概率与统计 咸宁职业技术学院
龚友运 等 主编
第二章
随机变量及其分布
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为了进一步深入研究随机现象,在这一
章里我们将引入随机变量的概念, 由于随机
变量概念的引入，我们可利用微积分知识，
更全面更深刻地揭示随机现象的内在规律。
在第一章里，我们讨论了随机事件及其
概率，其中随机事件都是用定性的语言描述
的，与数学最基本的研究对象 —— 数及变量
尚未建立直接联系。
第二章 随机变量及其分布
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第一节
随机变量的概念
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§ 2.1随机变量的概念
例１ 盒中有 3个黑球和 2个白球，从中随机抽取 3个，考
虑取得的白球数。
抽取的白球数有三个可能结果,0,1或 2，对于不
同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一个变量 ξ，
用 ξ表示“抽取的白球数”，该变量的不同取值表达不
同的随机事件，如
（ ξ=0） 表示“抽取的 3个球中无白球”；
（ ξ=1） 表示“抽取的 3个球中有 1个白球”；
（ ξ≤2）表示“抽取的 3个球中至多有 2个白球”。
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§ 2.1随机变量的概念
随机变量的定义
如果一个随机试验的结果可以用一个变量 ξ的
取值来表示，则称这个变量 ξ为 随机变量 。
通常我们用希腊字母 ξ,η,ζ,… 或大写英文
字母 X,Y,Z,… 表示随机变量。
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§ 2.1随机变量的概念
例 2 抛掷一枚硬币，试验的结果为“出现正面”
和“出现反面”，引入变量 ξ，
返回
ξ=
1，出现正面
0，出现反面
则 ξ为随机变量，
(ξ=0),(ξ=1)便是随机事件。
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§ 2.1随机变量的概念
例 3 在 24小时内，电话总机接到的呼唤次数 ξ
是一个随机变量，它可取一切非负整数
0,1,2,…,同时，随机变量 ξ取不同的值就表示
不同的随机事件，
例如 (ξ=0),(ξ=10),(5≤ξ≤20)等表示不同的
随机事件。
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§ 2.1随机变量的概念
例 4 在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿
命，那么灯泡的寿命 ξ (小时 )是一个随机变量，
显然 ξ的一切可能取的值是非负实数值,
返回
即 ξ∈ R+∪ {0},
而 (ξ=1200),(ξ≤5000),(ξ>1500)等都是随机
事件。
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§ 2.1随机变量的概念
例 5 一粒玉米种子播下地后，只可能出现“出苗”
与“不出苗”两种情况,,出苗”即“一粒出苗”；
“不出苗”即,0粒出苗”,用变量 ξ来表示试验的
两种结果，令 ξ=0表示“不出苗”； ξ=1表示“出
苗”, 它们的概率分别为 P（ ξ=1） =p,P（ ξ=0）
=1—p=q（其中 p是种子出苗的概率,q是种子不出
苗的概率，且 p+ q=1）。
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§ 2.1随机变量的概念
例 6 用变量 ξ表示某品种玉米穗位的高低（单位：
厘米）。 则 P（ 120≤ξ＜ 130） =0.2表示“玉米穗位
在 120厘米到 130厘米之间”这个事件的概率为 0.2。
由于
)1 3 01 2 0( ?? ?P )1 2 0()1 3 0( ???? ?? PP
所以,只需知道 P（ ξ＜ 130）与 P（ ξ＜ 120）就可以
求出 P（ 120≤ξ＜ 130）了。
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由此可知，随机试验的结果可以用变量
来表示，但这种“变量”与微积分中的“变
量”是有区别的,以例１中白球数 ξ这个变量
为例，它有,
⑴取值的随机性，也就是说 ξ取哪一个值，
在抽样前无法确定；
⑵取值的统计规律性，也就是 ξ取 0,1,2这些
值的概率是确定的。
§ 2.1随机变量的概念
两个特点
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§ 2.1随机变量的概念
随机变量的分类
如“取到次品的个数”，
“收到的呼叫数”等,
随
机
变
量
离散型 随机变量
连续型 随机变量
所有取值可以逐个
一一列举
例如，“电视机的寿命”，实
际中常遇到的“测量误差”等,
全部可能取值不仅
无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
一个区间,
例 1
例 2
例 3
例 4
例 5
例 6
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离散型随机变量
第二节
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§ 2.1随机变量的概念
这两种类型的随机变量因为都是随机变
量，自然有很多相同或相似之处；但因其取
值方式不同，又有其各自的特点,
随
机
变
量 连续型 随机变量
离散型 随机变量
学习时请注意它们各自的特点和描述方法,
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§ 2.2离散型随机变量
离散型随机变量及分布列
定义 若随机变量 ξ的所有可能取值是有限个或可列个,
则称 ξ为 离散型随机变量
设离散型随机变量 ξ的所有可能取值为
),2,1(,)( ???? kpxP kk?
ξ ?? kxxx 21
P ??
kppp 21
则称该式为 ξ的 概率分布 或 分布列
，，，，,?? kxxx 21
ξ取这些值的概率为
概率分布列也常常列成表格的形式：
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§ 2.2离散型随机变量
分布列的性质
? ),2,1(,0 ??? kp k 非负性
? 1
1
??
?
?k
kp 归一性
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§ 2.２离散型随机变量
例 1 对于第一节中的例１，求抽取的白球数 ξ的分布列。
解 ξ是离散型随机变量，取值为 0,1,2,ξ的分布列为
10
6)1( ???P
10
1)0( ???P
10
3)2( ???P
即 0 1 2
10
1
10
6
10
3
?
P
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§ 2.２离散型随机变量
例 2
4
1
6
1
8
1 ???
4? 0 3 6 7
8
1
8
1
6
1
4
1
3
1
?
P
已知离散型随机变量的分布列为：
求 （ 1） Ｐ (-1<ξ≤6)； （ 2） Ｐ (ξ=1)。
解 （ 1）注意到 -1<ξ≤6，离散型随机变量 ξ的可能取值只有三个，
即 ξ＝ 0,ξ＝ 3及 ξ＝ 6，
所以 P(-1<ξ≤6) )6()3()0( ?????? ??? PPP
24
13?
（ 2） 注意到 ξ的可能取值没有 ξ＝１，说明事件 (ξ=1)是不可
能事件，
所以 P(ξ=1) =０
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§ 2,2离散型随机变量
（ 1） 两点分布（或 0—1分布 ）
)1,0()1()( 1 ???? ? kppkP kk?
几个常见的离散型随机变量
凡试验只有两个结果,常用 0 – 1分布
描述,如产品是否合格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超标等。
= xk 1 0
pk p 1 - p （ 0 < p < 1）
应用
场合
或
?
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§ 2.２离散型随机变量
例 3
1 取得正品时，
ξ=
0 取得次品时,?
100件产品中有 95件正品,5件次品，从中任取一件，
定义
则有 P(ξ=1) = 0.95,P(ξ=0) = 0.05，
即 ξ服从两点分布。
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§ 2,2离散型随机变量
（ 2） 二项分布
几个常见的离散型随机变量
n 重贝努利 试验中,是事件 A 在 n 次试验中
发生的次数,P (A) = p,若
),,1,0(,)1()()( nkppCkPkP knkknn ?????? ??
则称 服从参数为 n,p 的 二项分布,记作
),(~ pnB?
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
?
?
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§ 2,2离散型随机变量
两个性质容易验证二项分布满足概率分布的,
0)( ??? ? knkkn qpCkP ?
1)(
00
???? ??
?
?
?
nn
k
knkk
n
n
k k
qpqpCp
（ 1）
（ 2）
),,2,1,0( nk ??
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设某种传染病进入一羊群，已知此种传
染病的发病率为
求：在 50头已感染的羊群中发病头数的概
率分布。
§ 2.２离散型随机变量
例 4
解,把观察一头羊是否发病作为一次试验。
，32?p 。31?q发病的概率 不发病的概率
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由于对 50头感染羊来说，是否发病这里将
它看作相互独立，所以作为 50次重复独立试验,
设 50头羊群中发病的头数为 ξ，
§ 2.２离散型随机变量
则,），（ 3
250～B?
ξ 的分布列为
)( kP ?? kkkC ?? 5050 )
3
1()
3
2( ? ?5010,，,??k
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§ 2,2离散型随机变量
（ 3） 泊松 （ Poisson） 分布
几个常见的离散型随机变量
),2,1,0(,!)( ???? ? kkekp
k?
? ?
其中 0?? 是常数，则称 ξ服从参数为 ?
的 Poisson 分布 。 或)(~ ??? )(?p记作
若随机变量 ξ的分布列
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§ 2,2离散型随机变量
泊松 （ Poisson） 定理 *
0lim ??
??
?n
n
np
Poisson定理说明若 ξ ~ B( n,p),则当 n 较大，
p 较小,而 适中,则可以用近似公式??np
),2,1,0(,!)1( ???? ?? kkeppC
k
knkk
n
??
，显然 0! ?? ? ?? ekp
k
k 1!,
00
??? ?
?
?
?
?? ???? eeekp n
k
kn
k
k并且
设 则对固定的 k
),2,1,0(!)1(lim ???? ??
??
kkeppC
k
kn
n
k
n
k
nn
??
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§ 2.２离散型随机变量
例 5 某电话交换机每分钟转接的电话次数服从 λ=4的
泊松分布，试求每分钟正好转接 6次电话的概率和每分
钟转接电话次数不超过 3次的概率。
4
!
4)( ??? e
kkp
k
?
4
6
!6
4)6( ??? eP ?
?? ??????????? 3 0 )()}3()2()1()0{()3( k kPPP ?????? ≈0.4 35
每分钟转接电话的次数不超过 3次的概率为
≈0.1042
每分钟正好转接 6次电话的概率为
(k=0,1,2,? )ξ～ p(4)，于是
设每分钟转接的电话次数为 ξ，由题意解
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§ 2.２离散型随机变量
例 6 人寿保险问题 若一年内某类保险者
中人的死亡率为 0.005，现有 10000人参加保
险，试求在未来一年内这些人中有 40人死
亡的概率,
解 设未来一年中死亡人数为 ξ，则
ξ～ B(10000,0.005)。由于 n=10000较大,
p= 0.005较小，
,,
,50?? np?
故可以用泊松分布近似求解。
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§ 2.２离散型随机变量
9 9 6 040401 0 0 0 0 )995.0()005.0()40( CP ??? 50
40
!40
50 ?? e
以上讨论了几个常用的离散型随机变量及其概率分
布，还有一些离散型随机变量的分布，如几何分布、超
几何分布等，这里就不一一介绍了。
,,
≈0.0215 (查表 )
为了使用方便，对于不同的 λ,pk的值可直接查附录中的泊
松分布表。
泊松分布是概率论中最重要的离散型随机变量的分
布之一，许多稀疏现象，如电话交换机的电话转接次数、
放射性物质每分钟分裂的原子数、在一寄生动物的宿主
上寄生物的数目等都服从泊松分布。
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连续型随机变量
第三节
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§ 2.３连续型随机变量
定义 对于随机变量,若存在一个非负可积
函数 f ( x ),使得对任意 a,b (a＜ b) 都有
)(d)()( ????????? ? xxxfbaP ba?
连续型 随机变量 的概念
?
?则称 是 连续型随机变量
f ( x )是它的 概率密度函数,
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§ 2.３连续型随机变量
x
f ( x)
概率密度函数几何意义
)( xfy ?
从几何意义上看，
概率
正好是区间
上以概率密度曲线
为顶得曲边
梯形面积
)( baP ?? ?
)( ba，
)(xfy ?
O ba
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由定义容易知道，连续型随机变量 ξ取一点 a的
概率等于零，即 P(ξ=a) = 0.
因此我们有
§ 2.３连续型随机变量
?????
????????
b
a
dxxfbaP
baPbaPbaP
)()(
)()()(
?
???
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§ 2.３连续型随机变量
概率密度函数 f ( x )的性质
★ 0)( ?xf
★
1)()(d)( ??????????? ???? pxpxxf
常利用这两个性质检验一个函数能否
作为连续性随机变量的密度函数
)( ?????? x
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§ 2.３连续型随机变量
例 1 设连续型随机变量 ξ的概率密度函数为
试确定常数Ａ，并求 P(-1≤ξ≤1).
解 由,有
所以 且
21)( x
Axf
??
1)( ?????? dxxf
?AxAdxxAdxxf ????? ?? ?????????? ?? a r c t a n1)(1 2
?
1?A
2
1a r c t a n1
)1(
1)11( 1
1
1
1 2 ??????? ??? xdxxxP ??
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§ 2.３连续型随机变量
(1) 均匀分布
常见的连续性随机变量的分布
若 的概率密度函数为
则称 服从区间 ( a,b)上的 均匀分布 或称 服从
),(~ baU?
参数为 a,b的 均匀分布,记作
?
? ?
?
?
?
?
?
??
??
其他0
)(
1
)(
bxa
abxf
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§ 2.３连续型随机变量
显然,且0)( ?xf
11)( ??? ?? ???? ba dxabdxxf
对于 中任一子区间,有? ?ba,? ?dc,
ab
cd
ab
dxdxcP d
c ?
??
???? ?)(
可见，服从均匀分布的随机变量 ξ 在 [a,b]内
任一子区间 [c,d]上取值的概率与该区间长度 d-
c成正比，而与该子区间在 [a,b]中所处的位置
无关, 因此,ξ 在 [a,b]上概率的分布是, 均匀,
的，各处取值的可能性一样,
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§ 2.３连续型随机变量
例 2 武汉到咸宁的公共汽车每隔 15分钟一趟，若
一乘客到站的时间是随机的，问其候车时间超过 8
分钟的概率是多少？
解 设 ξ为候车时间，则 ξ在 [0,15]上服从均匀分布，
其概率密度函数为
0≤x≤15
其他
于是
??
????
0
15
1
)( xf
47.0)815(151)()158( 15
8
?????? ? dxxfxP
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§ 2.３连续型随机变量
(2) 指数分布 若 的概率密度函数为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,
)(
xe
xf
x??
则称 服从 参数为 ? 的 指数分布，记作 )(~ ?? E
?? > 0 为常数
常见的连续性随机变量的分布
?
?
显然,且0)( ?xf
1)( 0 ?? ?? ?? ????? dxedxxf x??
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§ 2.３连续型随机变量
例 3 假设某元件的寿命服从参数 = 0.0015的指数
分布，求它使用 1000小时后还没有坏的概率,
解 设 ξ为该元件的寿命，则
?
223.0
0 0 1 5.0
)()1 0 0 0(
5.1
1 0 0 0
0 0 1 5.0
1 0 0 0
?
??
??
?
??
?
??
?
?
edxe
dxxfP
x
?
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§ 2.３连续型随机变量
(3) 正态分布
若随机变量 的概率密度函数为
???????
??
?
??
?
?
2
2
2
)(
2
1)( xexf
则称 服从参数为 ?,? 2 的 正态分布
记作 ~ N ( ?,? 2 )
??,为常数,0??
?
?
?
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? 正态分布图象
§ 2.３连续型随机变量
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§ 2.３连续型随机变量
f (x) 的性质,
图形关于直线 x = ?对称,即
1,在 x = ?时,f (x) 取得最大值 ??2
1
2,在 x = ?± ? 时,曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点
3,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
4,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
f (? + x) = f (? - x)
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? 特别地，当 时，即,称为
标准正态分布，它的概率密度函数为 10 ?? ??, )1,0(N
2
2
2
1
)(
x
ex
?
?
?
?
显然,可以证明0)( ?x?
122121)( 2
2
???? ?? ???? ????? ???? dxedxx
x
)1,0(
§ 2.３连续型随机变量
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? 正态分布是概率论中最重要的分布之一, 例
如，测量的误差、一批产品的质量指标、人体的
身高或体重、农作物的单位面积产量、炮弹弹着
点的分布、气象中的月平均气温、湿度、降水量
等都服从或近似服从正态分布,
? 另外，正态分布又具有许多良好的性质，许多
分布可用正态分布来近似，它能描述相互独立的
多个微小因素的综合效果，在数理统计中解决实
际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布
有关,
§ 2.３连续型随机变量
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分布函数与随机变量的
函数的分布
第四节
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
设 ξ为一随机变量,x是任意实数，称函数
)()()( ???????? ?? xPxF
为 ξ的 概率分布函数 。简称 分布函数
分布函数
分布函数具有下列性质：
0)(lim ???? xFx 1)(lim ???? xFx
0x
)()0( 00 xFxF ??
（ 2） 是 的单调不减函数；
（ 4） F( )左连续，即对于任意,有
?????? x
（ 3）
x
)(xF x
1)(0 ?? xF（ 1）
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例１ 设离散型随机变量 ξ的概率分布为
求, 并求 P(0≤ξ<4).
P
1? 1 2
6
1
2
1
3
1
解
?
0)()()( ???? ?? PxPxF
当 时
1??x
11 ??? x
6
1)1()()( ?????? ?? PxPxF
当 时21 ?? x )}1()1{()()( ?????? ??? ?PxPxF
3
2
2
1
6
1)1()1( ???????? ?? PP
)(xF
当 时
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
当 时2?x
)}2()1()1{()()( ??????? ???? ??PxPxF
1312161)2()1()1( ??????????? ??? PPP
所以
6
5
6
11)0()4()40( ??????? FFxP
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
? 函数 F( )的图形如
右图所示，它是一条阶
梯形曲线，它满足分布
函数的 4条性质, =
-1,1,2为函数的跳跃间
断点，其跃度为随机变
量 ξ在该点处的概率,
x
x
x
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
x
对于 连续型随机变量 ξ,其分布函数为
? ????? x dttfxPxF )()ξ()(
其中 f( )是 的 概率密度函数,ξ
对于任意实数 有x
)()()()()( aFbFaPbPbaP ???????? ???
)(1)(1)( aFaPaP ?????? ??
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-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数与密度函数几何意义
)( xfy ?
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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连续型随机变量概率密度函数的性质
★ 0)( ?xf
★ 1)(d)( ????? ???? Fxxf
常利用这两个性质检
验一个函数能否作为连
续性 随机变量概率密度
函数
★ 在 f ( x ) 的连续点处,)()( xFxf ??
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的
区间内取值的概率
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 2 设连续型随机变量 ξ 在 [a,b]上服从均匀分布，
求其分布函数,
解 因为
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
其他0
)(
1
)(
bxa
ab
xf
ax ? 00)()( ??? ??
????
xx dxdxxfxF
所以当 时
bxa ??
ab
axdx
abdxdxxfxF
x
a
ax
?
??
???? ??? ????
10)()(
当 时
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
bx?
bx ?
1010)()( ?????? ???? ???? xbbaax dxdxabdxdxxfxF
当 时
即
ax ?
?)( xF ab
ax
?
? bxa ??
bx ?
，
０
１
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容易求得，指数分布的分布函数为
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
00
01
)(
x
xe
xF
x?
的分布函数为），则，（设 ???? 2~ N
? ?? ??? x t dtexF
2
2 )(2
1
2
1)( ??
??
特别地对 N(0,1)，其分布函数为
? ?? ??? x
t
dtex 2
2
2
1)(
?
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
的数值可从表中直接查出当 )(]89.3,01.0[ xx ??
1)(89.3 ??? xx 时，可取当
因此，当 ξ ～ N(0,1)，有
)()()( abbaP ?????? ?
)(x?将 的数值列成表格，则计算服从标准正态分
布的随机变量 ξ 落在某个区间内的概率只需直接查表，
而无需每次去计算定积分
其查表的方法如下：
（ 1）
（ ２ ）
（ ３ ） )(1)(0 xxx ?????? 时，容易证明当
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 １ 设 ξ ～ N(0,1)，利用 )(x? 的数值表计算：
)21( ?? ?P )1|(| ??P )1|(| ??P
解
1 3 5 9.08 4 1 3.09 7 7 2.0)1()2()21( ????????? ?P
1)1(2)]1(1[)1()1()1()11()1|(| ?????????????????? ?? PP
6 8 2 6.018 4 1 3.02 ????
3 1 7 4.06 8 2 6.01)1|(|1)1|(| ??????? ?? PP
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
），，（若随机变量 2~ ??? N
★ 作标准化代换
?
??? xu
则 u～ N（ 0,1），且
)()(
2
1
2
1)( 22 )(
2
2
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
? ?
????????? ??
?
?
?
?? ab
duedxebxaP
b
a
ub
a
x
故服从正态分布的随机变量 ξ 的概率可以
通过查正态分布表求得,
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 2 设 ξ～ N(3,4)，求 和,
解
)41( ??? ?P )2( ??P
)2()21()2 31()2 34()1()4()41( ?????????????????? FFP ?
1)2()21()]2(1[)21( ??????????
6687.019772.06915.0 ????
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
*随机变量的函数的分布
设 是一个函数，它的定义域为随机变量 的一切可能
值的集合。如果当 取值 时，随机变量 取值,
则称 为随机变量 的函数，记做
)(xg ?
? ? )( xgy ?
? ? )(?? g?
x
本小节讨论已知 ξ 的分布，求出 η 的分布,
下面分两种情形讨论,
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
设随机变量 的分布律为
),2,1(,)( ???? kpxP kk?
由已知函数 g( x)可求出随机变量 的
所有可能取值，则 的概率分布为
),2,1(,)(
)(:
???? ?
?
ipyP
ik yxgk
ki?
离散型随机变量函数的分布
?
?
?
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 3 已知 的概率分布为
pk
-1 0 1 2
2
1
4
1
8
1
8
1
求 = 2 – 1 的分布列
解
pi
-3 -1 1 3
2
1
4
1
8
1
8
1
?
?
1? ?
1?
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
? ?? ixxx 21
p
一般地，设 ξ 的概率分布列为
?? ippp 21
的概率分布列为＝则
之值不相等，如果诸记
)(
),2,1)(()1(
?? g
yixgy iii ???
?? iyyy 21
?? ippp 21
?
p
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
中有相等的，如果 ?? iyyy 21)2(
ip
则把那些相等的值合并，并根据概率的加法公
式将相应的那些 相加便得 的概
率分布．
)(?? g＝
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
已知 的随机变量函数的概率密度函数 f (x)
或分布函数求 = g( ) 的随机变量函数的
概率密度函数
方法：
（ 1） 从分布函数出发
（ 2） 用公式直接求
连续性随机变量函数的分布
?
? ?
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例 7
），求，（若随机变量 2~ ??? N
.的概率密度函数? ??? ??
解 设 ξ 的分布函数为
)(xF?
)(xF?
η 的分布函数为 )(yF
?
则有
)()()()()( ?????? ??? ?? ?????????? yFyPyPyPyF
)()( ???? ?? yFyF即
y y上式两边对 求导，注意右边是 的复合函数，故
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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)()( yfyFdyd ?? ? ????? ?? ???? )()( yfyFdy
d
于是 )( yf
? ???
? )( ?yf
=
,因为 有 ），，（ 2~ ??? N
2
2 )(2
1
2
1)( ??
? ??
??? xexf
所以
2
)(
2
1 22
2
2
1
2
1)( yy eeyf ???? ???
?
?
??
???
?
?
这表明
)1,0(~ N
?
??? ??
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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于是用变量代换 可以将正态随机变量标准化,
?
??? ??
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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第二章
随机变量及其分布
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为了进一步深入研究随机现象,在这一
章里我们将引入随机变量的概念, 由于随机
变量概念的引入，我们可利用微积分知识，
更全面更深刻地揭示随机现象的内在规律。
在第一章里，我们讨论了随机事件及其
概率，其中随机事件都是用定性的语言描述
的，与数学最基本的研究对象 —— 数及变量
尚未建立直接联系。
第二章 随机变量及其分布
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第一节
随机变量的概念
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§ 2.1随机变量的概念
例１ 盒中有 3个黑球和 2个白球，从中随机抽取 3个，考
虑取得的白球数。
抽取的白球数有三个可能结果,0,1或 2，对于不
同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一个变量 ξ，
用 ξ表示“抽取的白球数”，该变量的不同取值表达不
同的随机事件，如
（ ξ=0） 表示“抽取的 3个球中无白球”；
（ ξ=1） 表示“抽取的 3个球中有 1个白球”；
（ ξ≤2）表示“抽取的 3个球中至多有 2个白球”。
返回
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§ 2.1随机变量的概念
随机变量的定义
如果一个随机试验的结果可以用一个变量 ξ的
取值来表示，则称这个变量 ξ为 随机变量 。
通常我们用希腊字母 ξ,η,ζ,… 或大写英文
字母 X,Y,Z,… 表示随机变量。
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§ 2.1随机变量的概念
例 2 抛掷一枚硬币，试验的结果为“出现正面”
和“出现反面”，引入变量 ξ，
返回
ξ=
1，出现正面
0，出现反面
则 ξ为随机变量，
(ξ=0),(ξ=1)便是随机事件。
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§ 2.1随机变量的概念
例 3 在 24小时内，电话总机接到的呼唤次数 ξ
是一个随机变量，它可取一切非负整数
0,1,2,…,同时，随机变量 ξ取不同的值就表示
不同的随机事件，
例如 (ξ=0),(ξ=10),(5≤ξ≤20)等表示不同的
随机事件。
返回
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§ 2.1随机变量的概念
例 4 在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿
命，那么灯泡的寿命 ξ (小时 )是一个随机变量，
显然 ξ的一切可能取的值是非负实数值,
返回
即 ξ∈ R+∪ {0},
而 (ξ=1200),(ξ≤5000),(ξ>1500)等都是随机
事件。
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§ 2.1随机变量的概念
例 5 一粒玉米种子播下地后，只可能出现“出苗”
与“不出苗”两种情况,,出苗”即“一粒出苗”；
“不出苗”即,0粒出苗”,用变量 ξ来表示试验的
两种结果，令 ξ=0表示“不出苗”； ξ=1表示“出
苗”, 它们的概率分别为 P（ ξ=1） =p,P（ ξ=0）
=1—p=q（其中 p是种子出苗的概率,q是种子不出
苗的概率，且 p+ q=1）。
返回
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§ 2.1随机变量的概念
例 6 用变量 ξ表示某品种玉米穗位的高低（单位：
厘米）。 则 P（ 120≤ξ＜ 130） =0.2表示“玉米穗位
在 120厘米到 130厘米之间”这个事件的概率为 0.2。
由于
)1 3 01 2 0( ?? ?P )1 2 0()1 3 0( ???? ?? PP
所以,只需知道 P（ ξ＜ 130）与 P（ ξ＜ 120）就可以
求出 P（ 120≤ξ＜ 130）了。
返回
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由此可知，随机试验的结果可以用变量
来表示，但这种“变量”与微积分中的“变
量”是有区别的,以例１中白球数 ξ这个变量
为例，它有,
⑴取值的随机性，也就是说 ξ取哪一个值，
在抽样前无法确定；
⑵取值的统计规律性，也就是 ξ取 0,1,2这些
值的概率是确定的。
§ 2.1随机变量的概念
两个特点
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§ 2.1随机变量的概念
随机变量的分类
如“取到次品的个数”，
“收到的呼叫数”等,
随
机
变
量
离散型 随机变量
连续型 随机变量
所有取值可以逐个
一一列举
例如，“电视机的寿命”，实
际中常遇到的“测量误差”等,
全部可能取值不仅
无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
一个区间,
例 1
例 2
例 3
例 4
例 5
例 6
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离散型随机变量
第二节
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§ 2.1随机变量的概念
这两种类型的随机变量因为都是随机变
量，自然有很多相同或相似之处；但因其取
值方式不同，又有其各自的特点,
随
机
变
量 连续型 随机变量
离散型 随机变量
学习时请注意它们各自的特点和描述方法,
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§ 2.2离散型随机变量
离散型随机变量及分布列
定义 若随机变量 ξ的所有可能取值是有限个或可列个,
则称 ξ为 离散型随机变量
设离散型随机变量 ξ的所有可能取值为
),2,1(,)( ???? kpxP kk?
ξ ?? kxxx 21
P ??
kppp 21
则称该式为 ξ的 概率分布 或 分布列
，，，，,?? kxxx 21
ξ取这些值的概率为
概率分布列也常常列成表格的形式：
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§ 2.2离散型随机变量
分布列的性质
? ),2,1(,0 ??? kp k 非负性
? 1
1
??
?
?k
kp 归一性
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§ 2.２离散型随机变量
例 1 对于第一节中的例１，求抽取的白球数 ξ的分布列。
解 ξ是离散型随机变量，取值为 0,1,2,ξ的分布列为
10
6)1( ???P
10
1)0( ???P
10
3)2( ???P
即 0 1 2
10
1
10
6
10
3
?
P
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§ 2.２离散型随机变量
例 2
4
1
6
1
8
1 ???
4? 0 3 6 7
8
1
8
1
6
1
4
1
3
1
?
P
已知离散型随机变量的分布列为：
求 （ 1） Ｐ (-1<ξ≤6)； （ 2） Ｐ (ξ=1)。
解 （ 1）注意到 -1<ξ≤6，离散型随机变量 ξ的可能取值只有三个，
即 ξ＝ 0,ξ＝ 3及 ξ＝ 6，
所以 P(-1<ξ≤6) )6()3()0( ?????? ??? PPP
24
13?
（ 2） 注意到 ξ的可能取值没有 ξ＝１，说明事件 (ξ=1)是不可
能事件，
所以 P(ξ=1) =０
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§ 2,2离散型随机变量
（ 1） 两点分布（或 0—1分布 ）
)1,0()1()( 1 ???? ? kppkP kk?
几个常见的离散型随机变量
凡试验只有两个结果,常用 0 – 1分布
描述,如产品是否合格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超标等。
= xk 1 0
pk p 1 - p （ 0 < p < 1）
应用
场合
或
?
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§ 2.２离散型随机变量
例 3
1 取得正品时，
ξ=
0 取得次品时,?
100件产品中有 95件正品,5件次品，从中任取一件，
定义
则有 P(ξ=1) = 0.95,P(ξ=0) = 0.05，
即 ξ服从两点分布。
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§ 2,2离散型随机变量
（ 2） 二项分布
几个常见的离散型随机变量
n 重贝努利 试验中,是事件 A 在 n 次试验中
发生的次数,P (A) = p,若
),,1,0(,)1()()( nkppCkPkP knkknn ?????? ??
则称 服从参数为 n,p 的 二项分布,记作
),(~ pnB?
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
?
?
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§ 2,2离散型随机变量
两个性质容易验证二项分布满足概率分布的,
0)( ??? ? knkkn qpCkP ?
1)(
00
???? ??
?
?
?
nn
k
knkk
n
n
k k
qpqpCp
（ 1）
（ 2）
),,2,1,0( nk ??
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设某种传染病进入一羊群，已知此种传
染病的发病率为
求：在 50头已感染的羊群中发病头数的概
率分布。
§ 2.２离散型随机变量
例 4
解,把观察一头羊是否发病作为一次试验。
，32?p 。31?q发病的概率 不发病的概率
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由于对 50头感染羊来说，是否发病这里将
它看作相互独立，所以作为 50次重复独立试验,
设 50头羊群中发病的头数为 ξ，
§ 2.２离散型随机变量
则,），（ 3
250～B?
ξ 的分布列为
)( kP ?? kkkC ?? 5050 )
3
1()
3
2( ? ?5010,，,??k
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§ 2,2离散型随机变量
（ 3） 泊松 （ Poisson） 分布
几个常见的离散型随机变量
),2,1,0(,!)( ???? ? kkekp
k?
? ?
其中 0?? 是常数，则称 ξ服从参数为 ?
的 Poisson 分布 。 或)(~ ??? )(?p记作
若随机变量 ξ的分布列
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§ 2,2离散型随机变量
泊松 （ Poisson） 定理 *
0lim ??
??
?n
n
np
Poisson定理说明若 ξ ~ B( n,p),则当 n 较大，
p 较小,而 适中,则可以用近似公式??np
),2,1,0(,!)1( ???? ?? kkeppC
k
knkk
n
??
，显然 0! ?? ? ?? ekp
k
k 1!,
00
??? ?
?
?
?
?? ???? eeekp n
k
kn
k
k并且
设 则对固定的 k
),2,1,0(!)1(lim ???? ??
??
kkeppC
k
kn
n
k
n
k
nn
??
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§ 2.２离散型随机变量
例 5 某电话交换机每分钟转接的电话次数服从 λ=4的
泊松分布，试求每分钟正好转接 6次电话的概率和每分
钟转接电话次数不超过 3次的概率。
4
!
4)( ??? e
kkp
k
?
4
6
!6
4)6( ??? eP ?
?? ??????????? 3 0 )()}3()2()1()0{()3( k kPPP ?????? ≈0.4 35
每分钟转接电话的次数不超过 3次的概率为
≈0.1042
每分钟正好转接 6次电话的概率为
(k=0,1,2,? )ξ～ p(4)，于是
设每分钟转接的电话次数为 ξ，由题意解
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§ 2.２离散型随机变量
例 6 人寿保险问题 若一年内某类保险者
中人的死亡率为 0.005，现有 10000人参加保
险，试求在未来一年内这些人中有 40人死
亡的概率,
解 设未来一年中死亡人数为 ξ，则
ξ～ B(10000,0.005)。由于 n=10000较大,
p= 0.005较小，
,,
,50?? np?
故可以用泊松分布近似求解。
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§ 2.２离散型随机变量
9 9 6 040401 0 0 0 0 )995.0()005.0()40( CP ??? 50
40
!40
50 ?? e
以上讨论了几个常用的离散型随机变量及其概率分
布，还有一些离散型随机变量的分布，如几何分布、超
几何分布等，这里就不一一介绍了。
,,
≈0.0215 (查表 )
为了使用方便，对于不同的 λ,pk的值可直接查附录中的泊
松分布表。
泊松分布是概率论中最重要的离散型随机变量的分
布之一，许多稀疏现象，如电话交换机的电话转接次数、
放射性物质每分钟分裂的原子数、在一寄生动物的宿主
上寄生物的数目等都服从泊松分布。
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连续型随机变量
第三节
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§ 2.３连续型随机变量
定义 对于随机变量,若存在一个非负可积
函数 f ( x ),使得对任意 a,b (a＜ b) 都有
)(d)()( ????????? ? xxxfbaP ba?
连续型 随机变量 的概念
?
?则称 是 连续型随机变量
f ( x )是它的 概率密度函数,
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§ 2.３连续型随机变量
x
f ( x)
概率密度函数几何意义
)( xfy ?
从几何意义上看，
概率
正好是区间
上以概率密度曲线
为顶得曲边
梯形面积
)( baP ?? ?
)( ba，
)(xfy ?
O ba
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由定义容易知道，连续型随机变量 ξ取一点 a的
概率等于零，即 P(ξ=a) = 0.
因此我们有
§ 2.３连续型随机变量
?????
????????
b
a
dxxfbaP
baPbaPbaP
)()(
)()()(
?
???
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§ 2.３连续型随机变量
概率密度函数 f ( x )的性质
★ 0)( ?xf
★
1)()(d)( ??????????? ???? pxpxxf
常利用这两个性质检验一个函数能否
作为连续性随机变量的密度函数
)( ?????? x
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§ 2.３连续型随机变量
例 1 设连续型随机变量 ξ的概率密度函数为
试确定常数Ａ，并求 P(-1≤ξ≤1).
解 由,有
所以 且
21)( x
Axf
??
1)( ?????? dxxf
?AxAdxxAdxxf ????? ?? ?????????? ?? a r c t a n1)(1 2
?
1?A
2
1a r c t a n1
)1(
1)11( 1
1
1
1 2 ??????? ??? xdxxxP ??
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§ 2.３连续型随机变量
(1) 均匀分布
常见的连续性随机变量的分布
若 的概率密度函数为
则称 服从区间 ( a,b)上的 均匀分布 或称 服从
),(~ baU?
参数为 a,b的 均匀分布,记作
?
? ?
?
?
?
?
?
??
??
其他0
)(
1
)(
bxa
abxf
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§ 2.３连续型随机变量
显然,且0)( ?xf
11)( ??? ?? ???? ba dxabdxxf
对于 中任一子区间,有? ?ba,? ?dc,
ab
cd
ab
dxdxcP d
c ?
??
???? ?)(
可见，服从均匀分布的随机变量 ξ 在 [a,b]内
任一子区间 [c,d]上取值的概率与该区间长度 d-
c成正比，而与该子区间在 [a,b]中所处的位置
无关, 因此,ξ 在 [a,b]上概率的分布是, 均匀,
的，各处取值的可能性一样,
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§ 2.３连续型随机变量
例 2 武汉到咸宁的公共汽车每隔 15分钟一趟，若
一乘客到站的时间是随机的，问其候车时间超过 8
分钟的概率是多少？
解 设 ξ为候车时间，则 ξ在 [0,15]上服从均匀分布，
其概率密度函数为
0≤x≤15
其他
于是
??
????
0
15
1
)( xf
47.0)815(151)()158( 15
8
?????? ? dxxfxP
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§ 2.３连续型随机变量
(2) 指数分布 若 的概率密度函数为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,
)(
xe
xf
x??
则称 服从 参数为 ? 的 指数分布，记作 )(~ ?? E
?? > 0 为常数
常见的连续性随机变量的分布
?
?
显然,且0)( ?xf
1)( 0 ?? ?? ?? ????? dxedxxf x??
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§ 2.３连续型随机变量
例 3 假设某元件的寿命服从参数 = 0.0015的指数
分布，求它使用 1000小时后还没有坏的概率,
解 设 ξ为该元件的寿命，则
?
223.0
0 0 1 5.0
)()1 0 0 0(
5.1
1 0 0 0
0 0 1 5.0
1 0 0 0
?
??
??
?
??
?
??
?
?
edxe
dxxfP
x
?
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§ 2.３连续型随机变量
(3) 正态分布
若随机变量 的概率密度函数为
???????
??
?
??
?
?
2
2
2
)(
2
1)( xexf
则称 服从参数为 ?,? 2 的 正态分布
记作 ~ N ( ?,? 2 )
??,为常数,0??
?
?
?
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? 正态分布图象
§ 2.３连续型随机变量
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§ 2.３连续型随机变量
f (x) 的性质,
图形关于直线 x = ?对称,即
1,在 x = ?时,f (x) 取得最大值 ??2
1
2,在 x = ?± ? 时,曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点
3,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
4,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
f (? + x) = f (? - x)
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? 特别地，当 时，即,称为
标准正态分布，它的概率密度函数为 10 ?? ??, )1,0(N
2
2
2
1
)(
x
ex
?
?
?
?
显然,可以证明0)( ?x?
122121)( 2
2
???? ?? ???? ????? ???? dxedxx
x
)1,0(
§ 2.３连续型随机变量
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? 正态分布是概率论中最重要的分布之一, 例
如，测量的误差、一批产品的质量指标、人体的
身高或体重、农作物的单位面积产量、炮弹弹着
点的分布、气象中的月平均气温、湿度、降水量
等都服从或近似服从正态分布,
? 另外，正态分布又具有许多良好的性质，许多
分布可用正态分布来近似，它能描述相互独立的
多个微小因素的综合效果，在数理统计中解决实
际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布
有关,
§ 2.３连续型随机变量
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分布函数与随机变量的
函数的分布
第四节
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
设 ξ为一随机变量,x是任意实数，称函数
)()()( ???????? ?? xPxF
为 ξ的 概率分布函数 。简称 分布函数
分布函数
分布函数具有下列性质：
0)(lim ???? xFx 1)(lim ???? xFx
0x
)()0( 00 xFxF ??
（ 2） 是 的单调不减函数；
（ 4） F( )左连续，即对于任意,有
?????? x
（ 3）
x
)(xF x
1)(0 ?? xF（ 1）
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例１ 设离散型随机变量 ξ的概率分布为
求, 并求 P(0≤ξ<4).
P
1? 1 2
6
1
2
1
3
1
解
?
0)()()( ???? ?? PxPxF
当 时
1??x
11 ??? x
6
1)1()()( ?????? ?? PxPxF
当 时21 ?? x )}1()1{()()( ?????? ??? ?PxPxF
3
2
2
1
6
1)1()1( ???????? ?? PP
)(xF
当 时
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
当 时2?x
)}2()1()1{()()( ??????? ???? ??PxPxF
1312161)2()1()1( ??????????? ??? PPP
所以
6
5
6
11)0()4()40( ??????? FFxP
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
? 函数 F( )的图形如
右图所示，它是一条阶
梯形曲线，它满足分布
函数的 4条性质, =
-1,1,2为函数的跳跃间
断点，其跃度为随机变
量 ξ在该点处的概率,
x
x
x
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
x
对于 连续型随机变量 ξ,其分布函数为
? ????? x dttfxPxF )()ξ()(
其中 f( )是 的 概率密度函数,ξ
对于任意实数 有x
)()()()()( aFbFaPbPbaP ???????? ???
)(1)(1)( aFaPaP ?????? ??
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-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数与密度函数几何意义
)( xfy ?
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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连续型随机变量概率密度函数的性质
★ 0)( ?xf
★ 1)(d)( ????? ???? Fxxf
常利用这两个性质检
验一个函数能否作为连
续性 随机变量概率密度
函数
★ 在 f ( x ) 的连续点处,)()( xFxf ??
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的
区间内取值的概率
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 2 设连续型随机变量 ξ 在 [a,b]上服从均匀分布，
求其分布函数,
解 因为
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
其他0
)(
1
)(
bxa
ab
xf
ax ? 00)()( ??? ??
????
xx dxdxxfxF
所以当 时
bxa ??
ab
axdx
abdxdxxfxF
x
a
ax
?
??
???? ??? ????
10)()(
当 时
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
bx?
bx ?
1010)()( ?????? ???? ???? xbbaax dxdxabdxdxxfxF
当 时
即
ax ?
?)( xF ab
ax
?
? bxa ??
bx ?
，
０
１
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容易求得，指数分布的分布函数为
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
00
01
)(
x
xe
xF
x?
的分布函数为），则，（设 ???? 2~ N
? ?? ??? x t dtexF
2
2 )(2
1
2
1)( ??
??
特别地对 N(0,1)，其分布函数为
? ?? ??? x
t
dtex 2
2
2
1)(
?
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
的数值可从表中直接查出当 )(]89.3,01.0[ xx ??
1)(89.3 ??? xx 时，可取当
因此，当 ξ ～ N(0,1)，有
)()()( abbaP ?????? ?
)(x?将 的数值列成表格，则计算服从标准正态分
布的随机变量 ξ 落在某个区间内的概率只需直接查表，
而无需每次去计算定积分
其查表的方法如下：
（ 1）
（ ２ ）
（ ３ ） )(1)(0 xxx ?????? 时，容易证明当
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 １ 设 ξ ～ N(0,1)，利用 )(x? 的数值表计算：
)21( ?? ?P )1|(| ??P )1|(| ??P
解
1 3 5 9.08 4 1 3.09 7 7 2.0)1()2()21( ????????? ?P
1)1(2)]1(1[)1()1()1()11()1|(| ?????????????????? ?? PP
6 8 2 6.018 4 1 3.02 ????
3 1 7 4.06 8 2 6.01)1|(|1)1|(| ??????? ?? PP
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
），，（若随机变量 2~ ??? N
★ 作标准化代换
?
??? xu
则 u～ N（ 0,1），且
)()(
2
1
2
1)( 22 )(
2
2
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
? ?
????????? ??
?
?
?
?? ab
duedxebxaP
b
a
ub
a
x
故服从正态分布的随机变量 ξ 的概率可以
通过查正态分布表求得,
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 2 设 ξ～ N(3,4)，求 和,
解
)41( ??? ?P )2( ??P
)2()21()2 31()2 34()1()4()41( ?????????????????? FFP ?
1)2()21()]2(1[)21( ??????????
6687.019772.06915.0 ????
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
*随机变量的函数的分布
设 是一个函数，它的定义域为随机变量 的一切可能
值的集合。如果当 取值 时，随机变量 取值,
则称 为随机变量 的函数，记做
)(xg ?
? ? )( xgy ?
? ? )(?? g?
x
本小节讨论已知 ξ 的分布，求出 η 的分布,
下面分两种情形讨论,
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
设随机变量 的分布律为
),2,1(,)( ???? kpxP kk?
由已知函数 g( x)可求出随机变量 的
所有可能取值，则 的概率分布为
),2,1(,)(
)(:
???? ?
?
ipyP
ik yxgk
ki?
离散型随机变量函数的分布
?
?
?
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
例 3 已知 的概率分布为
pk
-1 0 1 2
2
1
4
1
8
1
8
1
求 = 2 – 1 的分布列
解
pi
-3 -1 1 3
2
1
4
1
8
1
8
1
?
?
1? ?
1?
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
? ?? ixxx 21
p
一般地，设 ξ 的概率分布列为
?? ippp 21
的概率分布列为＝则
之值不相等，如果诸记
)(
),2,1)(()1(
?? g
yixgy iii ???
?? iyyy 21
?? ippp 21
?
p
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
中有相等的，如果 ?? iyyy 21)2(
ip
则把那些相等的值合并，并根据概率的加法公
式将相应的那些 相加便得 的概
率分布．
)(?? g＝
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§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
已知 的随机变量函数的概率密度函数 f (x)
或分布函数求 = g( ) 的随机变量函数的
概率密度函数
方法：
（ 1） 从分布函数出发
（ 2） 用公式直接求
连续性随机变量函数的分布
?
? ?
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例 7
），求，（若随机变量 2~ ??? N
.的概率密度函数? ??? ??
解 设 ξ 的分布函数为
)(xF?
)(xF?
η 的分布函数为 )(yF
?
则有
)()()()()( ?????? ??? ?? ?????????? yFyPyPyPyF
)()( ???? ?? yFyF即
y y上式两边对 求导，注意右边是 的复合函数，故
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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)()( yfyFdyd ?? ? ????? ?? ???? )()( yfyFdy
d
于是 )( yf
? ???
? )( ?yf
=
,因为 有 ），，（ 2~ ??? N
2
2 )(2
1
2
1)( ??
? ??
??? xexf
所以
2
)(
2
1 22
2
2
1
2
1)( yy eeyf ???? ???
?
?
??
???
?
?
这表明
)1,0(~ N
?
??? ??
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
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于是用变量代换 可以将正态随机变量标准化,
?
??? ??
§ 2.４分布函数与随机变量的函数的分布
