第 十 一章 组 合 变 形 一、教学目标和教学内容 教学目标 掌握组合变形的概念。 掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 正确区分斜弯曲和平面弯曲。 了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 教学内容 讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 讲解弯曲和扭转组合变形内力计算、确定危险截面和危险点、强度计算。 讲解拉伸（压缩）和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 讲解偏心拉伸（压缩）组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 简单介绍截面核心的概念和计算。 二、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： 1）、危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； 2）、危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 7学时 五、讲课提纲 1、概述 　　实际工程中，许多杆件往往同时存在着几种基本变形，它们对应的应力或变形属同一量级，在杆件设计计算时均需要同时考虑。本章将讨论此种由两种或两种以上基本变形组合的情况，统称为组合变形。 图11.1中，（a）图示烟囱，自重引起轴向压缩变形，风荷载引起弯曲变形；（b）图示柱，偏心力引起轴向压缩和弯曲组合变形；（c）图示传动轴和（d）图示梁分别发生弯曲与扭转、斜弯曲组合变形。 　　 图11.1 对于组合变形的计算，首先按静力等效原理，将荷载进行简化、分解，使每一种（组）荷载产生一种基本变形；其次，分别计算各基本变形的解（内力、应力、变形），最后综合考虑各基本变形，确定危险截面和危险点，叠加其应力、变形，进行强度和刚度计算。 2、斜弯曲 　　平面弯曲：横向力作用平面通过梁横截面弯心连线，且与横截面形心主惯性轴所在纵面重合或平行，梁的挠曲线所在平面或者与横向力作用平面重合或者与之平行。 　　斜弯曲：横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。 　　例：图11.2中给出几种常见截面，其中图（b）、（c）、（d）、（f）是斜弯曲；图（a）是平面弯曲；图（e）是斜弯曲与扭转的组合变形。  　　 图11.2 现以图11.3示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。设自由端作用一个垂直于轴线的集中力，其作用线通过截面形心（也是弯心），并与形心主惯性轴y轴夹角为。 图11.3 2.1内力计算 　　首先将外力分解为沿截面形心主轴的两个分力：   其中，使梁在xy平面内发生平面弯曲，中性轴为z轴，内力弯矩用Mz表示；使梁在xz平面内发生平面弯曲，中性轴为y轴，内力弯矩用My表示。在应力计算时，因为梁的强度主要由正应力控制，所以通常只考虑弯矩引起的正力，而不计切应力。 　　任意横截面mn上的内力为   式中，是横截面上的总弯矩。  　　2.2应力分析 横截面mn上第一象限内任一点k（y,z）处，对应于、引起的正应力分别为   式中、分别为横截面对y、z轴的惯性矩。 　　因为和都垂直于横截面，所以k点的正应力为 　　　　　　　　　　（11.1） 　　注意：求横截面上任一点的正力时，只需将此点的坐标（含符号）代入上式即可。 2.3中性轴的确定 　　设中性轴上各点的坐标为（，），因为中性轴上各点的正应力等于零，于是有 　　　　　　　　　　 即 　　　　　　　　　　　　　　 （11.2） 此即为中性轴方程，可见中性轴是一条通过截面形心的直线。设中性轴与z轴夹角为，如图11.4示，则 　　　　　　　　　　 　　上式表明：①中性轴的位置只与和截面的形状、大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，，则，即中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正多边形，通过形心的轴都是形心主轴，，则=，此时梁不会发生斜弯曲。 2.4强度计算 　　危险点发生在弯矩最大截面上距中性轴最远的地方，对于图11.3示梁，两个方向的弯矩、在固定端截面上最大，所以危险截面为固定端截面。产生的最大拉应力发生在AB边上，产生的最大拉应力发生在BD边上，所以梁的最大拉应力发生在B点。同理最大压应力发生在C点，因为此两点处于单向拉伸或单向压缩应力状态，可得强度条件为 　　　　　　　　　　　　（11.3） 　　若截面形状无明显的棱角时，如图11.4（b）示，则作中性轴的平行线并与截面相切于、两点，此两点的正应力即为最大正应力。 五、变形计算 　　现用叠加原理计算图11.3示梁自由端挠度 　　、分别引起梁在xy、xz平面内的自由端挠度为 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 则自由端的总挠度为  (矢量和）　　　　　　（11-4） 设总挠度与y轴的夹角为θ，则 　　　　　　　　　　　　 可见：①一般情况下，，，即挠曲线平面与荷载作用平面不重合；②，即方向与中性轴垂直。 3、弯扭组合变形 　　一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力的作用，发生扭转与弯曲组合变形。现以圆截面的钢制摇臂轴（如图11.5所示）为例说明弯扭组合变形时的强度计算方法。 　　图11.5 AB轴的直径为d，A端为固定端，在手柄的C端作用有铅垂向下的集中力。 3.1外力简化和内力计算 　　将外力向截面B形心简化，得AB轴的计算简图，如图11.5（b）所示。横向力使轴发生平面弯曲，而力偶矩使轴发生扭转。作AB轴的弯矩图和扭矩图，如图11.5（c），（d）所示，可见，固定端截面为危险截面，其上的内力（弯矩和扭转）分别为 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(a)　 3.2应力计算 　　画出固定端截面上的弯曲正应力和扭转切应力的分布图，如图11.5（e）所示，固定端截面上的和点为危险点，其应力为 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(a) 式中，，，它们分别为圆轴的抗弯和抗扭截面模量。因为圆轴的任一直径都是惯性主轴，抗弯截面模量都相同（），故均用W表示。点的单元体如图11.5（f）所示。 3.3强度条件 　　危险点（或）处于二向应力状态，其主应力为 　　　　　　　　　　　　(b) 　　　　　　　　　　　　 AB轴为钢材（塑性材料），在复杂应力状态下可按第三或第四强度理论建立强度条件。 　　若采用第三强度理论，则轴的强度条件为 　　　　　　　　　　　　 将式（b）代入上式，得到用危险点（或）的正应力和剪应力表示的强度条件 　　　　　　　　　　　　 将式（a）中的和代入上式，并注意到圆截面的，可得到用危险截面上的弯矩和扭矩表示的强度条件： 　　　　　　　　　　　　（11.5） 　　若采用第四强度理论，则轴的强度条件为 　　　　　　　　　　　　 或　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（11.6） 　　上面式（11.5）和式（11.6）中应理解为是危险截面处的组合弯矩M，若同时存在和，则组合弯矩为：。 4、拉伸（压缩）与弯曲 　　拉弯、压弯组合变形，是工程中经常遇到的情况，图11.1（a）（b）示都是压弯组合变形的实际例子，现以图11.6（a）示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形的强度计算。 　 图11.6 力作用在纵向对称性平面xy内，引起杆件发生平面弯曲变形，中性轴是z轴；引起杆件发生轴向拉伸变形。 　　内力：＝常数；，。所以此杆的危险截面为固定端截面。 　　应力：轴向拉伸正应力为 ，横截面上均匀分布 弯曲正应力为 ，横截面上呈线性分布 叠加可得任一横截面上任一点的正应力为  　　　　　　　（11.7） 　　所以，杆件的最大、最小正应力发生在固定端截面（危险截面）的上、下边缘a、b处，其值为  　（＞0，为拉应力）  　（可能为拉应力，可能为压应力） 所以固定端截面上的正应力分布如图11.7（b）所示。因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为  　　对于工程中常见的斜梁[图11.7（a）]，亦可按上述方法分析。图11.7（a）可看作图11.7（b）和图11.7（c）的组合，显然AC段的变形为压弯组合变形，BC段的变形为拉弯组合变形。  （a） 图11.7 5、偏心拉伸（压缩）与截面核心 　　当外力作用线与杆的轴线平行，但不重合时，杆件的变形称为偏心拉压。它是拉伸（压缩）弯曲的组合。现在以矩形截面柱为例，讨论偏心拉压时的强度计算。 　　取图11.8中柱的轴线为x轴，截面的形心主轴（即矩形截面的两根对称轴）为y，z轴。设偏心压力作用在柱顶面上的E（，）点，，分别为压力至z轴和y轴的偏心距。当0，时，称为双向偏心压缩；而当，之一为零时，则称为单向偏压缩。  图11.8 将偏心压力向顶面的形心O点简化，得到轴向压力以及作用在xy平面内的附加力偶矩和作用在xz平面内的附加力偶矩，如图11.8（b）所示。柱的任一横截面ABCD上的内力为： 　　轴力：；弯矩：；弯矩：，在截面ABCD上任一点K（y，z）处，由以上三个内力产生的正应力（均为压应力）分别为 ，， K点的总应力用叠加法（代数和）求得  即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（11.8） 或　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（11.9） 其中，惯性半径，。在计算时，式中的弯矩取绝对值代入。当偏心压力通过截面的某一形心主轴y或z轴时，或为零，此时即为单向偏心压缩。 　　以图11.8（b）可以看出，任一横截面（如截面ABCD）上的角点A和C即为危险点，A和C点的正应力分别是截面上的最大拉应力和最大压应力。将A和C点的坐标代入式（11.8），得 　　　　　（11.10） 　　因危险点A，C均处于单向应力状态，故强度条件为 和 当杆的横截面没有凸角时，危险点的位置就不易直接观察确定。这时，首先需要确定中性轴的位置。可令，由式（11.9）可得中性轴方程，即 　　　　　　　　　　　　　　（11.11） 式中的（，）为中性轴上任意点的坐标。由以上式可见，偏心拉压时，横截面上中性轴为一条不通过截面形心的直线。设和分别为中性轴在坐标轴上的截距，则由式（11.11）得  　　　　　　　　　　　　　　 （11.12） 上式表明，与，与总是符号相反，所以中性轴n-n与外力作用点E的投影点分别位于截面形心的相对两边，在周边上作平行中性轴的切线，切点和是截面上距中性轴最远的两点，故为危险点[图11.9（b）]。对于有凸角的对称截面，角点A和C就是危险点，如图11.9（a）中的角点A和C。将A和C的坐标代入式（11.8）即或求得横截面上数值最大的拉、压应力。  图11.9 从图11.9中的正应力分布图可见，在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域。工程上常用的砖石、混凝土、铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗拉能力差，对于这些材料制成的偏心受压杆，应避免截面上出现拉应力。为此，要对偏心距（即偏心力作用点到截面形心的距离）的大小加以限制。从式（11.12）可知，中性轴在坐标轴上的截距与外力作用点坐标值成反比，因此，外力作用点离形心越近，中性轴离形心就越远。当偏心外力作用在截面形心周围一个小区域内，而对应的中性轴与截面周边相切或位于截面之外时，整个横截面上就只有压应力而无拉应力。这个围绕截面形心的特定小区域称为截面核心。图11.10中的阴影区域即为矩形和圆形的截面核心。由截面核心的定义可知，当偏心力的作用点位于截面核心边界的确定方法是：以截面周边上若干点的切线作为中性轴，算出其在坐标轴上的截距，然后利用式（11.12）求出各中性轴所对应的外力作用点的坐标，顺序连接所求得的各外力作用点，于是得到一条围绕截面形心的封闭曲线，它所包围的区域就是截面核心。 图11.10