§ 16-7波的叠加原理 波的干涉 驻波
1,波的叠加
波传播的独立性,几个波源产生的波，同时在一介
质中传播,如果这几列波在空间某点处相遇，那么每
一列波都将独立地保持自己原有的特性 (频率、波长、
振动方向等 )传播。
1S 2S
波的叠加
波的叠加原理, 有几列波同时在媒质中传播时，它
们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其
它波的存在而发生影响。在相遇区域，合振动是分振
动的叠加。
叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列
简谐波的组合。
2.波的干涉
相干波
相干条件,振动方向相同
频率相同
相位相同或相位差恒定
相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。
相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。
波的干涉
强弱分布规律
1S
2S
P
11 rPS ?
22 rPS ?
两个相干波源波源 S1
和 S2的振动方程分别为：
)co s ( 10101 ?? ?? tAy S
)co s ( 20202 ?? ?? tAy S?
S1和 S2单独存在时,在 P点引起的振动的方程为,
)2co s ( 11011 ???? rtAy ???
? )2co s ( 22022 ???? rtAy ???
P点的合方程为,
)c os ( 021 ?? ???? tAyyy
? ????? )(2c o s2 121020212221 rrAAAAA ??????
振幅 A和相位 ?0
?
?
?
?
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???
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2
202
1
101
2
202
1
101
0 2
c o s
2
c o s
2
s in
2
s in
r
A
r
A
r
A
r
A
tg
????? )(2 121020 rr ?????对于 P点 为恒量，
因此 A也是恒量，并与 P点空间位置密切相关。
波的干涉
21 AAA ?? （合振幅最大）
21 AAA ?? （合振幅最小）
当 时，得 ?????? krr 2)(2 121020 ??????
当 时，得 ?????? )12()(2 121020 ??????? krr
21 AAA ??
21 AAA ??
和 之间
当 为其他值时，合振幅介于??
若 ?10=?20,上述条件简化为：
?,2,1,0,21 ?????? kkrr ??
? ? ?,2,1,0,2/121 ??????? kkrr ??
（ 合振幅最大 ）
（ 合振幅最小 ）
波的干涉
21 rr ???波程差
两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区
域内，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点，振
幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅
最小。
因 ?????? c o s2 2122212 AAAAAI
????? c o s2 2121 IIIII
若 I1=I2，叠加后波的强度：
2c o s4)]c o s (1[2
2
11
?? ????? III
,2 ?? k?? ;4II ?,)12( ?? ??? k0?I
波的干涉
同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇
区域内,某些点处振动始终加强,另一些点处的振动
始终减弱,这一现象称为 波的干涉 。
o ?2 ?4 ?6?2??4??6?
I
干涉现象的强度分布
??
波的干涉
干涉现象的强度分布
波的干涉
例题 16-10 试计算并分析两个频率相近, 振幅相等, 同方向振
动的简谐波的叠加 。
解 波动方式：
)c o s (),(
)c o s (),(
222
111
xktAtxy
xktAtxy
??
??
?
?
叠加后得到
?????? ?????? xkktAyytxy 22c o s2),( 212121 ??
?
?
??
?
? ???? xkkt
22c os
2121 ??
x
y 21 ??? ??
波的干涉
变化缓慢（对应包络曲线）
121 ???? ????? 或,2 121 kkkk ????? 或 2k
? ?2/)(c o s kxt ??? ?
x
y
令 2,2,2,2 2121
kkkkk
mm
???????? ?????
)c o s ()c o s (2),( xktxktAtxy mm ??? ??
)c o s (),( xkttxA m ?? ?
波的干涉
把 看成是一个角频率为,波数为
的波，这个波的速度为：
?
k
)c o s (),( xkttxA m ??
ku p ??
Am(x,t)具有沿 x方向传播的简谐波的形式,它的角频
率和波数分别为 波速,2?? ??m,2kk m ??
kku mmg ???? ??
两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为,波数为,波
速为 。 它的振幅的变化也像一个传播的波,
它的角频率为,波数为,波速为 。
? k
ku p ??
2?? 2k? ku g ??? ?
上述讨论的合成波称为 波包 。
相速度
群速度
波的干涉
3,驻波
驻
波
的
形
成
驻波 是两列振幅相同的相干波在同一条直
线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波
实验 —— 弦线上的驻波：
驻 波
实验 —— 弦线上的驻波：
0?t
4Tt ?
O A C E F G HB D
2Tt ?
43Tt ?
波节 O B D F H
波腹 A C E G
沿 x轴的正、负方向传播的波
?????? ?? ?? xTtAy 2c o s1 ?????? ?? ?? xTtAy 2c o s2
??
?
??
? ?????? )(2c o s)(2c o s
21 ????
x
T
tx
T
tAyyy
tTxA ??? 2c o s)2c o s2(?
合成波
xA ??2c o s2合成波的振幅 与位置 x有关。
波腹位置 12c o s2 ?xA ?? ?kx ?2
,.,.,)2,1,0(2 ???? kkx ?
驻 波
波节位置 02c o s2 ?xA ?? 2)12( ?? ?? kx
,.,.,)2,1,0(4)12( ????? kkx ?
相邻两个波腹 (节 )间的距离为 。2?
在驻波形成后，各个质点分别在各自的平
衡位置附近作简谐运动。能量 (动能和势能 )在
波节和波腹之间来回传递，无能量的传播。
能量分布
驻 波
相位分布图
x
y
O
4
λ
2
λ
4
3λ
4
λ?
2
λ?43λ?
相位分布
振幅项 可正可负,时间项
对波线上所有质点有相同的值，表明驻波上相邻
波节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振
动有相位差 ? 。
?? xA 2c o s2 )cos( t?
驻 波
对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 ?与波速 u
的乘积 ?u 较大的介质称为 波密介质, ?u较小的介质称
为 波疏介质 。
当波从 波疏介质 传播到 波密介质,分界面反射点
是波节，表明入射波在反射点反射时有相位 ?的突变
相当于在波程上突变 。这一现象称为 半波损失 。2?
波疏 波密 波疏波密
驻 波
4,弦线上的驻波
弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。
????? 2,1,2 nnL ?—— 驻波条件
1?n 2?n 4?n
两端
固定
一端
固定 1?n 2?n 4?n
弦线上的驻波
例题 16-11 两人各执长为 l 的绳的一端,以相同的角频率和振
幅在绳上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前
?，试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不考
虑反射。绳上的波速设为 u。
解 左端的振动 tAy ?c o s1 ?
右端的振动 )c o s (2 ?? ?? tAy
右行波表达式,? ?? ?11 c o s ?? ??? uxtAy
左行波表达式,? ?? ?22 c o s ?? ??? uxtAy
当 时,y1=Acos?t，即2lx ??
tAultA ??? c o s2c o s 1 ??????? ??????? ?ul21 ?? ??
当 时,y2=Acos(?t+??，即2lx ?
)c o s (2c o s 2 ???? ???
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? ? tA
u
ltA
u
l
22
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右行波、左行波表达式：
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u
l
u
xtAy
2c o s1 ?
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u
l
u
xtAy
2
c o s2
弦线上的驻波
合成波 ??
?
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u
l
u
xtAyyy
2c o s21 ?
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? ??? ??
u
l
u
xtA
2c o s
?????? ???????? ?? 22c o s2c o s2 ????? ultu xAy
当 ?=0,x=0 处为波腹 ;当 ?=? 时,x =0 处为波节。
弦线上的驻波
合成波 ??
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当 ?=0,x=0 处为波腹 ;当 ?=? 时,x =0 处为波节。
弦线上的驻波
1,波的叠加
波传播的独立性,几个波源产生的波，同时在一介
质中传播,如果这几列波在空间某点处相遇，那么每
一列波都将独立地保持自己原有的特性 (频率、波长、
振动方向等 )传播。
1S 2S
波的叠加
波的叠加原理, 有几列波同时在媒质中传播时，它
们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其
它波的存在而发生影响。在相遇区域，合振动是分振
动的叠加。
叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列
简谐波的组合。
2.波的干涉
相干波
相干条件,振动方向相同
频率相同
相位相同或相位差恒定
相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。
相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。
波的干涉
强弱分布规律
1S
2S
P
11 rPS ?
22 rPS ?
两个相干波源波源 S1
和 S2的振动方程分别为：
)co s ( 10101 ?? ?? tAy S
)co s ( 20202 ?? ?? tAy S?
S1和 S2单独存在时,在 P点引起的振动的方程为,
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P点的合方程为,
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振幅 A和相位 ?0
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因此 A也是恒量，并与 P点空间位置密切相关。
波的干涉
21 AAA ?? （合振幅最大）
21 AAA ?? （合振幅最小）
当 时，得 ?????? krr 2)(2 121020 ??????
当 时，得 ?????? )12()(2 121020 ??????? krr
21 AAA ??
21 AAA ??
和 之间
当 为其他值时，合振幅介于??
若 ?10=?20,上述条件简化为：
?,2,1,0,21 ?????? kkrr ??
? ? ?,2,1,0,2/121 ??????? kkrr ??
（ 合振幅最大 ）
（ 合振幅最小 ）
波的干涉
21 rr ???波程差
两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区
域内，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点，振
幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅
最小。
因 ?????? c o s2 2122212 AAAAAI
????? c o s2 2121 IIIII
若 I1=I2，叠加后波的强度：
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2
11
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波的干涉
同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇
区域内,某些点处振动始终加强,另一些点处的振动
始终减弱,这一现象称为 波的干涉 。
o ?2 ?4 ?6?2??4??6?
I
干涉现象的强度分布
??
波的干涉
干涉现象的强度分布
波的干涉
例题 16-10 试计算并分析两个频率相近, 振幅相等, 同方向振
动的简谐波的叠加 。
解 波动方式：
)c o s (),(
)c o s (),(
222
111
xktAtxy
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叠加后得到
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x
y 21 ??? ??
波的干涉
变化缓慢（对应包络曲线）
121 ???? ????? 或,2 121 kkkk ????? 或 2k
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x
y
令 2,2,2,2 2121
kkkkk
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)c o s ()c o s (2),( xktxktAtxy mm ??? ??
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波的干涉
把 看成是一个角频率为,波数为
的波，这个波的速度为：
?
k
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ku p ??
Am(x,t)具有沿 x方向传播的简谐波的形式,它的角频
率和波数分别为 波速,2?? ??m,2kk m ??
kku mmg ???? ??
两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为,波数为,波
速为 。 它的振幅的变化也像一个传播的波,
它的角频率为,波数为,波速为 。
? k
ku p ??
2?? 2k? ku g ??? ?
上述讨论的合成波称为 波包 。
相速度
群速度
波的干涉
3,驻波
驻
波
的
形
成
驻波 是两列振幅相同的相干波在同一条直
线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波
实验 —— 弦线上的驻波：
驻 波
实验 —— 弦线上的驻波：
0?t
4Tt ?
O A C E F G HB D
2Tt ?
43Tt ?
波节 O B D F H
波腹 A C E G
沿 x轴的正、负方向传播的波
?????? ?? ?? xTtAy 2c o s1 ?????? ?? ?? xTtAy 2c o s2
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21 ????
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合成波
xA ??2c o s2合成波的振幅 与位置 x有关。
波腹位置 12c o s2 ?xA ?? ?kx ?2
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驻 波
波节位置 02c o s2 ?xA ?? 2)12( ?? ?? kx
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相邻两个波腹 (节 )间的距离为 。2?
在驻波形成后，各个质点分别在各自的平
衡位置附近作简谐运动。能量 (动能和势能 )在
波节和波腹之间来回传递，无能量的传播。
能量分布
驻 波
相位分布图
x
y
O
4
λ
2
λ
4
3λ
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2
λ?43λ?
相位分布
振幅项 可正可负,时间项
对波线上所有质点有相同的值，表明驻波上相邻
波节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振
动有相位差 ? 。
?? xA 2c o s2 )cos( t?
驻 波
对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 ?与波速 u
的乘积 ?u 较大的介质称为 波密介质, ?u较小的介质称
为 波疏介质 。
当波从 波疏介质 传播到 波密介质,分界面反射点
是波节，表明入射波在反射点反射时有相位 ?的突变
相当于在波程上突变 。这一现象称为 半波损失 。2?
波疏 波密 波疏波密
驻 波
4,弦线上的驻波
弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。
????? 2,1,2 nnL ?—— 驻波条件
1?n 2?n 4?n
两端
固定
一端
固定 1?n 2?n 4?n
弦线上的驻波
例题 16-11 两人各执长为 l 的绳的一端,以相同的角频率和振
幅在绳上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前
?，试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不考
虑反射。绳上的波速设为 u。
解 左端的振动 tAy ?c o s1 ?
右端的振动 )c o s (2 ?? ?? tAy
右行波表达式,? ?? ?11 c o s ?? ??? uxtAy
左行波表达式,? ?? ?22 c o s ?? ??? uxtAy
当 时,y1=Acos?t，即2lx ??
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弦线上的驻波
