概率与统计 咸宁职业技术学院
龚友运 等 主编
第四章
随机向量初步
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第一节
随 机 向 量
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§ 4,1随机向量
定义 1
n个随机变量 ξ1,ξ2,…, ξn 的整体 ζ＝
（ ξ1,ξ2,…, ξn ），称为 n维随机向量 (或 n
维随机变量 )．
于是，上述例子分别可用二维随机向
量（ ξ,η）,三维随机向量 (X,Y,Z)和
四维随机向量（ ξ1,ξ2,ξ３, ξ４ ） 等来描
述。
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§ 4,1随机向量
如果二维随机向量 ζ=（ ξ,η）的所有
可能取的值是有限组（或可数无限组），
则称 ζ为二维离散型随机向量,
二维离散型随机向量
定义 2
)21j i,(,p)),(),(( ij ?,,yxP ji ?????记
我们称上式为二维离散型随机向量 ζ的概
率分布,（或联合分布）,
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§ 4,1随机向量
二维离散型随机向量
表
示
方
法
Pij的性质
? ?;3,2,1,0 ??? jip ij
1??? p ij
ji
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§ 4,1随机向量
二维离散型随机向量
证 (1) 由概率的定义可知 ;0?p ij
(2) 利用概率的完全可加性 (加法公式的推论 1中 n→∞
时的情形 )，有
? ?? ?yxPp ij ji
jiji
,),( ?????? ??
? ? ? ?? ??????? ???? yxp ji
ji
,,??
1)( ??? p
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§ 4,1随机向量
例 1 若（ ξ,η） 的概率分布表为：
? ???＞P ? ?2＞P ?? ? ?
?
??
?
?
2
1＞P ?求：
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§ 4,1随机向量
解 ? ? ? ? ? ? ? ?1,20,20,1 ????????? ???????? PPP＞P
24
5
24
1
3
1 ???
12
7?
? ? ? ? ? ?1,22,12 ??????? ?????? PP＞P ? ?2,2 ??? ??P
8
3
6
1
24
50 ????
? ? ? ?2121 ?????????? ??? PP＞P
? ? ? ? ? ? ? ?2,22,11,21,1 ???????????? ???????? PPPP
8
5?
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§ 4,1随机向量
例 2 袋中有 10个大小相同的球，其中 6个红球,4个白
球，现随机地抽取 2次，每次抽取一个，定义两个随机
变量, 如下?
?
??
??
第一次抽取到白球
第一次抽取到红球
,0
,1?
?
?
??
第二次抽取到白球
第二次抽取到红球
，
，
0
1?
试就下面两种情况求出 的概率分布：
（ 1）第一次抽球后放回； （ 2）第一次抽球后不放回；
? ???,
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§ 4,1随机向量
解 的可能取值为
(1)有放回抽样的情况
由乘法公式，得
? ???,? ? ? ? ? ? ? ?1,1,0,1,1,0,0,0
? ? ? ? ? ? 25410 410 40000,0 ?????????? ????? PPP
? ? ? ? ? ? 25610 610 40101,0 ?????????? ????? PPP
? ? ? ? ? ? 25610 410 61010,1 ?????????? ????? PPP
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§ 4,1随机向量
思考,无放回的情况又时怎么样的呢？
? ? ? ? ? ? 25910 610 61111,1 ?????????? ????? PPP
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§ 4,1随机向量
边缘分布及其与联合分布的关系
定义 3 若已知 ? ? ? ?? ? ),3,2,1,(,,,???? jipyx iP
ijj??
则随机变量 ζ 的概率分布
? ??????? ? ???
j j
i yxP ??,? ?x iP ?? ? ???,x iP ?
? ? ? ?? ????????? ? ???
j
ji
j j
i yxPyxP ????,,
? ? ? ?? ?? ????
j j ijji
pyxP,,??
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§ 4,1随机向量
称为（ ξ,η）关于 ξ的 边缘分布,记为
即 pi ?
????
j ij
i pxP ）（ ?
?????? ? ?,3,2,1i
类似可得（ ξ,η）关于 η的边缘分布
? ? ????
j ijjj
pyPp ;· ? ? ??,3,2,1?j
pi?
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§ 4,1随机向量
例 3 设随机变量 ξ在 1,2,3,4四个整数中等可能地取值，
另一个随机变量 η在 1～ ξ中等可能地取一整数值,试求（ ξ，
η）概率分布和（ ξ,η）关于 ξ,η的边缘分布,
解 ? ?ji ?? ??,的取值情况是,i取 1,2,3,4,j取
不大于 i 的正整数，且
)( jiP ?? ??, )()( ijPiP ???? ???
i4
1? ? ?
iji ??,4,3,2,1
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§ 4,1随机向量
于是（ ξ,η）的概率分布和关于 ξ,η的边缘分布为：
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§ 4,1随机向量
*定义 4 设（ ξ,η）是二维随机向量，对于任意实数
x,y,二元函数
),( yxF ? ?yxp ??? ??,称为二维
离散型随机向量（ ξ,η）的分布函数具有如下形式
),( yxF ?
?
?
?
yy
xx
ij
j
i
P
其中和式是关于 Pij对一切满足 y
i jyxx ??,
的 i, j求和,
随机向量（ ξ,η）的 分布函数,
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§ 4,1随机向量
二维连续型随机向量的分布密度
定义 5 对于二维随机向量 ξ=（ ξ,η）的分布函数
),( yxF,如果存在非负函数 ),( yxp,使得对于任意
实数 x,y有 ),( yxF ? ?? ?
?? ???
x y d u d vvup,
连续型随机向量,函数 ? ?yxp,称为 ξ的 分布密度,
也称 ? ?yxp,为 ξ的 联合分布密度 （简称 联合密度 ）
则称 ξ为 二维
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§ 4,1随机向量
分布密度具有以下性质
0;y x,p 1 0 ?)(;1d x d yy x,f2 - -0 ? ???? ??? ?)(
则有连续在点若,y x,y x,f 3 0 )()(;yx,pyx )yx,(
2
)(F ????
D平面上的任意集合对于 x o y 4 0
????
D
y ) d x d y,f ( x,D} P { ( x,y )
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§ 4,1随机向量
例 4 设（ ξ,η）的联合密度为
? ?
? ?
?
?
?? ??
其它,0
0,0,,y ＞x ＞eyxp yx
求,（ 1）分布函数；
（ 2） ? ?10,10 ＜＜＜＜p ??
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§ 4,1随机向量
y) F( x,
解 （ 1） ? ?? ?
?? ???
x y d u d vvup,? ? ??? y x vu d u d ve
0 0
)(
? ?? ?
??
? ??? ??
其它,0
,0,11 0y ＞＞ee xyx
(2) ? ?? ?,;,D 10,10 ＜y ＜＜x ＜yx?记
则有 ? ?10,10 ＜＜＜＜P ??
d xd ye
D
yx?? ???
? ? ??? 10 10 dyedxe yx
21
1 ?
?
??
?
? ??
e
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§ 4,1随机向量
例 5 设 的联合密度为? ???,? ?yxp,
?
?
? ????
其它,0
,10,1,2 xyxk x y=
试确定 k,并求 其中 D,? ?? ?,,Dp ???,2 xyx ??
10 ?? x
解 先画出区域 D,联合密度函数
应满足? ?yxp,
? ?? ???
??
??
??
? 1,d x d yyxp
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§ 4,1随机向量
在这里,应当有
? ? ?10 2 1xx k x y d ydx
即 1
6 ?
k
故 6?k 所以
? ?? ? ?? ? ? ????
D
x
x
x yd ydxx yd xd yDP 1
0 2 4
166,??
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§ 4,1随机向量
定义 6 对于连续型随机向量（ ξ,η），其联合密度为
p(x,y),此时 ξ的分布函数
? ? ? ???????? ???,)( xPxPxF ? ?? ??? ????? x dvvupdu,
为 关于 的 边缘分布函数,这表明 ξ的分布密度函数
存在，且为
? ? ? ??? ???? dyyxx pp,?
同理,η的密度函数为 ? ? ? ?
?? ???? dxyxy pp,?
分别称为（ ξ,η）关于 ξ,η的 边缘分布密度,
? ???,?
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§ 4,1随机向量
两个常用的分布
(1) 均匀分布
(2) 二维正态分布??
?
?
?
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§ 4,1随机向量
(1) 均匀分布
设 D为平面上有限区域，其面积为 a,若随机向量
（ ξ,η）的联合密度为
??
?
?
? ?
?
其它,0
),(,
),(
Dyxc
yxp 则称（ ξ,η）在 D上服从 均匀分布,
? ?? ????? ???? ? 1,d x d yyxp 1???
D
c dx dy
即 1?ca 于是
a
c 1?
因为 所以
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§ 4,1随机向量
(2) 二维正态分布
若随机向量 ξ=（ ξ,η）的联合密度为
? ?
? ?? ?
e
yyxx
yxp ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
2
2
2
21
21
2
1
1
2
2
12
1
2
21 12
1),(
?
????
? ??
?
?
????
其中 ? ? ? ?,,,,00
2121 ＞＞ ???? )1( ＜??
是 5个常数，则称随机向量 ξ=（ ξ,η）服从参数为
?????,,,,2121 的 二维正态分布，
记为 ? ? ? ????????,,,,,2
22121～N
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§ 4,1随机向量
例 6 已知 ? ? ? ????????,,,,,222121～N
求 （ ξ,η）关于 ξ,η的边缘密度,
解 ? ? ? ??? ??
?? dyyxpxp,?
? ? ? ?
? ?? ?
dye
yxyx
e ?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
???
?
?
???
? ?
?
????
?
?
???
? ?
?
?
?
? ??
???
?
?
??
?
?
????
21
21
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
12
1
12
1
21 12
1
? ? ? ? dtee txtx ?????? ??????
??
???
?
?
???
? ?
?? ?
??
?
??
??
?
?
???
1
1
2
2
2
1
222
12
1
1
1
12
1
12
1
2
2
?
??? yt令
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§ 4,1随机向量
? ? ? ? dtee t
xtx
??
?
??
? ??
?
???
??
???
?
?
???
? ?
?
? ?
?
? ?
??
??
?
?
???
1
1
2
2
2
1
222
12
1
1
1
12
1
12
1
? ? ? ? dte
xxtx
e ??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
? ??
???
?
???
? ??
?
???
??
???
?
?
???
? ?
?
? ?
?
?
2
1
12
2
1
1
212
1
12
1 2
2
1
1
1
2
12
1 ? ??? ??
??
?
?
???
? ? ? ? dteee
x
txx
2
1
1
212
1
2
1
12
1
2
1
1
1212
22
1
1
212
1
2
1 ???
?
???
? ?
??
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
????
?
???
? ?
?????? ?
? ?? ?
??
?
???
?
?
?
?
?
???
注意到积分号内的被积函数是 ? ?? ?? 1 1?x
方差为 ?21?
均值为
?
?
?
?
?
的正态分布密度函数,所以积分值为 1，
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§ 4,1随机向量
于是,? ?
xp? ? ?e
x 2
1
2
1
12
1
12
1 ??
?
?
???
? ?
?
??
?
?
?
??
? ?
e
x
2
1
2
1
2
12
1
?
?
??
??
?
同样可求得 ? ? ? ?e y
yp 22
2
2
2
22
1
?
?
? ??
??
?
上述结
果表明
二维正态分布的边缘密度是一维正态密度；二
维正态分布的密度函数中的 5个参数
分别是两个边缘密度的均值
和方差,
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§ 4,1随机向量
随机变量的独立性
由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量
相互独立的概念,
若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A与 B相互独立,
定义 7 设 ),( yF x 及 ? ? ? ?yFxF
??,
分别是二维随机向量
（ ξ,η）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有
ξ,η有 ? ? ? ? ? ?ypxpyxp ?????? ????,
即 ? ? ? ?yFxFF ???? ??),(
则称随机变量 ξ与 η是 相互独立的,
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§ 4,1随机向量
ξ与 η独立
)()(),( jiji yPxPyxP ????? ????
即
连续型
)()(),( yfxfyxp ???
二维随机向量的概念，可以推广到 n维随
机向量的情形
对一切 i,j 有离散型
ξ与 η 独立 对任何 x,y 有
? ? ? ? ? ?yFxFF ???? ??,
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第二节
两个随机变量的
函数的分布
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
1,ζ=ξ+η的分布
? ?,,,yxP）的联合密度为设（ ??
求 ζ=ξ+η的密度, 仍用“分布函数法”,ξ+η
? ? ??
??
???
zyx
d x dyyxPzPzF ),()( ??
y
0 x
z=x+y
利用二重积分与累次积分的关系，我们有
???? ???????
??
? xz
zyx
ydyxxdd xd yyxP ),(),( ?
的分布函数为
于是求得 ξ的分布密度为
? ???? ?? dxxzxPzP ),()(?
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
例 1 设 ξ与 η相互独立，服从相同的分布 N（ 0,1），求
ζ=ξ+η的密度函数,
解 利用 ξ与 η的相互独立
dxxzPxPzP )()() ?? ? ???? ??（ dxee
xzx
2
)(
2
22
2
1 ????
??
???
?
dxee
zxz
? ???? ????
2
)2(4
2
2
1
?
44
2
2
2
2
1
2
1 ztz edtee ???
??
?? ?? ?
?? ）令 2( zxt ??
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
2,的分布),(及),m a x ( ?????? ??
设 ξ,η是两个相互独立的随机变量，他们的分布函
数分别为
)() yFxF ?? 和（
的密度函数。及求 ),m i n(),m a x ( ?????? ??
? ? ? ?zzPzPzF ????? ????,)（
)()(}{}{ zFzFzPzP ???? ????
于是 )]()([)( zFzF
dz
dzp
??? ?
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
例 2 设 ξ,η相互独立，服从相同分布 N（ 0,1），
求 22 ??? ?? 的密度,
解 ζ的分布函数为
? ? ? ?zPzPzF ????? 22) ???? （
)2(21 2
22
2
1 y
zyx
xe ??
??
??? ? dxdy
作极坐标变换
)20,0(s i n,c os ???? ????? rryrx
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
易知 z＞ 0时
drrrer d rez zrzdF 2
0
2
1
22
1
0
2
0
2
2
1)( ??? ?? ??
?
?
? ?
当 z≤0时
Fζ(z) = 0,
0
2
0,0
22
,
{)
2
??
?
???
Zz
Z
Z
e
zP （,的密度是于是 ???
这就是所谓瑞利（ Rayleigh）分布
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第三节
随机向量的数字特征
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§ 4,3随机向量的数字特征
一、两个随机变量的函数的均值和方差
设二维随机向量（ ξ,η）的连续函数 ? ????,f?
有如下的均值公式：
（ 1）对于离数型随机向量 ? ? ? ?
ijji PyxP ??? ????,，，
如果级数 ? ?
ijj i ji Pyxf? ?,
绝对收敛，
则 ? ?
ij
j i
ji PffEE ? ??? ?????,)),((
（ 2）对于连续型随机向量（ ξ,η） 有联合密度 ? ?，,??P
如果广义积分 ? ? ? ?d xd yyxPyxf,,? ????? ???? 绝对收敛，
则 ? ? dx dyyxPyxffEE,),()),(( ? ???
??
??
??
?? ???
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§ 4,3随机向量的数字特征
例 1 设 ξ,η独立同分布服从 N(0,1),求 )( 22 ?? ?E
解法 1 运用公式求解
? ? ? ? d x d yeyxE yx 22212222 2 1 ????
??
??
??? ?
??? ???
r d rerd r
2
2
12
0 0 2
1 ???? ?? ?
??
(作极坐标变换 )
2
2221
0
2 ??? ???? drer r
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§ 4,3随机向量的数字特征
例 1 设 ξ,η独立同分布服从 N(0,1),求 )( 22 ?? ?E
解法 2 此时 22 ?? ? 服从瑞利分布，
22 ?? ?
而 的密度是 ? ?
??
???
?
?? ?
2,
0,
2
2
1
z
zzez z
?
?
所以 ? ? ? ?? ???
??
?? ? ????
0
2
1
222
2
22 ??? dzezdzzzPE z
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§ 4,3随机向量的数字特征
运用联合分布计算二维随机向量（ ξ,η ）的两个分量
ξ,η的均值和方差
ij
j
i
i
i
I
i PxPxE ??? ????
.
22 ))((.)(
iji
ji
i
i
i PExPExD ??? ???? ???
（ Ⅰ ） 若（ ξ,η ）是二维离散型随机向量,则
（ Ⅱ ） 若（ ξ,η ）是二维连续型随机向量,则
dydxyxxPdxxxPE ??? ???????????? ?? ),()(??
d x d yyxPExdxxPExD ),()()()( 22 ??? ? ???? ??? ????????????
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§ 4,3随机向量的数字特征
二、均值与方差的性质
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§ 4,3随机向量的数字特征
以下我们对于连续型随机变量的情形给出证明
（ 1） 设（ ξ,η ） 的联合密度为 ? ?
yxP,
则 ? ? ? ? ? ? d x d yyxpyxE,? ???
??
??
??
??? ??
? ? ? ?d x d yyxyPd x d yyxxp ? ?? ? ???? ???????? ???? ??,,
?? EE ??
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§ 4,3随机向量的数字特征
（ 2）设 ξ,η的密度分别是 ? ? ? ?yx
?? ??,
相互独立,而 ξ,η的联合密度为 ? ? ? ?yx
?? ??,
，由于 ξ,η
故 ? ? ? ? ? ? dx dyyPxxyE
????? ? ?
??
??
??
??
?,
? ? ? ? ????????????? ?? ??
??
??
??
dyyyPdxxxP ??
?? EE ??
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§ 4,3随机向量的数字特征
（ 3） ? ? ? ? ? ?? ?
2?????? ????? EED
? ?? ? 2() ???? EEE ????
? ? ]))((2)[( 22 ???????? EEEEE ???????
? ?))((2)()( 22 ???????? EEEEEEE ???????
? ?))((2 ?????? EEEDD ?????
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§ 4,3随机向量的数字特征
0)(
)(
)(
?????
????????
??????
????
????????
????????
EEE
EEEEEEE
EEEEE
特别，当 ξ,η相互独立时，有
)])([( ???? EEE ??
此时有
???? DDD ??? )(
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§ 4,3随机向量的数字特征
定义 8 称数值 的与为随机变量 ?????? )])([( EEE ?? 协方差
)( ????? 或），（CO V,即 ))]()([()( ????????? ???? EEEC O V,
显然
，），（，,就是就是 ?????? DDC O V C O V)(
于是
?? ）?????? ????????? 2)(,co v (2 ??????? DDD
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§ 4,3随机向量的数字特征
协方差的性质
)()( ????,,C O VC O V ?
)()( ????,,a b C O VbaC O V ?
),(),(),( 2121 ??????? C O VC O VbC O V ???
( 1)
( 2)
( 3)
a,b是常数；
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§ 4,3随机向量的数字特征
相关系数的定义
称数值 ? ?? ? ? ????? ??,，, c o vc o v c o v为随机变量 ξ与 η的相关
系数,记作 ???
即 ??? ? ?? ? ? ????? ??,，, c ovc ov c ov? ）（或
??
?
????
??
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§ 4,3随机向量的数字特征
相关系数的性质
?
?
1|| ?XY?
1|| ?XY? 充分条件是存在 a,b使
? ? 1??? ?? baP
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第四节
大数定理
与中心极限定理
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
一．大数定律
定义 1 如果对任何 n≥1,随机变量 n???,,21 ?，
是相互独立的，则称随机变量列 是相互独立的,
此时，若所有的 i? 都服从相同的分布，
则称 ??,,,,2,1 n???
??,,,,2,1 n???
是独立同分布的随机变量列,
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
1,切比雪夫大数定律
则 0?? 有
01lim
1
??
?
??
?
? ???
???
??
n
k
kn XnP
或 1
1lim
1
??
?
??
?
? ???
???
??
n
k
kn XnP
设 ??,,,,2,1 n??? 是两两不相关的随机变量列，
? ?,.,,,2,1?? iCD i?
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
贝努里 （ Bernoulli） 大数定律
设 μA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生
的频数，在每次试验中都有 P（ A） =P,则
0?? 有
0li m ??
?
??
?
? ??
??
?pnnP A
n
或 1li m ???
??
?
? ??
??
?pnnP A
n
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
中心极限定理
设,,,.,,
21
，，，，,n??? 是独立同分布的随机变量列，而且
2aD
ii ?? ???,
（ i=1,2,…,a≠0 ）则对一切实数 a<b，有
dubaP e
b
a
nn
2
2
2
1
2
lim
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ???
??
其中
i
n
in
??
1
1
?
??
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
例 设有一批种子，其中良种占 1/6,试估计
在任选的 6000粒种子中，良种比例与 1/6 比
较上下不超过 1%的概率,
解 设 X 表示 6000粒种子中的良种数,
X ~ B( 6000,1/6 )
?
?
??
?
?
6
5 0 0 0,1 0 0 0~ NX近似由德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,
则
有
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
65 0 0 0
1 0 0 09 4 0
65 0 0 0
1 0 0 01 0 6 0 ??
?
?
??
?
? ???
?
??
?
??
65 0 0 0
60
65 0 0 0
60 ??
165 0 0 0602 ??
?
??
?
?? ?
9624.0?
?????? ?? 01.0616000XP ? ?601000 ??? XP
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
比较几个近似计算的结果
中心极限定理 9 6 2 4.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
二项分布 (精确结果 ) 9 5 9 0.001.0616 0 0 0 ??????? ??XP
Poisson 分布 9 3 7 9.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
Chebyshev 不等式 7 6 8 5.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
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第四章
随机向量初步
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第一节
随 机 向 量
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§ 4,1随机向量
定义 1
n个随机变量 ξ1,ξ2,…, ξn 的整体 ζ＝
（ ξ1,ξ2,…, ξn ），称为 n维随机向量 (或 n
维随机变量 )．
于是，上述例子分别可用二维随机向
量（ ξ,η）,三维随机向量 (X,Y,Z)和
四维随机向量（ ξ1,ξ2,ξ３, ξ４ ） 等来描
述。
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§ 4,1随机向量
如果二维随机向量 ζ=（ ξ,η）的所有
可能取的值是有限组（或可数无限组），
则称 ζ为二维离散型随机向量,
二维离散型随机向量
定义 2
)21j i,(,p)),(),(( ij ?,,yxP ji ?????记
我们称上式为二维离散型随机向量 ζ的概
率分布,（或联合分布）,
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§ 4,1随机向量
二维离散型随机向量
表
示
方
法
Pij的性质
? ?;3,2,1,0 ??? jip ij
1??? p ij
ji
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§ 4,1随机向量
二维离散型随机向量
证 (1) 由概率的定义可知 ;0?p ij
(2) 利用概率的完全可加性 (加法公式的推论 1中 n→∞
时的情形 )，有
? ?? ?yxPp ij ji
jiji
,),( ?????? ??
? ? ? ?? ??????? ???? yxp ji
ji
,,??
1)( ??? p
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§ 4,1随机向量
例 1 若（ ξ,η） 的概率分布表为：
? ???＞P ? ?2＞P ?? ? ?
?
??
?
?
2
1＞P ?求：
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§ 4,1随机向量
解 ? ? ? ? ? ? ? ?1,20,20,1 ????????? ???????? PPP＞P
24
5
24
1
3
1 ???
12
7?
? ? ? ? ? ?1,22,12 ??????? ?????? PP＞P ? ?2,2 ??? ??P
8
3
6
1
24
50 ????
? ? ? ?2121 ?????????? ??? PP＞P
? ? ? ? ? ? ? ?2,22,11,21,1 ???????????? ???????? PPPP
8
5?
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§ 4,1随机向量
例 2 袋中有 10个大小相同的球，其中 6个红球,4个白
球，现随机地抽取 2次，每次抽取一个，定义两个随机
变量, 如下?
?
??
??
第一次抽取到白球
第一次抽取到红球
,0
,1?
?
?
??
第二次抽取到白球
第二次抽取到红球
，
，
0
1?
试就下面两种情况求出 的概率分布：
（ 1）第一次抽球后放回； （ 2）第一次抽球后不放回；
? ???,
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§ 4,1随机向量
解 的可能取值为
(1)有放回抽样的情况
由乘法公式，得
? ???,? ? ? ? ? ? ? ?1,1,0,1,1,0,0,0
? ? ? ? ? ? 25410 410 40000,0 ?????????? ????? PPP
? ? ? ? ? ? 25610 610 40101,0 ?????????? ????? PPP
? ? ? ? ? ? 25610 410 61010,1 ?????????? ????? PPP
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§ 4,1随机向量
思考,无放回的情况又时怎么样的呢？
? ? ? ? ? ? 25910 610 61111,1 ?????????? ????? PPP
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§ 4,1随机向量
边缘分布及其与联合分布的关系
定义 3 若已知 ? ? ? ?? ? ),3,2,1,(,,,???? jipyx iP
ijj??
则随机变量 ζ 的概率分布
? ??????? ? ???
j j
i yxP ??,? ?x iP ?? ? ???,x iP ?
? ? ? ?? ????????? ? ???
j
ji
j j
i yxPyxP ????,,
? ? ? ?? ?? ????
j j ijji
pyxP,,??
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§ 4,1随机向量
称为（ ξ,η）关于 ξ的 边缘分布,记为
即 pi ?
????
j ij
i pxP ）（ ?
?????? ? ?,3,2,1i
类似可得（ ξ,η）关于 η的边缘分布
? ? ????
j ijjj
pyPp ;· ? ? ??,3,2,1?j
pi?
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§ 4,1随机向量
例 3 设随机变量 ξ在 1,2,3,4四个整数中等可能地取值，
另一个随机变量 η在 1～ ξ中等可能地取一整数值,试求（ ξ，
η）概率分布和（ ξ,η）关于 ξ,η的边缘分布,
解 ? ?ji ?? ??,的取值情况是,i取 1,2,3,4,j取
不大于 i 的正整数，且
)( jiP ?? ??, )()( ijPiP ???? ???
i4
1? ? ?
iji ??,4,3,2,1
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§ 4,1随机向量
于是（ ξ,η）的概率分布和关于 ξ,η的边缘分布为：
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§ 4,1随机向量
*定义 4 设（ ξ,η）是二维随机向量，对于任意实数
x,y,二元函数
),( yxF ? ?yxp ??? ??,称为二维
离散型随机向量（ ξ,η）的分布函数具有如下形式
),( yxF ?
?
?
?
yy
xx
ij
j
i
P
其中和式是关于 Pij对一切满足 y
i jyxx ??,
的 i, j求和,
随机向量（ ξ,η）的 分布函数,
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§ 4,1随机向量
二维连续型随机向量的分布密度
定义 5 对于二维随机向量 ξ=（ ξ,η）的分布函数
),( yxF,如果存在非负函数 ),( yxp,使得对于任意
实数 x,y有 ),( yxF ? ?? ?
?? ???
x y d u d vvup,
连续型随机向量,函数 ? ?yxp,称为 ξ的 分布密度,
也称 ? ?yxp,为 ξ的 联合分布密度 （简称 联合密度 ）
则称 ξ为 二维
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§ 4,1随机向量
分布密度具有以下性质
0;y x,p 1 0 ?)(;1d x d yy x,f2 - -0 ? ???? ??? ?)(
则有连续在点若,y x,y x,f 3 0 )()(;yx,pyx )yx,(
2
)(F ????
D平面上的任意集合对于 x o y 4 0
????
D
y ) d x d y,f ( x,D} P { ( x,y )
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§ 4,1随机向量
例 4 设（ ξ,η）的联合密度为
? ?
? ?
?
?
?? ??
其它,0
0,0,,y ＞x ＞eyxp yx
求,（ 1）分布函数；
（ 2） ? ?10,10 ＜＜＜＜p ??
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§ 4,1随机向量
y) F( x,
解 （ 1） ? ?? ?
?? ???
x y d u d vvup,? ? ??? y x vu d u d ve
0 0
)(
? ?? ?
??
? ??? ??
其它,0
,0,11 0y ＞＞ee xyx
(2) ? ?? ?,;,D 10,10 ＜y ＜＜x ＜yx?记
则有 ? ?10,10 ＜＜＜＜P ??
d xd ye
D
yx?? ???
? ? ??? 10 10 dyedxe yx
21
1 ?
?
??
?
? ??
e
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§ 4,1随机向量
例 5 设 的联合密度为? ???,? ?yxp,
?
?
? ????
其它,0
,10,1,2 xyxk x y=
试确定 k,并求 其中 D,? ?? ?,,Dp ???,2 xyx ??
10 ?? x
解 先画出区域 D,联合密度函数
应满足? ?yxp,
? ?? ???
??
??
??
? 1,d x d yyxp
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§ 4,1随机向量
在这里,应当有
? ? ?10 2 1xx k x y d ydx
即 1
6 ?
k
故 6?k 所以
? ?? ? ?? ? ? ????
D
x
x
x yd ydxx yd xd yDP 1
0 2 4
166,??
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§ 4,1随机向量
定义 6 对于连续型随机向量（ ξ,η），其联合密度为
p(x,y),此时 ξ的分布函数
? ? ? ???????? ???,)( xPxPxF ? ?? ??? ????? x dvvupdu,
为 关于 的 边缘分布函数,这表明 ξ的分布密度函数
存在，且为
? ? ? ??? ???? dyyxx pp,?
同理,η的密度函数为 ? ? ? ?
?? ???? dxyxy pp,?
分别称为（ ξ,η）关于 ξ,η的 边缘分布密度,
? ???,?
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§ 4,1随机向量
两个常用的分布
(1) 均匀分布
(2) 二维正态分布??
?
?
?
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§ 4,1随机向量
(1) 均匀分布
设 D为平面上有限区域，其面积为 a,若随机向量
（ ξ,η）的联合密度为
??
?
?
? ?
?
其它,0
),(,
),(
Dyxc
yxp 则称（ ξ,η）在 D上服从 均匀分布,
? ?? ????? ???? ? 1,d x d yyxp 1???
D
c dx dy
即 1?ca 于是
a
c 1?
因为 所以
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§ 4,1随机向量
(2) 二维正态分布
若随机向量 ξ=（ ξ,η）的联合密度为
? ?
? ?? ?
e
yyxx
yxp ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
2
2
2
21
21
2
1
1
2
2
12
1
2
21 12
1),(
?
????
? ??
?
?
????
其中 ? ? ? ?,,,,00
2121 ＞＞ ???? )1( ＜??
是 5个常数，则称随机向量 ξ=（ ξ,η）服从参数为
?????,,,,2121 的 二维正态分布，
记为 ? ? ? ????????,,,,,2
22121～N
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§ 4,1随机向量
例 6 已知 ? ? ? ????????,,,,,222121～N
求 （ ξ,η）关于 ξ,η的边缘密度,
解 ? ? ? ??? ??
?? dyyxpxp,?
? ? ? ?
? ?? ?
dye
yxyx
e ?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? ??
???
?
?
???
? ?
?
????
?
?
???
? ?
?
?
?
? ??
???
?
?
??
?
?
????
21
21
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
12
1
12
1
21 12
1
? ? ? ? dtee txtx ?????? ??????
??
???
?
?
???
? ?
?? ?
??
?
??
??
?
?
???
1
1
2
2
2
1
222
12
1
1
1
12
1
12
1
2
2
?
??? yt令
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§ 4,1随机向量
? ? ? ? dtee t
xtx
??
?
??
? ??
?
???
??
???
?
?
???
? ?
?
? ?
?
? ?
??
??
?
?
???
1
1
2
2
2
1
222
12
1
1
1
12
1
12
1
? ? ? ? dte
xxtx
e ??
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
? ??
???
?
???
? ??
?
???
??
???
?
?
???
? ?
?
? ?
?
?
2
1
12
2
1
1
212
1
12
1 2
2
1
1
1
2
12
1 ? ??? ??
??
?
?
???
? ? ? ? dteee
x
txx
2
1
1
212
1
2
1
12
1
2
1
1
1212
22
1
1
212
1
2
1 ???
?
???
? ?
??
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
????
?
???
? ?
?????? ?
? ?? ?
??
?
???
?
?
?
?
?
???
注意到积分号内的被积函数是 ? ?? ?? 1 1?x
方差为 ?21?
均值为
?
?
?
?
?
的正态分布密度函数,所以积分值为 1，
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§ 4,1随机向量
于是,? ?
xp? ? ?e
x 2
1
2
1
12
1
12
1 ??
?
?
???
? ?
?
??
?
?
?
??
? ?
e
x
2
1
2
1
2
12
1
?
?
??
??
?
同样可求得 ? ? ? ?e y
yp 22
2
2
2
22
1
?
?
? ??
??
?
上述结
果表明
二维正态分布的边缘密度是一维正态密度；二
维正态分布的密度函数中的 5个参数
分别是两个边缘密度的均值
和方差,
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§ 4,1随机向量
随机变量的独立性
由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量
相互独立的概念,
若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A与 B相互独立,
定义 7 设 ),( yF x 及 ? ? ? ?yFxF
??,
分别是二维随机向量
（ ξ,η）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有
ξ,η有 ? ? ? ? ? ?ypxpyxp ?????? ????,
即 ? ? ? ?yFxFF ???? ??),(
则称随机变量 ξ与 η是 相互独立的,
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§ 4,1随机向量
ξ与 η独立
)()(),( jiji yPxPyxP ????? ????
即
连续型
)()(),( yfxfyxp ???
二维随机向量的概念，可以推广到 n维随
机向量的情形
对一切 i,j 有离散型
ξ与 η 独立 对任何 x,y 有
? ? ? ? ? ?yFxFF ???? ??,
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第二节
两个随机变量的
函数的分布
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
1,ζ=ξ+η的分布
? ?,,,yxP）的联合密度为设（ ??
求 ζ=ξ+η的密度, 仍用“分布函数法”,ξ+η
? ? ??
??
???
zyx
d x dyyxPzPzF ),()( ??
y
0 x
z=x+y
利用二重积分与累次积分的关系，我们有
???? ???????
??
? xz
zyx
ydyxxdd xd yyxP ),(),( ?
的分布函数为
于是求得 ξ的分布密度为
? ???? ?? dxxzxPzP ),()(?
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
例 1 设 ξ与 η相互独立，服从相同的分布 N（ 0,1），求
ζ=ξ+η的密度函数,
解 利用 ξ与 η的相互独立
dxxzPxPzP )()() ?? ? ???? ??（ dxee
xzx
2
)(
2
22
2
1 ????
??
???
?
dxee
zxz
? ???? ????
2
)2(4
2
2
1
?
44
2
2
2
2
1
2
1 ztz edtee ???
??
?? ?? ?
?? ）令 2( zxt ??
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
2,的分布),(及),m a x ( ?????? ??
设 ξ,η是两个相互独立的随机变量，他们的分布函
数分别为
)() yFxF ?? 和（
的密度函数。及求 ),m i n(),m a x ( ?????? ??
? ? ? ?zzPzPzF ????? ????,)（
)()(}{}{ zFzFzPzP ???? ????
于是 )]()([)( zFzF
dz
dzp
??? ?
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
例 2 设 ξ,η相互独立，服从相同分布 N（ 0,1），
求 22 ??? ?? 的密度,
解 ζ的分布函数为
? ? ? ?zPzPzF ????? 22) ???? （
)2(21 2
22
2
1 y
zyx
xe ??
??
??? ? dxdy
作极坐标变换
)20,0(s i n,c os ???? ????? rryrx
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§ 4,2两个随机变量的函数的分布
易知 z＞ 0时
drrrer d rez zrzdF 2
0
2
1
22
1
0
2
0
2
2
1)( ??? ?? ??
?
?
? ?
当 z≤0时
Fζ(z) = 0,
0
2
0,0
22
,
{)
2
??
?
???
Zz
Z
Z
e
zP （,的密度是于是 ???
这就是所谓瑞利（ Rayleigh）分布
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第三节
随机向量的数字特征
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§ 4,3随机向量的数字特征
一、两个随机变量的函数的均值和方差
设二维随机向量（ ξ,η）的连续函数 ? ????,f?
有如下的均值公式：
（ 1）对于离数型随机向量 ? ? ? ?
ijji PyxP ??? ????,，，
如果级数 ? ?
ijj i ji Pyxf? ?,
绝对收敛，
则 ? ?
ij
j i
ji PffEE ? ??? ?????,)),((
（ 2）对于连续型随机向量（ ξ,η） 有联合密度 ? ?，,??P
如果广义积分 ? ? ? ?d xd yyxPyxf,,? ????? ???? 绝对收敛，
则 ? ? dx dyyxPyxffEE,),()),(( ? ???
??
??
??
?? ???
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§ 4,3随机向量的数字特征
例 1 设 ξ,η独立同分布服从 N(0,1),求 )( 22 ?? ?E
解法 1 运用公式求解
? ? ? ? d x d yeyxE yx 22212222 2 1 ????
??
??
??? ?
??? ???
r d rerd r
2
2
12
0 0 2
1 ???? ?? ?
??
(作极坐标变换 )
2
2221
0
2 ??? ???? drer r
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§ 4,3随机向量的数字特征
例 1 设 ξ,η独立同分布服从 N(0,1),求 )( 22 ?? ?E
解法 2 此时 22 ?? ? 服从瑞利分布，
22 ?? ?
而 的密度是 ? ?
??
???
?
?? ?
2,
0,
2
2
1
z
zzez z
?
?
所以 ? ? ? ?? ???
??
?? ? ????
0
2
1
222
2
22 ??? dzezdzzzPE z
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龚友运 等 主编
§ 4,3随机向量的数字特征
运用联合分布计算二维随机向量（ ξ,η ）的两个分量
ξ,η的均值和方差
ij
j
i
i
i
I
i PxPxE ??? ????
.
22 ))((.)(
iji
ji
i
i
i PExPExD ??? ???? ???
（ Ⅰ ） 若（ ξ,η ）是二维离散型随机向量,则
（ Ⅱ ） 若（ ξ,η ）是二维连续型随机向量,则
dydxyxxPdxxxPE ??? ???????????? ?? ),()(??
d x d yyxPExdxxPExD ),()()()( 22 ??? ? ???? ??? ????????????
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§ 4,3随机向量的数字特征
二、均值与方差的性质
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§ 4,3随机向量的数字特征
以下我们对于连续型随机变量的情形给出证明
（ 1） 设（ ξ,η ） 的联合密度为 ? ?
yxP,
则 ? ? ? ? ? ? d x d yyxpyxE,? ???
??
??
??
??? ??
? ? ? ?d x d yyxyPd x d yyxxp ? ?? ? ???? ???????? ???? ??,,
?? EE ??
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§ 4,3随机向量的数字特征
（ 2）设 ξ,η的密度分别是 ? ? ? ?yx
?? ??,
相互独立,而 ξ,η的联合密度为 ? ? ? ?yx
?? ??,
，由于 ξ,η
故 ? ? ? ? ? ? dx dyyPxxyE
????? ? ?
??
??
??
??
?,
? ? ? ? ????????????? ?? ??
??
??
??
dyyyPdxxxP ??
?? EE ??
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§ 4,3随机向量的数字特征
（ 3） ? ? ? ? ? ?? ?
2?????? ????? EED
? ?? ? 2() ???? EEE ????
? ? ]))((2)[( 22 ???????? EEEEE ???????
? ?))((2)()( 22 ???????? EEEEEEE ???????
? ?))((2 ?????? EEEDD ?????
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§ 4,3随机向量的数字特征
0)(
)(
)(
?????
????????
??????
????
????????
????????
EEE
EEEEEEE
EEEEE
特别，当 ξ,η相互独立时，有
)])([( ???? EEE ??
此时有
???? DDD ??? )(
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§ 4,3随机向量的数字特征
定义 8 称数值 的与为随机变量 ?????? )])([( EEE ?? 协方差
)( ????? 或），（CO V,即 ))]()([()( ????????? ???? EEEC O V,
显然
，），（，,就是就是 ?????? DDC O V C O V)(
于是
?? ）?????? ????????? 2)(,co v (2 ??????? DDD
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§ 4,3随机向量的数字特征
协方差的性质
)()( ????,,C O VC O V ?
)()( ????,,a b C O VbaC O V ?
),(),(),( 2121 ??????? C O VC O VbC O V ???
( 1)
( 2)
( 3)
a,b是常数；
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§ 4,3随机向量的数字特征
相关系数的定义
称数值 ? ?? ? ? ????? ??,，, c o vc o v c o v为随机变量 ξ与 η的相关
系数,记作 ???
即 ??? ? ?? ? ? ????? ??,，, c ovc ov c ov? ）（或
??
?
????
??
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§ 4,3随机向量的数字特征
相关系数的性质
?
?
1|| ?XY?
1|| ?XY? 充分条件是存在 a,b使
? ? 1??? ?? baP
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第四节
大数定理
与中心极限定理
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
一．大数定律
定义 1 如果对任何 n≥1,随机变量 n???,,21 ?，
是相互独立的，则称随机变量列 是相互独立的,
此时，若所有的 i? 都服从相同的分布，
则称 ??,,,,2,1 n???
??,,,,2,1 n???
是独立同分布的随机变量列,
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
1,切比雪夫大数定律
则 0?? 有
01lim
1
??
?
??
?
? ???
???
??
n
k
kn XnP
或 1
1lim
1
??
?
??
?
? ???
???
??
n
k
kn XnP
设 ??,,,,2,1 n??? 是两两不相关的随机变量列，
? ?,.,,,2,1?? iCD i?
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
贝努里 （ Bernoulli） 大数定律
设 μA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生
的频数，在每次试验中都有 P（ A） =P,则
0?? 有
0li m ??
?
??
?
? ??
??
?pnnP A
n
或 1li m ???
??
?
? ??
??
?pnnP A
n
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
中心极限定理
设,,,.,,
21
，，，，,n??? 是独立同分布的随机变量列，而且
2aD
ii ?? ???,
（ i=1,2,…,a≠0 ）则对一切实数 a<b，有
dubaP e
b
a
nn
2
2
2
1
2
lim
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ???
??
其中
i
n
in
??
1
1
?
??
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
例 设有一批种子，其中良种占 1/6,试估计
在任选的 6000粒种子中，良种比例与 1/6 比
较上下不超过 1%的概率,
解 设 X 表示 6000粒种子中的良种数,
X ~ B( 6000,1/6 )
?
?
??
?
?
6
5 0 0 0,1 0 0 0~ NX近似由德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,
则
有
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
65 0 0 0
1 0 0 09 4 0
65 0 0 0
1 0 0 01 0 6 0 ??
?
?
??
?
? ???
?
??
?
??
65 0 0 0
60
65 0 0 0
60 ??
165 0 0 0602 ??
?
??
?
?? ?
9624.0?
?????? ?? 01.0616000XP ? ?601000 ??? XP
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§ 4,4大数定律和中心极限定理
比较几个近似计算的结果
中心极限定理 9 6 2 4.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
二项分布 (精确结果 ) 9 5 9 0.001.0616 0 0 0 ??????? ??XP
Poisson 分布 9 3 7 9.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
Chebyshev 不等式 7 6 8 5.001.06
1
6 0 0 0 ???
??
?
? ??XP
