第 七 章 弯 曲 变 形 一、教学目标和教学内容 教学目标 掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。 教学内容 有关弯曲变形的基本概念 积分法和叠加法 明确叠加原理 力法求解静不定梁。 重点难点 梁的变形分析。 挠曲轴近似微分方程。 积分法求变形。 叠加法求梁的变形。 静不定梁。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 7学时 五、讲课提纲 1、概述  图7.1 关于梁的弯曲变形，可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究。 图示一根任意梁，以变形前直梁的轴线为轴，垂直向下的轴为轴，建立直角坐标系。当梁在面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线，或弹性曲线。第六章中曾经指出，梁弯曲后横截面仍然垂直于梁的挠曲线，因此，当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了线位移，而且还产生了角位移，如图7.1所示。 横截面的形心在垂直于梁轴（轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号表示。关于挠度的正负符号，在图示坐标系下，规定挠度向下（与轴同向）为正；向上（与轴反向）为负。应该指出，由于梁在弯曲时长度不变，横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下，这种位移极小，可以忽略不计。梁弯曲时，各个截面的挠度是截面形心坐标的函数，即有  上式是挠曲线的函数表达式，亦称为挠曲线方程。 横截面的角位移，称为截面的转角，用符号表示。关于转角的正负符号，规定在图示坐标系中从轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角为正的；反之，为负的。 显然，转角也是随截面位置不同而变化的，它也是截面位置的函数，即  此式称为转角方程。工程实际中，小变形时转角是一个很小的量，因此可表示为  综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程 挠曲线近似微分方程 对细长梁，梁上的弯矩和相应截面处梁轴的曲率半径均为截面位置的函数，因此，梁的挠曲线的曲率可表为  即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比，与截面的抗弯刚度EI成反比。 另外，由高等数学知，曲线任一点的曲率为  显然，上述关系同样适用于挠曲线。比较上两式，可得  上式称为挠曲线微分方程。这是一个二阶非线性常微分方程，求解是很困难的。而在工程实际中，梁的挠度和转角数值都很小，因此，之值和1相比很小，可以略去不计，于是，该式可简化为  式中左端的正负号的选择，与弯矩的正负符号规定及坐标系的选择有关。根据弯矩的正负符号规定，当梁的弯矩时，梁的挠曲线为凹曲线，按图示坐标系，挠曲线的二阶导函数值；反之，当梁的弯矩时，挠曲线为凸曲线，在图示坐标系中挠曲线的。可见，在图示右手坐标系中，梁上的弯矩M与挠曲线的二阶导数符号相反。所以，上式的左端应取负号，即  上式称为挠曲线近似微分方程。实践表明，由此方程求得的挠度和转角，对工程计算来说，已足够精确。 积分法求弯曲变形 积分法计算梁的变形 积分一次：′=θ 再积分一次： C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定 边界条件 ： （1）固定端约束：限制线位移和角位移  (2)铰支座：只限制线位移  连续条件 ： 4、叠加法求梁的变形 在第五章介绍用叠加法作弯矩图时，曾介绍了材料力学的一个普遍原理——叠加原理。在线弹性小变形前提下，构件的支反力、内力、应力和变形都可以用叠加法的方法计算。 弯曲变形时，梁的挠度与转角都与载荷成线性关系。 因此，可以用叠加法计算梁的弯曲变形。当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便的。 5、 梁的刚度校核 5.1刚度条件   或  [( ]——构件的许用转角 []、——分别为构件的许用挠度、单位长度许用挠度 5.2刚度校核 刚度校核是检查梁在荷载作用下产生的变形是否超过容许值，在机械工程中，一般对都进行校核；在建筑工程中，大多数只校核挠度。 5.3提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩 、材料的弹性模量 有关。故提高梁刚度的措施为： （1）改善结构形式，减小弯矩 ； （2）增加支承，减小跨度 ； （3）选用合适的材料，增加弹性模量 。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著； （4）选择合理的截面形状，提高惯性矩 ，如工字形截面、空心截面等。 6、简单超静定梁的解法 超静定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。