第六章 小地区控制测量
土 木 工 程 测 量
教学课件
工程测量学
6 小地区控制测量
在绪论中已经指出, 测量工作必须遵循, 从整体到局部, 先控
制后碎部, 的原则, 先建立控制网, 然后根据控制网进行碎部测量
和测设 。 控制网分为 平面控制网 和 高程控制网 。 测定控制点平面位
置 (x,y)的工作, 称为 平面控制测量 。 测定控制点高程 (H)的工作,
称为 高程控制测量 。
§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
平面控制测量是确定控制点的平面位置。建立平面网的经典方
法有三角测量和导线测量。图 (6-1)
⑴ 三角测量
观测所有三角形的内角，并至
少测量其中一条边长，作为起算边。
这种三角形的顶点称为 三角点,构
成的网形称为 三角网,并进行这种
控制测量称为 三角测量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
⑵ 导线测量
图中控制点 1,2,3… 用
折线连接起来，测量各边的
长度和各转折角。这种控制
点称为 导线点,进行这种测
量称为 导线测量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
⑶ 卫星大地测量
目前常用的是 GPS(全球定位
系统 Navigation system Timing
and Ranging/Global
Positioning System)卫星定位。
在 A,B,C,D控制点上，同时接
收 GPS卫星 S1,S2,S3,S4… 发射
的无线电信号，从而确定地面点
位，称为 GPS控制测量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
国家平面控制网, 是在全国范围内建立的控制网 。 逐级控制,
分为 一, 二, 三, 四等三角测量 和 精密导线测量 。 图 (6-4)
城市控制测量是为大比
例尺地形测量建立控制网,
作为城市规划, 施工放样的
测量依据 。
城市平面控制网一般可
分为 二, 三, 四等三角网及
一、二级小三角网或一、二
、三级导线 。然后再布设 图
根小三角网 或 图根导线 。
1985年城市测量规范，其技
术要求见表 6-1,6-2。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
城市三角网及图根三角网的主要技术要求
DJ3DJ2DJ1
11:1万± 60± 20图根
211:1万1:2万0.5± 30± 10二级
621:2万1:4万1± 15± 5一级
641:4.5万首级1:12万2± 9.0± 2.5四等
961:8万首级1:20万5± 7.0± 1.8三等
121:12万1:30万9± 3.5± 1.0二等
测回数最弱边
相对中
误差
起始边
相对中
误差
平均边
长 (km)
三角形
最大闭
合差 (″)
测角中
误差 (″)等级
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
直接供地形测图使用的控制点, 称为图根控制点, 简称 图根点
。 测定图根点位置的工作, 称为 图根控制测量 。
城市导线及图根导线的主要技术要求
1:0.2万± 60± 30图根
1:0.6万± 151201.5± 24± 12三级
1:1万± 152002.4± 16± 8二级
1:1.4万± 153003.6± 10± 5一级
全长相对
中误差
测距中
误差
(mm)
平均
边长
(m)
附合导
线长度
(km)
方向角
闭合差
(″)
测角
中误
差 (″)
等级
n
n
n
n
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.2 高程控制网
建立高程控制网的主要方法是 ⑴ 水准测量 。 在山区也可采用
⑵ 三角高程测量 的方法来建立高程控制网, 此法不受地形起伏的
影响, 工作速度快, 但其精度较水准测量低 。
国家水准测量分为一, 二, 三, 四等, 逐级布设 。 一, 二等水
准测量是用高精度水准仪和精密水准测量方法进行施测, 其成果作
为全国范围的高程控制之用 。 三, 四等水准测量除用于国家高程控
制网的加密外, 在小地区用作建立首级高程控制网 。
为了城市建设的需要所建立的高程控制称为 城市水准测量, 采
用 二, 三, 四 等水准测量及直接为测地形图用的 图根水准测量, 其
技术要求列于表 6-4。
⑴ 水准测量
⑵ 三角高程测量
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.1 直线定向的概念
确定地面上两点之间的相对位置, 仅知道两点之间的水平距离
是不够的, 还必须确定此直线与标准方向之间的水平夹角 。
确定一条直线与标准方向之间的水平角度称为直线定向 。
标准方向的种类
⑴ 真子午线方向 —— 通过地
球表面某点的真子午线的切线方
向, 称为该点的真子午线方向 。
真子午线的方向用 天文测量 的方
法测定, 或用 陀螺经纬仪 方法测
定 。
⑵ 磁子午线方向 —— 磁子午
线方向是磁针在地球磁场的作用
下, 磁针自由静止时其轴线所指
的方向 。 可用 罗盘仪 测定 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.1 直线定向的概念
⑶ 坐标纵轴方向 —— 如第一章所述，我国采用高斯平面直角坐
标系，每一 6° 带或 3° 带内都以该带的中央子午线作为坐标纵轴，
因此，该带内直线定向，就用该带的坐标纵轴方向作为标准方向
由于地球磁极与地球旋转轴南
北极不重合, 因此过地球上某点的
真子午线与磁子午线不重合 。 两者
之间的夹角称为 磁偏角, 用 δ 表示
,见图 6-5。
磁子午线北端偏于真子午线以
东为 东偏 (+δ ),偏于真子午线以西
为 西偏 (-δ )。 地球上不同地点磁偏
角也不同 。 我国磁偏角的变化大约
在 +6° ～ -10° 之间 。 地球磁极是不
断变化的, 磁偏角也在变化 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.1 直线定向的概念
地面上不同经度的子午线收敛于两极。地面上两点子午线方向
的夹角称为 子午线收敛角,用 γ 表示，见图 6-6。
设 A,B为同纬度上的两点, 其距离为
l。 过 A,B两点分别作子午线的切线交于
地轴 P点 。 AP,BP为子午线方向 。 若 A,B
相距不太远时, 子午线收敛角 γ 可用下
式计算,(6-1)
?? BPl?
在直角三角形 BOP中, BP=R/tanφ,
代入上式得,(6-2)
??? ta nRl?
从上式可见, 纬度愈低, 子午线收敛
角愈小, 在赤道上为零 。 纬度越高, 收
敛角愈大 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.2 直线定向方法
测量中常用方位角来表示直线的方向。 由标准方向的北端起，
顺时针方向量到某直线的夹角，称为该直线的方位角 。角值由 0°
～ 360° 。图 6-7。 ⑴ 真方位角与磁方位角 —— 若标
准方向为真子午线方向, 则称 真方位
角, 用 A表示 。 若标准方向为磁子午
线方向, 则称 磁方位角, 用 Am表示 。
真方位角和磁方位角之间的关系为：
⑵ 坐标方位角 —— 从每带的坐标
纵轴的北端按顺时针方向到一直线的
水平角为该直线的 坐标方位角, 或称
方位角 。 用 α 表示 。
真方位角与坐标方位角的关系：
A=α +γ
方位角
A=Am+δ (6-3)
A=α +γ
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.2 直线定向方法
⑶ 正、反方位角 —— 同一条直线在不同端点量测，其方位角也
不同。测量中常把直线前进方向称为正方向，反之称为反方向。如
图 6-8。 设 A为直线的起端, B为终端
,则 Aab为正方位角, Aba为反方位
角 。 正反方位角之间的关系为：
直线位于中央子午线以东，
γ 为 正 ；以西为 负 。
一条直线的 正、反坐标方位
角 无子午线收敛角，所以为：
前进方向
正方位角
反
方
位
角
(6-4) ????? 1 8 0
abba AA
α ba=α ab± 180° (6-5)
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.3 坐标方位角的推算
若 AB边的坐标方位角 α ab已知，又测定了 AB边和 B1边的水平角
β b(称连接角 )和各点的转折角 β 1,β 2,β 3…,利用正、反方位
角的关系和测定的转折角可以推算连续折线上各线段的坐标方位角
(图 6-9)如下,α
ba=α ab+180°
α b1=α ba+β b-360° =α ab+β b-180°
α 12=α b1+β 1-180° =α ab+β b+β 1-2× 180°
α ij=α ab+∑ β iL-N× 180° (6-6)
或 α前 =α后 +β左 － 180°
（ αba+(βb-αb1)=360° → ）
（ α1b+(β1-α12)=360° →
α12 = α1b +β1 –360=αb1+180° +β1-
360° ）
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.3 坐标方位角的推算
上式中 β iL是折线推算进行
方向的 左角 。若测定的是 右角 则
用下式计算：
α ij=α ab-∑ β iR-N× 180° (6-7)
或
α前 =α后 +180° -β右
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.4 坐标正、反算
⑴ 坐标正算公式
已知边长和方位角，由已知点计算待定点的坐标，称 坐标正算
A为已知点，其坐标为 x,y,A到
待定点 B的边长为 Dab(平距 )，方位角为
α ab。则 B点的坐标为：
(6-8)
ababaabab
ababaabab
Dyyyy
Dxxxx
?
?
s i n
c o s
?????
?????
式中,Δ xab,Δ yab—— 坐标增量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.4 坐标正、反算
⑵ 坐标反算公式
已知两点坐标，反求边长和方位角，称为 坐标反算
方位角公式为：
边长计算公式为：
(6-9)
ab
ab
ab
ab xyxx yyab ???? ?? a r c t a na r c t a n?
(6-10)
ab
ab
ab
ab yx
ababab yxD ?? s i nc o s
22 ?? ??????
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.3 坐标正、反算
⑵ 坐标反算公式
注意, 式 (6-9)计算的是象限角 R,应换算成方位角 (表 6-5)。
(6-9)
ab
ab
ab
ab xyxx yyab ???? ?? a r c t a na r c t a n?
α=360° -RR=360° -α象限 Ⅳ
α=180° +RR=α-180°象限 Ⅲ
α=180° -RR=180° -α象限 Ⅱ
α=RR=α象限 Ⅰ
由象限角换
算成方位角
由方位角换算
成象限角
象限
方位角和象限角的关系
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
将测区内相邻控制点连成直线而构成的折线，称为 导线 。这些
控制点，称为 导线点 。导线测量就是依次测定各导线 边 的 长 度和各
转折角 值；根据起算数据，推算各边的 坐标方位角,从而求出各导
线 点的坐标 。
用经纬仪测量折角, 用钢尺测定边长的导线, 称为 经纬仪导线；若用光电测距仪测定导线边长, 则称 电磁波测距导线 。
导线测量是建立小地区平面控制网常用的一种方法, 特别是 地
物分布较复杂 的建筑区, 视线障碍较多的隐蔽区 和 带状地区, 多采
用导线测量的方法 。 根据测区的不同情况和要求导线可布设成下列
三种形式：
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 闭合导线 —— 起讫于同
一已知点，形成闭合多边形的
导线。 (图 6-12a)。其本身存
在着严密的几何条件，具有检
核作用。
⑵ 附合导线 —— 布设
在两个已知点间的导线,
称附合导线 (图 6-12b)。
其具有检核观测成果的作
用 。
⑶ 支导线 —— 其缺乏
检核条件 。 规范规定其不
得超过 3条边 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 踏勘选点及建立标志
选点前, 应调查搜集测区已有地形图和高一级的控制点的成果
资料, 把控制点 展绘 在地形图上, 然后在地形图上拟定导线的布设
方案, 最后到野外去踏勘, 实地核对, 修改, 落实点位和建立标志
。 如果测区没有地形图资料, 则需详细踏勘现场, 根据已知控制点
的分布, 测区地形条件及测图和施工需要等具体情况, 合理地选定
导线点的位置 。
6.3.1 导线测量外业工作
实地选点时, 应注意下列几点：
① 相邻点间通视良好, 地势较平坦, 便于测角和量距 。
② 点位应选在土质坚实处, 便于保存标志和安置仪器 。
③ 视野开阔, 便于施测碎部 。
④ 导线各边的长度应大致相等, 除特殊情形外, 应不大于 350m
,也不宜于小于 50m边长 。
⑤ 导线点应有足够的密度, 分布较均匀, 便于控制整个测区 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 踏勘选点及建立标志
临时性标志, 永久性标志, 沿导线走向顺序编号, 绘制导线略
图；点之记 (图 6-13)。
6.3.1 导线测量外业工作
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑵ 外业测量
① 边长测量
导线边长可用 电磁波 测距仪测定, 测量时要同时观测竖直角,
供倾斜改正之用 。 若用 钢尺 丈量, 钢尺必须经过检定 。 对于一, 二
,三级导线, 应按钢尺量距的 精密方法 丈量 。
对于 图根导线：
用一般方法往返丈量或同一方向丈量两次 。
尺长改正 —— 当尺长改正数大于 1/10000时,应加尺长改正；
温度改正 —— 当量距时平均尺温与检定时温度相差 ± 10℃ 时,
应进行温度改正；
倾斜改正 —— 尺面倾斜大于 1.5%时, 应进行倾斜改正 。
要求其精度不低于 1/3000,特殊困难地区允许 1/1000。
6.3.1 导线测量外业工作
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑵ 外业测量
6.3.1 导线测量外业工作
② 角度测量
用测回法施测导线 左角 (位于导线前进方向左侧的角 )或 右角 (位
于导线前进方向右侧的角 )。
一般在 附合导线 中，测量导线 左角,在 闭合导线 中均测 内角 。
若闭合导线按反时针方向编号，则其左角就是内角。不同等级的导
线的测角精度要求见表 6-2。
图根导线，一般用 DJ6级光学经纬仪测一个测回。若盘左、盘右
测得角值的较差不超过 40″,则取其平均值。
测角时，为便于瞄准，可用 大垂球, 测钎, 觇标 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑵ 外业测量
③ 连测
导线应与高级控制点连测, 才能得到起始方位角, 这一工作称
为 连接角测量, 也称 导线定向 。 目的是使导线点坐标纳入国家坐标
系统或该地区统一坐标系统 。 附合导线 与两个已知点的连接, 应测
两个连接角 β b,β c。 闭合导线和支导线 只需测一个连接角 β b,见
图 6-12。
6.3.1 导线测量外业工作
对于独立地区周围无高级控制点时, 可 假定 某点坐标, 用罗盘
仪测定起始边的 磁方位角 作为起算数据 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的坐标 。
计算之前, 应全面检查导线测量外业记录, 数据是否齐全, 有
无记错, 算错, 成果是否符合精度要求, 起算数据是否准确 。 然后
绘制导线略图, 把各项数据注于图上相应位置, 如图 6-14。
6.3.2 导线测量内业计算
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 内业计算中数字取位的要求
内业计算中数字的取位, 对于 四等以下 的小三角及导线, 角值
取至 秒, 边长及坐标取至 毫米 (mm)。 对于 图根三角锁及图根导线,
角值取至 秒, 边长和坐标取至 厘米 (cm)。
6.3.2 导线测量内业计算
⑵ 附合导线计算
由于附合导线是在两个已知点上布设的导线, 因此测量成果应
满足两个几何条件 。
a.方位角闭合条件,即从已知方位角 α AB，通过各 β i角推算出
CD边方位角 α ’CD，应与已知方位角 α CD一致。
b.坐标增量闭合条件,即从 B点已知坐标 xB,yB，经各边长和方
位角推算求得 C点坐标 xc’,yc’应与已知 C点坐标 xc,yc一致。
上述两个条件是附合导线外业观测成果检核条件，又是导线坐
标计算平差的基础。其计算步骤如下：
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
① 坐标方位角的计算与角度闭合差的调整
据式 (6-6),推算 CD边坐标方位角为：
α ’CD=α AB+∑ β i-n× 180° (6-11)
6.3.2 导线测量内业计算
角度闭合差为,
fβ =α ’CD-α CD (6-12)
本例中 α CD’=46° 44′,8,α CD=46° 45′,4,则 fβ =-0.6′ 。
据表 6-2,图根导线角度闭合差容许误差为：
fβ 容 =± 60″ N1/2
若 fβ ≥f β 容, 说明角度测量误差超限, 要 重测 ；
若 fβ <fβ 容, 则只需对各角度进行 调整 。 等精度观测, 反符号平
均分配给各角, 然后再计算各边方位角 。 最后以计算的 α ’CD和 α CD
是否相等作为 检核 。
α ’CD=α AB+∑ β i-n× 180° (6-11)
fβ =α ’CD-α CD (6-12)
fβ 容 =± 60″n 1/2=± 2′.6
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
② 坐标增量闭合差的计算与调整
利用上述计算的各边方位角和边长, 可计算各边的坐标增量 。
各边坐标增量之和理论上应与控制点 B,C的坐标差一致, 若不一致
,产生的误差称 坐标增量闭合差 fx,fy。 计算式为：
6.3.2 导线测量内业计算
fx=∑ Δ x-(xc-xB)
fy=∑ Δ y-(yc-yB)(6-13)
由于 fx,fy的存在, 使计算出的 C’点与 C不重合, 图 6-15。 CC’用
f表示, 称 导线全长闭合差, 用下式表示：
fx=∑ Δ x-(xc-xB)
fy=∑ Δ y-(yc-yB) (6-13)
(6-14)22
yx fff ??
f值与导线全长 ∑ D之比称为 导
线全长相对闭合差, 即：
(6-15)
fDD
fK
????
1
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
K值的大小反映了测角和测边的综合精度。不同导线的相对闭合
差容许值不同，见表 6-2。图根导线 K值 <1:2000，困难地区 K值可放
宽到 1:1000。
6.3.2 导线测量内业计算
若 K>K容,说明成果不合格，首先检查内业计算有无错误，然后
检查外业观测成果，必要时重测。一般是量距有误差。若 K＜ K容,
则说明符合精度要求，可以进行调整。即将 fx,fy反符号按与边长
成正比分配到各边的纵、横坐标增量中去 。对于第 i边的坐标增量
改正值为：
纵、横坐标增量改正数之和应
满足下式：
(6-16)iDfxi Dv x???
iD
f
yi Dv y???
(6-16‘)xx fv ???
yy fv ???
改正后的坐标增量之和应与 B,C两点坐标差相等, 以此作为检
核 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
③ 坐标计算
根据起始点的坐标及改正后各边的坐标增量按下式计算各点的
坐标：
6.3.2 导线测量内业计算
最后推算出的 C’点的坐标应与原来 C点的坐标一致 。
附合计算可列表格计算, 见表 6-6。
(6-17)1,1 ?? ??? iiii xxx
1,1 ?? ??? iiii yyy
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
6.3.2 导线测量内业计算
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
闭合导线计算方法与附合导线相同, 也要满足角度闭合条件和
坐标闭合条件 。
① 角度闭合差的计算与调整
闭合导线测的是内角, 所以角度闭合条件是要满足 n多边形内
角和条件,∑ β 理 =(n-2)× 180°
角度闭合差
fβ =∑ β 测 -∑ β 理 = =∑ β 测 - (n-2)× 180° (6-18)fβ =∑ β 测 -∑ β 理 = =∑ β 测 - (n-2)× 180° (6-18)
各级导线角度闭合差的容许值 fβ 容, 见表 6-2。 对于图根导线
fβ 容 =± 60″ n1/2。 fβ >fβ 容, 则说明所测角度不符合要求, 应重新
检测角度 。 若 fβ ≤f β 容, 可将闭合差反符号平均分配到各观测角中
。
改正后之内角和应为 (n-2)× 180°, 以作计算校核 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
② 用改正后的导线左角或右角推算各边的坐标方位角
根据起始边的已知坐标方位角及改正角按下列公式推算其它各
导线边的坐标方位角 。
α ij=α ab+∑ β iL-N× 180° (6-6)
或 α前 =α后 +180° +β左
α ij=α ab-∑ β iR-N× 180° (6-7)
或 α前 =α后 +180° -β右
适用于测左角
适用于测右角
在推算过程中必须注意：
① 如果算出的 α前 >360°,则应减去 360° ； ② 如果 (α后
+180° )<β右,则应加 360° 再减 β右 ；③闭合导线各边坐标方位角的
推算，最后推算出起始边坐标方位角，它应 与原有的已知坐标方位
角值相等,否则应重新检查计算。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
③ 坐标增量的计算及其闭合差的调整
A,坐标增量的计算 —— 按 (6-8)式计算
B、坐标增量闭合差的计算与调整
(6-8)
ababaabab
ababaabab
Dyyyy
Dxxxx
?
?
s i n
c o s
?????
?????
闭合导线的起、终点是一个点，所以 坐标增量理论值为零 。坐
标增量闭合差为：
(6-19)
计xf x ???
计yf y ???
22 yx fff ??
f
DD
fK
??
?? 1
角度闭合差 fβ,坐
标增量闭合差及导线全
长闭合差 f的检验和调
整同附合导线 。表 6-7
为图 6-16的闭合导线计
算表。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
以导线全长相对闭合差 K来衡量导线测量的精度, K的分母越大
,精度越高 。 不同等级的 K容 见表 6-2。
若 K≤K 容, 则说明符合精度要求, 可以进行调整, 即将 fx,fy反
符号按边长成正比分配到各边的纵, 横坐标增量中去 (式 (6-16),
填入表 6-7的 6,7栏 。
各边增量加改正数, 即得各边的改正后的增量, 填入表 6-7的 8
,9栏 。
改正后纵, 横坐标增量之代数和应分别为零, 以作计算校核 。
④ 计算各导线点的坐标
根据起点的已知坐标及改正后的增量，按 (6-17)式依次推算各
点的坐标，填入表 6-7的 10,11栏。最后还应推算起点的坐标，应
与原有的数值相等，以作校核。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
将测区内各控制点组成相互连接的若干个三角形而构成 三角网
，这些三角形的顶点，称为 三角点 。所谓小三角测量就是在小范
围内布设 边长较短 的小三角网，观测所有的各 内角,丈量 1～ 2条边
(称起始边，习惯上亦称为 基线 )的长度，用近似方法进行平差，然
后应用正弦定律算出各三角形的边长，再根据已知边的坐标方位角
、已知点坐标 (在独立地区可自行假定 )，按类似于导线计算的方法
，求出各三角形的坐标。与导线测量相比，它的特点是 测角的任务
较重,但 量距工作量大大减少 。
在山区、丘陵和城市首级控制网；隧道、桥梁等工程，在建立
平面控制时，广泛采用小三角测量。小三角测量根据测区大小和工
程规模以及精度要求的不同，分为一级小三角、三级小三角和图根
小三角几个等级。各等级的技术要求不同。
三角网
三角点
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
常用的基本图形有 单三角锁, 中点多边形, 大地四边形, 线形
锁等 (图 6-17)
单三角锁
中点多边形 大地四边形线形锁
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.1 小三角测量外业
⑴ 踏勘选点, 建立标志
与导线测量相似, 选点前应搜集测区已有的地形图和控制点的
成果资料, 先将控制点展绘在地形图上, 在地形图上设计布网方案
,然后再到野外去踏勘, 根据实地地形选定布网方案及点位 。
选定小三角点应注意以下几点：
① 各三角形的 边长应接近于相等, 其平均边长应符合有关规定
(图根小三角起始边 1～ 2尺段 )。
② 各三角形的内角以 60° 左右为宜，若条件不许可，也 不应
>120° 或 <30° 。
③ 小三角点应选在 地势较高, 土质坚实, 视野开阔, 相互通视
、便于保存 点位 和便于测 图 的地方。
④ 起始边应选在便于量距的平坦坚实的地段。
小三角点选定后, 应 埋设标志 并进行 编号, 绘, 点之记, 图,
并应用罗盘仪或小平板仪测绘出 小三角网略图 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.1 小三角测量外业
⑵ 角度测量
角度测量 是小三角测量的主要外业 。 有关技术指标见表 6-1。 (
图 6-18)。
在三角点上，当观测方
向是两个时，采用 测回法 ；
当观测方向为三个或三个以
上时，采用 全圆测回法 。
应随时计算各三角形角度闭合差 fi,公式为：
fi=(ai+bi+ci)-180° (6-20)fi=(ai+bi+ci)-180° (6-20)
若 fi超出表 6-1的规定（图根为 ± 60″ ），应重测。角度观测结
束后,按菲列罗公式计算测角中误差 mβ,应附合表 6－ 1的规定图根
为 ± 20″ ）。
(6-21)
n
ff iim
3
][??
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工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.1 小三角测量外业
⑶ 基线测量
起始边是推算所有三角形边长的依据, 其精度的高低, 将直接
影响整个三角网的精度, 起始边的精度应附合表 6-1的规定 （ 图根
为相对中误差 1:1万 ） 。
采用 电磁波测距仪 或钢尺 精密量距 的方法丈量 。
工程测量学
6 小地区控制测量
⑴ 绘制小三角测量略图
(图 6-19)
为方便三角形内角按以
下规定编号：已知边所对
的角为 bi,待求边所对的角
为 ai,第三边所对的角为 ci
。 ai,bi称为传距角, ci称
为间隔角 。
§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
小三角测量内业计算的 最终目的 是求各三角点的坐标 。 包括外
业观测成果的整理和检查, 角度闭合差的调整, 边长和坐标计算 。
一般图根小三角测量计算采用近似平差, 一, 二级小三角测量用严
密平差 。
⑴ 绘制小三角测量略图
图
为方便三角形内角按以
下规定编号：已知边所对
的角为 待求边所对的角
为,
。, 称为 传距角, 称
为 间隔角 。
工程测量学
6 小地区控制测量
ai+bi+ci-180° ＝ 0 （ 6-24）
§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑵ 角度闭合差的计算与调整
设 a’i,b’i,c’i为第 i个三角形的观测值, 则各三角形的角度闭
合差用式 (6-18)计算, 图根小三角角度闭合差容许值 fβ 容 ≤ 60″ 。
若 fi≤ fβ 容, 则进行角度闭合差调整 。
设各角度 第一次 改正数为 vai,vbi,vci。 因各角度为同精度观
测, 各改正数应相等 。
vai＝ vbi＝ vci＝－ fi/3 (6-22)vai＝ vbi＝ vci＝－ fi/3 (6-22)
改正值取至秒位 。 第一次改正后的角值为：
ai=a’i+vai
bi=b’i+vbi (6-23)
ci=c’i+vci
经过第一次改正后的角度应满足三角形闭合条件, 即：
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
根据基线 D0和第一次改正后的角值 ai,bi按正弦定理推算另一
条基线 D’n.
1
1
01 s in
s in
b
aDD ?
2s i n1s i n
2s i n1s i n
2s i n
2s i n
012 bb
aa
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i
a
D
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DD
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1
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1
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s i n
2
s i n
1
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00
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工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量6.4 2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
计算的第二条基线 D’n应与实测的 Dn相等 。 即
01,1 '' ?? －也即
n
n
n
n
D
D
D
D
为了消除 w误差, 须对 ai,bi进行第二次改正 。 设 δ ai,δ bi为
角度第二次改正数, 则：
(6-26) 0
1
1
)s i n (
)s i n (
0 ??
?
?
?
?
?
?
n
b
a
DD n
i
bii
n
i
aii
?
?
但由于第一次改正后的角度仍有误差, 所以往往 D’n≠D n,从而
产生 基线闭合差 w。
(6-25)
1
s i n
s i n
11
1
0
1
s i n
s i n
0
'
1
1
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n
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bD
D
D
D
D
w
n
i
i
n
i
i
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
将 （ 6-26） 正弦函数式按 台劳级数 展开, 取前两项, 得：
式中 ρ ＝ 206256″ 。 将式 （ 6-27） 代入式 （ 6-26）, 得：
(6-27)
)c o t1(s i nc o ss i n)s i n (
)c o t1(s i nc o ss i n)s i n (
iii
bi
ibii
i
ai
iiciaii
bbbbb
aaaaa
bi
ai
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(6-28) ?? ??????
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?
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s i n
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b
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i
i
n
i
i
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δ bi很小, 所以
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(6-26) 0
1
1
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b
a
DD n
i
bii
n
i
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工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量6.4 2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
将上式代入式 （ 6-28）, 经整理得：
即
为使第二次改正后仍能满足三角形内角之和为 180°, 必使 δ ai
与 δ bi大小相等, 符号相反, 所以令 δ ai=-δ bi=v’(代入 6－ 29） 。
?? ??????
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? 0)c o t1)(c o t1( 11
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s i n
1
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(6-29) ?? ?
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(6-29‘) ?? ?
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aD
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工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量6.4 2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
(6-29‘) ?? ?
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1
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aD
bD
ii bav?
与 （ 6-25） 比较基线闭合差为：
(6-25) 1
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s in
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i
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aD
bD
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则 (6-29‘’)
?? ?? wbav ii ]c o tc o t['1?
即
(6-31)? ?
?
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ii ba
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c o tc o t
'
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工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
第二次改正后的角度值 Ai,Bi,Ci为：
(6-31)
? ?? ? ii ba
wv
c o tc o t
' ?
(6-32)
ii
ii
ii
cC
vbB
vaA
?
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'
'
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑷ 边长计算
根据第二次改正后的角度和基线 D0,按正弦定理计算三角形各
边长 。 最后求得 D’n应与 Dn相等 。 表 6-8
⑸ 计算各三角点的坐标
各三角点的坐标计算, 可采用 闭合导线的方法 进行 。 根据基线
边的坐标方位角和平差后的角值推算各边的坐标方位角；
用各边的坐标方位角及相应的边长, 计算各边纵, 横坐标增量；然后根据起点的坐标, 即可求出其它各点的坐标 (坐标正算公式
（ 6-8))。 表 6-9。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.1 前方交会
当导线点和小三角点的密度不能满足工程施工或大比例尺测图
要求时, 需加密的点不多时, 可用 交会法加密控制点, 称为交会定
点 。 常用的交会法有前方交会, 后方交会和距离交会 。
如图 6－ 20（ a),在已知点 A,B分别对 P点观测了水平角 α 和 β
,求 P点坐标, 称为前方交会 。 为了检核, 通常需从三个
已知点 A,B,C分别向 P点观测
水平角, 如图 6－ 20（ b）, 分
别由两个三角形计算 P点坐标 。
P点精度除与 α, β 角观测
精度有关, 还与 α 角的大小有
关 。 α 角接近 90° 精度最高,
在不利条件下, α 角也不应小
于 30° 或大于 120° 。
工程测量学
6 小地区控制测量
6.5.1 前方交会
现以一个三角形为例说明前方交会的定点方法 。
⑴ 据已知坐标计算已知边 AB的方位角和边长 (坐标反算 )
⑵ 推算 AP和 BP边的坐标方位角和边长
由图 6－ 20得：
(6-33)AB AB xx yyAB ??? a r c t a n?
22 )()( ABABAB yyxxD ????
(6-34)??? ?? ABAP
??? ?? BABP
(6-35)?
?
s in
s inAB
AP
DD ?
?
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s in
s inAB
BP
DD ?
γ =180° -(α +β ) （ 6－ 36）
§ 6.5 交 会 定 点
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.1 前方交会
⑶ 计算 P点坐标
分别由 A点和 B点按下式推算 P点坐标 （ 坐标正算 ）, 并校核 。
(6-37)APAPAp Dxx ?c o s??
APAPAp Dyy ?c o s??
(6-37‘) BPBPBp Dxx ?c o s??
BPBPBp Dyy ?c o s??
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.1 前方交会
⑶ 计算 P点坐标
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
优点是不必在多个已知点上设站观
测, 野外工作量少, 故当已知点不易到
达时, 可采用后方交会法确定待定点 。
后方交会法计算工作量较大, 计算公式
很多, 仅介绍一种 —— 全切公式 。
⑴ 利用坐标反算公式计算 AB,BC坐
标方位角 α AB,α BC和边长 a,c。
(6-9)
ab
ab
ab
ab xyxx yyab ???? ?? a r c t a na r c t a n?
(6-10)
ab
ab
ab
ab yx
ababab yxD ?? s i nc o s
22 ?? ??????
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑵ 计算 α 1,β 2。
从图 6－ 21中可见：
α BC－ α BA＝ α 2＋ β 1
又因 α 1＋ β 1＋ α 2＋ β 2＋ γ 2＋ γ 1＝ 360°
α 1＋ β 2＝ 360° －（ α 2＋ β 1＋ γ 1＋ γ 2 ）＝ θ （ 6－ 39）
所以 β 2＝ θ － α 1 （ 6－ 40）
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
在 △ APB和 △ BPC中, 根据正弦定理
可得：
2211 s ins in
s ins in ???? cBPBPa ??
2
2
s in
s in
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c
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整理可得
(6-41) ??
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? c o tt a n
s i ns i n
s i n
1 1
2 ??
c
a
根据式 （ 6-41） 可解出 α 1,根据式 （ 6-40） 可解出 β 2。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑶ 计算 β 1和 α 2
利用 β 1和 α 2之和应等于 α BC-α BA
作检核 。
β 1=180° -(α 1+γ 1) (6-42)
α 2=180° -(β 2+γ 2) (6-43)
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑷ 然后再用前方交会公式（ 6－ 38）
计算 P点坐标。
为了判断 P点精度，必须在 P点对 第
四个已知点 D进行观测，测出 γ 3。 利用
已计算出的 P点坐标和 A,D两点的坐标反
算 α PA,α PD，求出 γ 3为：
γ 3=α PD-α PA (6-44)
Δγ＝ γ 3－ γ ’3
对于图根点, Δγ容许值为 ± 40″ 。
表 6－ 11为用 余切公式 计算后方交会点算例 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑸ 后方交会的危险圆
当待定点 P位于三个已知点 A,B、
C的外接圆时，无论 P点位于该 圆周
的任何位置，其 γ 1和 γ 2圴不变，因
此 P点 无解 。故称此外接圆为危险圆。
见图 6－ 22，当 P点在危险圆上时，
则有,θ =α
1+β 2=180° (6-45)
将 θ 值代入式 （ 6－ 41）, 该式无解 。 实际工作中, P点位于危
险圆上的情况是极偶然的, 但在危险圆附近时, 计算出的坐标误差
会很大 。 为了避免 P点落在危险圆附近, 规定后方交会角 γ 1,γ 2与
固定角 B不应在 160° ～ 180° 之间, 否则应重新选择点位 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.3 距离交会
如图 6-23，在两个已知点 A,B
上分别量至待定点 P1的边长 Da,Db，
求解 P1点坐标，称为距离交会。
⑴ 利用 A,B已知坐标求方位角
α AB和边长 DAB。 (公式 6-9,6-10)
⑵ 过 P1点作 AB垂线交于 Q点 。 垂距 P1Q为 h,AQ为 r,利用余弦定
理求 A角 。
ADDDDD aABaABb c o s2222 ???
(6-46)
aAB
baAB
DD
DDDA
2c o s
222 ??
?
(6-47) )(2
1c o s 222
baAB
AB
a DDDDADr ????
22 rDh a ??
Q
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.3 距离交会
⑶ P1点坐标为：
上式 P1点在 AB线段右侧 (A,B,P1顺时针构成三角形 )。 若待定
点 P2在 AB线段左侧 (A,B,P2逆时针构成三角形 ),公式为：
(6-49) ABABAp hrxx ?? s inc o s2 ???
ABABAp hryy ?? c o ss in2 ???
(6-48) ABABAp hrxx ?? s inc o s1 ???
ABABAp hryy ?? c o ss in1 ???
rcosαAB
αABαABα
AB
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
三, 四等水准测量除用于国家高程控制网的加密外, 还用于建
立小地区首级高程控制网, 以及建筑施工区内工程测量及变形观测
的基本控制 。 三, 四等水准点的高程应从附近的一, 二等水准点引
测 。 独立测区可采用 闭合水准路线 。 三, 四等水准点应选在土质坚
硬, 便于长期保存和使用的地方, 并应埋设 水准标石 。 水准点应绘
制 点之记 。
1,三, 四等水准测量的要求和施测方法
① 水准尺 —— 双面尺 ；
② 视线长度和读数误差的限差见表 6－ 13；
③ 高差闭合差的规定见表 6－ 4。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
三、四等水准测量的观测应在通视良好、成像清晰稳定的情况
下进行。
⑴ 每一测站上的观测顺序
照准 后 视尺 黑 面，读取 下, 上, 中 丝读数 ⑴、⑵、⑶ ；
照准 前 视尺 黑 面，读取 下, 上, 中 丝读数 ⑷、⑸、⑹ ；
照准 前 视尺 红 面，读取 中 丝读数 ⑺ ；
照准 后 视尺 红 面，读取 中 丝读数 ⑻ ；
此观测顺序简称为,后－前－前－后,，主要是为抵消水准仪
与水准尺下沉产生的误差。 四等 水准测量可简化为,后－后－前－
前, 。
各次 中丝读数 是用来计算高差的。因此，在每次读取中丝读数
前，都要注意使符合水准气泡 居中 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑵ 测站的计算、检核与限差
①视距计算
后视距离：⑼＝⑴－⑵
前视距离：⑽＝⑷－⑸
前、后视距差：⑾＝⑼－⑽。三等水准测量，不得超过 ± 3m；
四等水准测量，不得超过 ± 5m。
前、后视累积差：本站⑿＝前站⑿＋本站⑾。三等水准测量不
得超过 ± 5m,四等水准测量不得超过 ± 10m。
② 同一水准尺黑、红面读数差
前尺：⒀＝⑹＋ K1－⑺；
后尺：⒁＝⑶＋ K2－⑻。
三等水准测量不得超过 ± 2mm，四等水准测量不得超过
± 3mm.K1,K2分别为前尺、后尺的红、黑面常数差。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑵ 测站的计算、检核与限差
③ 高差计算
黑面高差,⒂＝⑶－⑹
红面高差,⒃＝⑻－⑺。
检核计算,⒄＝⒁－⒀＝⒂－⒃ ± 0.100。三等水准测量，不
得超过 3mm；四等水准测量，不得超过 5mm。
高差中数,⒅＝ 1/2（⒂＋ [⒃± 0.100])。
上述各项记录、计算见表 6－ 14。观测时，若发现本测站某项
限差超限，应立即重测，只有各项限差均检查无误后，方可移站。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑶ 每页计算的总检核
后视部分总和减前视部分总和应等于末站视距累积差。即
∑ ⑼－ ∑ ⑽＝末站⑿
1/2[∑ ⒂ ＋ ∑ ⒃ ± 0.100]＝ ∑ ⒅
在每测站检核的基础上，应进行每页计算的检核。
∑ ⒂＝ ∑ ⑶－ ∑ ⑹
∑ ⒃＝ ∑ ⑻－ ∑ ⑺
∑ ⑼－ ∑ ⑽＝本页末站⑿－前页末站⑿
测站数为偶数时,
∑ ⒅＝ 1/2[∑ ⒂ ＋ ∑ ⒃ ]
测站数为奇数时,
∑ ⒅＝ 1/2[∑ ⒂ ＋ ∑ ⒃ ± 0.100]
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑷ 水准路线测量成果的计算、检核
三、四等附合或闭合水准路线 高差闭合差 的计算、调整方法与
普通水准测量相同（见第 2章）。
当测区范围较大时，要布设多条水准路线。为了使各水准点高
程精度均匀，必须把各线段连在一起，构成统一的水准网，采用 最
小二乘法 原理进行 平差,从而求解出各水准点的高程。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.1 三角高程测量原理
在山区测定控制点的高程，若用水准测量，则速度慢，困难大
，故可采用三角高程测量的方法。但必须用水准测量的方法在测区
内引测一定数量的水准点，作为高程起算的依据。
三角高程测量是根据两点的
水平距离和竖直角计算两点的高
差 。 如图 （ 6－ 24）
如果测得 AM之间距离 D’，则高差 hAB为：
hAB=D’sinα ＋ i-s (6-50)hAB=D’sinα ＋ i-s (6-50)
如果两点间平距为 D，由 A,B高差为：
hAB=Dtanα ＋ i-s (6-51)hAB=Dtanα ＋ i-s (6-51)
B点高程为：
HB＝ HA＋ hABHB＝ HA＋ hAB
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
上述是在假定地球表面为水平面, 认为观测视线是直线的条件
下导出的, 当地面上两点的距离 ＜ 300m时是适用的 。 两点间距离大
于 300m时就要顾及地球曲率, 加以曲率改正, 称为 球差改正 。 同时
,观测视线受大气垂直折光的影响而成为一条向上凸起的弧线, 必
须加以 大气垂直折光差改正, 称为气 差改正 。 以上两项改正合称为
球气差改正, 简称 二差改正 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
如图 6－ 25所示。
由于 A,B两点间的水平距离 D与曲
率半径 R’之比值很小，例如当 D＝ 300m时
，其所对圆心角约为 2′.8,故可认为 PG
近似 垂直 于 OM，则
MG＝ Dtanα
于是,A,B两点高差为：
h=Dtanα ＋ i-s+c-γ (6-52)h=Dtanα ＋ i-s+c-γ (6-52)
令 f=c-γ,则公式为：
h=Dtanα ＋ i-s+f (6-53)h=Dtanα ＋ i-s+f (6-53)
从图 6－ 25可知，
（ R’+c)2=R2+D2（ R’+c)2=R2+D2
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
即
c=D2/(2R’+c)
c与 R’相比很小，可略去，并考虑到
R’与 R相差甚小，故以 R代替 R’，则上式
为：
c=D2/2R (6-54)
根据研究，因大气垂直折光而产生的视线变曲的曲率半径约为
地球曲率半径的 7倍，则
γ ＝ D2/14R (6-55)
二差改正 为：
f=c-γ ＝ (D2/2R)-(D2/14R)≈0.43D 2/R=6.7D2 (6-56)
水平距离 D以公里为单位。
从图 6－ 25可知，
（ R’+c)2=R2+D2（ R’+c)2=R2+D2
c=D2/(2R’+c)
c=D2/2R
γ ＝ D2/14R
f=c-γ ＝ (D2/2R)-(D2/14R)≈0.43D 2/R=6.7D2
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
三角高程测量一般采用对向观测，取对向观测所得高
差绝对值的平均数可 抵消两差 的影响。
7643221100f=6.7D2(cm)
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.1D(km)
1km内不同距离的二差改正数
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.3 三角高程测量的观测和计算
⑴ 三角高程测量的观测
① 安置经纬仪于测站上，量取仪高 i和目标高 s。读至
0.5cm，量取两次的结果之差 ≤ 1cm时，取平均值。
② 当中丝瞄准目标时，将竖盘指标水准管气 泡居中,
读取竖盘读数。必须以盘 左,盘 右 进行观测。
③ 竖直角观测测回数与限差应符合表 6－ 16的规定。
④ 用电磁波测距仪测量两点间的倾斜距离 D’，或用三
角测量方法计算得两点间的 水平 距 离 D。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.3 三角高程测量的观测和计算
⑵ 三角高程测量计算
三角高程测量往返测所得的高差之差（ 经两差改正后
）不应大于 0.1Dm（ D为边长，以公里为单位）。
三角高程测量路线应组成 闭合 或 附合 路线。如图 6－
26，三角高程测量可沿 A－ B－ C－ D－ A闭合路线进行，每
边均取 对向观测 。观测结果列于图上，其路线高差闭合差
fh的容许值按下式计算：
若 fh<fh容,则将闭合差 按与边长成正比反符号分配给
各高差,再按调整后的高差推算各点的高程，图 6-26计算
见表 6-17。
(m) (D以公里为单位 ) (6－ 57)2D0, 0 5 ??＝
容hf
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.3 三角高程测量的观测和计算
⑵ 三角高程测量计算
土 木 工 程 测 量
教学课件
工程测量学
6 小地区控制测量
在绪论中已经指出, 测量工作必须遵循, 从整体到局部, 先控
制后碎部, 的原则, 先建立控制网, 然后根据控制网进行碎部测量
和测设 。 控制网分为 平面控制网 和 高程控制网 。 测定控制点平面位
置 (x,y)的工作, 称为 平面控制测量 。 测定控制点高程 (H)的工作,
称为 高程控制测量 。
§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
平面控制测量是确定控制点的平面位置。建立平面网的经典方
法有三角测量和导线测量。图 (6-1)
⑴ 三角测量
观测所有三角形的内角，并至
少测量其中一条边长，作为起算边。
这种三角形的顶点称为 三角点,构
成的网形称为 三角网,并进行这种
控制测量称为 三角测量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
⑵ 导线测量
图中控制点 1,2,3… 用
折线连接起来，测量各边的
长度和各转折角。这种控制
点称为 导线点,进行这种测
量称为 导线测量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
⑶ 卫星大地测量
目前常用的是 GPS(全球定位
系统 Navigation system Timing
and Ranging/Global
Positioning System)卫星定位。
在 A,B,C,D控制点上，同时接
收 GPS卫星 S1,S2,S3,S4… 发射
的无线电信号，从而确定地面点
位，称为 GPS控制测量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
国家平面控制网, 是在全国范围内建立的控制网 。 逐级控制,
分为 一, 二, 三, 四等三角测量 和 精密导线测量 。 图 (6-4)
城市控制测量是为大比
例尺地形测量建立控制网,
作为城市规划, 施工放样的
测量依据 。
城市平面控制网一般可
分为 二, 三, 四等三角网及
一、二级小三角网或一、二
、三级导线 。然后再布设 图
根小三角网 或 图根导线 。
1985年城市测量规范，其技
术要求见表 6-1,6-2。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
城市三角网及图根三角网的主要技术要求
DJ3DJ2DJ1
11:1万± 60± 20图根
211:1万1:2万0.5± 30± 10二级
621:2万1:4万1± 15± 5一级
641:4.5万首级1:12万2± 9.0± 2.5四等
961:8万首级1:20万5± 7.0± 1.8三等
121:12万1:30万9± 3.5± 1.0二等
测回数最弱边
相对中
误差
起始边
相对中
误差
平均边
长 (km)
三角形
最大闭
合差 (″)
测角中
误差 (″)等级
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.1 平面控制测量
直接供地形测图使用的控制点, 称为图根控制点, 简称 图根点
。 测定图根点位置的工作, 称为 图根控制测量 。
城市导线及图根导线的主要技术要求
1:0.2万± 60± 30图根
1:0.6万± 151201.5± 24± 12三级
1:1万± 152002.4± 16± 8二级
1:1.4万± 153003.6± 10± 5一级
全长相对
中误差
测距中
误差
(mm)
平均
边长
(m)
附合导
线长度
(km)
方向角
闭合差
(″)
测角
中误
差 (″)
等级
n
n
n
n
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.1 控制测量概述
6.1.2 高程控制网
建立高程控制网的主要方法是 ⑴ 水准测量 。 在山区也可采用
⑵ 三角高程测量 的方法来建立高程控制网, 此法不受地形起伏的
影响, 工作速度快, 但其精度较水准测量低 。
国家水准测量分为一, 二, 三, 四等, 逐级布设 。 一, 二等水
准测量是用高精度水准仪和精密水准测量方法进行施测, 其成果作
为全国范围的高程控制之用 。 三, 四等水准测量除用于国家高程控
制网的加密外, 在小地区用作建立首级高程控制网 。
为了城市建设的需要所建立的高程控制称为 城市水准测量, 采
用 二, 三, 四 等水准测量及直接为测地形图用的 图根水准测量, 其
技术要求列于表 6-4。
⑴ 水准测量
⑵ 三角高程测量
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.1 直线定向的概念
确定地面上两点之间的相对位置, 仅知道两点之间的水平距离
是不够的, 还必须确定此直线与标准方向之间的水平夹角 。
确定一条直线与标准方向之间的水平角度称为直线定向 。
标准方向的种类
⑴ 真子午线方向 —— 通过地
球表面某点的真子午线的切线方
向, 称为该点的真子午线方向 。
真子午线的方向用 天文测量 的方
法测定, 或用 陀螺经纬仪 方法测
定 。
⑵ 磁子午线方向 —— 磁子午
线方向是磁针在地球磁场的作用
下, 磁针自由静止时其轴线所指
的方向 。 可用 罗盘仪 测定 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.1 直线定向的概念
⑶ 坐标纵轴方向 —— 如第一章所述，我国采用高斯平面直角坐
标系，每一 6° 带或 3° 带内都以该带的中央子午线作为坐标纵轴，
因此，该带内直线定向，就用该带的坐标纵轴方向作为标准方向
由于地球磁极与地球旋转轴南
北极不重合, 因此过地球上某点的
真子午线与磁子午线不重合 。 两者
之间的夹角称为 磁偏角, 用 δ 表示
,见图 6-5。
磁子午线北端偏于真子午线以
东为 东偏 (+δ ),偏于真子午线以西
为 西偏 (-δ )。 地球上不同地点磁偏
角也不同 。 我国磁偏角的变化大约
在 +6° ～ -10° 之间 。 地球磁极是不
断变化的, 磁偏角也在变化 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.1 直线定向的概念
地面上不同经度的子午线收敛于两极。地面上两点子午线方向
的夹角称为 子午线收敛角,用 γ 表示，见图 6-6。
设 A,B为同纬度上的两点, 其距离为
l。 过 A,B两点分别作子午线的切线交于
地轴 P点 。 AP,BP为子午线方向 。 若 A,B
相距不太远时, 子午线收敛角 γ 可用下
式计算,(6-1)
?? BPl?
在直角三角形 BOP中, BP=R/tanφ,
代入上式得,(6-2)
??? ta nRl?
从上式可见, 纬度愈低, 子午线收敛
角愈小, 在赤道上为零 。 纬度越高, 收
敛角愈大 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.2 直线定向方法
测量中常用方位角来表示直线的方向。 由标准方向的北端起，
顺时针方向量到某直线的夹角，称为该直线的方位角 。角值由 0°
～ 360° 。图 6-7。 ⑴ 真方位角与磁方位角 —— 若标
准方向为真子午线方向, 则称 真方位
角, 用 A表示 。 若标准方向为磁子午
线方向, 则称 磁方位角, 用 Am表示 。
真方位角和磁方位角之间的关系为：
⑵ 坐标方位角 —— 从每带的坐标
纵轴的北端按顺时针方向到一直线的
水平角为该直线的 坐标方位角, 或称
方位角 。 用 α 表示 。
真方位角与坐标方位角的关系：
A=α +γ
方位角
A=Am+δ (6-3)
A=α +γ
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.2 直线定向方法
⑶ 正、反方位角 —— 同一条直线在不同端点量测，其方位角也
不同。测量中常把直线前进方向称为正方向，反之称为反方向。如
图 6-8。 设 A为直线的起端, B为终端
,则 Aab为正方位角, Aba为反方位
角 。 正反方位角之间的关系为：
直线位于中央子午线以东，
γ 为 正 ；以西为 负 。
一条直线的 正、反坐标方位
角 无子午线收敛角，所以为：
前进方向
正方位角
反
方
位
角
(6-4) ????? 1 8 0
abba AA
α ba=α ab± 180° (6-5)
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.3 坐标方位角的推算
若 AB边的坐标方位角 α ab已知，又测定了 AB边和 B1边的水平角
β b(称连接角 )和各点的转折角 β 1,β 2,β 3…,利用正、反方位
角的关系和测定的转折角可以推算连续折线上各线段的坐标方位角
(图 6-9)如下,α
ba=α ab+180°
α b1=α ba+β b-360° =α ab+β b-180°
α 12=α b1+β 1-180° =α ab+β b+β 1-2× 180°
α ij=α ab+∑ β iL-N× 180° (6-6)
或 α前 =α后 +β左 － 180°
（ αba+(βb-αb1)=360° → ）
（ α1b+(β1-α12)=360° →
α12 = α1b +β1 –360=αb1+180° +β1-
360° ）
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.3 坐标方位角的推算
上式中 β iL是折线推算进行
方向的 左角 。若测定的是 右角 则
用下式计算：
α ij=α ab-∑ β iR-N× 180° (6-7)
或
α前 =α后 +180° -β右
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.4 坐标正、反算
⑴ 坐标正算公式
已知边长和方位角，由已知点计算待定点的坐标，称 坐标正算
A为已知点，其坐标为 x,y,A到
待定点 B的边长为 Dab(平距 )，方位角为
α ab。则 B点的坐标为：
(6-8)
ababaabab
ababaabab
Dyyyy
Dxxxx
?
?
s i n
c o s
?????
?????
式中,Δ xab,Δ yab—— 坐标增量 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.4 坐标正、反算
⑵ 坐标反算公式
已知两点坐标，反求边长和方位角，称为 坐标反算
方位角公式为：
边长计算公式为：
(6-9)
ab
ab
ab
ab xyxx yyab ???? ?? a r c t a na r c t a n?
(6-10)
ab
ab
ab
ab yx
ababab yxD ?? s i nc o s
22 ?? ??????
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.2 直线定向及坐标反算
6.2.3 坐标正、反算
⑵ 坐标反算公式
注意, 式 (6-9)计算的是象限角 R,应换算成方位角 (表 6-5)。
(6-9)
ab
ab
ab
ab xyxx yyab ???? ?? a r c t a na r c t a n?
α=360° -RR=360° -α象限 Ⅳ
α=180° +RR=α-180°象限 Ⅲ
α=180° -RR=180° -α象限 Ⅱ
α=RR=α象限 Ⅰ
由象限角换
算成方位角
由方位角换算
成象限角
象限
方位角和象限角的关系
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
将测区内相邻控制点连成直线而构成的折线，称为 导线 。这些
控制点，称为 导线点 。导线测量就是依次测定各导线 边 的 长 度和各
转折角 值；根据起算数据，推算各边的 坐标方位角,从而求出各导
线 点的坐标 。
用经纬仪测量折角, 用钢尺测定边长的导线, 称为 经纬仪导线；若用光电测距仪测定导线边长, 则称 电磁波测距导线 。
导线测量是建立小地区平面控制网常用的一种方法, 特别是 地
物分布较复杂 的建筑区, 视线障碍较多的隐蔽区 和 带状地区, 多采
用导线测量的方法 。 根据测区的不同情况和要求导线可布设成下列
三种形式：
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 闭合导线 —— 起讫于同
一已知点，形成闭合多边形的
导线。 (图 6-12a)。其本身存
在着严密的几何条件，具有检
核作用。
⑵ 附合导线 —— 布设
在两个已知点间的导线,
称附合导线 (图 6-12b)。
其具有检核观测成果的作
用 。
⑶ 支导线 —— 其缺乏
检核条件 。 规范规定其不
得超过 3条边 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 踏勘选点及建立标志
选点前, 应调查搜集测区已有地形图和高一级的控制点的成果
资料, 把控制点 展绘 在地形图上, 然后在地形图上拟定导线的布设
方案, 最后到野外去踏勘, 实地核对, 修改, 落实点位和建立标志
。 如果测区没有地形图资料, 则需详细踏勘现场, 根据已知控制点
的分布, 测区地形条件及测图和施工需要等具体情况, 合理地选定
导线点的位置 。
6.3.1 导线测量外业工作
实地选点时, 应注意下列几点：
① 相邻点间通视良好, 地势较平坦, 便于测角和量距 。
② 点位应选在土质坚实处, 便于保存标志和安置仪器 。
③ 视野开阔, 便于施测碎部 。
④ 导线各边的长度应大致相等, 除特殊情形外, 应不大于 350m
,也不宜于小于 50m边长 。
⑤ 导线点应有足够的密度, 分布较均匀, 便于控制整个测区 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 踏勘选点及建立标志
临时性标志, 永久性标志, 沿导线走向顺序编号, 绘制导线略
图；点之记 (图 6-13)。
6.3.1 导线测量外业工作
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑵ 外业测量
① 边长测量
导线边长可用 电磁波 测距仪测定, 测量时要同时观测竖直角,
供倾斜改正之用 。 若用 钢尺 丈量, 钢尺必须经过检定 。 对于一, 二
,三级导线, 应按钢尺量距的 精密方法 丈量 。
对于 图根导线：
用一般方法往返丈量或同一方向丈量两次 。
尺长改正 —— 当尺长改正数大于 1/10000时,应加尺长改正；
温度改正 —— 当量距时平均尺温与检定时温度相差 ± 10℃ 时,
应进行温度改正；
倾斜改正 —— 尺面倾斜大于 1.5%时, 应进行倾斜改正 。
要求其精度不低于 1/3000,特殊困难地区允许 1/1000。
6.3.1 导线测量外业工作
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑵ 外业测量
6.3.1 导线测量外业工作
② 角度测量
用测回法施测导线 左角 (位于导线前进方向左侧的角 )或 右角 (位
于导线前进方向右侧的角 )。
一般在 附合导线 中，测量导线 左角,在 闭合导线 中均测 内角 。
若闭合导线按反时针方向编号，则其左角就是内角。不同等级的导
线的测角精度要求见表 6-2。
图根导线，一般用 DJ6级光学经纬仪测一个测回。若盘左、盘右
测得角值的较差不超过 40″,则取其平均值。
测角时，为便于瞄准，可用 大垂球, 测钎, 觇标 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑵ 外业测量
③ 连测
导线应与高级控制点连测, 才能得到起始方位角, 这一工作称
为 连接角测量, 也称 导线定向 。 目的是使导线点坐标纳入国家坐标
系统或该地区统一坐标系统 。 附合导线 与两个已知点的连接, 应测
两个连接角 β b,β c。 闭合导线和支导线 只需测一个连接角 β b,见
图 6-12。
6.3.1 导线测量外业工作
对于独立地区周围无高级控制点时, 可 假定 某点坐标, 用罗盘
仪测定起始边的 磁方位角 作为起算数据 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的坐标 。
计算之前, 应全面检查导线测量外业记录, 数据是否齐全, 有
无记错, 算错, 成果是否符合精度要求, 起算数据是否准确 。 然后
绘制导线略图, 把各项数据注于图上相应位置, 如图 6-14。
6.3.2 导线测量内业计算
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑴ 内业计算中数字取位的要求
内业计算中数字的取位, 对于 四等以下 的小三角及导线, 角值
取至 秒, 边长及坐标取至 毫米 (mm)。 对于 图根三角锁及图根导线,
角值取至 秒, 边长和坐标取至 厘米 (cm)。
6.3.2 导线测量内业计算
⑵ 附合导线计算
由于附合导线是在两个已知点上布设的导线, 因此测量成果应
满足两个几何条件 。
a.方位角闭合条件,即从已知方位角 α AB，通过各 β i角推算出
CD边方位角 α ’CD，应与已知方位角 α CD一致。
b.坐标增量闭合条件,即从 B点已知坐标 xB,yB，经各边长和方
位角推算求得 C点坐标 xc’,yc’应与已知 C点坐标 xc,yc一致。
上述两个条件是附合导线外业观测成果检核条件，又是导线坐
标计算平差的基础。其计算步骤如下：
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
① 坐标方位角的计算与角度闭合差的调整
据式 (6-6),推算 CD边坐标方位角为：
α ’CD=α AB+∑ β i-n× 180° (6-11)
6.3.2 导线测量内业计算
角度闭合差为,
fβ =α ’CD-α CD (6-12)
本例中 α CD’=46° 44′,8,α CD=46° 45′,4,则 fβ =-0.6′ 。
据表 6-2,图根导线角度闭合差容许误差为：
fβ 容 =± 60″ N1/2
若 fβ ≥f β 容, 说明角度测量误差超限, 要 重测 ；
若 fβ <fβ 容, 则只需对各角度进行 调整 。 等精度观测, 反符号平
均分配给各角, 然后再计算各边方位角 。 最后以计算的 α ’CD和 α CD
是否相等作为 检核 。
α ’CD=α AB+∑ β i-n× 180° (6-11)
fβ =α ’CD-α CD (6-12)
fβ 容 =± 60″n 1/2=± 2′.6
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
② 坐标增量闭合差的计算与调整
利用上述计算的各边方位角和边长, 可计算各边的坐标增量 。
各边坐标增量之和理论上应与控制点 B,C的坐标差一致, 若不一致
,产生的误差称 坐标增量闭合差 fx,fy。 计算式为：
6.3.2 导线测量内业计算
fx=∑ Δ x-(xc-xB)
fy=∑ Δ y-(yc-yB)(6-13)
由于 fx,fy的存在, 使计算出的 C’点与 C不重合, 图 6-15。 CC’用
f表示, 称 导线全长闭合差, 用下式表示：
fx=∑ Δ x-(xc-xB)
fy=∑ Δ y-(yc-yB) (6-13)
(6-14)22
yx fff ??
f值与导线全长 ∑ D之比称为 导
线全长相对闭合差, 即：
(6-15)
fDD
fK
????
1
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
K值的大小反映了测角和测边的综合精度。不同导线的相对闭合
差容许值不同，见表 6-2。图根导线 K值 <1:2000，困难地区 K值可放
宽到 1:1000。
6.3.2 导线测量内业计算
若 K>K容,说明成果不合格，首先检查内业计算有无错误，然后
检查外业观测成果，必要时重测。一般是量距有误差。若 K＜ K容,
则说明符合精度要求，可以进行调整。即将 fx,fy反符号按与边长
成正比分配到各边的纵、横坐标增量中去 。对于第 i边的坐标增量
改正值为：
纵、横坐标增量改正数之和应
满足下式：
(6-16)iDfxi Dv x???
iD
f
yi Dv y???
(6-16‘)xx fv ???
yy fv ???
改正后的坐标增量之和应与 B,C两点坐标差相等, 以此作为检
核 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
③ 坐标计算
根据起始点的坐标及改正后各边的坐标增量按下式计算各点的
坐标：
6.3.2 导线测量内业计算
最后推算出的 C’点的坐标应与原来 C点的坐标一致 。
附合计算可列表格计算, 见表 6-6。
(6-17)1,1 ?? ??? iiii xxx
1,1 ?? ??? iiii yyy
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
6.3.2 导线测量内业计算
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
闭合导线计算方法与附合导线相同, 也要满足角度闭合条件和
坐标闭合条件 。
① 角度闭合差的计算与调整
闭合导线测的是内角, 所以角度闭合条件是要满足 n多边形内
角和条件,∑ β 理 =(n-2)× 180°
角度闭合差
fβ =∑ β 测 -∑ β 理 = =∑ β 测 - (n-2)× 180° (6-18)fβ =∑ β 测 -∑ β 理 = =∑ β 测 - (n-2)× 180° (6-18)
各级导线角度闭合差的容许值 fβ 容, 见表 6-2。 对于图根导线
fβ 容 =± 60″ n1/2。 fβ >fβ 容, 则说明所测角度不符合要求, 应重新
检测角度 。 若 fβ ≤f β 容, 可将闭合差反符号平均分配到各观测角中
。
改正后之内角和应为 (n-2)× 180°, 以作计算校核 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
② 用改正后的导线左角或右角推算各边的坐标方位角
根据起始边的已知坐标方位角及改正角按下列公式推算其它各
导线边的坐标方位角 。
α ij=α ab+∑ β iL-N× 180° (6-6)
或 α前 =α后 +180° +β左
α ij=α ab-∑ β iR-N× 180° (6-7)
或 α前 =α后 +180° -β右
适用于测左角
适用于测右角
在推算过程中必须注意：
① 如果算出的 α前 >360°,则应减去 360° ； ② 如果 (α后
+180° )<β右,则应加 360° 再减 β右 ；③闭合导线各边坐标方位角的
推算，最后推算出起始边坐标方位角，它应 与原有的已知坐标方位
角值相等,否则应重新检查计算。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
③ 坐标增量的计算及其闭合差的调整
A,坐标增量的计算 —— 按 (6-8)式计算
B、坐标增量闭合差的计算与调整
(6-8)
ababaabab
ababaabab
Dyyyy
Dxxxx
?
?
s i n
c o s
?????
?????
闭合导线的起、终点是一个点，所以 坐标增量理论值为零 。坐
标增量闭合差为：
(6-19)
计xf x ???
计yf y ???
22 yx fff ??
f
DD
fK
??
?? 1
角度闭合差 fβ,坐
标增量闭合差及导线全
长闭合差 f的检验和调
整同附合导线 。表 6-7
为图 6-16的闭合导线计
算表。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.3 导 线 测 量
⑶ 闭合导线计算
6.3.2 导线测量内业计算
以导线全长相对闭合差 K来衡量导线测量的精度, K的分母越大
,精度越高 。 不同等级的 K容 见表 6-2。
若 K≤K 容, 则说明符合精度要求, 可以进行调整, 即将 fx,fy反
符号按边长成正比分配到各边的纵, 横坐标增量中去 (式 (6-16),
填入表 6-7的 6,7栏 。
各边增量加改正数, 即得各边的改正后的增量, 填入表 6-7的 8
,9栏 。
改正后纵, 横坐标增量之代数和应分别为零, 以作计算校核 。
④ 计算各导线点的坐标
根据起点的已知坐标及改正后的增量，按 (6-17)式依次推算各
点的坐标，填入表 6-7的 10,11栏。最后还应推算起点的坐标，应
与原有的数值相等，以作校核。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
将测区内各控制点组成相互连接的若干个三角形而构成 三角网
，这些三角形的顶点，称为 三角点 。所谓小三角测量就是在小范
围内布设 边长较短 的小三角网，观测所有的各 内角,丈量 1～ 2条边
(称起始边，习惯上亦称为 基线 )的长度，用近似方法进行平差，然
后应用正弦定律算出各三角形的边长，再根据已知边的坐标方位角
、已知点坐标 (在独立地区可自行假定 )，按类似于导线计算的方法
，求出各三角形的坐标。与导线测量相比，它的特点是 测角的任务
较重,但 量距工作量大大减少 。
在山区、丘陵和城市首级控制网；隧道、桥梁等工程，在建立
平面控制时，广泛采用小三角测量。小三角测量根据测区大小和工
程规模以及精度要求的不同，分为一级小三角、三级小三角和图根
小三角几个等级。各等级的技术要求不同。
三角网
三角点
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
常用的基本图形有 单三角锁, 中点多边形, 大地四边形, 线形
锁等 (图 6-17)
单三角锁
中点多边形 大地四边形线形锁
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.1 小三角测量外业
⑴ 踏勘选点, 建立标志
与导线测量相似, 选点前应搜集测区已有的地形图和控制点的
成果资料, 先将控制点展绘在地形图上, 在地形图上设计布网方案
,然后再到野外去踏勘, 根据实地地形选定布网方案及点位 。
选定小三角点应注意以下几点：
① 各三角形的 边长应接近于相等, 其平均边长应符合有关规定
(图根小三角起始边 1～ 2尺段 )。
② 各三角形的内角以 60° 左右为宜，若条件不许可，也 不应
>120° 或 <30° 。
③ 小三角点应选在 地势较高, 土质坚实, 视野开阔, 相互通视
、便于保存 点位 和便于测 图 的地方。
④ 起始边应选在便于量距的平坦坚实的地段。
小三角点选定后, 应 埋设标志 并进行 编号, 绘, 点之记, 图,
并应用罗盘仪或小平板仪测绘出 小三角网略图 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.1 小三角测量外业
⑵ 角度测量
角度测量 是小三角测量的主要外业 。 有关技术指标见表 6-1。 (
图 6-18)。
在三角点上，当观测方
向是两个时，采用 测回法 ；
当观测方向为三个或三个以
上时，采用 全圆测回法 。
应随时计算各三角形角度闭合差 fi,公式为：
fi=(ai+bi+ci)-180° (6-20)fi=(ai+bi+ci)-180° (6-20)
若 fi超出表 6-1的规定（图根为 ± 60″ ），应重测。角度观测结
束后,按菲列罗公式计算测角中误差 mβ,应附合表 6－ 1的规定图根
为 ± 20″ ）。
(6-21)
n
ff iim
3
][??
?
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.1 小三角测量外业
⑶ 基线测量
起始边是推算所有三角形边长的依据, 其精度的高低, 将直接
影响整个三角网的精度, 起始边的精度应附合表 6-1的规定 （ 图根
为相对中误差 1:1万 ） 。
采用 电磁波测距仪 或钢尺 精密量距 的方法丈量 。
工程测量学
6 小地区控制测量
⑴ 绘制小三角测量略图
(图 6-19)
为方便三角形内角按以
下规定编号：已知边所对
的角为 bi,待求边所对的角
为 ai,第三边所对的角为 ci
。 ai,bi称为传距角, ci称
为间隔角 。
§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
小三角测量内业计算的 最终目的 是求各三角点的坐标 。 包括外
业观测成果的整理和检查, 角度闭合差的调整, 边长和坐标计算 。
一般图根小三角测量计算采用近似平差, 一, 二级小三角测量用严
密平差 。
⑴ 绘制小三角测量略图
图
为方便三角形内角按以
下规定编号：已知边所对
的角为 待求边所对的角
为,
。, 称为 传距角, 称
为 间隔角 。
工程测量学
6 小地区控制测量
ai+bi+ci-180° ＝ 0 （ 6-24）
§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑵ 角度闭合差的计算与调整
设 a’i,b’i,c’i为第 i个三角形的观测值, 则各三角形的角度闭
合差用式 (6-18)计算, 图根小三角角度闭合差容许值 fβ 容 ≤ 60″ 。
若 fi≤ fβ 容, 则进行角度闭合差调整 。
设各角度 第一次 改正数为 vai,vbi,vci。 因各角度为同精度观
测, 各改正数应相等 。
vai＝ vbi＝ vci＝－ fi/3 (6-22)vai＝ vbi＝ vci＝－ fi/3 (6-22)
改正值取至秒位 。 第一次改正后的角值为：
ai=a’i+vai
bi=b’i+vbi (6-23)
ci=c’i+vci
经过第一次改正后的角度应满足三角形闭合条件, 即：
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
根据基线 D0和第一次改正后的角值 ai,bi按正弦定理推算另一
条基线 D’n.
1
1
01 s in
s in
b
aDD ?
2s i n1s i n
2s i n1s i n
2s i n
2s i n
012 bb
aa
Db
a
DD ??
?
?
?
?
??
n
i
i
b
n
i
i
a
D
n
bbb
n
aaa
DD
n
1
s i n
1
s i n
s i n
2
s i n
1
s i n
s i n
2
s i n
1
s i n
00
'
?
?
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量6.4 2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
计算的第二条基线 D’n应与实测的 Dn相等 。 即
01,1 '' ?? －也即
n
n
n
n
D
D
D
D
为了消除 w误差, 须对 ai,bi进行第二次改正 。 设 δ ai,δ bi为
角度第二次改正数, 则：
(6-26) 0
1
1
)s i n (
)s i n (
0 ??
?
?
?
?
?
?
n
b
a
DD n
i
bii
n
i
aii
?
?
但由于第一次改正后的角度仍有误差, 所以往往 D’n≠D n,从而
产生 基线闭合差 w。
(6-25)
1
s i n
s i n
11
1
0
1
s i n
s i n
0
'
1
1
?
?
?
??
?
?
???
?
?
?
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n
i
i
n
i
in
b
a
n
n
n
aD
bD
D
D
D
D
w
n
i
i
n
i
i
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
将 （ 6-26） 正弦函数式按 台劳级数 展开, 取前两项, 得：
式中 ρ ＝ 206256″ 。 将式 （ 6-27） 代入式 （ 6-26）, 得：
(6-27)
)c o t1(s i nc o ss i n)s i n (
)c o t1(s i nc o ss i n)s i n (
iii
bi
ibii
i
ai
iiciaii
bbbbb
aaaaa
bi
ai
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
(6-28) ?? ??????
?
?
?
?
? 0)c o t1)(c o t1( 111
s i n
s i n
0
1
1
nbiiaii
b
a
DbaD n
i
i
n
i
i
?? ??
δ bi很小, 所以
? ? ????? ? )c o t1()c o t1( 111 biibii bb ?? ??
(6-26) 0
1
1
)s i n (
)s i n (
0 ??
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?
?
?
?
?
n
b
a
DD n
i
bii
n
i
aii
?
?
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量6.4 2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
将上式代入式 （ 6-28）, 经整理得：
即
为使第二次改正后仍能满足三角形内角之和为 180°, 必使 δ ai
与 δ bi大小相等, 符号相反, 所以令 δ ai=-δ bi=v’(代入 6－ 29） 。
?? ??????
?
?
?
? 0)c o t1)(c o t1( 11
s i n
s i n
1
1
0
nbiiaii
b
aD
Dban
i
i
n
i
i
?? ??
(6-29) ?? ?
?
?
????
?
? 1]c o tc o t[
1
0
1
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1
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i
n
i
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aD
bD
biiaii ba ???
(6-29‘) ?? ?
?
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1
0
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s i n
1
n
i
i
n
i
in
aD
bD
ii bav?
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量6.4 2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
(6-29‘) ?? ?
?
?
??
?
? 1]c o tc o t[
1
0
1'
s i n
s i n
1
n
i
i
n
i
in
aD
bD
ii bav?
与 （ 6-25） 比较基线闭合差为：
(6-25) 1
s in
s in
1
0
1 ?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
in
aD
bD
w
则 (6-29‘’)
?? ?? wbav ii ]c o tc o t['1?
即
(6-31)? ?
?
?
ii ba
wv
c o tc o t
'
?
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑶ 基线闭合差的计算与调整
第二次改正后的角度值 Ai,Bi,Ci为：
(6-31)
? ?? ? ii ba
wv
c o tc o t
' ?
(6-32)
ii
ii
ii
cC
vbB
vaA
?
??
??
'
'
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
⑷ 边长计算
根据第二次改正后的角度和基线 D0,按正弦定理计算三角形各
边长 。 最后求得 D’n应与 Dn相等 。 表 6-8
⑸ 计算各三角点的坐标
各三角点的坐标计算, 可采用 闭合导线的方法 进行 。 根据基线
边的坐标方位角和平差后的角值推算各边的坐标方位角；
用各边的坐标方位角及相应的边长, 计算各边纵, 横坐标增量；然后根据起点的坐标, 即可求出其它各点的坐标 (坐标正算公式
（ 6-8))。 表 6-9。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.4 小 三 角 测 量
6.4.2 小三角测量内业计算
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.1 前方交会
当导线点和小三角点的密度不能满足工程施工或大比例尺测图
要求时, 需加密的点不多时, 可用 交会法加密控制点, 称为交会定
点 。 常用的交会法有前方交会, 后方交会和距离交会 。
如图 6－ 20（ a),在已知点 A,B分别对 P点观测了水平角 α 和 β
,求 P点坐标, 称为前方交会 。 为了检核, 通常需从三个
已知点 A,B,C分别向 P点观测
水平角, 如图 6－ 20（ b）, 分
别由两个三角形计算 P点坐标 。
P点精度除与 α, β 角观测
精度有关, 还与 α 角的大小有
关 。 α 角接近 90° 精度最高,
在不利条件下, α 角也不应小
于 30° 或大于 120° 。
工程测量学
6 小地区控制测量
6.5.1 前方交会
现以一个三角形为例说明前方交会的定点方法 。
⑴ 据已知坐标计算已知边 AB的方位角和边长 (坐标反算 )
⑵ 推算 AP和 BP边的坐标方位角和边长
由图 6－ 20得：
(6-33)AB AB xx yyAB ??? a r c t a n?
22 )()( ABABAB yyxxD ????
(6-34)??? ?? ABAP
??? ?? BABP
(6-35)?
?
s in
s inAB
AP
DD ?
?
?
s in
s inAB
BP
DD ?
γ =180° -(α +β ) （ 6－ 36）
§ 6.5 交 会 定 点
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.1 前方交会
⑶ 计算 P点坐标
分别由 A点和 B点按下式推算 P点坐标 （ 坐标正算 ）, 并校核 。
(6-37)APAPAp Dxx ?c o s??
APAPAp Dyy ?c o s??
(6-37‘) BPBPBp Dxx ?c o s??
BPBPBp Dyy ?c o s??
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.1 前方交会
⑶ 计算 P点坐标
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
优点是不必在多个已知点上设站观
测, 野外工作量少, 故当已知点不易到
达时, 可采用后方交会法确定待定点 。
后方交会法计算工作量较大, 计算公式
很多, 仅介绍一种 —— 全切公式 。
⑴ 利用坐标反算公式计算 AB,BC坐
标方位角 α AB,α BC和边长 a,c。
(6-9)
ab
ab
ab
ab xyxx yyab ???? ?? a r c t a na r c t a n?
(6-10)
ab
ab
ab
ab yx
ababab yxD ?? s i nc o s
22 ?? ??????
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑵ 计算 α 1,β 2。
从图 6－ 21中可见：
α BC－ α BA＝ α 2＋ β 1
又因 α 1＋ β 1＋ α 2＋ β 2＋ γ 2＋ γ 1＝ 360°
α 1＋ β 2＝ 360° －（ α 2＋ β 1＋ γ 1＋ γ 2 ）＝ θ （ 6－ 39）
所以 β 2＝ θ － α 1 （ 6－ 40）
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
在 △ APB和 △ BPC中, 根据正弦定理
可得：
2211 s ins in
s ins in ???? cBPBPa ??
2
2
s in
s in
?
?cBP ?
2
1
2
2
1
1
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)s i n (
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?
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?
?
?
? ??? cca
1
21
1 s i n
s i ns i n)s i n (
?
????
c
a??
整理可得
(6-41) ??
??
? c o tt a n
s i ns i n
s i n
1 1
2 ??
c
a
根据式 （ 6-41） 可解出 α 1,根据式 （ 6-40） 可解出 β 2。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑶ 计算 β 1和 α 2
利用 β 1和 α 2之和应等于 α BC-α BA
作检核 。
β 1=180° -(α 1+γ 1) (6-42)
α 2=180° -(β 2+γ 2) (6-43)
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑷ 然后再用前方交会公式（ 6－ 38）
计算 P点坐标。
为了判断 P点精度，必须在 P点对 第
四个已知点 D进行观测，测出 γ 3。 利用
已计算出的 P点坐标和 A,D两点的坐标反
算 α PA,α PD，求出 γ 3为：
γ 3=α PD-α PA (6-44)
Δγ＝ γ 3－ γ ’3
对于图根点, Δγ容许值为 ± 40″ 。
表 6－ 11为用 余切公式 计算后方交会点算例 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.2 后方交会
⑸ 后方交会的危险圆
当待定点 P位于三个已知点 A,B、
C的外接圆时，无论 P点位于该 圆周
的任何位置，其 γ 1和 γ 2圴不变，因
此 P点 无解 。故称此外接圆为危险圆。
见图 6－ 22，当 P点在危险圆上时，
则有,θ =α
1+β 2=180° (6-45)
将 θ 值代入式 （ 6－ 41）, 该式无解 。 实际工作中, P点位于危
险圆上的情况是极偶然的, 但在危险圆附近时, 计算出的坐标误差
会很大 。 为了避免 P点落在危险圆附近, 规定后方交会角 γ 1,γ 2与
固定角 B不应在 160° ～ 180° 之间, 否则应重新选择点位 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.3 距离交会
如图 6-23，在两个已知点 A,B
上分别量至待定点 P1的边长 Da,Db，
求解 P1点坐标，称为距离交会。
⑴ 利用 A,B已知坐标求方位角
α AB和边长 DAB。 (公式 6-9,6-10)
⑵ 过 P1点作 AB垂线交于 Q点 。 垂距 P1Q为 h,AQ为 r,利用余弦定
理求 A角 。
ADDDDD aABaABb c o s2222 ???
(6-46)
aAB
baAB
DD
DDDA
2c o s
222 ??
?
(6-47) )(2
1c o s 222
baAB
AB
a DDDDADr ????
22 rDh a ??
Q
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.5 交 会 定 点
6.5.3 距离交会
⑶ P1点坐标为：
上式 P1点在 AB线段右侧 (A,B,P1顺时针构成三角形 )。 若待定
点 P2在 AB线段左侧 (A,B,P2逆时针构成三角形 ),公式为：
(6-49) ABABAp hrxx ?? s inc o s2 ???
ABABAp hryy ?? c o ss in2 ???
(6-48) ABABAp hrxx ?? s inc o s1 ???
ABABAp hryy ?? c o ss in1 ???
rcosαAB
αABαABα
AB
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
三, 四等水准测量除用于国家高程控制网的加密外, 还用于建
立小地区首级高程控制网, 以及建筑施工区内工程测量及变形观测
的基本控制 。 三, 四等水准点的高程应从附近的一, 二等水准点引
测 。 独立测区可采用 闭合水准路线 。 三, 四等水准点应选在土质坚
硬, 便于长期保存和使用的地方, 并应埋设 水准标石 。 水准点应绘
制 点之记 。
1,三, 四等水准测量的要求和施测方法
① 水准尺 —— 双面尺 ；
② 视线长度和读数误差的限差见表 6－ 13；
③ 高差闭合差的规定见表 6－ 4。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
三、四等水准测量的观测应在通视良好、成像清晰稳定的情况
下进行。
⑴ 每一测站上的观测顺序
照准 后 视尺 黑 面，读取 下, 上, 中 丝读数 ⑴、⑵、⑶ ；
照准 前 视尺 黑 面，读取 下, 上, 中 丝读数 ⑷、⑸、⑹ ；
照准 前 视尺 红 面，读取 中 丝读数 ⑺ ；
照准 后 视尺 红 面，读取 中 丝读数 ⑻ ；
此观测顺序简称为,后－前－前－后,，主要是为抵消水准仪
与水准尺下沉产生的误差。 四等 水准测量可简化为,后－后－前－
前, 。
各次 中丝读数 是用来计算高差的。因此，在每次读取中丝读数
前，都要注意使符合水准气泡 居中 。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.6 三、四 等 水 准 测 量
2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑵ 测站的计算、检核与限差
①视距计算
后视距离：⑼＝⑴－⑵
前视距离：⑽＝⑷－⑸
前、后视距差：⑾＝⑼－⑽。三等水准测量，不得超过 ± 3m；
四等水准测量，不得超过 ± 5m。
前、后视累积差：本站⑿＝前站⑿＋本站⑾。三等水准测量不
得超过 ± 5m,四等水准测量不得超过 ± 10m。
② 同一水准尺黑、红面读数差
前尺：⒀＝⑹＋ K1－⑺；
后尺：⒁＝⑶＋ K2－⑻。
三等水准测量不得超过 ± 2mm，四等水准测量不得超过
± 3mm.K1,K2分别为前尺、后尺的红、黑面常数差。
工程测量学
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2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑵ 测站的计算、检核与限差
③ 高差计算
黑面高差,⒂＝⑶－⑹
红面高差,⒃＝⑻－⑺。
检核计算,⒄＝⒁－⒀＝⒂－⒃ ± 0.100。三等水准测量，不
得超过 3mm；四等水准测量，不得超过 5mm。
高差中数,⒅＝ 1/2（⒂＋ [⒃± 0.100])。
上述各项记录、计算见表 6－ 14。观测时，若发现本测站某项
限差超限，应立即重测，只有各项限差均检查无误后，方可移站。
工程测量学
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2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑶ 每页计算的总检核
后视部分总和减前视部分总和应等于末站视距累积差。即
∑ ⑼－ ∑ ⑽＝末站⑿
1/2[∑ ⒂ ＋ ∑ ⒃ ± 0.100]＝ ∑ ⒅
在每测站检核的基础上，应进行每页计算的检核。
∑ ⒂＝ ∑ ⑶－ ∑ ⑹
∑ ⒃＝ ∑ ⑻－ ∑ ⑺
∑ ⑼－ ∑ ⑽＝本页末站⑿－前页末站⑿
测站数为偶数时,
∑ ⒅＝ 1/2[∑ ⒂ ＋ ∑ ⒃ ]
测站数为奇数时,
∑ ⒅＝ 1/2[∑ ⒂ ＋ ∑ ⒃ ± 0.100]
工程测量学
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2,三, 四等水准测量的观测与计算方法
⑷ 水准路线测量成果的计算、检核
三、四等附合或闭合水准路线 高差闭合差 的计算、调整方法与
普通水准测量相同（见第 2章）。
当测区范围较大时，要布设多条水准路线。为了使各水准点高
程精度均匀，必须把各线段连在一起，构成统一的水准网，采用 最
小二乘法 原理进行 平差,从而求解出各水准点的高程。
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.1 三角高程测量原理
在山区测定控制点的高程，若用水准测量，则速度慢，困难大
，故可采用三角高程测量的方法。但必须用水准测量的方法在测区
内引测一定数量的水准点，作为高程起算的依据。
三角高程测量是根据两点的
水平距离和竖直角计算两点的高
差 。 如图 （ 6－ 24）
如果测得 AM之间距离 D’，则高差 hAB为：
hAB=D’sinα ＋ i-s (6-50)hAB=D’sinα ＋ i-s (6-50)
如果两点间平距为 D，由 A,B高差为：
hAB=Dtanα ＋ i-s (6-51)hAB=Dtanα ＋ i-s (6-51)
B点高程为：
HB＝ HA＋ hABHB＝ HA＋ hAB
工程测量学
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6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
上述是在假定地球表面为水平面, 认为观测视线是直线的条件
下导出的, 当地面上两点的距离 ＜ 300m时是适用的 。 两点间距离大
于 300m时就要顾及地球曲率, 加以曲率改正, 称为 球差改正 。 同时
,观测视线受大气垂直折光的影响而成为一条向上凸起的弧线, 必
须加以 大气垂直折光差改正, 称为气 差改正 。 以上两项改正合称为
球气差改正, 简称 二差改正 。
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6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
如图 6－ 25所示。
由于 A,B两点间的水平距离 D与曲
率半径 R’之比值很小，例如当 D＝ 300m时
，其所对圆心角约为 2′.8,故可认为 PG
近似 垂直 于 OM，则
MG＝ Dtanα
于是,A,B两点高差为：
h=Dtanα ＋ i-s+c-γ (6-52)h=Dtanα ＋ i-s+c-γ (6-52)
令 f=c-γ,则公式为：
h=Dtanα ＋ i-s+f (6-53)h=Dtanα ＋ i-s+f (6-53)
从图 6－ 25可知，
（ R’+c)2=R2+D2（ R’+c)2=R2+D2
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6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
即
c=D2/(2R’+c)
c与 R’相比很小，可略去，并考虑到
R’与 R相差甚小，故以 R代替 R’，则上式
为：
c=D2/2R (6-54)
根据研究，因大气垂直折光而产生的视线变曲的曲率半径约为
地球曲率半径的 7倍，则
γ ＝ D2/14R (6-55)
二差改正 为：
f=c-γ ＝ (D2/2R)-(D2/14R)≈0.43D 2/R=6.7D2 (6-56)
水平距离 D以公里为单位。
从图 6－ 25可知，
（ R’+c)2=R2+D2（ R’+c)2=R2+D2
c=D2/(2R’+c)
c=D2/2R
γ ＝ D2/14R
f=c-γ ＝ (D2/2R)-(D2/14R)≈0.43D 2/R=6.7D2
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6.7.2 地球曲率和大气折光对高差的影响
三角高程测量一般采用对向观测，取对向观测所得高
差绝对值的平均数可 抵消两差 的影响。
7643221100f=6.7D2(cm)
1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.1D(km)
1km内不同距离的二差改正数
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6.7.3 三角高程测量的观测和计算
⑴ 三角高程测量的观测
① 安置经纬仪于测站上，量取仪高 i和目标高 s。读至
0.5cm，量取两次的结果之差 ≤ 1cm时，取平均值。
② 当中丝瞄准目标时，将竖盘指标水准管气 泡居中,
读取竖盘读数。必须以盘 左,盘 右 进行观测。
③ 竖直角观测测回数与限差应符合表 6－ 16的规定。
④ 用电磁波测距仪测量两点间的倾斜距离 D’，或用三
角测量方法计算得两点间的 水平 距 离 D。
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6.7.3 三角高程测量的观测和计算
⑵ 三角高程测量计算
三角高程测量往返测所得的高差之差（ 经两差改正后
）不应大于 0.1Dm（ D为边长，以公里为单位）。
三角高程测量路线应组成 闭合 或 附合 路线。如图 6－
26，三角高程测量可沿 A－ B－ C－ D－ A闭合路线进行，每
边均取 对向观测 。观测结果列于图上，其路线高差闭合差
fh的容许值按下式计算：
若 fh<fh容,则将闭合差 按与边长成正比反符号分配给
各高差,再按调整后的高差推算各点的高程，图 6-26计算
见表 6-17。
(m) (D以公里为单位 ) (6－ 57)2D0, 0 5 ??＝
容hf
工程测量学
6 小地区控制测量§ 6.7 三 角 高 程
6.7.3 三角高程测量的观测和计算
⑵ 三角高程测量计算
