*习题5-5 1、（火柴盒问题）波兰数学家巴拿赫（Banach）随身带着两盒火柴，分别放在左右两个衣袋里，每盒有n根火柴.每次用时，便随机地从其中一盒中取出一根.试求他发现其中一盒已空，而另一盒中剩下的火柴根数的分布律. 2、（田忌赛马新问题）田忌赛马的故事众所周知：“齐王与田忌各有上、中、下三个等级的马，同等级的马中，田忌的马不如齐王的马.若田忌的马比齐王的马高一等级，则田忌的马能取胜. 若三比二胜，田忌能取胜吗？”若将此赛规则更换为：“第一局比赛胜者可从负者处赢三千金；第二局比赛胜者可以负者处赢二千金；第三局比赛胜者可以负者处赢得一千金.”其余条件不变，那么田忌还能赢得这场比赛吗？ 3、（决策问题）某厂有一种新产品，有可供选择的三种推销策略S1、S2、S3，但各方案所需的资金，时间都不同，由于市场的不同情况（N1：需求量大，N2需求量一般，N3：需要求小）于是获利和亏损情况也不同.市场效益值见下表（不知其概率）：  N A 市 场 情 况   N1 N2 N3  销 售 策 略 S1 50 10 -5   S2 30 25 0   S3 10 10 10  请你：（1）用乐观法进行决策； （2）用悲观法进行决策； （3）用等可能法进行决策. 注：三种决策方法的概念参看有关资料. 4、（客车停站问题）一辆送客汽车载有20位乘客从起点站出发，途中有10个车站可以下车，若到达一个车站无下车乘客则不停车.设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数. 5、（供电问题）某车间有200台车床互相独立地工作. 在生产期间，每台车床有60%的时间在开动（因检修、测量、调换刀具、变换位置等诸多原因需临时停车）. 每台机床开动时需要耗电1kw，那么至少应给这个车间供应多少电力才能保证在8小时生产中只有不超过半分钟因电力不足而影响生产？ 6、（传染病随机感染的动态模型问题）将例5中传染病随机感染问题从静态模型发展为动态模型. 即仍用原来的假设，记第k天的病人和健康者的人数分别为ik和sk，求ik和sk的平均值. 7、（放射物质的原子核蜕变问题）在一定数量的放射性物质中有n个原子，其原子核是不稳定的，且按照随机规律蜕变. 蜕变后产生的新原子又是不稳定的，可能进行一系列的蜕变，其表征是每次蜕变发射一个粒子或粒子.试讨论其规律，给出随机解释. *8、煤矸石堆积问题（CUMCM1999年C题） 煤矿采矿时，会产出无用废料——煤矸石. 在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石. 通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度为β=25°的直线形上升轨道（角度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如图5-14所示的一座矸石山来. 现给出下列数据： 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后,其坡面与地面所形成夹角）α≤55°； 矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3； 运矸车所需电费为0.5元/度（不变）； 运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约30%，坡道每延长10米，效率在原有的基础上约下降2%； 土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅约10%； 银行存、贷款利率均为5%； 煤矿设计原煤产量为300万吨/年； 煤矿设计寿命为20年； 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%—10%. 另外，为保护耕地，煤矿堆积土地应比实际占地多征用10%. 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为100万元/年，这笔钱是否够用？试制定合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用. 注：这是全国大学生数学建模竞赛大专组的第一次赛题之一. 虽然题目本身并不属于随机数学模型的范围，但较切合大专院校学生的实际水准（所需求的基础知识和方法并不多）. 将此题作为训练的素材之一，不仅可对数学建模有进一步的了解，更希望有兴趣者参与到数学建模的科普活动行列，以提高用数学方法解决实际问题的能力.