概率与统计 咸宁职业技术学院
龚友运等 主编
第三章
随机变量的数 字特征
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第一节
数 学 期 望
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§ 3.1数学期望
引例 甲、乙两射手，在同样条件下进行
射击。他们命中的环数分别记为 ξ,η，其
概率分布列分别为：
试问如何来评定两个射手的技术优劣？
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§ 3.1数学期望
解 虽然分布列完整地描述了 ξ,η的统计规律，但
对于他们的技术优劣不能直接由分布列看出结
果．若考虑平均射中的环数则可求得问题的答案，
假定他们各射击 100次，则
100
1
甲平均射中的环数约为
乙平均射中的环数约为
（ 8× 20+9× 50+10× 30） =9.1（环）
（ 8× 30+9× 10+10× 60） =9.3（环）1001
故 从平均射中的环数看，甲的技术优于乙．
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§ 3.1数学期望
设离散型随机变量 的分布列是
若级数 ???
?1i
ii xp
的 数学期望 或 平均值 (简称 期望 或 均值 ),
记为 Eξ 或 E(ξ )
数学期望的定义
绝对收敛,则称其和为随机变量 ξ
ξ
p p1 p2 … … p4 … …
?? 421,,xxx
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例 1 设随机变量 ξ的分布列为
ξ -1 3
p 2/3 1/3
求 Eξ,
解 由 Eξ的定义得
3
1
3
13
3
21 ???????E
§ 3.1数学期望
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例 2
-1 0 1 2 3
p 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
?
设随机变量 ? 有分布列
试求 的数学期望,? ?E
解 此题显然不必考虑 ?
?1i
ii xp
的绝对收敛性，因为它是有限和,
?
?
?
5
1i
ii xpE ?
=（ -1） × 0.1+0× 0.2+1× 0.1+2× 0.3+3× 0.3=1.5
§ 3.1数学期望
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常见离散的随机变量的数学期望
(1) 二点分布
设 ? 服从二点分布，其分布列为：
?
?ix
1 0
P( = ) p q
则 =1× p+0× q=p (q=1-p)
?E
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(2) 二项分布
设 ξ ~ B ( n,p )
则 ?
?
???
n
k
knkk
n ppkCE
0
)1()( ?
?
?
???? ?
??
?? n
k
knk pp
knk
nnp
1
)1()1(1 )1(
)!()!1(
)!1(
?
?
?
??
? ??
1
0
)1(
1 )1(
n
k
knkk
n ppCnp np?
常见离散的随机变量的数学期望
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特例 若 Y ~ B ( 1,p ),则 E(Y)
由此可见，当进行 n重贝努利试验时，
如果每次成功的概率是 p,则 n次试验成
功的平均次数是 np．
p?
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（ 3） 泊松分布
? 设 服从参数为 λ的泊松分布，其分布列为
?
??
????
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
???
????
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
0 )!1()!1(!
)0,,3,2,1,0(,
!
)(
k
k
k
k
k
k
k
k
ee
k
e
k
kE
ke
k
kp
则
?
常见离散的随机变量的数学期望
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*（ 4） 几何分布
? 设 服从几何分布，其分布列为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
1
1
1
1
)1,3,2,1(,)(
k
k
k
k
k
k p qqE
k p qE
qpkpqkp
?
?
?
则
?
?
常见离散的随机变量的数学期望
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pq
E
q
p
pqk p qk p qEq
k
k
k
k
k
k
1
1
1
1
1
)1(
1
1
11
1
?
?
??
?
?
????? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
常见离散的随机变量的数学期望
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N
nM
C
CC
N
nM
C
n
N
CMC
C
CC
kE
nMllkNMn
C
CC
kp
l
k
n
N
kn
MN
k
M
l
k
n
N
kn
MN
k
M
l
k
n
N
kn
MN
k
M
n
N
kn
MN
k
M
??
?
?
??
???
?
??
?
?
?
?
??
?
?
???
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
1
01
1
1
)1()1(
)1()1(
1
1
1
1
1
)1()1(
)1()1(
1
1
0
)),m i n (;2,1,0,,(,)(
,
?
?
?
则
其分布列为服从超几何分布设
?
*(5)超几何分布
)]1)([ 11
0
?
?
?
???? knkn
l
k
CknCkp 及?
常见离散的随机变量的数学期望
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分布 期望概率分布
二点分布 pP
pP
???
??
1)0(
)1(
?
? p
泊松 分布
1;,2,1,0
!
)(
??
??
?
?
?? ?
?k
k
ekP k
?
常见离散的随机变量的数学期望
)1;,,2,1,0(
)1()(
???
??? ?
qpnk
ppCkP knkkn
?
?二项分布 np
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§ 3.1数学期望
分布 期望概率密度
几何分布 p1
超几何分布
)),m i n (;2,1,0,,(
,)(
nMl
lkNMn
C
CC
kp
n
N
kn
MN
k
M
?
??
?
??
?
?
?
?
N
nM
)1;,2,1,0(
)( 1
???
?? ?
qpk
pqkP k
?
?
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§ 3.1数学期望
设连续型函数的随机变量 ξ的密度函数为 f (x),
? ???? dxxfx )(绝对收敛,则称
为随机变量 ξ的 数学期望 或 平均值 (简称 期望 )。
连续型随机变量的数学期望
如果 ? ???? dxxxf )(
否则称 ξ的数学期望不存在。
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§ 3.1数学期望
例 设 ξ服从 N（ 0,12），求 ξ的数学期望
解 先考虑积分的绝对收敛。
?? ??
???
??
?
?
０
dxexdxex
xx 22
2
1
2
1
2
12
2
1
??
2
0
22
1
2
1,)
2
1(2 2 xtxde x ??? ? ?? ? 令
?
???? ? ?? ? ?? 22
0
dte t
绝对收敛，积分 ? ????? dxxfx )( 021
2
2
1
?? ? ??
??
? dxexE x
??
)0( 定积分为奇函数在对称区间上的
于是有
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§ 3.1数学期望
例
解
.
,
)1(
1)(
2
的数学期望求
的密度函数是设随机变量
?
?
? Rx
x
xf ?
?
?
?? ?????? ??? 0 22 )1( 12)1( 1 dxxxdxxx ???
? ?? ??? 0 22 )1()1( 11 xdx?
???? ??02 )1l n (1 x?
。,的数学期望不存在故随机变量该积分不是绝对收敛的 ??
注意 不是所有的连续型随机变量都有数学期望
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常用的连续型随机变量的数学期望
2
1
)(
,0
,
1
)(
,
ba
xd x
ab
dxxxfE
bxa
abxf
b
a
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
??
?
的数学期望为则
其它
其密度函数为服从均匀分布设
1.均匀分布
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? 注
.
,],[
概率意义
的符合的中点恰好在区间
量的数学期望服从均匀分布的随机变
?
?
Eba
E
常用的连续型随机变量的数学期望
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2 指数分布
?
?
? ??
?
?
其它
其密度函数为服从指数分布设
,0
0,0,
)(
,
??
?
?
xe
xf
x
?
?
??
?
???
?
1
)(
)(
000
0
???????
??
??
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
dxexexdxe
dxexdxxxfE
xxx
x
的数学期望为则
常用的连续型随机变量的数学期望
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3 正态分布
?
??
??
?
?
?
??
?
???
dxexE
Rxexf
～N
ux
ux
2
2
2
2
2
)(
)(
2
1
2
2
1
0,,
2
1
)(
),,(
?
?
??
?
?
?
??
???
的数学期望为则
其密度函数为设常用的连续型随机变量的数学期望
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?
??
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
?
??
??
?
??
??
???
??
?
??
??
?
dte
dtedtte
tdettx
t
tt
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
1
0
2
1
)()(
2
1
令
§ 3.1数学期望
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§ 3.1数学期望
常用的连续型随机变量的数学期望
分布 期望概率密度
均匀分布 ?
?
?
?
? ??
??
其它,0
,,1)( bxa
abxf
2
ba?
指数分布 ??
? ?? ?
其它,0
,0,)( xexf x??
?
1
正态分布
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf ?
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§ 3.1数学期望
随机变量的 函数的 期望 *
是随机变量是连续函数设 )(,)( ???? ?x定理
其分布列为是离散型随机变量时当,)1( ?
),2,1(,)( ???? iPxP ii?
则绝对收敛如果,)(
1
??
?i ii
Px?
,)()(
1
??
?
??
i ii
PxEE ????
则绝对收敛
如果积分其密度函数为是连续型随机变量当
,)()(
),(,)2(
?
??
??
dxxfx
xf
?
?
? ?????? dxxfxEE )()()( ????
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例 设随机 变量 ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3 4
P（ ξ=ξi） 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
的数学期望求 12 ?? ??
3.0)12(2.0)11(2.0)10(1.0]1)1[( 2222 ??????????????E解
51.0)14(1.0)13( 22 ???????
§ 3.1数学期望
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例
解
.
,],[
ESS
baD
的数学期望求圆的面积
区间的测量值均匀地分布于圆的直径
的密度函数是依题意知直径 D
??
?
?
? ??
??
其它 0
1
)(
bxa
abxf 2
4)( DDS
?? ??则圆面积
)4( 2DEEs ??? ? ??? ba dxabx 14 2?
? ????? dxxfx )()(? 12
)( 22 baba ??? ?
§ 3.1数学期望
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数学期望的简单性质
(1) E(c)=c; (c为常数 ),即常量的数学期望就是这个常量本身
(2) E(kξ+b)=kE(ξ)+b; k,b常数
(3) E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);
(4) 设 ξ,η相互独立,则 E(ξη)=E(ξ)E(η);
注, 1,性质 (3)和 (4)可以推广到有限个随机变量 ξ1,
ξ2,…,ξ n 的情况；
2,对于, 和,,不要求 ξ1,ξ2,…,ξ n相互独立 ; 对
于, 积, 要求 ξ1,ξ2,…,ξ n相互独立。
§ 3.1数学期望
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例 9 ? 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部
件的和，这两个部件的长度：
?
其分布律如下变量为两个相互独立的随机和,??
6 7
p 0.4 0.6
? 9 10 11
p 0.3 0.5 0.2
?
)( ?? ?E
)(??E
求此仪器总长度的数学期望
及两部分的乘积的数学期望
§ 3.1数学期望
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解,
5.166.69.9)(
6.66.074.06
9.92.0115.0103.09
???????
?????
???????
????
?
?
EEE
E
E
相互独立由于 ??,
34.65)( ??? ???? EEE
故
注意,一般来说 ??? EEE ??2
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第二节
方 差
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§ 3.2 方差
引例 甲、乙两射手各打了 6 发子弹,每发
子弹击中的环数分别为：
甲 10,7,9,8,10,6,
乙 8,7,10,9,8,8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数
甲 = 8.3,乙 = 8.3
有
五
个
不
同
数
有
四
个
不
同
数
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§ 3.2 方差
再比较稳定程度
34.13)3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2
22
222
?????
??????
甲,
乙,
34.5)3.87(
)3.88(3)3.89()3.810(
2
222
???
??????
乙比甲技术稳定，故乙技术较好,
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§ 3.2 方差
进一步比较平均偏离平均值的程度
甲
])3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2[
6
1
22
222
????
??????
乙
])3.87()3.88(3
)3.89()3.810[(
6
1
22
22
?????
???
22.26/34.13 ??
89.06/34.5 ??
? ??
?
?
5
1
2)(
k
kk pXEx
? ??
?
?
4
1
2)(
k
kk pXEx
E [ξ - E(ξ)]2
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§ 3.2 方差
若 E [ξ - Eξ]2 存在,则称其为随机
称 ?D 为 ξ 的 均方差 或 标准差,
方差概念
定义
即 D (ξ ) = E [ξ - Eξ]2
变量 ξ 的 方差,记为 Dξ 或 D(ξ)
两者量纲相同 D(ξ ) —— 描述 ξ 的取值偏
离平均值的平均偏离程度
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§ 3.2 方差
?,2,1,)( ??? kpxP kk?
若 ξ 为离散型 随机变量, 分布列为
? ????
?
??
1
2)(
k
kk pExD ??
若 ξ 为连续型随机变量,概率密度为 f (ξ)
? ? dxxfExD )(2? ??
??
?? ??
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§ 3.2 方差
计算方差的常用公式：
由数学期望的性质可知,对于连续型随机变量
? ??? ?? dxxfExD )()( 2??
22
22
22
)(
)()()(2)(
)())(2(
??
??
??
EE
dxxfEdxxxfEdxxfx
dxxfExEx
??
???
???
???
?
?
??
?
??
?
??
?
??
22 )( ??? EED ??
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§ 3.2 方差
? 对于 离散型 随机变量
22
222
)()()(2
))()(2()(
????
???????
EEEE
EEEEED
???
?????
22 )( ?? EE ??
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常见随机变量的方差
? 1.两点分布
pqppEED
pqpE
?????
?????
222
222
)(
01
???
?
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2) 二项分布
knk
n
k
k
n
knkk
n
n
k
knkk
n
n
k
n
k
knkk
n
n
k
knkk
n
qpCnpqpCknp
qpCknp
kkqpn p K C
qpCKE
????
?
??
?
?
?????
?
?
??
?????
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
?
?
??
??
???
?
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
11
1
0
22
)1(
1
＝
＝
） （令 ＝
?
§ 3.2 方差
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上式前项恰是 B(n-1,p)的数学期望，后项则是其各
项概率之和等于 1，故上式
? ? ? ?? ?
? ?? ? ? ? np qnppnnpEED
pnnpnppnnp
???????
??????
222 11)(
111
???则
§ 3.2 方 差
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(3) 泊松分布
? ?
1
1
10
22
!1!
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?? ?? e
k
ke
k
kE
k
k
k
k
???? ?
? ? ??? ?
??
?? ?
??? ? e
k
k
k
k !
1
0
??
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?? ?
?
??
?
?
??
??
??
2
00 !!
e
k
e
k
k
k
kk
k
? ? ??????? ?????? 2222 )( EED
§ 3.2 方差
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(4) 均匀分布
? ?
? ? ? ?
1223
1
)(
3
11
22
2222
2222
abba
aabbEED
aabbdx
ab
xE
b
a
?
??
?
?
?
?
? ?
??????
???
?
?? ?
???
?
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(5) 指数分布
??
? ?? ?
???
0
2
0
22 xx dexdxexE ????
2
0
0
2
2
2
2
0
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
dxex
dxxeex
x
xx
2
2
2
22 1)1(2)(
?????? ????? EED
§ 3.2 方差
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(6) 正态分布
对正态分布，我们直接采用定义式来计算,?D
? ?
? ?
2
2
1
2
12
2
12
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
1
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
??
dyeye
dyey
dxexD
yy
y
x
）（令 ? ??? xy
§ 3.2 方差
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§ ３,2 方差
常见随机变量的方差
分布 方差概率分布
两点分布 pXP pXP ??? ?? 1)0( )1( p(1-p)
二项分布 nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
??
??? ?
np(1-p)
泊松分布
?,2,1,0
!
)(
?
??
?
k
k
e
kXP
k ??
?
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§ ３,2 方差
分布 方差概率密度
均匀分布 ?
?
?
?
? ??
??
其它,0
,,1)( bxa
abxf
12
)( 2ab ?
指数分布 ??
? ?? ?
其它,0
,0,)( xexf x??
2
1
?
正态分布
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf 2?
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§ ３,2 方差
１ D (C) = 0
２ D (kξ ) = k2D(ξ)
D(kξ+b ) = k2D(ξ)
（ c为常数,k为常数 ）
３
? ?))())(((2
)()()(
????
????
EEE
DDD
???
???
特别地，若 ξ,η 相互独立，则
)()()( ???? DDD ???
方差的简单性质
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§ ３,2 方差
性质 1 的证明,? ? 0)()( 2 ??? CECECD
性质 2 的证明：
? ? 2)()()( bkEbkEbkD ????? ???
? ? 2))(())(( bEbEkE ???? ??
? ?22 ))(( ?? EkE ??
)(2 ?Dk?
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§ ３,2 方差
? ? 2)()()( ?????? ????? EED
? ?))())(((2))(())(( 22 ???????? EEEEEEE ???????
? ?))())(((2)()( ?????? EEEDD ?????
性质 3 的证明：
当 ξ,η 相互独立时，
? ?
)()()(
))())(((
????
????
EEE
EEE
??
??注意到，
)()()( ???? DDD ???
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方差的计算
解
例 3 假设打电话所用的时间（单位：分）服从 101??
的指数分布，如果某人刚好在你前面走进电话间，
（ 1）从平均意义上说，你将等候多少分钟？
（ 2）你等候时间超过期望等待时间的概率为多少？
设等待时间（即前面那个人所用的时间）为 x分钟，
由指数分布知,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 0
0
10
1
)(
10
1
x
xe
xp
x
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∴
? ?
?
??
? ?
???
0
10
1
10
10
1)()1( dxxedxxxpEx x
即期望等待时间为 10分钟．
368.0
10
1)10()2( 1
10
10
1010
1
?????? ?
??
? ??
? eedtexp
tt
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例 2 设 ξ ~ N ( ?,? 2),求 D( ξ )
解 dxexD x 2 22 )(2
2
1)()( ? ?
??
??
????
???
??
dtet
tt
x
222
2
2
1 ???
??
?
?
?? ??
?
?
令
2??
方差的计算
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例 2
? 把一枚均匀硬币任意投掷 100次，设 ξ为国徽向
上的次数，求 ξ的方差与标准差
解
? ? )1 00,3.2.1.0(,)21()21()21( 1 0 01 0 01 0 01 0 0 ????? ? kcckp kkkk?
50)
2
1(1 00
0
1 00
1 00 ?? ?
?k
kkcE ?
?
?
????
1 0 0
0
21 0 0
1 0 0
2 5,2550)
2
1(
k
k DckD ??
因此
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§ ３,2 方差
切比雪夫不等式
对于一个随机变量 ξ，其分布不知道，但知道它的期
望值和方差．此时我们不能计算出 ξ落入某一区间的概率，
但可估计出 ξ落入以 μ为中心的对称区间
（ Eξ-ε,Eξ+ε）内的概率．
设随机变量 ξ存在数学期望 Eξ与方差 Dξ，则对任意正数 ε，
有不等式
? ? 2? ???? DEP ??? 或 ? ? 21 ? ???? D＜EP ???
这两个不等式均称为 切比雪夫不等式,
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§ ３,2 方差
证明 我们只对连续型随机变量的情形给出证明，设 f(x)
为的密度函数，则
? ? ?
??
???
??
???
Ex
dxxfEp )(?
??
??
?? ?
?
Ex
dxxfEx )()( 2
2
dxxfEx )()(1
2
2 ?
?
??
?? ?
?
2?
?D?
切比雪夫不等式
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? 设 ξ是掷一颗骰子出现的点数，若给定实际计
算,并且验证切比雪夫不等式成立．
例 2
)( ??? ?? Ep
解
2
7??E
12
35??D
3
2)1
2
7( ????P
3
1)6()1()2
2
7( ??????? ??? PPP
,
,
,
3
1
48
35
12
35
4
1 2
3
2
12
35 1
22 ???????? ?
??
?
?? DD 时，当时，当
?可见 满足切比雪夫不等式,
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§ ３,2 方差
例 2 某电站供电网有 10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是 0.7，而假定开灯或关灯的时间彼此独立，
估计夜间同时开着的灯数在 6800与 7200之间的概率．
解 令 ξ表示在夜间同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10000,P=0.7的二项分布．若要准确计算,则应该用
贝努利公式,
)72 0068 00( ?? ?P ?? ???? 7199 6801 1 0 0 0 01 0 0 0 0 3.07.0k KKKC
可以看出,这里的计算量是相当大的．如果用 切比雪
夫不等式 估计
7 0 0 07.01 0 0 0 0 ???? nPE ?
21003.07.010000 ????? npqD ?
)2 0 07 0 0 0()7 2 0 06 8 0 0( ????? ?? PP
95.020021 0 01 2 ???
可见用切比雪夫不等式估计计
算量是很小的，但估计的精确
度不算高．
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第三章
随机变量的数 字特征
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第一节
数 学 期 望
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§ 3.1数学期望
引例 甲、乙两射手，在同样条件下进行
射击。他们命中的环数分别记为 ξ,η，其
概率分布列分别为：
试问如何来评定两个射手的技术优劣？
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§ 3.1数学期望
解 虽然分布列完整地描述了 ξ,η的统计规律，但
对于他们的技术优劣不能直接由分布列看出结
果．若考虑平均射中的环数则可求得问题的答案，
假定他们各射击 100次，则
100
1
甲平均射中的环数约为
乙平均射中的环数约为
（ 8× 20+9× 50+10× 30） =9.1（环）
（ 8× 30+9× 10+10× 60） =9.3（环）1001
故 从平均射中的环数看，甲的技术优于乙．
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§ 3.1数学期望
设离散型随机变量 的分布列是
若级数 ???
?1i
ii xp
的 数学期望 或 平均值 (简称 期望 或 均值 ),
记为 Eξ 或 E(ξ )
数学期望的定义
绝对收敛,则称其和为随机变量 ξ
ξ
p p1 p2 … … p4 … …
?? 421,,xxx
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例 1 设随机变量 ξ的分布列为
ξ -1 3
p 2/3 1/3
求 Eξ,
解 由 Eξ的定义得
3
1
3
13
3
21 ???????E
§ 3.1数学期望
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例 2
-1 0 1 2 3
p 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
?
设随机变量 ? 有分布列
试求 的数学期望,? ?E
解 此题显然不必考虑 ?
?1i
ii xp
的绝对收敛性，因为它是有限和,
?
?
?
5
1i
ii xpE ?
=（ -1） × 0.1+0× 0.2+1× 0.1+2× 0.3+3× 0.3=1.5
§ 3.1数学期望
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常见离散的随机变量的数学期望
(1) 二点分布
设 ? 服从二点分布，其分布列为：
?
?ix
1 0
P( = ) p q
则 =1× p+0× q=p (q=1-p)
?E
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(2) 二项分布
设 ξ ~ B ( n,p )
则 ?
?
???
n
k
knkk
n ppkCE
0
)1()( ?
?
?
???? ?
??
?? n
k
knk pp
knk
nnp
1
)1()1(1 )1(
)!()!1(
)!1(
?
?
?
??
? ??
1
0
)1(
1 )1(
n
k
knkk
n ppCnp np?
常见离散的随机变量的数学期望
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特例 若 Y ~ B ( 1,p ),则 E(Y)
由此可见，当进行 n重贝努利试验时，
如果每次成功的概率是 p,则 n次试验成
功的平均次数是 np．
p?
常见离散的随机变量的数学期望
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（ 3） 泊松分布
? 设 服从参数为 λ的泊松分布，其分布列为
?
??
????
?
?
?
?
???
?
??
?
?
?
???
????
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
0 )!1()!1(!
)0,,3,2,1,0(,
!
)(
k
k
k
k
k
k
k
k
ee
k
e
k
kE
ke
k
kp
则
?
常见离散的随机变量的数学期望
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*（ 4） 几何分布
? 设 服从几何分布，其分布列为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
1
1
1
1
)1,3,2,1(,)(
k
k
k
k
k
k p qqE
k p qE
qpkpqkp
?
?
?
则
?
?
常见离散的随机变量的数学期望
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pq
E
q
p
pqk p qk p qEq
k
k
k
k
k
k
1
1
1
1
1
)1(
1
1
11
1
?
?
??
?
?
????? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
常见离散的随机变量的数学期望
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龚友运等 主编
N
nM
C
CC
N
nM
C
n
N
CMC
C
CC
kE
nMllkNMn
C
CC
kp
l
k
n
N
kn
MN
k
M
l
k
n
N
kn
MN
k
M
l
k
n
N
kn
MN
k
M
n
N
kn
MN
k
M
??
?
?
??
???
?
??
?
?
?
?
??
?
?
???
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
1
01
1
1
)1()1(
)1()1(
1
1
1
1
1
)1()1(
)1()1(
1
1
0
)),m i n (;2,1,0,,(,)(
,
?
?
?
则
其分布列为服从超几何分布设
?
*(5)超几何分布
)]1)([ 11
0
?
?
?
???? knkn
l
k
CknCkp 及?
常见离散的随机变量的数学期望
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分布 期望概率分布
二点分布 pP
pP
???
??
1)0(
)1(
?
? p
泊松 分布
1;,2,1,0
!
)(
??
??
?
?
?? ?
?k
k
ekP k
?
常见离散的随机变量的数学期望
)1;,,2,1,0(
)1()(
???
??? ?
qpnk
ppCkP knkkn
?
?二项分布 np
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§ 3.1数学期望
分布 期望概率密度
几何分布 p1
超几何分布
)),m i n (;2,1,0,,(
,)(
nMl
lkNMn
C
CC
kp
n
N
kn
MN
k
M
?
??
?
??
?
?
?
?
N
nM
)1;,2,1,0(
)( 1
???
?? ?
qpk
pqkP k
?
?
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§ 3.1数学期望
设连续型函数的随机变量 ξ的密度函数为 f (x),
? ???? dxxfx )(绝对收敛,则称
为随机变量 ξ的 数学期望 或 平均值 (简称 期望 )。
连续型随机变量的数学期望
如果 ? ???? dxxxf )(
否则称 ξ的数学期望不存在。
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§ 3.1数学期望
例 设 ξ服从 N（ 0,12），求 ξ的数学期望
解 先考虑积分的绝对收敛。
?? ??
???
??
?
?
０
dxexdxex
xx 22
2
1
2
1
2
12
2
1
??
2
0
22
1
2
1,)
2
1(2 2 xtxde x ??? ? ?? ? 令
?
???? ? ?? ? ?? 22
0
dte t
绝对收敛，积分 ? ????? dxxfx )( 021
2
2
1
?? ? ??
??
? dxexE x
??
)0( 定积分为奇函数在对称区间上的
于是有
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§ 3.1数学期望
例
解
.
,
)1(
1)(
2
的数学期望求
的密度函数是设随机变量
?
?
? Rx
x
xf ?
?
?
?? ?????? ??? 0 22 )1( 12)1( 1 dxxxdxxx ???
? ?? ??? 0 22 )1()1( 11 xdx?
???? ??02 )1l n (1 x?
。,的数学期望不存在故随机变量该积分不是绝对收敛的 ??
注意 不是所有的连续型随机变量都有数学期望
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常用的连续型随机变量的数学期望
2
1
)(
,0
,
1
)(
,
ba
xd x
ab
dxxxfE
bxa
abxf
b
a
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
??
?
的数学期望为则
其它
其密度函数为服从均匀分布设
1.均匀分布
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? 注
.
,],[
概率意义
的符合的中点恰好在区间
量的数学期望服从均匀分布的随机变
?
?
Eba
E
常用的连续型随机变量的数学期望
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2 指数分布
?
?
? ??
?
?
其它
其密度函数为服从指数分布设
,0
0,0,
)(
,
??
?
?
xe
xf
x
?
?
??
?
???
?
1
)(
)(
000
0
???????
??
??
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
dxexexdxe
dxexdxxxfE
xxx
x
的数学期望为则
常用的连续型随机变量的数学期望
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3 正态分布
?
??
??
?
?
?
??
?
???
dxexE
Rxexf
～N
ux
ux
2
2
2
2
2
)(
)(
2
1
2
2
1
0,,
2
1
)(
),,(
?
?
??
?
?
?
??
???
的数学期望为则
其密度函数为设常用的连续型随机变量的数学期望
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?
??
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
?
??
??
?
??
??
???
??
?
??
??
?
dte
dtedtte
tdettx
t
tt
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
1
0
2
1
)()(
2
1
令
§ 3.1数学期望
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§ 3.1数学期望
常用的连续型随机变量的数学期望
分布 期望概率密度
均匀分布 ?
?
?
?
? ??
??
其它,0
,,1)( bxa
abxf
2
ba?
指数分布 ??
? ?? ?
其它,0
,0,)( xexf x??
?
1
正态分布
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf ?
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§ 3.1数学期望
随机变量的 函数的 期望 *
是随机变量是连续函数设 )(,)( ???? ?x定理
其分布列为是离散型随机变量时当,)1( ?
),2,1(,)( ???? iPxP ii?
则绝对收敛如果,)(
1
??
?i ii
Px?
,)()(
1
??
?
??
i ii
PxEE ????
则绝对收敛
如果积分其密度函数为是连续型随机变量当
,)()(
),(,)2(
?
??
??
dxxfx
xf
?
?
? ?????? dxxfxEE )()()( ????
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例 设随机 变量 ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3 4
P（ ξ=ξi） 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
的数学期望求 12 ?? ??
3.0)12(2.0)11(2.0)10(1.0]1)1[( 2222 ??????????????E解
51.0)14(1.0)13( 22 ???????
§ 3.1数学期望
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例
解
.
,],[
ESS
baD
的数学期望求圆的面积
区间的测量值均匀地分布于圆的直径
的密度函数是依题意知直径 D
??
?
?
? ??
??
其它 0
1
)(
bxa
abxf 2
4)( DDS
?? ??则圆面积
)4( 2DEEs ??? ? ??? ba dxabx 14 2?
? ????? dxxfx )()(? 12
)( 22 baba ??? ?
§ 3.1数学期望
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数学期望的简单性质
(1) E(c)=c; (c为常数 ),即常量的数学期望就是这个常量本身
(2) E(kξ+b)=kE(ξ)+b; k,b常数
(3) E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);
(4) 设 ξ,η相互独立,则 E(ξη)=E(ξ)E(η);
注, 1,性质 (3)和 (4)可以推广到有限个随机变量 ξ1,
ξ2,…,ξ n 的情况；
2,对于, 和,,不要求 ξ1,ξ2,…,ξ n相互独立 ; 对
于, 积, 要求 ξ1,ξ2,…,ξ n相互独立。
§ 3.1数学期望
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例 9 ? 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部
件的和，这两个部件的长度：
?
其分布律如下变量为两个相互独立的随机和,??
6 7
p 0.4 0.6
? 9 10 11
p 0.3 0.5 0.2
?
)( ?? ?E
)(??E
求此仪器总长度的数学期望
及两部分的乘积的数学期望
§ 3.1数学期望
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解,
5.166.69.9)(
6.66.074.06
9.92.0115.0103.09
???????
?????
???????
????
?
?
EEE
E
E
相互独立由于 ??,
34.65)( ??? ???? EEE
故
注意,一般来说 ??? EEE ??2
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第二节
方 差
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§ 3.2 方差
引例 甲、乙两射手各打了 6 发子弹,每发
子弹击中的环数分别为：
甲 10,7,9,8,10,6,
乙 8,7,10,9,8,8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数
甲 = 8.3,乙 = 8.3
有
五
个
不
同
数
有
四
个
不
同
数
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§ 3.2 方差
再比较稳定程度
34.13)3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2
22
222
?????
??????
甲,
乙,
34.5)3.87(
)3.88(3)3.89()3.810(
2
222
???
??????
乙比甲技术稳定，故乙技术较好,
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§ 3.2 方差
进一步比较平均偏离平均值的程度
甲
])3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2[
6
1
22
222
????
??????
乙
])3.87()3.88(3
)3.89()3.810[(
6
1
22
22
?????
???
22.26/34.13 ??
89.06/34.5 ??
? ??
?
?
5
1
2)(
k
kk pXEx
? ??
?
?
4
1
2)(
k
kk pXEx
E [ξ - E(ξ)]2
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§ 3.2 方差
若 E [ξ - Eξ]2 存在,则称其为随机
称 ?D 为 ξ 的 均方差 或 标准差,
方差概念
定义
即 D (ξ ) = E [ξ - Eξ]2
变量 ξ 的 方差,记为 Dξ 或 D(ξ)
两者量纲相同 D(ξ ) —— 描述 ξ 的取值偏
离平均值的平均偏离程度
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龚友运等 主编
§ 3.2 方差
?,2,1,)( ??? kpxP kk?
若 ξ 为离散型 随机变量, 分布列为
? ????
?
??
1
2)(
k
kk pExD ??
若 ξ 为连续型随机变量,概率密度为 f (ξ)
? ? dxxfExD )(2? ??
??
?? ??
概率与统计 咸宁职业技术学院
龚友运等 主编
§ 3.2 方差
计算方差的常用公式：
由数学期望的性质可知,对于连续型随机变量
? ??? ?? dxxfExD )()( 2??
22
22
22
)(
)()()(2)(
)())(2(
??
??
??
EE
dxxfEdxxxfEdxxfx
dxxfExEx
??
???
???
???
?
?
??
?
??
?
??
?
??
22 )( ??? EED ??
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龚友运等 主编
§ 3.2 方差
? 对于 离散型 随机变量
22
222
)()()(2
))()(2()(
????
???????
EEEE
EEEEED
???
?????
22 )( ?? EE ??
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常见随机变量的方差
? 1.两点分布
pqppEED
pqpE
?????
?????
222
222
)(
01
???
?
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2) 二项分布
knk
n
k
k
n
knkk
n
n
k
knkk
n
n
k
n
k
knkk
n
n
k
knkk
n
qpCnpqpCknp
qpCknp
kkqpn p K C
qpCKE
????
?
??
?
?
?????
?
?
??
?????
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
?
?
??
??
???
?
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
11
1
0
22
)1(
1
＝
＝
） （令 ＝
?
§ 3.2 方差
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上式前项恰是 B(n-1,p)的数学期望，后项则是其各
项概率之和等于 1，故上式
? ? ? ?? ?
? ?? ? ? ? np qnppnnpEED
pnnpnppnnp
???????
??????
222 11)(
111
???则
§ 3.2 方 差
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(3) 泊松分布
? ?
1
1
10
22
!1!
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?? ?? e
k
ke
k
kE
k
k
k
k
???? ?
? ? ??? ?
??
?? ?
??? ? e
k
k
k
k !
1
0
??
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?? ?
?
??
?
?
??
??
??
2
00 !!
e
k
e
k
k
k
kk
k
? ? ??????? ?????? 2222 )( EED
§ 3.2 方差
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(4) 均匀分布
? ?
? ? ? ?
1223
1
)(
3
11
22
2222
2222
abba
aabbEED
aabbdx
ab
xE
b
a
?
??
?
?
?
?
? ?
??????
???
?
?? ?
???
?
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(5) 指数分布
??
? ?? ?
???
0
2
0
22 xx dexdxexE ????
2
0
0
2
2
2
2
0
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
dxex
dxxeex
x
xx
2
2
2
22 1)1(2)(
?????? ????? EED
§ 3.2 方差
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(6) 正态分布
对正态分布，我们直接采用定义式来计算,?D
? ?
? ?
2
2
1
2
12
2
12
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
1
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
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?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
??
dyeye
dyey
dxexD
yy
y
x
）（令 ? ??? xy
§ 3.2 方差
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§ ３,2 方差
常见随机变量的方差
分布 方差概率分布
两点分布 pXP pXP ??? ?? 1)0( )1( p(1-p)
二项分布 nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
??
??? ?
np(1-p)
泊松分布
?,2,1,0
!
)(
?
??
?
k
k
e
kXP
k ??
?
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§ ３,2 方差
分布 方差概率密度
均匀分布 ?
?
?
?
? ??
??
其它,0
,,1)( bxa
abxf
12
)( 2ab ?
指数分布 ??
? ?? ?
其它,0
,0,)( xexf x??
2
1
?
正态分布
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
??
?
x
exf 2?
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§ ３,2 方差
１ D (C) = 0
２ D (kξ ) = k2D(ξ)
D(kξ+b ) = k2D(ξ)
（ c为常数,k为常数 ）
３
? ?))())(((2
)()()(
????
????
EEE
DDD
???
???
特别地，若 ξ,η 相互独立，则
)()()( ???? DDD ???
方差的简单性质
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§ ３,2 方差
性质 1 的证明,? ? 0)()( 2 ??? CECECD
性质 2 的证明：
? ? 2)()()( bkEbkEbkD ????? ???
? ? 2))(())(( bEbEkE ???? ??
? ?22 ))(( ?? EkE ??
)(2 ?Dk?
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§ ３,2 方差
? ? 2)()()( ?????? ????? EED
? ?))())(((2))(())(( 22 ???????? EEEEEEE ???????
? ?))())(((2)()( ?????? EEEDD ?????
性质 3 的证明：
当 ξ,η 相互独立时，
? ?
)()()(
))())(((
????
????
EEE
EEE
??
??注意到，
)()()( ???? DDD ???
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方差的计算
解
例 3 假设打电话所用的时间（单位：分）服从 101??
的指数分布，如果某人刚好在你前面走进电话间，
（ 1）从平均意义上说，你将等候多少分钟？
（ 2）你等候时间超过期望等待时间的概率为多少？
设等待时间（即前面那个人所用的时间）为 x分钟，
由指数分布知,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 0
0
10
1
)(
10
1
x
xe
xp
x
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∴
? ?
?
??
? ?
???
0
10
1
10
10
1)()1( dxxedxxxpEx x
即期望等待时间为 10分钟．
368.0
10
1)10()2( 1
10
10
1010
1
?????? ?
??
? ??
? eedtexp
tt
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例 2 设 ξ ~ N ( ?,? 2),求 D( ξ )
解 dxexD x 2 22 )(2
2
1)()( ? ?
??
??
????
???
??
dtet
tt
x
222
2
2
1 ???
??
?
?
?? ??
?
?
令
2??
方差的计算
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例 2
? 把一枚均匀硬币任意投掷 100次，设 ξ为国徽向
上的次数，求 ξ的方差与标准差
解
? ? )1 00,3.2.1.0(,)21()21()21( 1 0 01 0 01 0 01 0 0 ????? ? kcckp kkkk?
50)
2
1(1 00
0
1 00
1 00 ?? ?
?k
kkcE ?
?
?
????
1 0 0
0
21 0 0
1 0 0
2 5,2550)
2
1(
k
k DckD ??
因此
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§ ３,2 方差
切比雪夫不等式
对于一个随机变量 ξ，其分布不知道，但知道它的期
望值和方差．此时我们不能计算出 ξ落入某一区间的概率，
但可估计出 ξ落入以 μ为中心的对称区间
（ Eξ-ε,Eξ+ε）内的概率．
设随机变量 ξ存在数学期望 Eξ与方差 Dξ，则对任意正数 ε，
有不等式
? ? 2? ???? DEP ??? 或 ? ? 21 ? ???? D＜EP ???
这两个不等式均称为 切比雪夫不等式,
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§ ３,2 方差
证明 我们只对连续型随机变量的情形给出证明，设 f(x)
为的密度函数，则
? ? ?
??
???
??
???
Ex
dxxfEp )(?
??
??
?? ?
?
Ex
dxxfEx )()( 2
2
dxxfEx )()(1
2
2 ?
?
??
?? ?
?
2?
?D?
切比雪夫不等式
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? 设 ξ是掷一颗骰子出现的点数，若给定实际计
算,并且验证切比雪夫不等式成立．
例 2
)( ??? ?? Ep
解
2
7??E
12
35??D
3
2)1
2
7( ????P
3
1)6()1()2
2
7( ??????? ??? PPP
,
,
,
3
1
48
35
12
35
4
1 2
3
2
12
35 1
22 ???????? ?
??
?
?? DD 时，当时，当
?可见 满足切比雪夫不等式,
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§ ３,2 方差
例 2 某电站供电网有 10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是 0.7，而假定开灯或关灯的时间彼此独立，
估计夜间同时开着的灯数在 6800与 7200之间的概率．
解 令 ξ表示在夜间同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10000,P=0.7的二项分布．若要准确计算,则应该用
贝努利公式,
)72 0068 00( ?? ?P ?? ???? 7199 6801 1 0 0 0 01 0 0 0 0 3.07.0k KKKC
可以看出,这里的计算量是相当大的．如果用 切比雪
夫不等式 估计
7 0 0 07.01 0 0 0 0 ???? nPE ?
21003.07.010000 ????? npqD ?
)2 0 07 0 0 0()7 2 0 06 8 0 0( ????? ?? PP
95.020021 0 01 2 ???
可见用切比雪夫不等式估计计
算量是很小的，但估计的精确
度不算高．
