概率与统计 咸宁职业技术学院咸宁职业技术学院
龚友运 等 主编
《
概
率
与
统
计
》
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教材
《概率与统计》
主要教学参考书
龚友运等编
华中科技大学出版社
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概率统计是研究随机现象规律性的科学，随着现代科
学技术的发展，“概率论”在自然科学、社会科学和工农
业生产中得到了越来越广泛的应用．在现实世界中，随机
现象是广泛存在的，而“概率统计”正是一门从数量这一
侧面研究随机现象规律性的数学学科．它结构严谨,应用广
泛,发展迅速,是近代数学的重要组成部分之一，在国民经济、
工农业生产、物理学、生物学、医学、工程技术（如自动
控制、地震预报、气象预报、产品质量控制等）、军事技
术、现代经济理论、管理科学等众多领域中有着广泛的应
用，并且在不断地向其他学科渗透。它是一门有着自己独
特的概念与方法的数学分支。
前 言
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概率与统计发展简史
概率与统计是研究 大量随机现象数量规律 的一门重要的
应用数学学科，人们一般地认为概率是统计的基础，而统计
是概率的一种应用。
概率论起源于对随机游戏的研究，早在 16世纪，欧洲文艺
复兴时期的人文主义代表人物 —— 意大利学者卡当的著作,
赌博之书, 在 1663年就出版了，而推动概率论的发展的动力
则在于其在实践中的应用。
描述性统计学的起源在我国可以追溯到远古时期，主要研
究数据的收集和整理。公元前 2250年，大禹治水，根据山川
土质、人口和物质统筹开凿河道，殷周时期实行井田制，根
据户口和土地的统计资料按人分地；同时由于军事和征税的
需要，各朝代对于土地、人口、财产和年龄都有统计资料可
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查并绘有图 表。在西方始于公元前 3000多年，埃及建造金字
塔时为征集费用，对全国人口、财产进行全面统计，到了亚
里士多德时代，统计逐渐向理性演变，统计在卫生、保险、
贸易、军事和行政管理方面的应用都有详细的记载。其后的
发展出现了分析统计学，主要进行数据分析和推断。
概率论这门学科的形成和发展经历了三个多世纪，至今的
研究仍十分活跃。 1654年，法国的巴斯卡、费尔马开始创立
概率论； 1657年荷兰物理学家惠更斯发表了, 论赌博中的计
算, 的论文，提出了, 数学期望, 的概念；瑞士数学家贝努利
于 1713出版了概率论的第一本著作, 猜度术,,指出概率是
频率的稳定值，确定了大数定律，构成了概率论向更广泛的
应用领域的桥梁，把概率论的发展向前推进了一步，他认为
是概率论的奠基人； 1718年英国数学家棣美弗（ Demoivre)发
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表 著作, 机遇原理,,书中叙述了概率乘法公式和复合事件概
率的计算方法，并在 1733年发现了正态分布曲线的概率分布密
度函数； 1812年法国的拉普拉斯（ Laplace)出版的, 分析概率
论, 汇集了 17,18世纪概率论的研究成果，发现了中心极限定
理，是近代概率论的先驱； 1906年俄国科学家切比雪夫的学生
马尔可夫（ Makov)观察了许多自然现象，提出了数学模型，从
此，许多物理现象如布朗运动、原子核的连锁分裂等均可用马
尔可夫随机过程来描述，而当代概率的研究方向主要是各种随
机过程及其应用。
统计学的兴起与发展来自概率论的推动，以概率论为基础，
以统计推论为主要内容的现代数理统计学,20世纪才告成熟，
从此，人们相信统计学的方法可用于各种科学的各个部门，随
着计算机的使用，进一步推动着统计学不断地向着纵深发展，
人们还发现随机现象在微观世界中比在宏观世界中更为普遍。
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第一章
随机事件与概率
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第一节
随机事件及其概率
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?随机现象,
必然现象 在一定的条件下，必然会发生的现象,
例如
向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上
升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为必然现
象．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原
有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热等等
也都是必然现象。
§ 1.1随机事件及其概率
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不可能现象 在一定条件下,一定不会发生的现象,
例如
在标准大气压下纯水在 10。 C是结冰是不可能的，
所以就称为不可能现象。
同样，一物体在变力作用下作匀速直线运动也是不
可能现象。
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随机现象,
在给定条件下，可能发生，也可能不发生，
其结果是无法事先预测的现象
例如,
1.抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可
能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面
朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝
上．我们把这类现象称为 随机现象 （或 偶然现象 ）
2.自动机床加工制造一个零件，可能是合格
品，也可能是不合格品；
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3,现象 Ⅰ, 一个盒子中有 10个完全相同的白球,混
合后，任意摸一个,
现象 Ⅱ, 一个盒子中有 10个球,5个白球 5个黑球,
混合后,任意摸一个
对于现象 Ⅰ,在没有摸之前,我们就可以知道摸出
来的为白球 ;
而对于现象 Ⅱ 在没摸之前我们不能肯定摸到的为
什么球,但我们知道只要两种可能,并且摸的结果一定是
这两种可能之一,随着摸球次数的增大,发现摸到白球和
摸到黑球的机会是等可能的,
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统计规律性
?每次试验前不能预言出现什么结果
?每次试验后出现的结果不止一个
?在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为 统计规律性
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对某事物特征进行观察,统称 试验,
若它有如下特点,则称为 随机试验
?可在相同的条件下重复进行
? 试验结果不止一个,但能明确所有的结果
? 试验前不能确定出现哪种结果
随机试验
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我们把试验的结果中发生的现象称为 事件,在
试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件
称为 随机事件,简称为事件．通常用字母 A,B，
C,? 表示随机事件
随机事件
基本事件 —— 实验的不可能再分的结果,每次
试验必 定 发生且只可能发生一个基本事件,
复合事件 —— 由若干个基本事件组成的
事件
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特殊的随机事件：
必然事件 —— 在一定条件下必定发生的
事件,记为 ?
不可能事件 —— 在一定条件下 一定不发
生的事件,记为 ?,
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例子
? 抛骰子试验
在掷一颗骰子的试验中，观察出现的点数．
设 Ai表示“出现 i点”事件 (i=1,2,3,4,5,6)，记作 Ai={出现 i
点 },即 A1={出现 1点 }； A2={出现 2点 }； … ； A6={出现 6
点 }；
又设 B={出现 奇数点 }； C={出现偶数点 }.
显然 A1,A2,…, A6都是基本事件，
B,C都是复合事件．
A1,A2,…, A6, B,C均为随机事件．
只要 A1,A3,A5中的一个发生，事件 B就发生 ;
只要 A2,A4,A6中的一个发生，事件 C就发生．
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例 子
例子 随机试验 随机事件
例 1 抛一枚硬币，观察出现的结
果,
A1={正面朝上 },A2={反面朝上 }
例 2 从一批产品中任意取 10个样
品，观测其中的次品数,
B={取出的 10个样品中有 1至 3个
次品 }
例 3 记录某段时间内电话交换台
接到的呼唤次数,
C={在该段时间内电话交换台接
到的呼唤次数不超过 8次 }
例 4 测量某个零件的尺寸与规定
尺寸的偏差 x（ mm）,
D={测得零件的尺寸与规定尺寸
的偏差小于 0,1mm}
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频率
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，
n
mf
n ?
则称 为事件 A 发生的 频率
记作 fn(A),其中 m为频数
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试验 序号
n=5 n=50 n=500
nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)
1
2
3
45
6
7
8
910
2
3
1
51
2
4
2
33
0.4
0.6
0.2
1.00.2
0.4
0.8
0.4
0.60.6
22
25
21
2524
21
18
24
2731
0.44
0.50
0.42
0.500.48
0.42
0.36
0.48
0.540.62
251
249
256
253251
246
244
258
262247
0.502
0.498
0.512
0.5060.502
0.492
0.488
0.516
0.5240.494
做“抛掷硬币”的试验，我们将一枚硬币抛掷 5
次,50次,500次，各做 10遍，得到数据如表 1-1所示；
其中 A={朝上的一面是正面 },nA表示事件 A发生的频数,
表示 A发生的频率,
抛硬币试验,
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频率的性质
? 1)(0 ?? Af n
? 1)( ??nf
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实践证明：在大量重复试验中，随机事件的
频率具有稳定性．也就是说，在不同的试验序列中，
当试验次数 n充分大时，随机事件 A的频率 fn(A)常
在 某个确定的数字 附近摆动．
在抛硬币的试验中，“正面朝上”这一随机事
件 A的频率 fn(A)稳定在数字 0.5的附近．类似的例
子还可以举出很多,
§ 1.1随机事件及其概率
An )(Afnn
频率的稳定性
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试验者 n nA fn(A)
德 ·莫根
蒲 丰
K·皮尔逊
K·皮尔逊
2048
4040
12000
24000
1061
2048
6019
12012
0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，得到
的数据如下：
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概率的统计定义
在相同条件下重复进行的 n 次 试验中,如果事
件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某一数值 P的附近摆
动,且随 n的增大,摆动幅度越来越小,则称 P为随机
事件 A的 概率,记作 P(A)
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概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法,
当试验次数 n较大 时有,
事件发生
的 概 率 ?
事件发生
的 频 率
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即当试验次数 n充分大时,就常把事件 A的频
率作为事件 A的概率的,近似值,（或“估
值”）．
比如：合格率，废品率，出生率，升学率，
死亡率等等，都是频率．缺点：
?建立在经验基础上
?语言描述模糊，不准确
?需要大量的试验观测统计，
可操作性较差
优点, 直观
易懂
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1,0≤ P(A)≤1;
2,P(Ω)=1,P(φ )=0.
于是有下列 性质
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练习题
从装有 4个红球,1个白球的口袋中任取两球．
（ 1）列出该试验所有的基本事件；
（ 2）若设 A={两个都是红球 },B={恰有一个白球 }，
分别列出事件 A,B所包含的基本事件．
解,（ 1）把红球编号为①,②,③,④,把白球编号
为⑤，于是该实验所有的基本事件为：
｛①,② ｝｛①,③ ｝｛①,④ ｝｛①,⑤ ｝｛②,③ ｝
｛③,④ ｝｛③,⑤ ｝｛④,⑤ ｝｛②,⑤ ｝｛②,④ ｝
即基本事件总数为 10个
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（ 2） A=｛｛①,② ｝｛①,③ ｝｛①,④ ｝｛②,③ ｝
｛③,④ ｝｛②,④ ｝｝
B=｛｛①,⑤ ｝｛②,⑤ ｝｛③,⑤ ｝｛④,⑤ ｝｝
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第二节
古 典 概 型
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?例 1 某人从甲地到乙地可乘火车，汽车或
轮船，一天中，从甲地到乙地的火车有五
班，汽车有 3班，轮船有 2班．问此人从甲
地到乙地去共有多少种不同的方法？
一 排列与组合
1 乘法原理
两个基本原理
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解,
该人从甲地到乙地去的方式有三类：乘火车，
乘汽车，或乘轮船．
第一类方式有 5种不同的走法,
第二类方式有 3种不同的走法,
第三类方式有 2种不同的走法,
每一种走法都可以从甲地到乙地．所以，此人从
甲地到乙地去共有,5+3+2=10 种不同的走法．
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如果完成一件事有 n类方式，
第一类方式中有 m1种不同的方法
第二类方式中有 m2种不同的方法,…,
第 n类方式中有 mn种不同的方法．
并且每一种方法都能独立地完成这件事．
那么完成这件事共有,
种不同的方法, nmmmmN ????? 321
加法原理
两个基本原理
nmmmmN ????? 321 nmmN ???? ?32 ?
nmmmmN ????? ?321
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某人从学校回家必经过甲村．如果从学校到
甲村有 2条路可走，从甲村到他家有 3条路可
走．某人从学校回家共有几种不同的走法?
2 乘法原理
例 2:
解,某人从学校回家，必须分两个步骤成．
第一步 从学校到甲村，有 3 种走法
第二步 从甲村回家有 2种走法．
所以，某人回家共有：
632 ??
种不同的走法．2× 3=6
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? 如果完成一件事需分成 n个步骤，完成第一步有
m1种不同的方法，完成二步有 m2种不同的方
法,…,完成第 n步有 mn种不同的方法，在依次
完成这 n个步骤后，这件事才能完成，那么完成
这件事共有：
种不同的方法．
乘法原理
nmmmN ???? ?21
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排列
例 3, 由数字 1,2,3,4可以组成多少个没
有重复数字的三位数？
解 组成一个三位数可分三步完成．
第一步 确定百位上的数字，可以从 1,2,3,4中任选
一个，共有 4种不同的方法；
第二步 确定十位上的数字，由于不能重复，所以只能从
剩下的 3个数字中任选一个，共有 3种不同的方法；
第三步 确定个位上的数字，可从剩下的 2个数字中任选一
个，共有 2种不同的方法．
根据乘法原理，组成符合条件的三位数的方法共有
（种），即可以组成 24个不同的三位数．
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定义 3
n
np
m
np
从 n个不同的元素中，任取 m (m ≤n)个不同的元素按
照一定的顺序排成一排，叫做从 n个不同元素中取出 m个
不同元素的一个 排列,
当 m<n时，所得的排列叫做 选排列,
当 m=n时，所得的排列叫做 全排列,
从 n个不同元素中任取 m(m ≤n)个不同元素的所有排
列的个数，叫做从 n个不同元素中任取 m个不同元素的 排
列种数,记作,当 m=n时全排列种数为，也可以简
记为,
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根据乘法原理，得排列种数的计算公式为,
mnP
m
nP
= )1()2)(1( ???? mnnnn ?
利用阶乘符号，排列种数的计算公式为,
)!(
!
mn
n
P mn
?
?
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例 4 由数字 1,2,3,4可以组成多少个可以 重复
数字的三位数？
)(644444 3 个????
解 依题意，组成可以重复数字的三位数可以分三个步骤完成：
第一步 从 1,2,3,4中任选一个数字作为百位数共有
4 种不同的选法；
第二步 确定十位上的数字，由于可以重复，十位
数也有 4种不同的选法；
第三步 同理，个位上的数字仍有 4种不同的选法．
根据乘法原理，符合题意的三位数的个数是,
644444 3 ????
)(644444 3 个????
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一般地，从 n不同的元素中任选可以重
复的 m个元素的排列种数 N的计算公式为,
mnN ?
其中 n为可以重复选取的元素个数，
m为每一个元素最多可以重复的次数．
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组 合
例 5 有三张分别写有数字 1,2,3的卡片，每次
任取两张，把数字相加，可以得到多少个不同的
和数？
解 这个问题仅与卡片上数字的大小有关，与它们
的顺序无关．例如,12”与,21”是两个不同的两位
数，但,1+2”与,2+1”的和是相同的．因此，和的
个数只有两位数的个数的一半，即
2321P
种,23
2
1 p
这些和分别是 1+2=3,1+3=4,2+3=5
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定义 2
从 n个不同的元素中，任取 m (m≤n)个不同元素，不管顺
序，并成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个不同元素的一个
组合,
排列与组合的区别
相同之处 它们都“从 n个不同的元素中任取 m个不同元素”
不同之处 取出来的这 m个元素对于组合来说就不用考
虑顺序，而排列则要考虑其顺序．
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从 n个不同的元素中，每次取出 m(m≤n)个不同元
素的所有组合的个数，叫做从 n不同元素任取 m个不同
元素的 组合种数,记作,
mnC
从 n个不同的元素中任取 m个不同元素进行排列，它可
以分为两步来进行,
第一步 先将这 m个不同元素从 n个不同的元素中取出来
第二步 再将取出来的这 m个不同元素按照一定的顺序
排成一列,其种数为,
其种数为,
mnC
m
nC
m
mp
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根据乘法原理，从 n个不同元素中任取 m个不同元
素的排列种数为,另一方面，我们已知从 n个不
同元素中任取 m个不同元素的排列种数为,从而有
mnmn pC
mnP
mmnmn PCp ? m
m
m
n
m
n PCp ?
因此，从 n个不同元素中任取 m个不同元素的组合种
数计算公式为：
mnC
!)!( ! mmn nPPm
mn
??
mnC
)!(
!
mn
n
P
p
C
m
m
m
nm
n
?
??
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通过大量的重复试验，用频率来估计事件的
概率，虽然提供了近似计算事件概率的一般方法，
但繁琐又不经济，有时甚至是行不通的．而对于
一些特殊的随机试验，概率可用较简单的方法求
得，下面介绍最早出现的一类概率问题．
§ 1.2古典概率
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如果一个事件具有下列 特点,
? 试验的所有基本事件是有限的；
?各个试验的基本事件出现的可能性是相等的,
即每 一个基本事件发生的可能性相等．
则称此试验为 古典概型试验,简称 古典概型,
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若某试验结果一共由 n个基本事件组成，
并且这些事件发生的可能性相同，而事件 A由
其中的 m个基本事件组成，则事件 A发生的概
率是,
nmAAP ?? 试验的基本事件总数 中包含的基本事件个数)(
n
mAAP ??
试验的基本事件总数
中包含的基本事件个数)(
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古典概率的例子
例１, 盒中装有 3个白球,2个黑球，从中任
取一个，问：取到白球的概率是多少？
解 从盒中任取一个球, 由于是, 任取,,
故 5个球被取到的机会一样, 即每一个基本事件发
生的可能性相等, 则该试验的基本事件总数 n
=5．
设 A={取到的是白球 },则 A包含的基本事件个数 m
=3,于是由古典概率的计算公式, 有
5
3)( ??
n
mAP
5
3)( ??
n
mAp
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例２, 有 100件商品，其中 97件是合格品，从中任取 2
件进行检验，求：
（ 1） 两件都是次品的概率；
（ 2） 一件是次品, 一件是正品的概率,
解 从 100件中任取两件, 共有 个不同的取法,
每种取法看成一个基本事件, 而且每一个结果发生的可能
性大小相等, 则基本事 件总数为 n=,
（ 1） 设 A={取出的两件产品都是次品 },则事件 A所包含
的基本事件个数为 m=,
2100C
23C
000 61.09950 3)!2!98/(!100 )!1!2/(!3)( 2
1 0 0
23 ?
???? CCAP
13198CC
2100C
210C
2100C
23C
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于是，由古典概率的计算公式有,
00061.09950 3)!2!98/(!100 )!1!2/(!3)( 2
100
2
3 ?
???? C
CAP
(2) 设 B= {取出的两件产品一件是次品，一件是正品 }，则
事件 B 所包含的基本事件个数为 m=13198CC
于是,由古典概率的计算公式
13198CC
588.0
)!3!98/(!100
397)(
2
100
1
3
1
98 ????
C
CC
AP
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例３, 有 100件商品，其中 97件是合格品．现有放回地一件一件
地取，共取 2件进行检验，
求,（ 1） 两件都是次品的概率；
（ 2） 一件是次品，一件是正品的概率,
解 （ 1）从 100件中一件一件有放回地取，第一次有 100种不同
的取法，第二次也有 100种不同的取法，根据乘法原理，基本事件总
数为 n=1002。
设 A={取出的两件产品都是次品的概率 }，若事件 A发生，则第
一次有 3种不同的取法，第二次也有 3种不同的取法，故事件 A所包含
的基本事件个数为 m=32, 0 0 0 9.0
1 0 0
3)(
2
2 ??AP
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而, 第一次取正品，第二次取次品, 共有 97× 3种不同的
取法，故事件 B所包含的基本事件个数为
m= 3× 97＋ 97× 3，
0 5 8 2.01 0 0 397973)( 2 ?????AP
于是，由古典概率的计算公式
0009.0
100
3)(
2
2
??AP
（ 2）设 B={取出的两件产品一件是次品，一件是正品 }，
事件 B发生是由, 第一次取次品，第二次取正品, 与, 第
一次取正品，第二次取次品, 组成，而, 第一次取次品，
第二次取正品, 共有 种不同的取法,973?
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于是，由古典概率的计算公式
0 5 8 2.01 0 0 397973)( 2 ?????AP 0 5 8 2.01 0 0
397973)(
2 ?
????AP
从以上几个例子的计算可知，求古典概
率常常用到排列组合数的计算公式．
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第三节
事件的运算及概率的
加法公式
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?引例
例 1 从一批含有正品，次品的产品中，任取两件．设有以下事件,
A1={两件中至少有一件是次品 }
A2={两件中恰有一件是次品 }
A3={两件全是次品 }
A4={两件全是正品 }
A5={两件中至多有一件次品 }
这些事件间存在着多种关系，
如,（ 1） A1发生，则 A4不会发生；
（ 2） A4发生，则 A1不会发生；
（ 3） A3与 A4不会同时发生；
（ 4）当且仅当 A2与 A3至少有一个发生时,A1发生；
（ 5）当且仅当 A2与 A4至少有一个发生时发生,A5发生,
§ 1.3事件的运算及概率的加法公式
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A 包含于 B —— BA ?记为
? 事件 A 发生必
导致事件 B 发生 A B
?
BA ??BA ? AB ?且
1,事件的 包含
2,事件的 相等
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BA?A B
?事件 A与事件 B 至
少有一个发生
nAAA,,,21 ?的和事件
—— ?n
i
i
n
k
k AA
11 ??
? 或
A +B发生
?
3,事件的 和 (并 )
A 与 B 的和事件
—— BA ? 或 BA ?
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BA ?—
BA? 发生
? 事件 A 发生，但
事件 B 不发生
?
BA?
BAA 与 B 的差事件
5,事件的 差
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?
—— A 与 B 互相对立
????? BAAB,若
每次试验 A,B中
有且只有一个发生
?
A
B
AB ?
称 B 为 A的对立事件 (或逆事件 )，
记为
7,事件的 对立
A?
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? 相互对立的两事件没有公共的基本
事件，但它们所有的基本事件构成的
集合恰好是一个必然事件．如下图的
阴影部分所示．
A
Ω
A
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— A 与 B互不相容??AB
A,B不可能同时
发生
?
?
A B
nAAA,,,21 ?两两互不相容
njijiAA ji,,2,1,,,??????
6,事件的 互不相容 (互斥 )
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注意：, A 与 B 互相对立”与
,A 与 B 互斥”是不同的概念
若事件 A与事件 B是相互对立的两
个事件，则它们一定互不相容；反之
不一定,
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8,完备 事件组
nAAA,,,21 ?若 两两互斥不相容，且
nAAA,,,21 ?则称 为 完备 事件组
nAAA ????? ?21
两两互不相容，且，,321 AAA
构成一个完备事件组。，,321 AAA
例如袋中有红，黄，绿色球各一个，从中任取
一个，设事件 A1={取到红球 },A2={取到
黄球 },A3={取到绿球 }．
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?显然，事件 两两互不相容，且，，
321 AAA
???? 321 AAA
事件 构成一个完备事件组。，，
321 AAA
nAAA,，,?21
nAAA,，,?21
如果
有且仅有一个事件发生．
构成一个完备事件组，,321 AAA
则在一次试验中，
nAAA,，,?21
nAAA,，,?21
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交换律 A+B=B+A AB=BA
结合律 A+（ B+C） =（ A+B） +C ；
A（ BC） =（ AB） C
分配律
（ 1） A（ B+C） =AB+AC （第一分配律）
（ 2） A+BC=（ A+B）（ A+C）（第二分配律）
运算律 事件
运算
对应 集合
运算
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?4、对偶律
BAAB,BABA ????
对于事件的运算，它与集合的运算
一样，不但满足第一分配律，同时还
满足第二分配律,
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加法公式
定理 1
若事件 A,B互不相容，则
称为 概率的 加法公式,
证明：
设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基
本事件总数为 n,其中事件 A包含的基本事件数为 m1，
事件 B包含的基本事件数为 m2，
）（）（）（ BPAPBAP ???
nm2
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由古典概率的定得,
? ?BPAPnmnmn mmBAP ??????? )()( 2121
nm1
nm2
nm1
P（ A） =, P（ B） =
n
m2
由于 A与 B互不相容，故事件 A+B包含的基本事件数为
m1+m2
21 mm?
,同样由古典概率的定义有
故概率的加法公式成立,
n
m1
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推论 1
若事件 两两互不相容，则
推论 2 事件 A的对立事件 的概率为
§ 1.3事件的运算及概率的加法公式
nAAA,，,?21
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ?? ??????)(1)( APAP ??
A
)(1)( APAP ??
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定理 2 设 A,B为任意两事件，则
证明,因为 A+B=, 并且 与 B互
不相容，于是
又由于
§ 1.3事件的运算及概率的加法公式
)()()()( ABPBPAPBAP ????
BBA ?
)()()( BPBAPBAP ???
互不相容，与且 ABBAABBAAA ????
BA
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因此对于三个随机变量，类似地有
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) -P(A1A2) -
P(A1A2) -P(A2A3)+P(A1A2A3)
我们可划出维恩图说明其意义．该结论又称为
,多除少补原理,,对于事件的个数，这一原理还
可推广到 n个的情形．
)()()( ABPBAPAP ??
)()()( ABPAPBAP ??
)()()()( ABPBPAPBAP ????
于是有
因此
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例, 一批产品共 50件，其中有 5件是次品，从这批产
品中任取 3件，求其中有次品的概率．
解法 1 设 A={取到的 3件产品中有次品 }； Ai={取到的 3
件产品中恰有 i件次品 }(i=1,2,3) 则，
由定理 1的推论 1得
321321 AAAAAAA ???两两互不相容，并且，，
)()()(( 321 APAPAPAP ???）
276.03
50
3
5
0
45
3
50
2
5
1
45
3
50
1
5
2
45 ????
C
CC
C
CC
C
CC
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276.01)(1( 3
50
3
45 ?????
C
CAPAP ）
解法 2 设 A={取到的 3件产品中有次品 }；
A
={取到的 3件产品中无次品 }，则根
据定理 1的推论 2得
A
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第四节
条件概率与乘法公式
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条件概率的概念
)( BAP
条件概率与乘法公式
在事件 B发生的条件下
事件 A发生的概率称为 条件概率 。
记为
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例 1 某仓库有一批产品 225件，它是由甲，乙两
厂共同生产的．其中甲厂生产的产品中有正品
100件，次品 20件，乙厂生产的产品中次品有 15
件，其余都是正品．现从这批产品中任取一件，
设 A=（取到的是正品）,B={取到的是乙厂生产
的产品 }．
?试求,
)/()(),(,( BAPABPBPAP 及）
)()(),(,( BAPABPBPAP 及）
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解 依题意,将产品的分配情况列表
正品 次品 合计
甲厂 100 20 120
乙厂 90 15 105
合计 190 35 225
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2,条件概率的性质
定义 4 如果 A,B是随机试验的两个随机
事件，且 P（ B） ﹥ 0的，则称在事件 B发生的
前提下事件 A发生的概率为 条件概率,
记作 P（ A︱ B）,这个条件概率定义为
P（ A︱ B） =
)(
)(
BP
ABP
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把事件 A发生的前提下事件 B发生的 条
件概率,记作 P（ B︱ A）．
P（ B︱ A） =
)(
)(
AP
ABP
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2.乘法公式
由条件概率的定义可得：
P（ AB） =P（ B） P（ A︱ B） （ 当 P（ B） ≠ 0时 )
或
P（ AB） =P（ A） P（ B︱ A） （ 当 P（ A） ≠ 0时）
此二公式称为概率的 乘法公式
注：当 P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用 P(A)
与 P(B∣ A)的乘积或 P(B)与 P(A|B)的乘积间接求得。
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2.乘法公式的推广 设 为任
意 n个事件,n ≥2 且,则
有
nAAA,，,?21
0)( 121 ??nAAAP ?
)AA/AP ( A)A/A) P ( A/A) P ( AP ( A 1n21n213121 ???
?? )AA(A n21
?? )AAP ( A n21
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乘法公式的推广
设 为任意 n个事件，当
n ≥2 且,则有
nAAA,，,?21
0)( 121 ??nAAAP ?
)AA/AP( A)A/A) P( AA) P( AP( A
)AAP( A
1n21n213121
n21
???
??
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例 一批产品的次品率为 4％，正品中一等品率为 75％，
现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。
解, 记 A＝ {取到一等品 },B＝ {取到次品 },＝ {取到正品 },
则
由于
故
于是
B04.0)( ?BP
96.0)( ?BP 75.0)( ?BAP
BA ?
BAA ?
72.075.096.0)()()()( ????? BAPBPBAPAP
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1.事件的独立性
1,两事件相互独立的概念
一般来说,P(A|B)与 P(A)未必相等，但有时也会恰好相
等,
例 袋中装有 3只黑球,2只白球．每次从中任取一个球，
取后放回．
设,A={第一次取出白球 },B={第二次取出白球 }，则
P（ AB） =
? ? 52P ?A ? ? 52P ?B
5
2
5
2
55
22 ??
?
?
25
4? ? ?BAP
5
2
5
3
55
23 ??
?
??
25
6?
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当 P(A|B)=P(A)时，说明事件 B是否发生并不影
响 事件 A的概率,则称 A对 B是独立的,又由乘法公式
知，
P(A)P(B|A)= P(B) P(A|B)=P(B)P(A).
故当 P(A)>0时,P(B|A)=P(B)
即 B对 A也是独立的,
从而称 A与 B是相互独立的,
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若 n个 (n≥ 2)事件
中的任何一个事件是否发生都不受到其它
m (m=1,2,…,n-1)个事件是否发生的影响，
则称 事件是 相互独立的,
nAAA ?,,21
nAAA ?,,21
事件 A与 B是否相互独立，一般根
据实际意义来判定,
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2,两个相互独立事件的性质
设事件 A与 B是相互独立，则
（ 1） P(AB)=P(A)P(B);
当 P(A)>0,P(B)>0时，这也是 A与 B是相互独 立
的充要条件,
（ 2） A与, 与 B,与 也相互独
立,
AB A B
A
nAAA ?,,21
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ABBBA ??
证明 （ 1）直接由定义可知，现在来证明（ 2）
由于
ABBBA ??
且
?
ABB ?
所以有
)()()](1)[()()()(
)()()()(
BPAPAPBPBPAPBP
ABPBPABBPBAP
?????
????
故 和Ｂ互相独立．A
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三事件 A,B,C 相互独立
是指下面的关系式同时成立：
注, 1) 关系式 (1) (2)不能互相推出
2)仅满足 (1)式时,称 A,B,C 两两独立
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
?
?
?
(1)
)()()()( CPBPAPABCP ?(2)
A,B,C 相互独立 A,B,C 两两独立
定义
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3,n个事件相互独立的概念
若 n个 (n≥2)事件 中的任何一个事件是否
发生都不受到其它 m(m=1,2,…,n -1)个事件是否发生的影响，
则称 事件 是 相互独立 的．
4,n个相互独立事件的性质
设 n个事件 Ai(i=1,2,…,n)相互独立，则
P(A1A2… An)=P(A1) P(A2)… P(An)
注,当 n个事件相互独立时,它们必是两两独立的
(即任取两个也是相互独立的 ),但反之不真,
nAAA ?,,21
nAAA ?,,21
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n重 Bernoulli试验中事件
A 出现 k 次的概率 记为 )(kPn
AA,
10,)( ??? ppAP且
独立试验序列
每次试验的结果与其他次试验无关 ——
称为这 n 次试验是相互独立的
试验可重复 n 次
每次试验只有两个可能的结果：
n重贝努利（ Bernoulli） 概型
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例如
▲ 连续抛骰子 10次，观察出现偶数点的次数；
▲某人打靶命中率为 0.7，连续打靶 15发子弹，观
察命中次数；
▲在次品率为 0.1的一批产品中，有放回地每次任
取 1件，重复 8次，观察其中的次品数,
以上几例都是多重贝努利试验,
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一般地, 若 10,)( ??? ppAP
则 nkppCkP knkknn,,2,1,0,)1()( ???? ?
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? 1.5.1全概公式
如果事件 构成一个完备事件组，
并且,则对于任一事件 B，
有
§ 1.5全概公式与逆概公式
nAAA,,,21 ?
,0)( ?iAP ? ?ni,,2,1 ??
)/()(
)/()()/()()()()(
1
2211
?
?
?
????
n
i
ii
nn
ABPAP
ABPAPABPAPBAPAPBP ?
称为全概公式
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第五节
全概公式与逆概公式
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nAAA,,,21 ?
? ?
? ?
???? n
i
n
i
ii BAABBB
1 1
nAAA,,,21 ?
nBABABA,,,21 ?
? ?
? ?
??
n
i
n
i
ii BAPBAPBP
1 1
)()()(
?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)/()()(
证明 由事件 为一个完备事件组，可得
又由 是两两互不相容，可得
也两两互不相容．于是根据加法
公式的推论 1得
再由乘法公式，即得
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例 三门火炮向同一目标射击，设三门火
炮击中目标的概率分别为 0.3,0.6，
0.8．若有一门火炮击中目标，目标被摧
毁的概率为 0.2；若两门火炮击中目标，
目标被摧毁的概率为 0.6；若三门火炮击
中目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求
目标被摧毁的概率．
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解 设事件 B={目标被摧毁 }
显然,A1,A2,A3构成一个完备事件
组，由全概公式可得：
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标第 ?? iiC i ?
?
?
3
1
)/()()(
i
ii ABPAPBP
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标第 ?? iiC i
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? ? ? ?321,，，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标第 ?? iiC i
? ? ? ? ? ? ? ?3213213211 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.04.07.02.06.07.02.04.03.0 ?????????
332.0?
? ? ? ? ? ? ? ?3213213212 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.06.07.08.04.03.02.06.03.0 ?????????
477.0?
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?
?
?
3
1
)/()()(
i
ii ABPAPBP
482.09.0144.06.0477.02.0332.0 ???????
依题意知
应用全概率公式,得
9.0/6.0/2.0)/( 321 ??? ）（，）（,ABPABPABP
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? 1.5.2逆概公式
下面要介绍的逆概公式是全概公式的逆问题：
若已知, 结果, B已经发生了,要求某一种, 原
因, Aj发生的概率．
设 构成一个完备事件组,则对于任一事件
B,且 有
此公式称为 逆概公式 （或 贝叶斯 (Bayes)公式 ）．
nAAA,,,21 ?
,0)( ?BP
),,2,1(,
)/()(
)/()(
)/(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
j ???
?
?
)/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ??
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证明 由条件概率的定义及乘法公式有
由此,可得
再将全概率公式 代入上式,
即得
)/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ??
)(
)/()()/(
BP
ABPAPBAP jj
j ?
),,2,1(,
)/()(
)/()(
)/(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
j ???
?
?
)/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ??
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例 设 8支枪中有 3支没有经过试射校正,5支经
过试射校正．一射手用校正过的枪射击时，中靶的
概率为 0.8，用未校正的枪射击时，中靶的概率为
0.3，今从 8支枪中任取一支进行射击，结果中靶．
求所用的这支枪是经过校正过的概率．
解 设 A1={枪经过试射校正 }
A2={枪没有经过试射校正 }，
则 A1,A2构成完备事件组．
由题意知 P（ A1） =5/8,P（ A2） =3/8，
,3.0)/(,8.0)/( 21 ?? ABPABP
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由全概公式可得,
?
?
?
2
1
)/()()(
i
ii ABPAPBP 3.08
38.0
8
5 ????
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又由逆概公式得
)(
)/()(
)/( 111
BP
ABPAP
BAP ?
82.0
6.0
5.0
3.0
5
3
8.0
8
5
8.0
8
5
??
???
?
?
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本章在介绍了随机事件及其运算,概率的统计定义的基础上，进一步讨论了
古典概率、条件概率、概率的加法公式与乘法公式、全概公式与逆概公式,
一, 主要概念
随机试验，随机事件，基本事件，随机事件的频率、概率，古典概率，事件间的
关系与运算，概率的加法公式，条件概率，乘法公式，事件的独立性，独立试验
序列，全概公式和逆概公式．
二、基本内容
1．随机事件
随机现象、必然现象、不可能现象．随机试验（简称试验）、基本事件、复合事
件、随机事件（简称事件）．
随机事件 通常用大写字母 A,B,C,D,… 表示．必然事件常用 Ω 表示．不可能事件
常用 φ 表示．
2．事件间的关系
包含、相等、和（并）、积（交）、差、逆、互不相容,
本章内容小结
概率与统计 咸宁职业技术学院咸宁职业技术学院
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3,事件的运算律
交换律 A+B =B+ A ； AB=BA
结合律 A+（ B+C
分配律 （ 1） A（ B+C） =AB+AC （ 第一分配律）；
（ 2） A+BC=（ A+B）（ A+C）（ 第二分配律）
对偶律
二、事件的概率
1、概率的统计定义
设在不变的条件下, 重复进 n次试验, n次试验中事件 A发生 m次, 则称 m为事件 A发
生的频数, 称 为 A事件发生的频率,记作,即,
在大量重复试验中，如果事件 A的频率 稳定地在某一数值 p的附近摆动，而
且一般来说随着试验次数 n的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称数值 p为随机
事件 A发生概率，记作,即
这就是说，频率的稳定值就是该随机事件的概率．这样定义的概率称为统计概
率．
本章内容小结
BAAB,BABA ????
nm )(Afn nmAfn ?)(
)(Afn
)(AP pAP ?)(
概率与统计 咸宁职业技术学院咸宁职业技术学院
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2,2,古典概率
具有下列两个特征的随机试验模型称为古典概型：
（ 1）所有结果的个数是有限的，即基本事件总数是有限的；
（ 2）各结果出现是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性相
等．
古典概型中事件的概率称为古典概率．在古典概型中，随机事件 A
的概率
3,概率的基本性质
对于任意事件 A有,,
本章内容小结
nmAAP ?? 试验的基本事件总数中包含的基本事件个数)(
1)(0 ?? AP 1)( ??P 0)( ??P
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2,三、概率的运算公式
1,1、加法公式
若事件 A,B互不相容，则
若两两互不相容，则
事件 A的对立事件的概率为
若 A,B为任意两事件，则
2,条件概率、乘法公式
条件概率 P（ A/B） = （ P（ A） >0）
或 P（ B/A） = （ P（ B） >0）
乘法公式 P（ AB） =P（ B） P（ A/B）
或 P（ AB） =P（ A） P（ B/A）
一般地，当
本章内容小结
）（）（）（ BPAPBAP ???
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3、全概公式和逆概公式
如果 两两互不相容，且,则称
构成一完备事件组．
全概公式 如果 事件构成一个完备事件组，并且
则对于任一事件 B,有
逆概公式 设 构成一个完备事件组,则对于任一事件 B,
且
有
本章内容小结
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四、事件的独立性与独立试验序列
1,事件的独立性
事件 A,B满足等式 P（ AB） =P（ A） P（ B）,则 称事件 A,B相互独立．
如果事件 A与 B相互独立，则 P（ B/A） =P（ B）,P（ A/B） =P（ A）．
如果 A,B相互独立，则 。
若 n个 (n≥2) 事件 中任一事件发生的概率都不受其它
m(m=1,2,…,n-1)个事件是否发生的影响，则称 是相互独立的．
若 相互独立，则
2,贝努利概型
只有两种可能结果的实验，称为贝努利实验．在贝努利实验中，记
，
重复进行 n次贝努利实验,如果每次实验中,事件 A发生的概率都等于 p,则称这
样的试验为 n重贝努利试验,简称贝努利概型．在 n重贝努利试验中，事件 A恰好发
生 k次 (不考虑哪 k次发生 )的概率为
本章内容小结
也相互独立与与与 BABABA,,
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《
概
率
与
统
计
》
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教材
《概率与统计》
主要教学参考书
龚友运等编
华中科技大学出版社
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概率统计是研究随机现象规律性的科学，随着现代科
学技术的发展，“概率论”在自然科学、社会科学和工农
业生产中得到了越来越广泛的应用．在现实世界中，随机
现象是广泛存在的，而“概率统计”正是一门从数量这一
侧面研究随机现象规律性的数学学科．它结构严谨,应用广
泛,发展迅速,是近代数学的重要组成部分之一，在国民经济、
工农业生产、物理学、生物学、医学、工程技术（如自动
控制、地震预报、气象预报、产品质量控制等）、军事技
术、现代经济理论、管理科学等众多领域中有着广泛的应
用，并且在不断地向其他学科渗透。它是一门有着自己独
特的概念与方法的数学分支。
前 言
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概率与统计发展简史
概率与统计是研究 大量随机现象数量规律 的一门重要的
应用数学学科，人们一般地认为概率是统计的基础，而统计
是概率的一种应用。
概率论起源于对随机游戏的研究，早在 16世纪，欧洲文艺
复兴时期的人文主义代表人物 —— 意大利学者卡当的著作,
赌博之书, 在 1663年就出版了，而推动概率论的发展的动力
则在于其在实践中的应用。
描述性统计学的起源在我国可以追溯到远古时期，主要研
究数据的收集和整理。公元前 2250年，大禹治水，根据山川
土质、人口和物质统筹开凿河道，殷周时期实行井田制，根
据户口和土地的统计资料按人分地；同时由于军事和征税的
需要，各朝代对于土地、人口、财产和年龄都有统计资料可
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查并绘有图 表。在西方始于公元前 3000多年，埃及建造金字
塔时为征集费用，对全国人口、财产进行全面统计，到了亚
里士多德时代，统计逐渐向理性演变，统计在卫生、保险、
贸易、军事和行政管理方面的应用都有详细的记载。其后的
发展出现了分析统计学，主要进行数据分析和推断。
概率论这门学科的形成和发展经历了三个多世纪，至今的
研究仍十分活跃。 1654年，法国的巴斯卡、费尔马开始创立
概率论； 1657年荷兰物理学家惠更斯发表了, 论赌博中的计
算, 的论文，提出了, 数学期望, 的概念；瑞士数学家贝努利
于 1713出版了概率论的第一本著作, 猜度术,,指出概率是
频率的稳定值，确定了大数定律，构成了概率论向更广泛的
应用领域的桥梁，把概率论的发展向前推进了一步，他认为
是概率论的奠基人； 1718年英国数学家棣美弗（ Demoivre)发
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表 著作, 机遇原理,,书中叙述了概率乘法公式和复合事件概
率的计算方法，并在 1733年发现了正态分布曲线的概率分布密
度函数； 1812年法国的拉普拉斯（ Laplace)出版的, 分析概率
论, 汇集了 17,18世纪概率论的研究成果，发现了中心极限定
理，是近代概率论的先驱； 1906年俄国科学家切比雪夫的学生
马尔可夫（ Makov)观察了许多自然现象，提出了数学模型，从
此，许多物理现象如布朗运动、原子核的连锁分裂等均可用马
尔可夫随机过程来描述，而当代概率的研究方向主要是各种随
机过程及其应用。
统计学的兴起与发展来自概率论的推动，以概率论为基础，
以统计推论为主要内容的现代数理统计学,20世纪才告成熟，
从此，人们相信统计学的方法可用于各种科学的各个部门，随
着计算机的使用，进一步推动着统计学不断地向着纵深发展，
人们还发现随机现象在微观世界中比在宏观世界中更为普遍。
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第一章
随机事件与概率
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第一节
随机事件及其概率
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?随机现象,
必然现象 在一定的条件下，必然会发生的现象,
例如
向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上
升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为必然现
象．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原
有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热等等
也都是必然现象。
§ 1.1随机事件及其概率
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不可能现象 在一定条件下,一定不会发生的现象,
例如
在标准大气压下纯水在 10。 C是结冰是不可能的，
所以就称为不可能现象。
同样，一物体在变力作用下作匀速直线运动也是不
可能现象。
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随机现象,
在给定条件下，可能发生，也可能不发生，
其结果是无法事先预测的现象
例如,
1.抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可
能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面
朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝
上．我们把这类现象称为 随机现象 （或 偶然现象 ）
2.自动机床加工制造一个零件，可能是合格
品，也可能是不合格品；
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3,现象 Ⅰ, 一个盒子中有 10个完全相同的白球,混
合后，任意摸一个,
现象 Ⅱ, 一个盒子中有 10个球,5个白球 5个黑球,
混合后,任意摸一个
对于现象 Ⅰ,在没有摸之前,我们就可以知道摸出
来的为白球 ;
而对于现象 Ⅱ 在没摸之前我们不能肯定摸到的为
什么球,但我们知道只要两种可能,并且摸的结果一定是
这两种可能之一,随着摸球次数的增大,发现摸到白球和
摸到黑球的机会是等可能的,
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统计规律性
?每次试验前不能预言出现什么结果
?每次试验后出现的结果不止一个
?在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为 统计规律性
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对某事物特征进行观察,统称 试验,
若它有如下特点,则称为 随机试验
?可在相同的条件下重复进行
? 试验结果不止一个,但能明确所有的结果
? 试验前不能确定出现哪种结果
随机试验
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我们把试验的结果中发生的现象称为 事件,在
试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件
称为 随机事件,简称为事件．通常用字母 A,B，
C,? 表示随机事件
随机事件
基本事件 —— 实验的不可能再分的结果,每次
试验必 定 发生且只可能发生一个基本事件,
复合事件 —— 由若干个基本事件组成的
事件
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特殊的随机事件：
必然事件 —— 在一定条件下必定发生的
事件,记为 ?
不可能事件 —— 在一定条件下 一定不发
生的事件,记为 ?,
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例子
? 抛骰子试验
在掷一颗骰子的试验中，观察出现的点数．
设 Ai表示“出现 i点”事件 (i=1,2,3,4,5,6)，记作 Ai={出现 i
点 },即 A1={出现 1点 }； A2={出现 2点 }； … ； A6={出现 6
点 }；
又设 B={出现 奇数点 }； C={出现偶数点 }.
显然 A1,A2,…, A6都是基本事件，
B,C都是复合事件．
A1,A2,…, A6, B,C均为随机事件．
只要 A1,A3,A5中的一个发生，事件 B就发生 ;
只要 A2,A4,A6中的一个发生，事件 C就发生．
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例 子
例子 随机试验 随机事件
例 1 抛一枚硬币，观察出现的结
果,
A1={正面朝上 },A2={反面朝上 }
例 2 从一批产品中任意取 10个样
品，观测其中的次品数,
B={取出的 10个样品中有 1至 3个
次品 }
例 3 记录某段时间内电话交换台
接到的呼唤次数,
C={在该段时间内电话交换台接
到的呼唤次数不超过 8次 }
例 4 测量某个零件的尺寸与规定
尺寸的偏差 x（ mm）,
D={测得零件的尺寸与规定尺寸
的偏差小于 0,1mm}
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频率
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，
n
mf
n ?
则称 为事件 A 发生的 频率
记作 fn(A),其中 m为频数
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试验 序号
n=5 n=50 n=500
nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)
1
2
3
45
6
7
8
910
2
3
1
51
2
4
2
33
0.4
0.6
0.2
1.00.2
0.4
0.8
0.4
0.60.6
22
25
21
2524
21
18
24
2731
0.44
0.50
0.42
0.500.48
0.42
0.36
0.48
0.540.62
251
249
256
253251
246
244
258
262247
0.502
0.498
0.512
0.5060.502
0.492
0.488
0.516
0.5240.494
做“抛掷硬币”的试验，我们将一枚硬币抛掷 5
次,50次,500次，各做 10遍，得到数据如表 1-1所示；
其中 A={朝上的一面是正面 },nA表示事件 A发生的频数,
表示 A发生的频率,
抛硬币试验,
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频率的性质
? 1)(0 ?? Af n
? 1)( ??nf
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实践证明：在大量重复试验中，随机事件的
频率具有稳定性．也就是说，在不同的试验序列中，
当试验次数 n充分大时，随机事件 A的频率 fn(A)常
在 某个确定的数字 附近摆动．
在抛硬币的试验中，“正面朝上”这一随机事
件 A的频率 fn(A)稳定在数字 0.5的附近．类似的例
子还可以举出很多,
§ 1.1随机事件及其概率
An )(Afnn
频率的稳定性
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试验者 n nA fn(A)
德 ·莫根
蒲 丰
K·皮尔逊
K·皮尔逊
2048
4040
12000
24000
1061
2048
6019
12012
0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，得到
的数据如下：
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概率的统计定义
在相同条件下重复进行的 n 次 试验中,如果事
件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某一数值 P的附近摆
动,且随 n的增大,摆动幅度越来越小,则称 P为随机
事件 A的 概率,记作 P(A)
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概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法,
当试验次数 n较大 时有,
事件发生
的 概 率 ?
事件发生
的 频 率
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即当试验次数 n充分大时,就常把事件 A的频
率作为事件 A的概率的,近似值,（或“估
值”）．
比如：合格率，废品率，出生率，升学率，
死亡率等等，都是频率．缺点：
?建立在经验基础上
?语言描述模糊，不准确
?需要大量的试验观测统计，
可操作性较差
优点, 直观
易懂
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1,0≤ P(A)≤1;
2,P(Ω)=1,P(φ )=0.
于是有下列 性质
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练习题
从装有 4个红球,1个白球的口袋中任取两球．
（ 1）列出该试验所有的基本事件；
（ 2）若设 A={两个都是红球 },B={恰有一个白球 }，
分别列出事件 A,B所包含的基本事件．
解,（ 1）把红球编号为①,②,③,④,把白球编号
为⑤，于是该实验所有的基本事件为：
｛①,② ｝｛①,③ ｝｛①,④ ｝｛①,⑤ ｝｛②,③ ｝
｛③,④ ｝｛③,⑤ ｝｛④,⑤ ｝｛②,⑤ ｝｛②,④ ｝
即基本事件总数为 10个
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（ 2） A=｛｛①,② ｝｛①,③ ｝｛①,④ ｝｛②,③ ｝
｛③,④ ｝｛②,④ ｝｝
B=｛｛①,⑤ ｝｛②,⑤ ｝｛③,⑤ ｝｛④,⑤ ｝｝
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第二节
古 典 概 型
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?例 1 某人从甲地到乙地可乘火车，汽车或
轮船，一天中，从甲地到乙地的火车有五
班，汽车有 3班，轮船有 2班．问此人从甲
地到乙地去共有多少种不同的方法？
一 排列与组合
1 乘法原理
两个基本原理
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解,
该人从甲地到乙地去的方式有三类：乘火车，
乘汽车，或乘轮船．
第一类方式有 5种不同的走法,
第二类方式有 3种不同的走法,
第三类方式有 2种不同的走法,
每一种走法都可以从甲地到乙地．所以，此人从
甲地到乙地去共有,5+3+2=10 种不同的走法．
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如果完成一件事有 n类方式，
第一类方式中有 m1种不同的方法
第二类方式中有 m2种不同的方法,…,
第 n类方式中有 mn种不同的方法．
并且每一种方法都能独立地完成这件事．
那么完成这件事共有,
种不同的方法, nmmmmN ????? 321
加法原理
两个基本原理
nmmmmN ????? 321 nmmN ???? ?32 ?
nmmmmN ????? ?321
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某人从学校回家必经过甲村．如果从学校到
甲村有 2条路可走，从甲村到他家有 3条路可
走．某人从学校回家共有几种不同的走法?
2 乘法原理
例 2:
解,某人从学校回家，必须分两个步骤成．
第一步 从学校到甲村，有 3 种走法
第二步 从甲村回家有 2种走法．
所以，某人回家共有：
632 ??
种不同的走法．2× 3=6
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? 如果完成一件事需分成 n个步骤，完成第一步有
m1种不同的方法，完成二步有 m2种不同的方
法,…,完成第 n步有 mn种不同的方法，在依次
完成这 n个步骤后，这件事才能完成，那么完成
这件事共有：
种不同的方法．
乘法原理
nmmmN ???? ?21
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排列
例 3, 由数字 1,2,3,4可以组成多少个没
有重复数字的三位数？
解 组成一个三位数可分三步完成．
第一步 确定百位上的数字，可以从 1,2,3,4中任选
一个，共有 4种不同的方法；
第二步 确定十位上的数字，由于不能重复，所以只能从
剩下的 3个数字中任选一个，共有 3种不同的方法；
第三步 确定个位上的数字，可从剩下的 2个数字中任选一
个，共有 2种不同的方法．
根据乘法原理，组成符合条件的三位数的方法共有
（种），即可以组成 24个不同的三位数．
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定义 3
n
np
m
np
从 n个不同的元素中，任取 m (m ≤n)个不同的元素按
照一定的顺序排成一排，叫做从 n个不同元素中取出 m个
不同元素的一个 排列,
当 m<n时，所得的排列叫做 选排列,
当 m=n时，所得的排列叫做 全排列,
从 n个不同元素中任取 m(m ≤n)个不同元素的所有排
列的个数，叫做从 n个不同元素中任取 m个不同元素的 排
列种数,记作,当 m=n时全排列种数为，也可以简
记为,
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根据乘法原理，得排列种数的计算公式为,
mnP
m
nP
= )1()2)(1( ???? mnnnn ?
利用阶乘符号，排列种数的计算公式为,
)!(
!
mn
n
P mn
?
?
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例 4 由数字 1,2,3,4可以组成多少个可以 重复
数字的三位数？
)(644444 3 个????
解 依题意，组成可以重复数字的三位数可以分三个步骤完成：
第一步 从 1,2,3,4中任选一个数字作为百位数共有
4 种不同的选法；
第二步 确定十位上的数字，由于可以重复，十位
数也有 4种不同的选法；
第三步 同理，个位上的数字仍有 4种不同的选法．
根据乘法原理，符合题意的三位数的个数是,
644444 3 ????
)(644444 3 个????
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一般地，从 n不同的元素中任选可以重
复的 m个元素的排列种数 N的计算公式为,
mnN ?
其中 n为可以重复选取的元素个数，
m为每一个元素最多可以重复的次数．
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组 合
例 5 有三张分别写有数字 1,2,3的卡片，每次
任取两张，把数字相加，可以得到多少个不同的
和数？
解 这个问题仅与卡片上数字的大小有关，与它们
的顺序无关．例如,12”与,21”是两个不同的两位
数，但,1+2”与,2+1”的和是相同的．因此，和的
个数只有两位数的个数的一半，即
2321P
种,23
2
1 p
这些和分别是 1+2=3,1+3=4,2+3=5
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定义 2
从 n个不同的元素中，任取 m (m≤n)个不同元素，不管顺
序，并成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个不同元素的一个
组合,
排列与组合的区别
相同之处 它们都“从 n个不同的元素中任取 m个不同元素”
不同之处 取出来的这 m个元素对于组合来说就不用考
虑顺序，而排列则要考虑其顺序．
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从 n个不同的元素中，每次取出 m(m≤n)个不同元
素的所有组合的个数，叫做从 n不同元素任取 m个不同
元素的 组合种数,记作,
mnC
从 n个不同的元素中任取 m个不同元素进行排列，它可
以分为两步来进行,
第一步 先将这 m个不同元素从 n个不同的元素中取出来
第二步 再将取出来的这 m个不同元素按照一定的顺序
排成一列,其种数为,
其种数为,
mnC
m
nC
m
mp
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根据乘法原理，从 n个不同元素中任取 m个不同元
素的排列种数为,另一方面，我们已知从 n个不
同元素中任取 m个不同元素的排列种数为,从而有
mnmn pC
mnP
mmnmn PCp ? m
m
m
n
m
n PCp ?
因此，从 n个不同元素中任取 m个不同元素的组合种
数计算公式为：
mnC
!)!( ! mmn nPPm
mn
??
mnC
)!(
!
mn
n
P
p
C
m
m
m
nm
n
?
??
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通过大量的重复试验，用频率来估计事件的
概率，虽然提供了近似计算事件概率的一般方法，
但繁琐又不经济，有时甚至是行不通的．而对于
一些特殊的随机试验，概率可用较简单的方法求
得，下面介绍最早出现的一类概率问题．
§ 1.2古典概率
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如果一个事件具有下列 特点,
? 试验的所有基本事件是有限的；
?各个试验的基本事件出现的可能性是相等的,
即每 一个基本事件发生的可能性相等．
则称此试验为 古典概型试验,简称 古典概型,
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若某试验结果一共由 n个基本事件组成，
并且这些事件发生的可能性相同，而事件 A由
其中的 m个基本事件组成，则事件 A发生的概
率是,
nmAAP ?? 试验的基本事件总数 中包含的基本事件个数)(
n
mAAP ??
试验的基本事件总数
中包含的基本事件个数)(
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古典概率的例子
例１, 盒中装有 3个白球,2个黑球，从中任
取一个，问：取到白球的概率是多少？
解 从盒中任取一个球, 由于是, 任取,,
故 5个球被取到的机会一样, 即每一个基本事件发
生的可能性相等, 则该试验的基本事件总数 n
=5．
设 A={取到的是白球 },则 A包含的基本事件个数 m
=3,于是由古典概率的计算公式, 有
5
3)( ??
n
mAP
5
3)( ??
n
mAp
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例２, 有 100件商品，其中 97件是合格品，从中任取 2
件进行检验，求：
（ 1） 两件都是次品的概率；
（ 2） 一件是次品, 一件是正品的概率,
解 从 100件中任取两件, 共有 个不同的取法,
每种取法看成一个基本事件, 而且每一个结果发生的可能
性大小相等, 则基本事 件总数为 n=,
（ 1） 设 A={取出的两件产品都是次品 },则事件 A所包含
的基本事件个数为 m=,
2100C
23C
000 61.09950 3)!2!98/(!100 )!1!2/(!3)( 2
1 0 0
23 ?
???? CCAP
13198CC
2100C
210C
2100C
23C
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于是，由古典概率的计算公式有,
00061.09950 3)!2!98/(!100 )!1!2/(!3)( 2
100
2
3 ?
???? C
CAP
(2) 设 B= {取出的两件产品一件是次品，一件是正品 }，则
事件 B 所包含的基本事件个数为 m=13198CC
于是,由古典概率的计算公式
13198CC
588.0
)!3!98/(!100
397)(
2
100
1
3
1
98 ????
C
CC
AP
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例３, 有 100件商品，其中 97件是合格品．现有放回地一件一件
地取，共取 2件进行检验，
求,（ 1） 两件都是次品的概率；
（ 2） 一件是次品，一件是正品的概率,
解 （ 1）从 100件中一件一件有放回地取，第一次有 100种不同
的取法，第二次也有 100种不同的取法，根据乘法原理，基本事件总
数为 n=1002。
设 A={取出的两件产品都是次品的概率 }，若事件 A发生，则第
一次有 3种不同的取法，第二次也有 3种不同的取法，故事件 A所包含
的基本事件个数为 m=32, 0 0 0 9.0
1 0 0
3)(
2
2 ??AP
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而, 第一次取正品，第二次取次品, 共有 97× 3种不同的
取法，故事件 B所包含的基本事件个数为
m= 3× 97＋ 97× 3，
0 5 8 2.01 0 0 397973)( 2 ?????AP
于是，由古典概率的计算公式
0009.0
100
3)(
2
2
??AP
（ 2）设 B={取出的两件产品一件是次品，一件是正品 }，
事件 B发生是由, 第一次取次品，第二次取正品, 与, 第
一次取正品，第二次取次品, 组成，而, 第一次取次品，
第二次取正品, 共有 种不同的取法,973?
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于是，由古典概率的计算公式
0 5 8 2.01 0 0 397973)( 2 ?????AP 0 5 8 2.01 0 0
397973)(
2 ?
????AP
从以上几个例子的计算可知，求古典概
率常常用到排列组合数的计算公式．
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第三节
事件的运算及概率的
加法公式
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?引例
例 1 从一批含有正品，次品的产品中，任取两件．设有以下事件,
A1={两件中至少有一件是次品 }
A2={两件中恰有一件是次品 }
A3={两件全是次品 }
A4={两件全是正品 }
A5={两件中至多有一件次品 }
这些事件间存在着多种关系，
如,（ 1） A1发生，则 A4不会发生；
（ 2） A4发生，则 A1不会发生；
（ 3） A3与 A4不会同时发生；
（ 4）当且仅当 A2与 A3至少有一个发生时,A1发生；
（ 5）当且仅当 A2与 A4至少有一个发生时发生,A5发生,
§ 1.3事件的运算及概率的加法公式
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A 包含于 B —— BA ?记为
? 事件 A 发生必
导致事件 B 发生 A B
?
BA ??BA ? AB ?且
1,事件的 包含
2,事件的 相等
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BA?A B
?事件 A与事件 B 至
少有一个发生
nAAA,,,21 ?的和事件
—— ?n
i
i
n
k
k AA
11 ??
? 或
A +B发生
?
3,事件的 和 (并 )
A 与 B 的和事件
—— BA ? 或 BA ?
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BA ?—
BA? 发生
? 事件 A 发生，但
事件 B 不发生
?
BA?
BAA 与 B 的差事件
5,事件的 差
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?
—— A 与 B 互相对立
????? BAAB,若
每次试验 A,B中
有且只有一个发生
?
A
B
AB ?
称 B 为 A的对立事件 (或逆事件 )，
记为
7,事件的 对立
A?
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? 相互对立的两事件没有公共的基本
事件，但它们所有的基本事件构成的
集合恰好是一个必然事件．如下图的
阴影部分所示．
A
Ω
A
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— A 与 B互不相容??AB
A,B不可能同时
发生
?
?
A B
nAAA,,,21 ?两两互不相容
njijiAA ji,,2,1,,,??????
6,事件的 互不相容 (互斥 )
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注意：, A 与 B 互相对立”与
,A 与 B 互斥”是不同的概念
若事件 A与事件 B是相互对立的两
个事件，则它们一定互不相容；反之
不一定,
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8,完备 事件组
nAAA,,,21 ?若 两两互斥不相容，且
nAAA,,,21 ?则称 为 完备 事件组
nAAA ????? ?21
两两互不相容，且，,321 AAA
构成一个完备事件组。，,321 AAA
例如袋中有红，黄，绿色球各一个，从中任取
一个，设事件 A1={取到红球 },A2={取到
黄球 },A3={取到绿球 }．
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?显然，事件 两两互不相容，且，，
321 AAA
???? 321 AAA
事件 构成一个完备事件组。，，
321 AAA
nAAA,，,?21
nAAA,，,?21
如果
有且仅有一个事件发生．
构成一个完备事件组，,321 AAA
则在一次试验中，
nAAA,，,?21
nAAA,，,?21
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交换律 A+B=B+A AB=BA
结合律 A+（ B+C） =（ A+B） +C ；
A（ BC） =（ AB） C
分配律
（ 1） A（ B+C） =AB+AC （第一分配律）
（ 2） A+BC=（ A+B）（ A+C）（第二分配律）
运算律 事件
运算
对应 集合
运算
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?4、对偶律
BAAB,BABA ????
对于事件的运算，它与集合的运算
一样，不但满足第一分配律，同时还
满足第二分配律,
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加法公式
定理 1
若事件 A,B互不相容，则
称为 概率的 加法公式,
证明：
设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基
本事件总数为 n,其中事件 A包含的基本事件数为 m1，
事件 B包含的基本事件数为 m2，
）（）（）（ BPAPBAP ???
nm2
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由古典概率的定得,
? ?BPAPnmnmn mmBAP ??????? )()( 2121
nm1
nm2
nm1
P（ A） =, P（ B） =
n
m2
由于 A与 B互不相容，故事件 A+B包含的基本事件数为
m1+m2
21 mm?
,同样由古典概率的定义有
故概率的加法公式成立,
n
m1
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推论 1
若事件 两两互不相容，则
推论 2 事件 A的对立事件 的概率为
§ 1.3事件的运算及概率的加法公式
nAAA,，,?21
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ?? ??????)(1)( APAP ??
A
)(1)( APAP ??
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定理 2 设 A,B为任意两事件，则
证明,因为 A+B=, 并且 与 B互
不相容，于是
又由于
§ 1.3事件的运算及概率的加法公式
)()()()( ABPBPAPBAP ????
BBA ?
)()()( BPBAPBAP ???
互不相容，与且 ABBAABBAAA ????
BA
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因此对于三个随机变量，类似地有
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) -P(A1A2) -
P(A1A2) -P(A2A3)+P(A1A2A3)
我们可划出维恩图说明其意义．该结论又称为
,多除少补原理,,对于事件的个数，这一原理还
可推广到 n个的情形．
)()()( ABPBAPAP ??
)()()( ABPAPBAP ??
)()()()( ABPBPAPBAP ????
于是有
因此
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例, 一批产品共 50件，其中有 5件是次品，从这批产
品中任取 3件，求其中有次品的概率．
解法 1 设 A={取到的 3件产品中有次品 }； Ai={取到的 3
件产品中恰有 i件次品 }(i=1,2,3) 则，
由定理 1的推论 1得
321321 AAAAAAA ???两两互不相容，并且，，
)()()(( 321 APAPAPAP ???）
276.03
50
3
5
0
45
3
50
2
5
1
45
3
50
1
5
2
45 ????
C
CC
C
CC
C
CC
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276.01)(1( 3
50
3
45 ?????
C
CAPAP ）
解法 2 设 A={取到的 3件产品中有次品 }；
A
={取到的 3件产品中无次品 }，则根
据定理 1的推论 2得
A
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第四节
条件概率与乘法公式
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条件概率的概念
)( BAP
条件概率与乘法公式
在事件 B发生的条件下
事件 A发生的概率称为 条件概率 。
记为
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例 1 某仓库有一批产品 225件，它是由甲，乙两
厂共同生产的．其中甲厂生产的产品中有正品
100件，次品 20件，乙厂生产的产品中次品有 15
件，其余都是正品．现从这批产品中任取一件，
设 A=（取到的是正品）,B={取到的是乙厂生产
的产品 }．
?试求,
)/()(),(,( BAPABPBPAP 及）
)()(),(,( BAPABPBPAP 及）
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解 依题意,将产品的分配情况列表
正品 次品 合计
甲厂 100 20 120
乙厂 90 15 105
合计 190 35 225
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2,条件概率的性质
定义 4 如果 A,B是随机试验的两个随机
事件，且 P（ B） ﹥ 0的，则称在事件 B发生的
前提下事件 A发生的概率为 条件概率,
记作 P（ A︱ B）,这个条件概率定义为
P（ A︱ B） =
)(
)(
BP
ABP
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把事件 A发生的前提下事件 B发生的 条
件概率,记作 P（ B︱ A）．
P（ B︱ A） =
)(
)(
AP
ABP
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2.乘法公式
由条件概率的定义可得：
P（ AB） =P（ B） P（ A︱ B） （ 当 P（ B） ≠ 0时 )
或
P（ AB） =P（ A） P（ B︱ A） （ 当 P（ A） ≠ 0时）
此二公式称为概率的 乘法公式
注：当 P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用 P(A)
与 P(B∣ A)的乘积或 P(B)与 P(A|B)的乘积间接求得。
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2.乘法公式的推广 设 为任
意 n个事件,n ≥2 且,则
有
nAAA,，,?21
0)( 121 ??nAAAP ?
)AA/AP ( A)A/A) P ( A/A) P ( AP ( A 1n21n213121 ???
?? )AA(A n21
?? )AAP ( A n21
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乘法公式的推广
设 为任意 n个事件，当
n ≥2 且,则有
nAAA,，,?21
0)( 121 ??nAAAP ?
)AA/AP( A)A/A) P( AA) P( AP( A
)AAP( A
1n21n213121
n21
???
??
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例 一批产品的次品率为 4％，正品中一等品率为 75％，
现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。
解, 记 A＝ {取到一等品 },B＝ {取到次品 },＝ {取到正品 },
则
由于
故
于是
B04.0)( ?BP
96.0)( ?BP 75.0)( ?BAP
BA ?
BAA ?
72.075.096.0)()()()( ????? BAPBPBAPAP
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1.事件的独立性
1,两事件相互独立的概念
一般来说,P(A|B)与 P(A)未必相等，但有时也会恰好相
等,
例 袋中装有 3只黑球,2只白球．每次从中任取一个球，
取后放回．
设,A={第一次取出白球 },B={第二次取出白球 }，则
P（ AB） =
? ? 52P ?A ? ? 52P ?B
5
2
5
2
55
22 ??
?
?
25
4? ? ?BAP
5
2
5
3
55
23 ??
?
??
25
6?
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当 P(A|B)=P(A)时，说明事件 B是否发生并不影
响 事件 A的概率,则称 A对 B是独立的,又由乘法公式
知，
P(A)P(B|A)= P(B) P(A|B)=P(B)P(A).
故当 P(A)>0时,P(B|A)=P(B)
即 B对 A也是独立的,
从而称 A与 B是相互独立的,
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若 n个 (n≥ 2)事件
中的任何一个事件是否发生都不受到其它
m (m=1,2,…,n-1)个事件是否发生的影响，
则称 事件是 相互独立的,
nAAA ?,,21
nAAA ?,,21
事件 A与 B是否相互独立，一般根
据实际意义来判定,
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2,两个相互独立事件的性质
设事件 A与 B是相互独立，则
（ 1） P(AB)=P(A)P(B);
当 P(A)>0,P(B)>0时，这也是 A与 B是相互独 立
的充要条件,
（ 2） A与, 与 B,与 也相互独
立,
AB A B
A
nAAA ?,,21
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ABBBA ??
证明 （ 1）直接由定义可知，现在来证明（ 2）
由于
ABBBA ??
且
?
ABB ?
所以有
)()()](1)[()()()(
)()()()(
BPAPAPBPBPAPBP
ABPBPABBPBAP
?????
????
故 和Ｂ互相独立．A
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三事件 A,B,C 相互独立
是指下面的关系式同时成立：
注, 1) 关系式 (1) (2)不能互相推出
2)仅满足 (1)式时,称 A,B,C 两两独立
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
?
?
?
(1)
)()()()( CPBPAPABCP ?(2)
A,B,C 相互独立 A,B,C 两两独立
定义
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3,n个事件相互独立的概念
若 n个 (n≥2)事件 中的任何一个事件是否
发生都不受到其它 m(m=1,2,…,n -1)个事件是否发生的影响，
则称 事件 是 相互独立 的．
4,n个相互独立事件的性质
设 n个事件 Ai(i=1,2,…,n)相互独立，则
P(A1A2… An)=P(A1) P(A2)… P(An)
注,当 n个事件相互独立时,它们必是两两独立的
(即任取两个也是相互独立的 ),但反之不真,
nAAA ?,,21
nAAA ?,,21
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n重 Bernoulli试验中事件
A 出现 k 次的概率 记为 )(kPn
AA,
10,)( ??? ppAP且
独立试验序列
每次试验的结果与其他次试验无关 ——
称为这 n 次试验是相互独立的
试验可重复 n 次
每次试验只有两个可能的结果：
n重贝努利（ Bernoulli） 概型
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例如
▲ 连续抛骰子 10次，观察出现偶数点的次数；
▲某人打靶命中率为 0.7，连续打靶 15发子弹，观
察命中次数；
▲在次品率为 0.1的一批产品中，有放回地每次任
取 1件，重复 8次，观察其中的次品数,
以上几例都是多重贝努利试验,
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一般地, 若 10,)( ??? ppAP
则 nkppCkP knkknn,,2,1,0,)1()( ???? ?
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? 1.5.1全概公式
如果事件 构成一个完备事件组，
并且,则对于任一事件 B，
有
§ 1.5全概公式与逆概公式
nAAA,,,21 ?
,0)( ?iAP ? ?ni,,2,1 ??
)/()(
)/()()/()()()()(
1
2211
?
?
?
????
n
i
ii
nn
ABPAP
ABPAPABPAPBAPAPBP ?
称为全概公式
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第五节
全概公式与逆概公式
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nAAA,,,21 ?
? ?
? ?
???? n
i
n
i
ii BAABBB
1 1
nAAA,,,21 ?
nBABABA,,,21 ?
? ?
? ?
??
n
i
n
i
ii BAPBAPBP
1 1
)()()(
?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)/()()(
证明 由事件 为一个完备事件组，可得
又由 是两两互不相容，可得
也两两互不相容．于是根据加法
公式的推论 1得
再由乘法公式，即得
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例 三门火炮向同一目标射击，设三门火
炮击中目标的概率分别为 0.3,0.6，
0.8．若有一门火炮击中目标，目标被摧
毁的概率为 0.2；若两门火炮击中目标，
目标被摧毁的概率为 0.6；若三门火炮击
中目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求
目标被摧毁的概率．
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解 设事件 B={目标被摧毁 }
显然,A1,A2,A3构成一个完备事件
组，由全概公式可得：
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标第 ?? iiC i ?
?
?
3
1
)/()()(
i
ii ABPAPBP
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标第 ?? iiC i
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? ? ? ?321,，，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，，门火炮击中目标第 ?? iiC i
? ? ? ? ? ? ? ?3213213211 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.04.07.02.06.07.02.04.03.0 ?????????
332.0?
? ? ? ? ? ? ? ?3213213212 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.06.07.08.04.03.02.06.03.0 ?????????
477.0?
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?
?
?
3
1
)/()()(
i
ii ABPAPBP
482.09.0144.06.0477.02.0332.0 ???????
依题意知
应用全概率公式,得
9.0/6.0/2.0)/( 321 ??? ）（，）（,ABPABPABP
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? 1.5.2逆概公式
下面要介绍的逆概公式是全概公式的逆问题：
若已知, 结果, B已经发生了,要求某一种, 原
因, Aj发生的概率．
设 构成一个完备事件组,则对于任一事件
B,且 有
此公式称为 逆概公式 （或 贝叶斯 (Bayes)公式 ）．
nAAA,,,21 ?
,0)( ?BP
),,2,1(,
)/()(
)/()(
)/(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
j ???
?
?
)/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ??
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证明 由条件概率的定义及乘法公式有
由此,可得
再将全概率公式 代入上式,
即得
)/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ??
)(
)/()()/(
BP
ABPAPBAP jj
j ?
),,2,1(,
)/()(
)/()(
)/(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
j ???
?
?
)/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ??
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例 设 8支枪中有 3支没有经过试射校正,5支经
过试射校正．一射手用校正过的枪射击时，中靶的
概率为 0.8，用未校正的枪射击时，中靶的概率为
0.3，今从 8支枪中任取一支进行射击，结果中靶．
求所用的这支枪是经过校正过的概率．
解 设 A1={枪经过试射校正 }
A2={枪没有经过试射校正 }，
则 A1,A2构成完备事件组．
由题意知 P（ A1） =5/8,P（ A2） =3/8，
,3.0)/(,8.0)/( 21 ?? ABPABP
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龚友运 等 主编
由全概公式可得,
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又由逆概公式得
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本章在介绍了随机事件及其运算,概率的统计定义的基础上，进一步讨论了
古典概率、条件概率、概率的加法公式与乘法公式、全概公式与逆概公式,
一, 主要概念
随机试验，随机事件，基本事件，随机事件的频率、概率，古典概率，事件间的
关系与运算，概率的加法公式，条件概率，乘法公式，事件的独立性，独立试验
序列，全概公式和逆概公式．
二、基本内容
1．随机事件
随机现象、必然现象、不可能现象．随机试验（简称试验）、基本事件、复合事
件、随机事件（简称事件）．
随机事件 通常用大写字母 A,B,C,D,… 表示．必然事件常用 Ω 表示．不可能事件
常用 φ 表示．
2．事件间的关系
包含、相等、和（并）、积（交）、差、逆、互不相容,
本章内容小结
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3,事件的运算律
交换律 A+B =B+ A ； AB=BA
结合律 A+（ B+C
分配律 （ 1） A（ B+C） =AB+AC （ 第一分配律）；
（ 2） A+BC=（ A+B）（ A+C）（ 第二分配律）
对偶律
二、事件的概率
1、概率的统计定义
设在不变的条件下, 重复进 n次试验, n次试验中事件 A发生 m次, 则称 m为事件 A发
生的频数, 称 为 A事件发生的频率,记作,即,
在大量重复试验中，如果事件 A的频率 稳定地在某一数值 p的附近摆动，而
且一般来说随着试验次数 n的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称数值 p为随机
事件 A发生概率，记作,即
这就是说，频率的稳定值就是该随机事件的概率．这样定义的概率称为统计概
率．
本章内容小结
BAAB,BABA ????
nm )(Afn nmAfn ?)(
)(Afn
)(AP pAP ?)(
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2,2,古典概率
具有下列两个特征的随机试验模型称为古典概型：
（ 1）所有结果的个数是有限的，即基本事件总数是有限的；
（ 2）各结果出现是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性相
等．
古典概型中事件的概率称为古典概率．在古典概型中，随机事件 A
的概率
3,概率的基本性质
对于任意事件 A有,,
本章内容小结
nmAAP ?? 试验的基本事件总数中包含的基本事件个数)(
1)(0 ?? AP 1)( ??P 0)( ??P
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2,三、概率的运算公式
1,1、加法公式
若事件 A,B互不相容，则
若两两互不相容，则
事件 A的对立事件的概率为
若 A,B为任意两事件，则
2,条件概率、乘法公式
条件概率 P（ A/B） = （ P（ A） >0）
或 P（ B/A） = （ P（ B） >0）
乘法公式 P（ AB） =P（ B） P（ A/B）
或 P（ AB） =P（ A） P（ B/A）
一般地，当
本章内容小结
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3、全概公式和逆概公式
如果 两两互不相容，且,则称
构成一完备事件组．
全概公式 如果 事件构成一个完备事件组，并且
则对于任一事件 B,有
逆概公式 设 构成一个完备事件组,则对于任一事件 B,
且
有
本章内容小结
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四、事件的独立性与独立试验序列
1,事件的独立性
事件 A,B满足等式 P（ AB） =P（ A） P（ B）,则 称事件 A,B相互独立．
如果事件 A与 B相互独立，则 P（ B/A） =P（ B）,P（ A/B） =P（ A）．
如果 A,B相互独立，则 。
若 n个 (n≥2) 事件 中任一事件发生的概率都不受其它
m(m=1,2,…,n-1)个事件是否发生的影响，则称 是相互独立的．
若 相互独立，则
2,贝努利概型
只有两种可能结果的实验，称为贝努利实验．在贝努利实验中，记
，
重复进行 n次贝努利实验,如果每次实验中,事件 A发生的概率都等于 p,则称这
样的试验为 n重贝努利试验,简称贝努利概型．在 n重贝努利试验中，事件 A恰好发
生 k次 (不考虑哪 k次发生 )的概率为
本章内容小结
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