'
14321
?
??????? ?? LLlllllllL
权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比
值，权通常用字母 p表示，且恒取正值。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的
观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，
也可根据中误差来定义观测值的权。
5.5.1 权与中误差的关系
设 n个不等精度观测观测值的中误差分别为 m1,m2,…m n，则
权可以用下式来定义：
其中 λ可取为任意正常数 。
(5-42)
22
2
2
1
,,21
nmnmm
ppp ??? ??? ?
前面所举的例子,l1,l2,l3,l4和 l1’,l2’,l3’是等精度观测,观
测值的中误差为 m，则第 1组的 算术平均值 L1的中误差 m1可以根据
式 (5-37)得：
mm 411 ?
同理，可得第 2组算术平均值 L2的中误差为,mm 312 ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
在式 (5-42)中分别代入 m1和 m2，得：
5.5.1 权与中误差的关系
式中 λ为任意常数。设 λ=m2,则 L1,L2的权为
由上式可知,权与中误差的平方成反比。任意选择 λ值，可以
使权变为便于计算的数值 。
L1：
3
2
2
2
4
1
2
22
1
m
mm
m
p
p
??
?
?
??
??
L2：
λ=m2
p1=4,p2=3
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
5.5.1 权与中误差的关系
[例 5－ 9] 对某一角度进行了 n次观测，求算术平均值的权。
由例 5－ 9可知，取一测回角度观测值之权为 1，则 n个测回观测
值的算术平均值的权为 n。故角度观测的权与其测回数成正比。在
不等精度观测中引入,权” 的概念，可以建立各观测值之间的精度
比值，以便更合理地处理观测数据。
解 设一测回角度观测值的中误差为 m，由式（ 5－ 37），
算术平均值的中误差为 M＝ m/n1/2。
由权的定义并设 λ＝ m2，则一测回观测值的权为：
p=λ/m2=1p=λ/m2=1
算术平均值的权为,px=λ/(m2/n)=n
例如，设每一测回的观测值的中误差为 m2，其权为 p0，并设 λ
＝ m2，则有,p0=λ/m2=1 （ 5－ 43）p0=λ/m2=1 （ 5－ 43）
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
5.5.1 权与中误差的关系
相应的有中误差的另一表达式：
等于 1的权称 单位权,而使权等于 1的中误差称 单位中误差,一
般用 m0(或 μ)表示。对于中误差为 mi的观测值，其权 pi为：
(5-44)
2
2
0
im
m
ip ?
(5-45)
ipi
mm 10?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
设对同一未知量进行了 n次非等精度观测，观测值为 l1,l2,…,
ln，其相应的权为 p1,p2,……, pn,则加权算术平均值 L0为非等
精度观测值的 最或是值 (最可靠值 )，其计算公式可写为
5.5.2 加 权平均值与中误差的关系
校核计算式为：
式中 vi=li-L0为最或是误差。
(5-46)
n
nn
ppp
lplplpL
???
????
?
?
21
2211
0
或 (5-47)
][
][
0 p
plL ?
(5-48)0][ ?pv
由式 (5-47)，根据误差传播定律，可得 L0的中误差 M0为：
(5-49) )(
][
1 222
2
2
2
2
1
2
12
2
0 nn mpmpmppM ???? ?
式中,m1,m2,…,m n为 l1,l2…l n的中误差。
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
根据权的定义公式 (5-42)和式 (5-44)
5.5.2 加 权平均值与中误差的关系
p1m12=p2m22=…=p nmn2=m02
(5-50)
][
2
02
0 p
mM ?
有 (m0为单位权中误差 )
(5-44)
2
2
0
im
m
ip ?
(5-42)
22
2
2
1
,,21
nmnmm
ppp ??? ??? ?
所以
(5-49) )(
][
1 222
2
2
2
2
1
2
12
2
0 nn mpmpmppM ???? ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识§ 5.5 不等精度直接观测平差
5.5.2 加 权平均值与中误差的关系
实际上常用最或是误差 vi=L0-li来计算中误差 M0，与式 (5-38)类
似，有：
(5-51)
1
][
0
2
??? n
pvm
(5-52)
)1]([
][
0
2
??? np
pvM
(5-50)
][
2
02
0 p
mM ?
工程测量学
5 测量误差的基本知识
习题与思考题
1,2,3,4,6,7,15,16,17
工程测量学
5 测量误差的基本知识
7.1.1 地下水
图 7-10
地下水的类型§ 5.2
?sAs
§ 10.2 工程地质测绘
工程测量学
5 测量误差的基本知识
课程简介
本课程包括建筑工程中广泛应用的
课程内容：
绪 论
第一章
第二章
第三章
第四章
第一部分
课程目录
工程测量学
5 测量误差的基本知识
2.4.2 特性
1,特性
平行 垂直 倾斜
A B
C
a b
c
A
B
C
a b
c
A
B
Ca
c
b
实形性
类似性
积聚性
工程测量学
5 测量误差的基本知识
工程测量学
5 测量误差的基本知识
祝同学们节日快乐
