第 十 三 章 压 杆 稳 定 一、教学目标和教学内容 教学目标 深入理解弹性平衡稳定性的概念 熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响 压杆的分类与临界应力曲线 掌握压杆稳定性校核的方法 教学内容 稳定的概念 两端铰支细长压杆的欧拉临界力 杆端约束的影响 临界应力曲线 压杆稳定性的校核 二、重点难点 重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、讲课提纲 1、稳定的概念 1.1分叉点失稳 1.1.1三种平衡状态 (1）刚球的稳定性 如物体因受了干扰稍为偏离它原来的平衡位置，而在干扰消除后它能够回到原来位置的平衡状态，就说它原来位置的平衡状态是稳定的。若干扰消除后它不回到原来位置的平衡状态，就说原来位置的平衡状态不稳定。所以一个刚体的稳定性是指它维持其原有位置的平衡状态的能力。 图 13.1 在图13.l中，刚体小球A、和C各在重力W与反力R作用下处于平衡状态。但是，A的平衡状态是稳定的，B和C的平衡状态却不稳定。因为若分别以微干扰力使三球稍微移动到其邻近位置又撤去干扰力之后，原在谷底A的球到了A，因反力不能平衡重力，必滚回谷底A，最终在A静平衡。原在峰顶B的球到了B，反力和重力的不平衡使它往低处滚，非滚到某一谷底不会停止．绝不可能回到原位置峰顶B去静平衡。原在C的球则在干扰力让它到达之处就地静止并平衡。因R和W始终在一直线上． 图13.lb中几条线分别表示山谷、平原、和山峰。谷坡越陡，坡上的球越易回谷底平衡， 因而球在谷底的平衡越稳定．谷坡越平，稳定性越小，谷变为平地，球的平衡的稳定性降为 零。平地若变为峰，球在峰顶，其平衡就不稳定了。所以，球在平地的平衡，是稳定平衡与不稳定平衡的分界，并称为临界平衡或中性平衡。 (2）弹性压杆的稳定性 所谓弹性压杆的稳定性是指弹性压杆在中心压力作用下的直线位形的平衡状态的稳定性；又因弹性体受力后的任一平衡状态都对应着某个唯一的变形状态，所以也是指弹性压杆受压后的轴向缩短的变形状态的稳定性。 设有一两端球铰支座的弹性均质等直杆受毫无偏心的轴向压力作用(这就是所谓的理想压杆)，杆呈轴向缩短变形状态，如图13.2。现在要判断这种变形状态(或直线位置的平衡状态)是否稳定。要作这种判断，可加一微小干扰力Ｑ，使杆轴到达一个微弯曲线位置， （b） 图13.2 如图13.2b，然后撤销干扰力，如果杆轴能回到直线位置，则称初始直线位置的平衡状态是稳定的；如果它继续弯曲到一个挠度更大的曲线位置去平衡，则初始直线位置的平衡状态是不稳定的；这就是判别弹性稳定性的静力学准则。如果它停留在干扰力撤销瞬时的微弯曲线的位置不动，则初始直线位置的平衡是临界平衡或中性平衡。事实上，同一杆件其直线位置的平衡状态是否稳定，视所受轴向压力的大小是否超过一个仅与杆的材料、尺寸、和支承方式有关的临界值而定。这个取决于杆件本身的定值，称为压杆的临界力或临界荷载。设轴向压力从零逐渐增大，则杆件在直线位置的平衡状态表现为： 当，是稳定的平衡状态； 当，是临界的平衡状态； 当，是不稳定的平衡状态； 当时，压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时)，又可在干扰给予的微弯曲线位置平衡，这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。 1.1.2荷载－挠度曲线，分叉点 以图13.2b的两端铰支的理想弹性压杆所受轴向压力为纵轴，以干扰力Ｑ撤销后杆的中点挠度为横轴，如图13.3，表示荷载之值由零逐渐增大的过程中的荷载－挠度关系的曲线是该图中的OAB折线。图中OA段与纵轴重合，表示在整个阶段内的任何时刻，干扰力撤销后杆中点挠度均为零，即杆件能由微弯位形弹回其直线位形而平衡，即当时杆件在初始直线位置的平衡是稳定的。AB段为水平，表明当时，中点挠度可以是AB范围内的任意值，随干扰大小而定，但整个AB之长是微量。若干扰力反向，则AB被AB′取代，AB′的长度也是微量。 当时，荷载－挠度曲线为OABD′L中AL曲线段，和AB直线段，图13.3b表示。其中一个分支AB对应着直线的平衡位形(无丝毫干扰)；ＡＬ曲线是根据大挠度理论算出来的，对应着屈曲的平衡位形，不能停留在微弯位形。因此当时，杆在直线 图 13.3 位置的平衡是不稳定的。人们把（）关系的发展曲线称为平衡途径。 当时，平衡途径为OA，这段途径是唯一的。 当时；平衡途径有两条：若无干扰它将沿ＡＤ途径发展，这一途径上各点对应的平衡状态不稳定。若有干扰，它将沿曲线ＡＬ途径发展，其各点对应着稳定的平衡状态。点Ａ称为(两条途径的)分叉点。OAL曲线所描写的失稳现象称为分叉点失稳。临界荷载又称为分叉点荷载。 显然折线OAB所代表的小挠度理论只是OAL曲线所代表的大挠度理论的一部分，其贡献在于能确定至关重要的临界力，在13.2节我们将详细介绍小挠度理论－欧拉理论。 1.2极值点失稳 图13.3b的曲线GJK描写的失稳现象称为极值点失稳。上面说的分叉点失稳是理想压杆(无任何缺陷的弹性压杆)的失稳现象。实际压杆总是有缺隐的(杆内存在残余应力、初弯曲、荷载有初偏心，截面上有塑性区，等等)。图13.3b的GJK曲线是有初挠度的实际压杆的关系曲线，其特点是无直线段，曲线分上升的GJ和下降的JK两段，J点的切线水平，所以J是极值点，其纵坐标所表示的荷载称为极值点荷载。当后，将出现JK段曲线所反映的实际压杆的崩溃现象—在荷载值不断降低的情况下杆件急剧弯曲，不再能维持其原来的缩短加弯曲的变形形式。这种现象叫做极值点失稳。总是小于临界荷载。 对于理想压杆，稳定性意味着压杆维持其直线压缩的变形形式的能力。对于有缺陷的压杆，稳定性意味着它维持其缩短加弯曲的变形形式的能力。总之，稳定性意味着杆件维持其原有变形形式或平衡形式的能力。再则，稳定阶段总是一个比较长而缓的渐变过程，失稳却是一个短促而急剧的突变过程。 2、两端铰支细长压杆的欧拉临界力 理想弹性压杆的临界力是在干扰力撤销后维持压杆在微弯位形平衡的最小轴向压力。求临界力必须从微弯的压杆中取分离体。图13.4b就是从图13.4所示轴向受压的理想压杆的变形后的微弯弹性杆件中取出来的。在其截面上取截面形心为矩心建立力矩平衡方程，当干扰力撤消前两端有竖向反力，得到任意截面上的弯矩。 图 13.4  （） 由小挠度微分方程  （ｂ） 当时，就（a）式而言，一旦失去的帮助就不能抗衡内力弯矩而让杆弹回直线位置。到增大到时，无需的帮助也能平衡，而就变得可有可无，可以忽略它的影响。这时令，于是就有  注意，这就是临界平衡方程式。结合式（b），得  （ｃ） 这就是微弯弹性曲线的微分方程式，是用平衡方程确定分叉点荷载的主要依据。 令  （） 于是，式(ｃ)可写为  其通解为  （ｅ） 为了确定积分常数和，考虑边界条件 当＝０时，（０）＝０ 当＝时，（）＝０ 代入式(ｅ)分别得  （） 式()是以和为未知数的二元联立方程，而且是齐次方程。它显然有零解，即=0， =0，此时，由式（ｅ）可得0，这表示未加干扰时杆可在直线位置平衡，但这对求解毫无意义。要使式()有非零解，必须和的系数行列式等于零，即  由此解答，稳定方程  （） 这要求 （＝0，1，2，3，…） （） 于是有所要求的分叉荷载的表达式 （＝0，1，2，3，…） 或 （＝0，1，2，3，…） （） 首先，有一系列的值，因而也是一系列的值，我们要求的是其中的最小值，但 ＝０时，＝０，显然无意义，所以的合理的最小值是１，于是得  （13.1） 其次，截面的惯性矩也是多值的，当端部各个方向的约束相同时，上式中的为杆横 截面的最小形心惯性矩。式(）的第一个式给出＝０，由式(）得，这里＝１，于是由式(）得弹性曲线方程  当时，，于是上式得＝±，所以弹性曲线方程的最后形式为  （） 的值视干扰大小而定，但是是微量。两端铰支压杆失稳时的弹性曲线是半波正弦曲线。 本节求的方法叫做微分方程法或临界平衡法，其思路是：从临界平衡状态的微弯曲 线取分离体，建立临界平衡方程，再转换为弹性曲线的微分方程式，在不能让通解的全部 积分常数都等于零的条件下得到稳定方程式，从而得出临界力。 除临界平衡法外还有能量法确定临界力。 式(13.1)是端士科学家L·欧拉(L.Euler）在1744年提出的，所以叫做欧拉公式。人们把两端铰支的理想压杆称为欧拉压杆，称为为欧拉荷载。 杆端约束的影响 对于各种杆端约束情况的弹性压杆，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，临界荷载的表达式也因此不同。现以图13.5的一端固定一端铰支压杆为例。当固端力矩为，根据杆件的整体平衡条件，两端有水平反力。取截面以下部分为分离体如图ｂ，以截面的形心为矩心建立力矩平衡方程得  再由得微分方程  或  式中，微分方程的解是  图13.5 由边界条件 （1）当＝０时，（０）＝０ （2）当＝时，＝０ 得 ＝０，＝ 于是 ） 再由边界条件 当＝时，＝０ 得稳定方程  此方程的最小非零解为 ＝4.493 由此得  和   图13.6 图13.6所示几种常见的杆端约束情况的临界力和弹性曲线形式，都是由微分方程法推导而得。它们的临界力表达式可统一写成 或 （13.3） 其中： ＝ （13.4） 称为压杆的计算长度或有效长度。是实际长度，叫做长度系数。 (ａ）一端自由一端固定压杆  (ｂ）两端铰支压杆   (ｃ）一端固定一端铰支压杆   (ｄ）一端固定一端夹支压杆  实际支承应简化成什么样的计算简图，它的计算长度如何确定，设计时都必须遵循设计规范。 4、 临界应力曲线 当中心压杆所受压力等于临界力而仍旧直立时，其横截面上的压应力称为临界应力，以记号表示，设横截面面积为，则  （13.5） 但，是截面的回转半径，于是得  令  （13.6） λ，称为压杆的长细比或柔度，于是有  （13.7） 对同一材料而言，是一常数，因此值决定着的大小，长细比越大，临界 应力越小。式（13.7）是欧拉公式的另一形式。 欧拉公式适用范围： 若压杆的临界力已超过比例极限，胡克定律不成立，这时式（13.2）中的式（ｂ） =不能成立，从而式（ｃ）也不能成立。所以欧拉公式的适用范围是临界应力 不超过比例极限，即  （13.8） 对于某一压杆，当临界力未算出时，不能判断式（13.8）是否满足；能否在计算临界力之前，预先判断哪一类压杆的临界应力不超过比例极限，哪一类压杆的临界点应力将超过临界应力，哪一类压杆不发生失稳而只有强度问题？回答是肯定的。 若用的最小值表示欧拉公式的适用范围，则 ≥= （13.9） 以为横坐标轴，为纵坐标轴，则欧拉公式（13.7）的图象是一条双曲线，如图13.7ａ所示，其中只有实线部分适用，虚线部分表示中柔度压杆，这类压杆横截面上的应力已经超过比例极限，故称为非弹性屈曲。 与压杆的材料有关，对于 3号钢： ≈210GPa，≈200MPa， ＝ 镍钢(含镍3.5％) ≈2.15× MPa，≈490 MPa， ＝ 松木： ≈0.11× MPa，≈20 MPa， ＝  图13.7 在使用欧拉公式前须算一下是否大于。 对于中长杆与粗短压杆，目前在设计中多采用经验公式计算其临界应力。下面介绍几种常用工程材料压杆的设计公式。 （1）结构钢 ①、对于细长杆，用由欧拉公式得到的结果： （≥） （13.10） ②、对于中长杆与粗短杆，用抛物线公式得到的结果 （） （13.11） 根据图13.7ｂ所示的曲线得到：＝０时，，所以式(13.11）中的。在欧拉双曲线与抛物线连接点处一般取，于是式（13.11）中的为  （13.12） 由时，求得 ＝ （13.13） 将式（13.13）代入式（13.12）得  （13.13） （2）铸铁、铝合金与木材 ①、对于细长压杆，临界应力仍然采用由欧拉公式得到的结果，即 （λ≥） （13.15） ②、对于粗短压杆，临界应力为 或（λ） （13.16） ③、对于中长杆，采用直线经验公式 （λ） （13.17） 由上述三式所确定的曲线如图13.7ｃ所示。与、对应的临界应力值分别为比例极限和屈服极限(或强度极限）。据此，不难确定不同材料的、值。 此外，式（13.17）中常数和均与材料有关。表13.1中所列为三种材料的和值。 材料ａ,ｂ值。 表13.1 直线经验公式中常数值 材料 a/MPa b/MPa  铸铁 332.3 1.454  铝合金 373 2.15  5 、 压杆稳定性的校核 各种金属结构的压杆，其稳定性校核的思路大体相同，不过曲线各不相同。我们以钢压杆的稳定校核作为典型示例。进行较详细的介绍。木压杆的稳定校核因近年来就国产木材作了大量研究，因而也特加介绍。 （一）钢压杆的稳定性的校核 实际压杆的缺陷一般归纳为三种：残余应力、 初弯曲和荷载偏心。但从概率观点看，三者同时达到其对杆件最不利的情况的机会很小，所以人们只考虑前两者，即以有残余应力和初弯曲的压杆作为实际压杆的模型。 对于实际压杆显然不能用分叉点失稳模式，因为它一开始就有弯曲。也不能用佩里公式即边缘纤维屈服的模式。因该模式没有考虑到残余应力带来的塑性区。因此对实际压杆是考虑的极值点失稳的模式，即以图13.3b所示极植点的应力作为临界应力。 计算这样的弹-塑性失稳的临界应力，不但理论上比较复杂，而且不可能推导出适用于一切截面的统一的临界应力公式，也推导不出适用于一切压杆的曲线（即临界应力总图，工程界称为柱子曲线）。实际上，在计算中只能采用数值法，幸亏有电子计算机可用，使得计算能得以实现，但一次也只能就一种截面计算出一条属于它的柱子曲线。我国钢结构规范组根据自己算出的96根钢柱子曲线，经分析研究，最后归纳为图13.8所示a、b和c 图12.8 三根曲线，其中： a曲线：主要用于轧制工字形截面的强轴（弱轴用b曲线）、热轧圆管和方管； c曲线：用于焊接工字形截面的弱轴、槽形的对称主轴。 b曲线：除a、c曲线以外的情况。 中心压杆的临界应力(极值点应力)与屈服极限之比称为压杆的稳定系数，以表示。  （13.18） 相应于每一条柱子曲线有一系列稳定系数，因此钢给构规范中有a类截面，b类截面和c类 截面三种稳定系数表。各种钢的稳定系数表也互不相同（本章附录所示3号钢的稳定系数表） 稳定校核按下述稳定条件进行：  （13.19） 式中—压杆所受轴向压力的设计值； A—压杆截面的毛截面面积； f一钢材抗压强度的设计值，随钢材种类而异。见表13.2； —稳定系数，见附录。 关于f值与钢材尺寸有关，3号钢按尺寸分三组，见表13.2。表13.3表示钢材的f值。 表13.2 3号钢钢材分组尺寸/mm 组 别 圆钢、方钢和扁钢的直径或厚度 角钢、工字钢和槽钢的厚度 钢板的厚度  第1组 第2组 第3组  >40~100  >15~20 >20  >20~40 >40~50  表13.3 钢材的抗压强度设计值/(N·mm) 钢号 组别 厚度或直径 f  3号钢 第1组 － 215   第2组 － 200   第3组 － 100  16Mn钢 16Mnq钢 －  315   － 17~25 300   － 26~36 290  15 MnV钢 15 MnVq钢 －  350   － 17~25 335  ，算得的将大于190MPa）。 (二)木压杆的稳定性的校核 根据实验，实际的木压杆的曲线如图13.9，此曲线的段完全重合于纵坐标轴，是切线模量理论的临界荷载，这就是说木压杆的工作方式是中心受压。 木压杆的稳定性校核按下述计算准则进行  （13.20） 式中—压杆所受轴向压力的设计值； —木材顺纹抗压强度的设计值； —压杆截面的计算面积； —轴心受压杆件的稳定系数。 图13.9 树种不同，和之值也不同，表13.4所示各种树种木材的值和 (弹性模量)值。 表13.4 常用树种的顺纹抗压强度设计值和弹性模量 强度等级 组 别 适 用 树 种 /(N·mm) E/(N·mm)  TC17 A 柏木 16 10 000   B 东北落叶松 15   TC15 A 铁杉、油杉 13 10 000   B 鱼鳞云杉、云南云杉 12   TC13 A 油松、新疆落叶松、马尾松 12 10 000   B 红皮云杉、丽江云杉、红松、樟子松 10 9 000  TB11 A 云北云杉、新疆云杉 10 9 000   B 杉木、冷杉 10   TB20 － 栎木、青冈、椆木 18 12 000  TB17 － 水曲柳 16 11 000  TB15 － 栲木、桦木 13 10 000   关于值，规范规定： 树种强度等级为、及： 当≤75时  （13.21） 当＞75时  （13.22） 2）树种强度等级为、、及 当≤91时  （13.23） 当＞91时  （13.24）