第二章 钢筋混凝土梁柱截面的弯矩 -曲率关系同济大学土木工程学院建筑工程系顾祥林一、概述
H h
位移计
As?
N
P
b
外加荷载柱的竖向荷载 数据采集系统带定向滑轮的千斤顶台座试验柱
h
荷载分配梁
As?
L
P
数据采集系统外加荷载
L/3 L/3 As
b
试验梁应变计位移计
I
II
III
O
M
适筋超筋平衡最小配筋率二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
1,基本假定平截面假定 ----平均应变意义上
L
P
L/3 L/3
as
As
ct
b
h
As’ as’
y
dy
cb
s
s’?
c
nh0
(1-?n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系截面的相容关系
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N?
ici Z
)
2
(
) '
2
( '
ss
ss
a
h
a
h
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系截面的物理方程（对物理方程的处理）
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N
)0()( )0()(
cicicci
cicicci
)(
) (
sss
sss
对钢筋混凝土柱，
有时也可能会出现
s < 0
)( sss
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系截面的平衡方程
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N?
X A A A Nci i s s s s
i
n
0 0
1
,' '
0)2()2(,0
1
＝?
n
i
ssssssiici
haAahAZAMM
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系拉区混凝土开裂后的处理
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N?
ci >?t0 该条带混凝土开裂?ci >?tu
该条带混凝土退出工作
ci = 0
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系拉区混凝土开裂后的处理即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等
P P
平均应变分布曲率二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系拉区混凝土开裂后的处理 --Considère(1899)试验
0 0.001 0.002 0.003 0.004
200
100
50
150
N(kN)
平均应变混凝土,fc=30.8MPa;ft=1.97MPa;
Ec=25.1?103MPa.
钢筋,fy=376MPa;fsu=681MPa;
Es=205?103MPa;As=284mm2.
混凝土中的钢筋裸钢筋 152
N
N
915
152
“拉伸硬化,现象三、截面尺寸和配筋构造
1,梁净距?25mm
钢筋直径 d
c c
c
b
h
c?25mm
d
h0=h-35
b
h
h0=h-60
净距?30mm
钢筋直径 d
净距?30mm
钢筋直径 d
)(0.4~5.2
)(5.3~2
形截面矩形截面
Tb
h )40~14(20~10 mmmmd 桥梁中?
三、截面尺寸和配筋构造
1,板
hh0
c?15mm
d
分布 钢筋
mmd 12~8?
200 hh
板厚的模数为 10mm
四、受弯构件的试验研究
1,试验装置
h
荷载分配梁
A?s
L
P
数据采集系统外加荷载
L/3 L/3 A
sb
试验梁 应变计位移计
0bh
As
s
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果适筋破坏四、受弯构件的试验研究
2,试验结果超筋破坏四、受弯构件的试验研究
2,试验结果超筋破坏四、受弯构件的试验研究
2,试验结果平衡破坏（界限破坏，界限配筋率）
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果最小配筋率四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
I
II
III
O
M
适筋
MI
c
sAs
t<ft
Mcr
c
sAs
t=ft(?ct =?tu)
MII
c
sAs
s<?y
My
fyAs
c
s=?
y?s>?y
fyAs
MIII
c
(?c’<?u)
(Mu)
超筋少筋平衡最小配筋率四、受弯构件的试验研究
2,试验结果结论
适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计时应予避免
在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同时，混凝土压碎
界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏的定量指标五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定平截面假定 ----平均应变意义上
L
P
L/3 L/3
as
As
ct
b
h
As’ as’
y
dy
cb
s
s’?
c
nh0
(1-?n)h0
000 )1('
'
hahyh n
s
sn
sc
n
t
c
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定混凝土受压时的应力 -应变关系
u?0o
c
fc
c
n
ccc f
0
11
22),50(6012 nnfn cu 时，取当
002.0002.0
10505.0002.0
00
50
时，取
cuf 0 0 33.00 0 33.0 10500 0 33.0
5
uu
cuu f
时，取
ccc
cc
E
f
时，可取当应力较小时，如 3.0
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定混凝土受拉时的应力 -应变关系
t
t
o?t0
ft
t=Ec?t
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定钢筋的应力 -应变关系
s
s
s=Es?s
y?su
fy
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
cb
ct
s
As
b
hh0 M
c
sAs
xn
采用线形的物理关系
c
cc E
s
ss E
c
tt E
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
（?E-1） As
ts tEt
c
s
sss E
EE
tsEss AAT
将钢筋等效成混凝土用材料力学的方法求解
cb
ct
s
b
hh0 M
c
sAs
xn
As
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析当?cb =?tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作 （约束受拉）
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb=?tu
s
c
t0 为了计算方便用矩形应力分布代替原来的应力分布
cr
s
cr
t
c
cr
tu
xhxxh 0
xn=xc
r
M
ct
sAs
C
T
c
ft
sss
cc
t
c
E
E
t
t
o?t0
ft
2?t0
tuct Ef?5.0?
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
0X
ss
crtuccr
t
c
A
xhEbx
)(5.05.0
tus
c
sE EE 近似认为设,
21
2
1 h
bh
A
bh
A
x
sE
sE
cr?
7~6
%,2~5.0/
E
s bhA
对一般钢筋混凝土梁
hx cr 5.0?
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb=?tu
s
c
t0
xn=xc
r
M
ct
sAs
C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
0M
)
3
(2
)
3
2
2
)((
0
cr
stE
crcr
crtcr
x
hAf
xxh
xhbfM
bhAhh sEA 2,92.00 令设
2)5.21(292.0 bhfM tAcr
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb=?tu
s
c
t0
xn=xc
r
M
ct
sAs
C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
ct
cb
s
c
y
xn
M
ct
sAs
C
yc
M较小时,?c可以认为是按线性分布，忽略拉区混凝土的作用
0
0
h
y
h
y
EE
n
t
c
n
t
ccccc
0X
s
t
c
n
n
E
s
t
c
n
n
ssssssn
t
c
A
A
h
h
EAEAhb
1
)1(
5.0
0
0
0
0222 EnEn
b
hh0A
s
xn=?n
h0
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
M较大时,?c按曲线性分布，需要进行积分计算（略）
0M )311()311(5.0 020 nssnntc hAhbM
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb
s
c
y
xn
M
ct
sAs
C
yc
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
0 0 3 3.0,0 0 2.0,2
50
0
0
cuc
cuc
t
c
n
M p af
时，。当
ct?ct=?c0
sAs（ fyAs）
M
C
yc?c
0
xn=?nh
0
应用积分
)
3
1
1
12
1
2
1
1(
)
3
1
1(
0
2
0
0
0
00
t
c
c
t
c
c
nc
t
c
c
nc
hy
hbC
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb
s
c
y
xn
M
ct
sAs
C
yc
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
ct?ct=?c0
sAs（ fyAs）
M
C
yc?c
0
xn=?nh
0
yscutc f,0 0 3 3.0
对适筋梁，达极限状态时，
0M )329.0798.0( )412.01(2
00
0
nnc
nsy
bh
hAfM
0X
0
253.1
c
y
sn
f
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
ct?ct=?c0
sAs（ fyAs）
M
C
yc?c
0
xn=?nh
0
0 0 3 3.0 cutc
对超筋梁，达极限状态时，
0000 8.0)00 33.0
00 2.0
3
11( hbhbC
ncnc
s
n
n
ss
t
c
n
n
ssssss AEAh
hEAEAT
10033.0)1(
0
0
TC? )( nn f
解一元二次方程
n? cy uM
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
sAs
Mu
c0=?1fc
C
ycxn=?nh
0
Mu
xn=?nh0
b
hh0A
s
cu
s?sAs
C
xn=?nh
0
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn
引入参数?1,?1进行简化原则,C的大小和作用点位置不变六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
sAs
Mu
c0=?1fc
C
ycxn=?nh
0
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn由 C的大小不变
)
3
1
1(
1
)
3
1
1(
0
1
1
0111
0
01
cu
c
nc
cu
c
nc bhfhbfC
由 C的位置不变
cu
c
cu
c
cu
c
n
cu
c
cu
c
nc hhy
0
2
00
101
0
2
0
0
3
1
1
6
1
3
2
1
,5.0)
3
1
1
12
1
2
1
1(
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
sAs
Mu
c0=?1fc
C
ycxn=?nh
0
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn)3
11(1 0
1
1
cu
c
cu
c
cu
c
cu
c
0
2
00
1
3
1
1
6
1
3
2
1
0033.0,002.0
50
0
cuc
cu M p af
时，当?
8 2 4.0
9 6 9.0
1
1
M p af
M p af
cu
cu
50,7.0
50,8.0
0.1
1
1
线性插值（,混凝土结构设计规范,GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn定义：
0h
x
对试验梁，已知 b,h0,As,fc,fy,Es，
在试验中测得?s及 Mu，于是：
0M )21(0 hAEM sssu
0
12 hAE M
sss
u
0X bhfAEbh csssc 011001
bhf
AE
bhf
bh
c
sss
c
c
0101
001
1
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn
bhf
AE
bhf
bh
c
sss
c
c
0101
001
1
由大量试验结果，
根据统计分析
M p af
M p af
cu
cu
8094.0
500.1
1?
中间线性插值六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度界限受压区相对高度界限受压区高度
nb
nbx
ycu
cunb
nb h
x
0
cu
y
xn
b
h0
平衡破坏适筋破坏超筋破坏压区相对高度矩形应力图形的界限受压区高度矩形应力图形的界限受
b
bx
cus
y
cu
yycu
cubb
b
E
fh
x
h
x
11
111
0
1
0
六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度时：M p af cu 50?
cu
y
xn
b
h0
平衡破坏适筋破坏超筋破坏
s
y
b
E
f
0 0 3 3.0
1
8.0
nbnb 即 适筋梁
nbnb 即 平衡配筋梁
nbnb 即 超筋梁六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
)
2
()
2
( 001
1
x
hA
x
hbxfM
Abxf
sscu
ssc
基本公式
Mu
1fc
x/2
C
sAs
x
h0
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
)
2
()
2
( 001
1
x
hAf
x
hbxfM
Afbxf
sycu
syc
适筋梁
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
c
y
s
c
sy
f
f
bhf
Af
h
x
1010?
0
2
0
2
01
2
01
)5.01(
)5.01(
hfAbhf
bhfbhfM
sysys
cscu
截面抵抗矩系数截面内力臂系数将?,?s,?s
制成表格，
知道其中一个可查得另外两个六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算适筋梁的最大配筋率 （平衡配筋梁的配筋率）
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
y
c
bsbs f
f1
m a x
)5.01(m a x bb
保证不发生超筋破坏
2
01m a x
2
01m a x )5.01( bhfbhfM csbbcu
m a x
m a x
uu
ss
b
MM?
或或
,混凝土结构设计规范,
GB50010中各种钢筋所对应的?b、
smax、列于教材表 4-1中六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算适筋梁的最小配筋率 x
n
xn/3
fyAs
Mu
C
h0钢筋混凝土梁的 Mu=素混凝土梁的受弯承载力 Mcr
00 9.0)3( hAf
xhAfM
sy
n
syu
,混凝土结构设计规范,GB50010中取,Asmin=?sminbh
配筋较少压区混凝土为线性分布
20202 322.005.1292.0292.0 bhfhbfbhfM tttcr
y
ts
s f
f
bh
A 36.0
0
m i n
偏于安全地
y
t
s f
f45.0
m i n
具体应用时，应根据不同情况，进行调整六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算超筋梁的极限承载力
h0
cu
s
xnb=x/?1
si
h0i
关键在于求出钢筋的应力任意位置处钢筋的应变和应力
)1()1(
0
10100
h
h
x
h
x
xh i
cu
i
cucu
yn
ni
si?
)1(
0
10
h
hE i
cussi?
只有一排钢筋
)1( 1 cuss E
)18.0(0 0 3 3.0 ss E
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
sAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
超筋梁的极限承载力
1
8.0
0 0 3 3.0
)
2
()
2
(
001
1
ss
sscu
syc
E
x
hA
x
hbxfM
Afbxf
8.0
8.0
b
ys f?
解方程可求出 Mu
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用已有构件的承载力 （已知 b,h0,fy,As，求 Mu）
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
bhAbhA sss,
0
sminssb素混凝土梁的受弯承载力 Mcr
适筋梁的受弯承载力 Mcr
超筋梁的受弯承载力 Mcr
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用截面的设计 （已知 b,h0,fy,M，求 As ）
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
)
2
()
2
( 001
1
xhAfxhbxfMM
Afbxf
sycu
syc
先求 x再求 A
s
sminssb
OK！
加大截面尺寸重新进行设计
bhAbhA sss,
0
bhA s m in
七、双筋矩形截面受弯构件
1,应用情况截面的弯矩较大，高度不能无限制地增加
b
h0 h
截面承受变化的弯矩对箍筋有一定要求防止纵向凸出七、双筋矩形截面受弯构件
2,试验研究不会发生少筋破坏
b
h0 h
和单筋矩形截面受弯构件类似分三个工作阶段七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析弹性阶段
As
cb
ct
s
b
hh0 M
c
sAs
xn
As’
（?E-1） As
（?E-1） As’
用材料力学的方法按换算截面进行求解七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析弹性阶段 ----开裂弯矩 (考虑?s’As’的作用 )
xcr
b
hh0A
s
As’?
ct
cb=?tu
s
c
t0
s’
)'
3
1
(''
)5.21(292.0 2
scrss
tAcr
axA
bhfM
c
t
cr
scr
tu
cr
scr
s
E
f
xh
ax
xh
ax
'
2
'
'
2)'25.05.21(292.0 bhfM tAAcr
)'(2' bhA sEA
Mcr
xn=xc
r
ct
sAs
C
T
c
s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析带裂缝工作阶段
xn
b
hh0A
s
As’?
ct
cb
s
c
t0
s’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
荷载较小时，混凝土的应力可简化为直线型分布荷载增大时，混凝土的应力由为直线型分布转化为曲线型分布和单筋矩形截面梁类似七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析破坏阶段（标志?ct=?cu）
压区混凝土的压力 C
C的作用位置 yc
和单筋矩形截面梁的受压区相同
xn
b
hh0A
s
As’?
ct
cb
s
c
t0
s’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析破坏阶段（标志?ct=?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平截面假定有：
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1'(0 0 3 3.0'
n
s
ss x
aE?
以 Es=2?105Mpa,as’=0.5xn/0.8代入上式，则有,?s’=-
396Mpa
结论,
当 xn?2?0.8 as’时,HPB235,HRB335,HRB400及 RRB400钢均能受压屈服七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析破坏阶段（标志?ct=?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平衡条件则有：
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1()329.0798.0(
)412.0()412.01(
)'(253.1
0
'
0
''2
00
0
'
0
''
0
00
h
a
hAfbh
h
a
hAfhAfM
ff
s
synnc
s
nsynsyu
c
y
s
c
y
sn
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
Mu
1fc
sAs（ fyAs）
C
ycxn=?nh
0
fy’As’
x?1,?1,?1的计算方法和单筋矩形截面梁相同
)('')
2
( '001
''
1
ssycu
sysyc
ahAf
x
hbxfM
AfAfbxf
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
fyAs
1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’
fyAs1
As1 Mu1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21 sss AAA
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
fyAs1
As1 Mu1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
承载力公式的适用条件
1,保证不发生少筋破坏,?s>?smin (可自动满足 )
2,保证不发生超筋破坏,
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
bs
s
s
b
或或七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法承载力公式的适用条件
3,保证受压钢筋,x>2as’，当该条件不满足时，应按下式求承载力
)1(
)('')
2
(
0
'
1'
'
001
''
1
h
a
E
ahA
x
hbxfM
AfAfbxf
s
cuss
ssscu
sysyc
或近似取 x=2as’则，
)1(
0
'
0 h
ahAfM s
syu
Mu
fyAs
1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用已有构件的承载力
fyAs1
As1 Mu1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21''2,/ sssyyss AAAffAA
)( '0''' ssyu ahAfM
求 x
2as’?xbh0
适筋梁的受弯承载力 Mu1
超筋梁的受弯承载力 Mu1)1( 0'0 hahAfM ssyu
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用截面设计 I----As’未知
fyAs1
As1 M1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
0hx b
)5.0(,/ 01111 xhfAMfbxfA ysycs
'2''021 /,)/(',' yyssyss ffAAfahMAMMM
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用截面设计 I----As’已知
fyAs1
As1 M1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
)(',/ '02''2 sysyyss ahfAMffAA
xMMM 求,'1
2as’?xbh0
按适筋梁求 As1
按 As’未知重新求 As’和 As按最小配筋率求 As1
八,T形截面受弯构件
1,翼缘的计算宽度
1fc
bf’
见教材表 4-2
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法中和轴位于翼缘
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
As
bf’
b
hf’
hh0
as
两类 T形截面判别
)
2
(
,
'
0
''
1
''
1
f
ffc
ffcsy
h
hhbfM
hbfAf
或 I类否则
II类中和轴位于腹板八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
I类 T形截面
T形截面开裂弯矩同截面为腹板的矩形截面的开裂弯矩几乎相同
x
fyAs
Mu
1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
)
2
()
2
( 00'1
1
x
hAf
x
hxbfM
Afbxf
syfcu
syc
按 bf’× h的矩形截面计算
b
m ins
s
s bh
A
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
x
fyAs
Mu h0
1fc
As h0
bf’
b
hf’
as
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
21 sss AAA
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
)
2
()(
)
2
(
)(
'
0
''
1
01
'
1
''
11
f
ffc
cfu
syffcc
h
hhbbf
x
hbxfMMM
Afhbbfbxf
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
要验算一般可自动满足，但需,m i nss
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
bs
s
s
b
或或八,T形截面受弯构件
3,正截面承载力简化公式的应用已有构件的承载力
''1 ffcsy hbfAf
x
fyAs
Mu
1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
按 bf’× h的矩形截面计算构件的承载力
I类 T形截面八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
已有构件的承载力
''1 ffcsy hbfAf
II类 T形截面
)2()(
'
0
''
1
' f
ffcf
hhhbbfM
按 b× h的单筋矩形截面计算 Mu1
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法截面设计
x
fyAs
M
1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM
按 bf’× h单筋矩形截面进行设计
I类 T形截面八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
II类 T形截面与 As’已知的 b× h双筋矩形截面进行设计截面设计
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用深受弯构件
5/0?hl
短梁深梁（连续梁），简支
5/)5.2(0.2
5.2/)(0.2/
0
00
hl
hlhl
P P
h
l0
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用转换层 片筏基础梁仓筒侧壁
b
h
箍筋水平分布筋拉结筋纵向受力筋九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态平截面假定不再适用 梁的弯曲理论不适用受力机理 拱机理破坏形态 弯曲破坏和剪切破坏 (不是此处讨论的内容 )
P P P P
正截面弯曲破坏 斜截面剪切破坏九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态
s<?sbm时 弯曲破坏
P P
P P
以多排受拉钢筋屈服弯矩
My作为其极限承载力 Mu
原因：纵筋很少
s>?sbm时 剪切破坏 (此处略 )
s=?sbm时 弯剪界限破坏九、深受弯构件的弯曲性能
3,深梁的弯剪界限配筋率 P P
计算剪跨比：集中荷载,?=a/h
均布荷载,?=a/h（ a =l0/4）
由统计回归得出,
y
c
s b m f
f 19.0?简支梁约束梁连续梁
y
c
s b m f
f
48.11
19.0
支座弯矩与跨中最大弯矩的比值的最大值九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力 P P
深梁发生弯曲破坏时，截面下部 h/3范围内的多排钢筋均屈服。由统计回归得出,
0)33.0( hbhfAfM yhhsyy
c
y
y
yh
hs f
f
f
f
h
l )5.0)(1.01(1 0
折算内力臂水平分布筋的配筋率
v
sh
h bs
A
水平分布筋的竖向间距
sv范围内水平分布筋的全部截面积九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力 P P
“钢筋混凝土深梁设计规程”（ CECS39,92）
简化公式
zAfM syu?
)65.0()5.5(1.0 000 lzhlhlz 时，
深梁的内力臂，取受拉钢筋合力作用点和混凝土受压合力作用点间的距离简支梁和连续梁的跨中截面连续梁的支座截面 )6.0()5(1.0 000 lzhlhlz 时，
计算跨度
)15.1,(0 nc llM inl?
九、深受弯构件的弯曲性能
5,短梁的受弯承载力 P P
和一般梁比较接近，平截面假定适用
)33.09.0(0 hAfM syy
破坏类型：少筋、适筋、超筋适筋梁的受弯承载力九、深受弯构件的弯曲性能
6,混凝土结构设计规范（ GB50010-2002）公式
P P
深梁、短梁和一般梁相衔接
)5.0( 0
1
xhAfM
Afbxf
dsyu
syc
深受弯构件的内力臂修正系数
h
l
d
004.08.0
截面有效高度
距离作用点至受拉区边缘的受拉纵向钢筋合力时，
支座跨中时，
s
s
s
s a
h
l
ha
ha
h
l
ahh 2
2.0
1.0
2
0
0
0
十、受弯构件延性的基本概念延性 Mu
My
y
M
O?u
反映截面、构件、结构钢筋屈服以后的变形能力以截面为例：用延性系数表示截面的延性
y
u
十、受弯构件延性的基本概念
21 ss AA?
y
cu
u1
u2
As1
As2
cu
y
As1
As2
y1
y2
21 uu 21 yy
2
22
1
11
y
u
y
u
结构的延性取决于构件的延性取决于截面的延性取决于配筋量
H h
位移计
As?
N
P
b
外加荷载柱的竖向荷载 数据采集系统带定向滑轮的千斤顶台座试验柱
h
荷载分配梁
As?
L
P
数据采集系统外加荷载
L/3 L/3 As
b
试验梁应变计位移计
I
II
III
O
M
适筋超筋平衡最小配筋率二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
1,基本假定平截面假定 ----平均应变意义上
L
P
L/3 L/3
as
As
ct
b
h
As’ as’
y
dy
cb
s
s’?
c
nh0
(1-?n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系截面的相容关系
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N?
ici Z
)
2
(
) '
2
( '
ss
ss
a
h
a
h
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系截面的物理方程（对物理方程的处理）
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N
)0()( )0()(
cicicci
cicicci
)(
) (
sss
sss
对钢筋混凝土柱，
有时也可能会出现
s < 0
)( sss
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系截面的平衡方程
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N?
X A A A Nci i s s s s
i
n
0 0
1
,' '
0)2()2(,0
1
＝?
n
i
ssssssiici
haAahAZAMM
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系拉区混凝土开裂后的处理
as
h/2-
as?
h h/2-
as
Zi
as?
As?
sAs?
s
As
1
i
n
c1?
s?
ci? M
s?As?
ci
截面中心线
b
N?
ci >?t0 该条带混凝土开裂?ci >?tu
该条带混凝土退出工作
ci = 0
二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系拉区混凝土开裂后的处理即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等
P P
平均应变分布曲率二、骨架曲线的弯矩 -曲率关系
2,短期荷载下的弯矩 -曲率关系拉区混凝土开裂后的处理 --Considère(1899)试验
0 0.001 0.002 0.003 0.004
200
100
50
150
N(kN)
平均应变混凝土,fc=30.8MPa;ft=1.97MPa;
Ec=25.1?103MPa.
钢筋,fy=376MPa;fsu=681MPa;
Es=205?103MPa;As=284mm2.
混凝土中的钢筋裸钢筋 152
N
N
915
152
“拉伸硬化,现象三、截面尺寸和配筋构造
1,梁净距?25mm
钢筋直径 d
c c
c
b
h
c?25mm
d
h0=h-35
b
h
h0=h-60
净距?30mm
钢筋直径 d
净距?30mm
钢筋直径 d
)(0.4~5.2
)(5.3~2
形截面矩形截面
Tb
h )40~14(20~10 mmmmd 桥梁中?
三、截面尺寸和配筋构造
1,板
hh0
c?15mm
d
分布 钢筋
mmd 12~8?
200 hh
板厚的模数为 10mm
四、受弯构件的试验研究
1,试验装置
h
荷载分配梁
A?s
L
P
数据采集系统外加荷载
L/3 L/3 A
sb
试验梁 应变计位移计
0bh
As
s
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果适筋破坏四、受弯构件的试验研究
2,试验结果超筋破坏四、受弯构件的试验研究
2,试验结果超筋破坏四、受弯构件的试验研究
2,试验结果平衡破坏（界限破坏，界限配筋率）
四、受弯构件的试验研究
2,试验结果最小配筋率四、受弯构件的试验研究
2,试验结果
L
P
L/3 L/3
I
II
III
O
M
适筋
MI
c
sAs
t<ft
Mcr
c
sAs
t=ft(?ct =?tu)
MII
c
sAs
s<?y
My
fyAs
c
s=?
y?s>?y
fyAs
MIII
c
(?c’<?u)
(Mu)
超筋少筋平衡最小配筋率四、受弯构件的试验研究
2,试验结果结论
适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计时应予避免
在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同时，混凝土压碎
界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏的定量指标五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定平截面假定 ----平均应变意义上
L
P
L/3 L/3
as
As
ct
b
h
As’ as’
y
dy
cb
s
s’?
c
nh0
(1-?n)h0
000 )1('
'
hahyh n
s
sn
sc
n
t
c
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定混凝土受压时的应力 -应变关系
u?0o
c
fc
c
n
ccc f
0
11
22),50(6012 nnfn cu 时，取当
002.0002.0
10505.0002.0
00
50
时，取
cuf 0 0 33.00 0 33.0 10500 0 33.0
5
uu
cuu f
时，取
ccc
cc
E
f
时，可取当应力较小时，如 3.0
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定混凝土受拉时的应力 -应变关系
t
t
o?t0
ft
t=Ec?t
五、受弯构件正截面受力分析
1,基本假定钢筋的应力 -应变关系
s
s
s=Es?s
y?su
fy
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
cb
ct
s
As
b
hh0 M
c
sAs
xn
采用线形的物理关系
c
cc E
s
ss E
c
tt E
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
（?E-1） As
ts tEt
c
s
sss E
EE
tsEss AAT
将钢筋等效成混凝土用材料力学的方法求解
cb
ct
s
b
hh0 M
c
sAs
xn
As
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析当?cb =?tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作 （约束受拉）
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb=?tu
s
c
t0 为了计算方便用矩形应力分布代替原来的应力分布
cr
s
cr
t
c
cr
tu
xhxxh 0
xn=xc
r
M
ct
sAs
C
T
c
ft
sss
cc
t
c
E
E
t
t
o?t0
ft
2?t0
tuct Ef?5.0?
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
0X
ss
crtuccr
t
c
A
xhEbx
)(5.05.0
tus
c
sE EE 近似认为设,
21
2
1 h
bh
A
bh
A
x
sE
sE
cr?
7~6
%,2~5.0/
E
s bhA
对一般钢筋混凝土梁
hx cr 5.0?
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb=?tu
s
c
t0
xn=xc
r
M
ct
sAs
C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
2,弹性阶段的受力分析
0M
)
3
(2
)
3
2
2
)((
0
cr
stE
crcr
crtcr
x
hAf
xxh
xhbfM
bhAhh sEA 2,92.00 令设
2)5.21(292.0 bhfM tAcr
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb=?tu
s
c
t0
xn=xc
r
M
ct
sAs
C
T
c
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
ct
cb
s
c
y
xn
M
ct
sAs
C
yc
M较小时,?c可以认为是按线性分布，忽略拉区混凝土的作用
0
0
h
y
h
y
EE
n
t
c
n
t
ccccc
0X
s
t
c
n
n
E
s
t
c
n
n
ssssssn
t
c
A
A
h
h
EAEAhb
1
)1(
5.0
0
0
0
0222 EnEn
b
hh0A
s
xn=?n
h0
五、受弯构件正截面受力分析
3,开裂阶段的受力分析
M较大时,?c按曲线性分布，需要进行积分计算（略）
0M )311()311(5.0 020 nssnntc hAhbM
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb
s
c
y
xn
M
ct
sAs
C
yc
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
0 0 3 3.0,0 0 2.0,2
50
0
0
cuc
cuc
t
c
n
M p af
时，。当
ct?ct=?c0
sAs（ fyAs）
M
C
yc?c
0
xn=?nh
0
应用积分
)
3
1
1
12
1
2
1
1(
)
3
1
1(
0
2
0
0
0
00
t
c
c
t
c
c
nc
t
c
c
nc
hy
hbC
b
hh0A
s
xn=?n
h0
ct
cb
s
c
y
xn
M
ct
sAs
C
yc
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
ct?ct=?c0
sAs（ fyAs）
M
C
yc?c
0
xn=?nh
0
yscutc f,0 0 3 3.0
对适筋梁，达极限状态时，
0M )329.0798.0( )412.01(2
00
0
nnc
nsy
bh
hAfM
0X
0
253.1
c
y
sn
f
五、受弯构件正截面受力分析
4,破坏阶段的受力分析
ct?ct=?c0
sAs（ fyAs）
M
C
yc?c
0
xn=?nh
0
0 0 3 3.0 cutc
对超筋梁，达极限状态时，
0000 8.0)00 33.0
00 2.0
3
11( hbhbC
ncnc
s
n
n
ss
t
c
n
n
ssssss AEAh
hEAEAT
10033.0)1(
0
0
TC? )( nn f
解一元二次方程
n? cy uM
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
sAs
Mu
c0=?1fc
C
ycxn=?nh
0
Mu
xn=?nh0
b
hh0A
s
cu
s?sAs
C
xn=?nh
0
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn
引入参数?1,?1进行简化原则,C的大小和作用点位置不变六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
sAs
Mu
c0=?1fc
C
ycxn=?nh
0
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn由 C的大小不变
)
3
1
1(
1
)
3
1
1(
0
1
1
0111
0
01
cu
c
nc
cu
c
nc bhfhbfC
由 C的位置不变
cu
c
cu
c
cu
c
n
cu
c
cu
c
nc hhy
0
2
00
101
0
2
0
0
3
1
1
6
1
3
2
1
,5.0)
3
1
1
12
1
2
1
1(
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
sAs
Mu
c0=?1fc
C
ycxn=?nh
0
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn)3
11(1 0
1
1
cu
c
cu
c
cu
c
cu
c
0
2
00
1
3
1
1
6
1
3
2
1
0033.0,002.0
50
0
cuc
cu M p af
时，当?
8 2 4.0
9 6 9.0
1
1
M p af
M p af
cu
cu
50,7.0
50,8.0
0.1
1
1
线性插值（,混凝土结构设计规范,GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn定义：
0h
x
对试验梁，已知 b,h0,As,fc,fy,Es，
在试验中测得?s及 Mu，于是：
0M )21(0 hAEM sssu
0
12 hAE M
sss
u
0X bhfAEbh csssc 011001
bhf
AE
bhf
bh
c
sss
c
c
0101
001
1
六、受弯构件正截面简化分析
1,压区混凝土等效矩形应力图形 （极限状态下）
1?c0
Mu
C
ycxn=?nh
0
sAs
x=?1xn
bhf
AE
bhf
bh
c
sss
c
c
0101
001
1
由大量试验结果，
根据统计分析
M p af
M p af
cu
cu
8094.0
500.1
1?
中间线性插值六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度界限受压区相对高度界限受压区高度
nb
nbx
ycu
cunb
nb h
x
0
cu
y
xn
b
h0
平衡破坏适筋破坏超筋破坏压区相对高度矩形应力图形的界限受压区高度矩形应力图形的界限受
b
bx
cus
y
cu
yycu
cubb
b
E
fh
x
h
x
11
111
0
1
0
六、受弯构件正截面简化分析
2,界限受压区高度时：M p af cu 50?
cu
y
xn
b
h0
平衡破坏适筋破坏超筋破坏
s
y
b
E
f
0 0 3 3.0
1
8.0
nbnb 即 适筋梁
nbnb 即 平衡配筋梁
nbnb 即 超筋梁六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
)
2
()
2
( 001
1
x
hA
x
hbxfM
Abxf
sscu
ssc
基本公式
Mu
1fc
x/2
C
sAs
x
h0
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
)
2
()
2
( 001
1
x
hAf
x
hbxfM
Afbxf
sycu
syc
适筋梁
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
c
y
s
c
sy
f
f
bhf
Af
h
x
1010?
0
2
0
2
01
2
01
)5.01(
)5.01(
hfAbhf
bhfbhfM
sysys
cscu
截面抵抗矩系数截面内力臂系数将?,?s,?s
制成表格，
知道其中一个可查得另外两个六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算适筋梁的最大配筋率 （平衡配筋梁的配筋率）
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
y
c
bsbs f
f1
m a x
)5.01(m a x bb
保证不发生超筋破坏
2
01m a x
2
01m a x )5.01( bhfbhfM csbbcu
m a x
m a x
uu
ss
b
MM?
或或
,混凝土结构设计规范,
GB50010中各种钢筋所对应的?b、
smax、列于教材表 4-1中六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算适筋梁的最小配筋率 x
n
xn/3
fyAs
Mu
C
h0钢筋混凝土梁的 Mu=素混凝土梁的受弯承载力 Mcr
00 9.0)3( hAf
xhAfM
sy
n
syu
,混凝土结构设计规范,GB50010中取,Asmin=?sminbh
配筋较少压区混凝土为线性分布
20202 322.005.1292.0292.0 bhfhbfbhfM tttcr
y
ts
s f
f
bh
A 36.0
0
m i n
偏于安全地
y
t
s f
f45.0
m i n
具体应用时，应根据不同情况，进行调整六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算超筋梁的极限承载力
h0
cu
s
xnb=x/?1
si
h0i
关键在于求出钢筋的应力任意位置处钢筋的应变和应力
)1()1(
0
10100
h
h
x
h
x
xh i
cu
i
cucu
yn
ni
si?
)1(
0
10
h
hE i
cussi?
只有一排钢筋
)1( 1 cuss E
)18.0(0 0 3 3.0 ss E
六、受弯构件正截面简化分析
3,极限受弯承载力的计算
sAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
超筋梁的极限承载力
1
8.0
0 0 3 3.0
)
2
()
2
(
001
1
ss
sscu
syc
E
x
hA
x
hbxfM
Afbxf
8.0
8.0
b
ys f?
解方程可求出 Mu
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用已有构件的承载力 （已知 b,h0,fy,As，求 Mu）
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
bhAbhA sss,
0
sminssb素混凝土梁的受弯承载力 Mcr
适筋梁的受弯承载力 Mcr
超筋梁的受弯承载力 Mcr
六、受弯构件正截面简化分析
4,承载力公式的应用截面的设计 （已知 b,h0,fy,M，求 As ）
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
)
2
()
2
( 001
1
xhAfxhbxfMM
Afbxf
sycu
syc
先求 x再求 A
s
sminssb
OK！
加大截面尺寸重新进行设计
bhAbhA sss,
0
bhA s m in
七、双筋矩形截面受弯构件
1,应用情况截面的弯矩较大，高度不能无限制地增加
b
h0 h
截面承受变化的弯矩对箍筋有一定要求防止纵向凸出七、双筋矩形截面受弯构件
2,试验研究不会发生少筋破坏
b
h0 h
和单筋矩形截面受弯构件类似分三个工作阶段七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析弹性阶段
As
cb
ct
s
b
hh0 M
c
sAs
xn
As’
（?E-1） As
（?E-1） As’
用材料力学的方法按换算截面进行求解七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析弹性阶段 ----开裂弯矩 (考虑?s’As’的作用 )
xcr
b
hh0A
s
As’?
ct
cb=?tu
s
c
t0
s’
)'
3
1
(''
)5.21(292.0 2
scrss
tAcr
axA
bhfM
c
t
cr
scr
tu
cr
scr
s
E
f
xh
ax
xh
ax
'
2
'
'
2)'25.05.21(292.0 bhfM tAAcr
)'(2' bhA sEA
Mcr
xn=xc
r
ct
sAs
C
T
c
s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析带裂缝工作阶段
xn
b
hh0A
s
As’?
ct
cb
s
c
t0
s’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
荷载较小时，混凝土的应力可简化为直线型分布荷载增大时，混凝土的应力由为直线型分布转化为曲线型分布和单筋矩形截面梁类似七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析破坏阶段（标志?ct=?cu）
压区混凝土的压力 C
C的作用位置 yc
和单筋矩形截面梁的受压区相同
xn
b
hh0A
s
As’?
ct
cb
s
c
t0
s’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
M
xn
ct
sAs
C
s’As’
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
s’As’
七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析破坏阶段（标志?ct=?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平截面假定有：
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1'(0 0 3 3.0'
n
s
ss x
aE?
以 Es=2?105Mpa,as’=0.5xn/0.8代入上式，则有,?s’=-
396Mpa
结论,
当 xn?2?0.8 as’时,HPB235,HRB335,HRB400及 RRB400钢均能受压屈服七、双筋矩形截面受弯构件
3,正截面受力性能分析破坏阶段（标志?ct=?cu）
当 fcu?50Mpa时，根据平衡条件则有：
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
)1()329.0798.0(
)412.0()412.01(
)'(253.1
0
'
0
''2
00
0
'
0
''
0
00
h
a
hAfbh
h
a
hAfhAfM
ff
s
synnc
s
nsynsyu
c
y
s
c
y
sn
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
ct=?cu?ct=?c0
sAs（ fyAs）
C
yc?c
0
xn=?nh
0
fy’As’
Mu
1fc
sAs（ fyAs）
C
ycxn=?nh
0
fy’As’
x?1,?1,?1的计算方法和单筋矩形截面梁相同
)('')
2
( '001
''
1
ssycu
sysyc
ahAf
x
hbxfM
AfAfbxf
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
Mu
fyAs
1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’
fyAs1
As1 Mu1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21 sss AAA
七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法
fyAs1
As1 Mu1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
承载力公式的适用条件
1,保证不发生少筋破坏,?s>?smin (可自动满足 )
2,保证不发生超筋破坏,
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
bs
s
s
b
或或七、双筋矩形截面受弯构件
4,正截面受弯承载力的简化计算方法承载力公式的适用条件
3,保证受压钢筋,x>2as’，当该条件不满足时，应按下式求承载力
)1(
)('')
2
(
0
'
1'
'
001
''
1
h
a
E
ahA
x
hbxfM
AfAfbxf
s
cuss
ssscu
sysyc
或近似取 x=2as’则，
)1(
0
'
0 h
ahAfM s
syu
Mu
fyAs
1fc
C
fy’As’
x
b
hh0
As
As’
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用已有构件的承载力
fyAs1
As1 Mu1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
Mu’
fy’As’
b
As’
21''2,/ sssyyss AAAffAA
)( '0''' ssyu ahAfM
求 x
2as’?xbh0
适筋梁的受弯承载力 Mu1
超筋梁的受弯承载力 Mu1)1( 0'0 hahAfM ssyu
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用截面设计 I----As’未知
fyAs1
As1 M1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
0hx b
)5.0(,/ 01111 xhfAMfbxfA ysycs
'2''021 /,)/(',' yyssyss ffAAfahMAMMM
七、双筋矩形截面受弯构件
5,承载力公式的应用截面设计 I----As’已知
fyAs1
As1 M1
1fc
Cx
b
hh0
fyAs2
As2
M’
fy’As’
b
As’
)(',/ '02''2 sysyyss ahfAMffAA
xMMM 求,'1
2as’?xbh0
按适筋梁求 As1
按 As’未知重新求 As’和 As按最小配筋率求 As1
八,T形截面受弯构件
1,翼缘的计算宽度
1fc
bf’
见教材表 4-2
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法中和轴位于翼缘
fyAs
Mu
1fc
x/2
C x
h0
As
bf’
b
hf’
hh0
as
两类 T形截面判别
)
2
(
,
'
0
''
1
''
1
f
ffc
ffcsy
h
hhbfM
hbfAf
或 I类否则
II类中和轴位于腹板八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
I类 T形截面
T形截面开裂弯矩同截面为腹板的矩形截面的开裂弯矩几乎相同
x
fyAs
Mu
1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
)
2
()
2
( 00'1
1
x
hAf
x
hxbfM
Afbxf
syfcu
syc
按 bf’× h的矩形截面计算
b
m ins
s
s bh
A
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
x
fyAs
Mu h0
1fc
As h0
bf’
b
hf’
as
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
21 sss AAA
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
)
2
()(
)
2
(
)(
'
0
''
1
01
'
1
''
11
f
ffc
cfu
syffcc
h
hhbbf
x
hbxfMMM
Afhbbfbxf
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
II类 T形截面 ----和双筋矩形截面类似
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
要验算一般可自动满足，但需,m i nss
2
01m a x1
1
m a x
0
1
1
0
,
,
bhfM
f
f
bh
A
h
x
cs
y
c
bs
s
s
b
或或八,T形截面受弯构件
3,正截面承载力简化公式的应用已有构件的承载力
''1 ffcsy hbfAf
x
fyAs
Mu
1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
按 bf’× h的矩形截面计算构件的承载力
I类 T形截面八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
已有构件的承载力
''1 ffcsy hbfAf
II类 T形截面
)2()(
'
0
''
1
' f
ffcf
hhhbbfM
按 b× h的单筋矩形截面计算 Mu1
八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法截面设计
x
fyAs
M
1fc
h0
As
bf’
b
hf’
h
0
as
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM
按 bf’× h单筋矩形截面进行设计
I类 T形截面八,T形截面受弯构件
2,正截面承载力的简化计算方法
fyAs1
Mu1
x
h0
1fc
As1 h0
b as
x
fyAs2
h0A
s2
(bf’-b)/2
b
hf’
as
(bf’-b)/2
hf’
Mf’ h0
1fc
II类 T形截面与 As’已知的 b× h双筋矩形截面进行设计截面设计
)2(
'
0
''
1
f
ffc
hhhbfM
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用深受弯构件
5/0?hl
短梁深梁（连续梁），简支
5/)5.2(0.2
5.2/)(0.2/
0
00
hl
hlhl
P P
h
l0
九、深受弯构件的弯曲性能
1,基本概念和应用转换层 片筏基础梁仓筒侧壁
b
h
箍筋水平分布筋拉结筋纵向受力筋九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态平截面假定不再适用 梁的弯曲理论不适用受力机理 拱机理破坏形态 弯曲破坏和剪切破坏 (不是此处讨论的内容 )
P P P P
正截面弯曲破坏 斜截面剪切破坏九、深受弯构件的弯曲性能
2,深梁的受力性能和破坏形态
s<?sbm时 弯曲破坏
P P
P P
以多排受拉钢筋屈服弯矩
My作为其极限承载力 Mu
原因：纵筋很少
s>?sbm时 剪切破坏 (此处略 )
s=?sbm时 弯剪界限破坏九、深受弯构件的弯曲性能
3,深梁的弯剪界限配筋率 P P
计算剪跨比：集中荷载,?=a/h
均布荷载,?=a/h（ a =l0/4）
由统计回归得出,
y
c
s b m f
f 19.0?简支梁约束梁连续梁
y
c
s b m f
f
48.11
19.0
支座弯矩与跨中最大弯矩的比值的最大值九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力 P P
深梁发生弯曲破坏时，截面下部 h/3范围内的多排钢筋均屈服。由统计回归得出,
0)33.0( hbhfAfM yhhsyy
c
y
y
yh
hs f
f
f
f
h
l )5.0)(1.01(1 0
折算内力臂水平分布筋的配筋率
v
sh
h bs
A
水平分布筋的竖向间距
sv范围内水平分布筋的全部截面积九、深受弯构件的弯曲性能
4,深梁的受弯承载力 P P
“钢筋混凝土深梁设计规程”（ CECS39,92）
简化公式
zAfM syu?
)65.0()5.5(1.0 000 lzhlhlz 时，
深梁的内力臂，取受拉钢筋合力作用点和混凝土受压合力作用点间的距离简支梁和连续梁的跨中截面连续梁的支座截面 )6.0()5(1.0 000 lzhlhlz 时，
计算跨度
)15.1,(0 nc llM inl?
九、深受弯构件的弯曲性能
5,短梁的受弯承载力 P P
和一般梁比较接近，平截面假定适用
)33.09.0(0 hAfM syy
破坏类型：少筋、适筋、超筋适筋梁的受弯承载力九、深受弯构件的弯曲性能
6,混凝土结构设计规范（ GB50010-2002）公式
P P
深梁、短梁和一般梁相衔接
)5.0( 0
1
xhAfM
Afbxf
dsyu
syc
深受弯构件的内力臂修正系数
h
l
d
004.08.0
截面有效高度
距离作用点至受拉区边缘的受拉纵向钢筋合力时，
支座跨中时，
s
s
s
s a
h
l
ha
ha
h
l
ahh 2
2.0
1.0
2
0
0
0
十、受弯构件延性的基本概念延性 Mu
My
y
M
O?u
反映截面、构件、结构钢筋屈服以后的变形能力以截面为例：用延性系数表示截面的延性
y
u
十、受弯构件延性的基本概念
21 ss AA?
y
cu
u1
u2
As1
As2
cu
y
As1
As2
y1
y2
21 uu 21 yy
2
22
1
11
y
u
y
u
结构的延性取决于构件的延性取决于截面的延性取决于配筋量
