§ 16-2 平面简谐波 波动方程
波动方程,描述介质中各质点的位移随时间的变
化关系。
平面简谐波 传播时，介质中各质点都作同一频
率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般
不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，
任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它
们离开各自的平衡位置有相同的位移。
平面简谐波
1.平面简谐波的波动表式
平面简谐行波, 在无吸收的均匀无限介质中沿 x轴的
正方向传播, 波速为 u 。 取任意一条波线为 x 轴, 取 O
作为 x轴的原点 。 O点处质点的振动表式为
)c o s ()( 00 ?? ?? tAty
O x
y u?
x
P
平面简谐波的波动表式
考察波线上任意点 P,P点振动的相位将落后于 O点。
若振动从 O 传到 P所需的时间为 t?,在时刻 t,P点处质点
的位移就是 O 点处质点在 t – t?时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于 O点，其相位差为 ?t?。
P点处质点在时刻 t 的位移为：
? ?? ?0'c o s)( ?? ??? ttAty P
xO
y u?
x
P
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0c o s)( ?? u
xtAty
P因 u
xt ?'
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，
此即所求的沿 x轴方向前进的平面简谐波的 波动方程 。
利用关系式 和, 得 ???? 22 ?? T??uT
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x
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02c o s),( ????
xtAtxy
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平面简谐波的波动表式
波动表式的意义：
上式代表 x1 处质点在其平衡位置附近以角频率 ?
作简谐运动。
?
?
??
?
? ??
?
?? 12co s xtAy
即
x 一定 。令 x=x1，则质点位移 y 仅是时间 t 的函数。
t
y
O
A
t 一定 。令 t=t1，则质点位移 y仅是 x的函数。
平面简谐波的波动表式
???
?
???
?
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?
?
?
x
tAy
2
c o s 1即
以 y为纵坐标,x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是 t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移
所构成的波形曲线 (波形图 )。
x
y
A
u?
?
平面简谐波的波动表式
沿波线方向，任意两点 x1,x2的简谐运动相位差为：
???????
xxx ????????? 22 12
12
x,t 都变化 。
实线,t1 时刻波形 ； 虚线,t2 时刻波形
x
y u?
?x=u t 波的传播
平面简谐波的波动表式
当 t=t1时, ??
?
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01c o s ?? u
xtAy
当 t= t1+Δt时,??
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01c o s ?? u
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在 t1和 t1+Δt时刻, 对应的位移用 x(1)和 x(2)表示，则
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0
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xtAy
t
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平面简谐波的波动表式
令 x(2)=x(1)+uΔt,得
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在 Δ t 时间内,整个波形向波的传播方向移动了
Δ x=x(2)-x(1)=uΔt，波速 u 是整个波形向前传播的速
度。
波速 u 有时也称 相速度 。
平面简谐波的波动表式
沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式
O 点简谐运动方程：
y
x o
u?
x
P
? ?00 c o s ?? ?? tAy
P 点的运动方程为,
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?
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00 )(co s)co s ( ?????? u
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平面简谐波的波动表式
2.波动方程
? ?? ?0co s ?? ??? uxtAy对 求 x, t 的二阶偏导数,
得到,c o s
0
2
2
2
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y
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22
2 1
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y
ux
y
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?
?
任何物理量 y，若它与时间、坐标间的关系满足上
式，则这一物理量就按波的形式传播。
平面波的波动
微分方程
,c o s 02
2
2
2
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u
xt
uAx
y
在三维空间中的一切波动过程, 只要介质无吸收
且各向同性, 都适合下式：
2
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22
2
2
2
2
2 1
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波动方程
?代表振动位移 。
球面波的波动方程,2
2
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球面波的余弦表式如下：
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0c o s ??? u
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r
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—— 振幅ra
3,波动方程的推导
设固体细长棒的截面为 S、密度为 ?
体积元 ab,其原长为 ?x,体积为 ?V=S?x。
xx ???? ??
O x
a b
x xx ??
O x'a 'b
y yy ??
a 处胁强 b 处胁强?
波动方程的推导
体积元所受合力,xSxSxxS ??
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体积元质量为 ?S?x, 其振速为 v,据牛顿第二定
律, 得
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因 x
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— 协变 Y— 杨氏模量
利用,牛顿第二定律变为：tyv ???
2
2
2
2 1
t
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y
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?
?
?
将 求导后代入微分方程后
可知，当 时等式成立。
? ?? ?0c o s ?? ??? uxtAy
?/Yu ?
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?????? ???????? ?? uxtΦuxtFy
细长棒中传播的纵波的波速为
按照偏微分方程理论，方程
的一般解为,
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
?
??
?
?
波动方程的推导
例题 16-3 频率为 ?=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒
传播, 棒 的 杨 氏 模 量 为 Y =1.9?1011N/m2, 棒的密度 ?
=7.6?103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点, 已知原点处质
点振动的振幅为 A =0.1mm,试求,(1)原点处质点的振动表式,
(2)波动表式, (3)离原点 10cm处质点的振动表式, (4)离原点
20cm和 30cm两点处质点振动的相位差, (5)在原点振动
0.0021s时的波形 。
解 棒中的波速
m /s100.5mkg106.7 mN109.1 333
211
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?
?
Yu
波长 m40.0s105.12
sm100.5
13
13
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?
v
u?
波动方程的推导
周期 s1081 5???? vT
(1)原点处质点的振动表式
y0=Acos?t=0.1?10-3cos(2??12.5?103t)m
=0.1?10-3cos25?103?t m
(2)波动表式
式中 x 以 m计, t 以 s 计 。
? ?uxtAy ?? ?c o s
m1051025c o s101.0 333 ?????? ????? ? xt?
(3)离原点 10cm处质点的振动表式
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波动方程的推导
m21025c o s101.0 33 ?????? ???? ? ?? ty
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为,或
落后,即 2?10-5s。
2?
4T
4m10.0cm10 ????? x(4)该两点间的距离,相应
的相位差为
2?? ??
(5)t=0.0021s时的波形为
m1050 0 2 1.01025c o s101.0 333 ?????? ????? ? xy ?
m5s in101.0 3 x????
式中 x以 m计。
波动方程的推导
例题 16-4 一横波沿一弦线传播 。 设已知 t =0时的波形曲线如
下图中的虚线所示 。 弦上张力为 3.6N,线密度为 25g/m,求
(1)振幅, (2)波长, (3)波速, (4)波的周期, (5)弦上任一质点
的最大速率, (6)图中 a,b两点的相位差, (7)3T/4时的波形曲
线 。
/cmx
/cmy
4.0
2.0? 4.0?
5.0?
1M 2M5.0
2.00
10 20 3040 50 60 70a b
t=0
波动方程的推导
解 由波形曲线图可看出：
/cmx
/cmy
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1M 2M5.0
2.00 1020 3040506070a b
m/s12mkg1025 N6.3 13 ????? ???Fu
(3)由波速公式计算出
(2) ?=40cm；
(1) A=0.5cm；
(4)波的周期
s301sm12 m4.0 1 ???? ?uT ?
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
m /s94.0m /s301 2105.02 2 ?????? ? ??? TAAv m
(6)a,b两点相隔半个波长,b点处质点比 a点处质点
的相位落后 ?。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰 M1和 M2已
分别右移 而到达 和 处。43? '1M '2M
/cmx
/cmy
4.0
2.0?4.0?
5.0?
1M 2M5.0
2.00 1020 3040506070a b
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t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
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(6)a,b两点相隔半个波长,b点处质点比 a点处质点
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分别右移 而到达 和 处。43? '1M '2M
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波动方程的推导
波动方程,描述介质中各质点的位移随时间的变
化关系。
平面简谐波 传播时，介质中各质点都作同一频
率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般
不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，
任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它
们离开各自的平衡位置有相同的位移。
平面简谐波
1.平面简谐波的波动表式
平面简谐行波, 在无吸收的均匀无限介质中沿 x轴的
正方向传播, 波速为 u 。 取任意一条波线为 x 轴, 取 O
作为 x轴的原点 。 O点处质点的振动表式为
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平面简谐波的波动表式
考察波线上任意点 P,P点振动的相位将落后于 O点。
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波动表式的意义：
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即
x 一定 。令 x=x1，则质点位移 y 仅是时间 t 的函数。
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它是 t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移
所构成的波形曲线 (波形图 )。
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平面简谐波的波动表式
沿波线方向，任意两点 x1,x2的简谐运动相位差为：
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x,t 都变化 。
实线,t1 时刻波形 ； 虚线,t2 时刻波形
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平面简谐波的波动表式
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波速 u 有时也称 相速度 。
平面简谐波的波动表式
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O 点简谐运动方程：
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平面简谐波的波动表式
2.波动方程
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在三维空间中的一切波动过程, 只要介质无吸收
且各向同性, 都适合下式：
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波动方程
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—— 振幅ra
3,波动方程的推导
设固体细长棒的截面为 S、密度为 ?
体积元 ab,其原长为 ?x,体积为 ?V=S?x。
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将 求导后代入微分方程后
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波动方程的推导
例题 16-3 频率为 ?=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒
传播, 棒 的 杨 氏 模 量 为 Y =1.9?1011N/m2, 棒的密度 ?
=7.6?103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点, 已知原点处质
点振动的振幅为 A =0.1mm,试求,(1)原点处质点的振动表式,
(2)波动表式, (3)离原点 10cm处质点的振动表式, (4)离原点
20cm和 30cm两点处质点振动的相位差, (5)在原点振动
0.0021s时的波形 。
解 棒中的波速
m /s100.5mkg106.7 mN109.1 333
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sm100.5
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波动方程的推导
周期 s1081 5???? vT
(1)原点处质点的振动表式
y0=Acos?t=0.1?10-3cos(2??12.5?103t)m
=0.1?10-3cos25?103?t m
(2)波动表式
式中 x 以 m计, t 以 s 计 。
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(3)离原点 10cm处质点的振动表式
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波动方程的推导
m21025c o s101.0 33 ?????? ???? ? ?? ty
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为,或
落后,即 2?10-5s。
2?
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4m10.0cm10 ????? x(4)该两点间的距离,相应
的相位差为
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(5)t=0.0021s时的波形为
m1050 0 2 1.01025c o s101.0 333 ?????? ????? ? xy ?
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式中 x以 m计。
波动方程的推导
例题 16-4 一横波沿一弦线传播 。 设已知 t =0时的波形曲线如
下图中的虚线所示 。 弦上张力为 3.6N,线密度为 25g/m,求
(1)振幅, (2)波长, (3)波速, (4)波的周期, (5)弦上任一质点
的最大速率, (6)图中 a,b两点的相位差, (7)3T/4时的波形曲
线 。
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解 由波形曲线图可看出：
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1M 2M5.0
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m/s12mkg1025 N6.3 13 ????? ???Fu
(3)由波速公式计算出
(2) ?=40cm；
(1) A=0.5cm；
(4)波的周期
s301sm12 m4.0 1 ???? ?uT ?
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
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(6)a,b两点相隔半个波长,b点处质点比 a点处质点
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(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰 M1和 M2已
分别右移 而到达 和 处。43? '1M '2M
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(6)a,b两点相隔半个波长,b点处质点比 a点处质点
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(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰 M1和 M2已
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