§ 16-3 波的能量 波的强度
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势
能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1,波的能量
考虑棒中的体积 ?V,其质量为 ?m(?m=??V )。
当波动传播到该体积元时, 将具有动能 Wk和弹性势
能 Wp。
?????? ?? uxtAtxy ?c o s),(平面简谐波
?????? ???? uxtVAWW pk ??? 222 s in)(21
可以证明
波的能量
体积元的总机械能 W
?????? ????? uxtVAWWW pk ??? 222 s in)(
对单个谐振子 pk WW ?
在波的传播过程中, 任一体积元都在不断地接受和
放出能量, 其值是时间的函数 。 与振动情形相比, 波
动传播能量, 振动系统并不传播能量 。
波的 能量密度, 介质中单位体积的波动能量。w
?????? ???? uxtAVWw ??? 222 s in
通常取能量密度在一个周期内的平均值 w
222?? Aw ?
2,波动能量的推导
位于 x 处的体积元 ab的动能为
22 )(
2
1)(
2
1 vVvmW
k ???? ?
O x
a b
x xx ??
O x'a 'b
y yy ??
体积元 ab的振速
波动能量的推导
?????? ?????? uxtAtyv ?? s in
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体积元 ab的胁变 x
y
?
?
据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为
ykxyYSf ?????
体积元弹性势能 2
22
2
1)(
2
1)(
2
1 ?
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??
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????
???? x
yxYSy
X
YSykW
p
由 ?V=S?x,，结合波动表达式 ?Yu ?
?????? ???? uxtuAxy ?? s in
最后得：
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2
1
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2
1
若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的
和 f 分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量 G 代替
杨氏模量 Y，可得到同样的结果。
xy ??
波动能量的推导
3,波的强度
能流 在介质中垂直于波速方向取一面积 S，在单位时
间内通过 S的能量。 u?
S
u
w S ut tw S utWP ??? d ddd
)(s i n 222 uxtAuS ?? ???
平均能流：
22
2
1 ?? AuSSuwP ??
平均能流密度 或 波的强度 通过与波传播方向垂直的
单位面积的平均能流, 用 I来表示, 即
22 2222 AzAuuwI ??? ???
波的强度
介质的特性阻抗 。uz ??
I 的单位,瓦特 /米 2 (W.m-2)
平面余弦行波振幅不变的意义,
)(co s uxtAy ?? ?
u?S
1A S2A
uSAuSwP 22111 21 ???? uSAuSwP 22222 21 ????
若,有 。21 PP ? 21 AA ?
2
2
22
2
2
1
22
1 42
14
2
1 ruAruA ?????? ?
对于球面波，,,介质不吸收能量211 4 rS ?? 222 4 rS ??
时，通过两个球面的总能流相等
1221 rrAA ?
球面波表达式：
)(co s urtra ?? ??
式中 a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。
波的强度
例题 16-5 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度
达 120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为
500kHz，液体的密度为 1g/cm3，声速为 1500m/s，求这时液体
质点振动的振幅。
解 因,所以 222?? uAI ?
m1027.1
m
105.1101
101202
1052
121
5
33
7
5
???
???
??
??
??
?? pu
I
A
可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。
波的强度
4.波的吸收
1S
2S
u?
O X
nA
x
A
xx d?
AA d?
若波不被介质吸收，对于平面简谐波,S1 和 S2 处振
幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处
振幅是不相同的。上图的 dA<0。
,dd xAA ??? ---介质的吸收系数。?
xeAA ??? 0若 ?为常数,则有
A0为 x=0 处的振幅。
xeII ?2
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?
式中的 I0 和 I 分别为 x=0 和 x=x 处的波的强度。
波的吸收
例题 16-6 空气中声波的吸收系数为 ?1=2?10-11v2m-1,钢
中的吸收系数为 ?2=4?10-7vm-1,式中 v 代表声波频率的数值 。
问 5MHz的超声波透过多少厚度的空气或钢后, 其声强减为
原来的 1%？
解 据题意，空气和钢的吸收系数分别为
?2=4?10-7?(5?106)2m-1=2m-1
?1=2?10-11?(5?106)2m-1=500m-1
把 ?1,?2分别代入 I=I0e-2?x 或下式，
)(1)21( 0 IInx ??
波的吸收
据题意有, 1000 ?II 得空气的厚度
m0046.0m100n11000 11 ??x
钢的厚度为
m15.1m100ln412 ??x
可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。
波的吸收
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钢的厚度为
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可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。
波的吸收
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能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
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3,波的强度
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时，通过两个球面的总能流相等
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式中 a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。
波的强度
例题 16-5 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度
达 120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为
500kHz，液体的密度为 1g/cm3，声速为 1500m/s，求这时液体
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波的强度
4.波的吸收
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若波不被介质吸收，对于平面简谐波,S1 和 S2 处振
幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处
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波的吸收
例题 16-6 空气中声波的吸收系数为 ?1=2?10-11v2m-1,钢
中的吸收系数为 ?2=4?10-7vm-1,式中 v 代表声波频率的数值 。
问 5MHz的超声波透过多少厚度的空气或钢后, 其声强减为
原来的 1%？
解 据题意，空气和钢的吸收系数分别为
?2=4?10-7?(5?106)2m-1=2m-1
?1=2?10-11?(5?106)2m-1=500m-1
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波的吸收
据题意有, 1000 ?II 得空气的厚度
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