第 六章 弯曲应力 一、教学目标和教学内容 教学目标 掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设。 理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。 掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力的分布和计算。 熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 理解等强度梁的概念。 确定薄壁杆件切应力流的方向。 理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方法。 教学内容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的切应力 提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 二、重点难点 重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。 横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算。 弯曲的强度计算。 弯曲横截面上的剪应力。 难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念。 重点处理：从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义，计算方法，结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练。 难点处理： 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照,的推导消化难点，以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 8学时 五、讲课提纲 1、弯曲正应力 1.1 纯弯曲时的正应力 图所示简支梁CD，载荷作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为平面弯曲，其计算简图如图所示。从CD梁的剪力图和弯矩图可以看到，和梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在AB梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时，。 可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于，可知梁的各截面上弯矩为一不变的常数值，即=常量。 下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。 纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力组成的内力系的合力矩即为弯矩。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超静定的。和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关系、物理关系和静力关系进行分析。 1.1.1变形几何关系 1、实验观察 为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面。在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察以下现象： （1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠近凸侧一边的纵线伸长。 （2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直。 （3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大。 中性层 ：梁内某一层纤维既不伸长也不缩短，因而这层纤维既不受拉应力，也不受压应力，这层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。如图 2、假设 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 （2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 3、几何关系 为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面m-m和n-n从梁中截取出长为的一个微段。从图中可以看到，横截面m-m和n-n间相对转过的角度为，中性层曲率半径为，距中性层为处的任一纵线（纵向纤维）为圆弧曲线。因此，纵线的伸长为  而其线应变为  由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变即为横截面上坐标为的所有各点处的纵向纤维的线应变。 1.1.2 物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，可由胡克定律得到横截面上坐标为处各点的正应力为  该式表明，横截面上各点的正应力与点的坐标y成正比，由于截面上为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 1.1.3 静力关系  图所示梁的横截面的形心直角坐标系中，Z轴为截面的中性轴。横截面上坐标为的点的正应力为，截面上各点的微内力组成与横截面垂直的空间平行力系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，O为横截面的形心）。这个内力系只可能简化为三个内力分量，即平行于轴的轴力，对轴的力矩和对y轴的力偶矩，分别为    在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩，而轴力 和 皆为零。 由，有  将物理关系代入上式可得： 由于弯曲时，必然有  此式表明，中性轴z通过截面形心。 同时，由，可得  其中  称为截面对y、z轴的惯性积。使的一对互相垂直的轴称为主轴。而z轴又通过横截面形心，所以z轴为形心主轴。 最后，根据，将物理关系代入下式   其中 是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率； 称为截面对z轴的惯性矩；称为截面的抗弯刚度。，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。 将该式代入式物理关系，即可得到纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式  上式中正应力的正负号与弯矩 及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及和y的正负。 公式的适用范围： 1、平面弯曲 2、 材料在线弹性范围内的梁 3、单向应力 1.1.4最大应力的计算 设为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，则截面上的最大正应力为  如令  则截面上最大弯曲正应力可以表达为  式中，称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为，宽为的矩形截面：  直径为的圆截面：  至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。 若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如形截面。这时，应把和分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。 最大拉应力为：  最大压应力为：  1.2、横力弯曲时的正应力 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，，为梁长，为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计。而且，用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，即  来计算细长梁横力弯曲时的正应力，和梁内的真实应力相比，并不会引起很大的误差，能够满足工程问题所要求的精度。所以，对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。 上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁（，为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。 2、弯曲剪应力 横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应力。 2.1．矩形截面梁的弯曲剪应力 分析图所示横力弯曲的矩形截面梁截面上某点处的剪应力时，需要先分析截面上剪应力的分布规律。矩形截面上，剪力截面的纵向对称轴轴重合。在截面两侧边界处取一单元体（尺寸分别为）的微小六面体，设在横截面上剪应力的方向与边界成一角度，则可把该剪应力分解为平行于边界的分量和垂直于边界的分量。根据剪应力互等定理，可知在此单元体的侧面必有一剪应力和大小相等。但是，此面为梁的侧表面，是自由表面，不可能有剪应力，即。说明矩形截面周边处剪应力的方向必然与周边相切。因对称关系，可以推知左、右边界轴上各点的剪应力都平行于剪力。所以，当截面高度大于宽度时，关于矩形截面上的剪应力分布规律，可作如下假设： （1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力的方向。 （2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与坐标有关。 从图所示横力弯曲的梁上截取长为的微段梁，设该微段左、右截面上的弯矩分别为及；剪力均为。再在和两截面间距中性层为处用一水平截面将该微截开，取截面以下部分进行研究。在六面体上，左、右竖直侧面上有正应力、和剪应力；顶面上有与互等的剪应力。在左、右侧面上的正应力和分别构成了与正应力方向相同的两个合力和 ，它们为  式中，为横截面上距中性轴为的横线以外的面积，如图所示。式中积分  是的截面积对矩形截面中性轴的静矩。因此，上式简化为  同理，  因微段的左、右两侧面上的弯矩不同，故和的大小也不相同。只有和水平剪应力的合力一起，才能维持六面体在方向的平衡，即 ，  将和代入上式，有  整理、化简后有  根据梁内力间的微分关系，可得  由剪应力互等定理，可以推导出矩形截面上距中性轴为处任意点的剪应力计算公式为  式中 ——横截面上的剪力 ——横截面对中性轴的轴惯性矩 ——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度） ——横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩 现在，根据剪应力公式进一步讨论剪应力在矩形截面上的分布规律。在图所示矩形截面上取微面积，则距中性轴为的横线以下的面积对中性轴z的静矩为  将此式代入剪应力公式，可得矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为  从该式可以看出，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化，如图所示。可以看到，当时，即矩形截面的上、下边缘处剪应力；当y=0时，截面中性轴上的剪应力为最大值：  将矩形截面的惯性矩代入上式，得到  说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力的倍。  2.2．工字形截面、T形截面、槽形截面梁的弯曲剪应力 2.2.1 腹板上剪应力 工字形截面梁由腹板和翼缘组成。实验表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图所示。 腹板上剪应力仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式  其中b取腹板的宽度。 最大剪应力在中性轴上，其值为  式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。 2.2.2翼缘上剪应力 计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）Q，因此翼缘上的竖向剪应力很小，可忽略不计。 水平剪应力  2.3 圆形截面梁 在圆形截面上，任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。  式中，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的倍。 3.梁的强度校核 3.1梁的正应力强度条件 为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件  式中为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险截面，危险截面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件可表达为  对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。 根据强度条件可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。 3.2 剪应力强度条件 对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的一般发生在 截面的中性轴上，此处弯曲正应力，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为  式中为材料的许用剪应力。此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，然后按剪应力强度条件校核。 4、截面的弯曲中心概念 横力弯曲时，梁的横截面上不仅有正应力还有剪应力。对于有对称截面的梁，当外力作用在形心主惯性平面内时，剪应力的合力，即剪力作用线通过形心，梁发生平面弯曲。对于非对称截面（特别是薄壁截面）梁，横向外力即使作用在形心主惯性平面内，剪应力的合力作用线并不一定通过截面形心。此时，梁不仅发生弯曲变形，而且还将产生扭转，如图所示。只有当横向力作用在截面上某一特定点时，该梁才只产生弯曲而无扭转，如图所示。这一特定点A称为弯曲中心或剪切中心，简称弯心。   弯曲中心的位置只取决于截面的形状和尺寸，而与外力无关。 当截面有两个对称轴时，两个对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心与形心重合，如工字形截面。当截面有一个对称轴时，可假定外力垂直于该对称轴，并产生平面弯曲，求得截面上剪应力合力的作用线，该作用线与对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心一般与形心不重合，如槽形截面。对于没有对称轴的薄壁截面应这样求弯曲中心： （1）确定形心主轴。 （2）设横向力平行于某一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出截面上弯曲剪应力合力作用线的位置。 （3）设横向力平行于另一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出对于此平面弯曲截面上剪应力合力作用线的位置。 （4）两合力作用线的交点即为弯曲中心的位置。 几种常见截面的弯曲中心位置 5、提高弯曲强度的措施 一、合理安排梁的受力情况 梁的弯矩与载荷的作用位置和梁的支承方式有关，适当调整载荷或支座的位置，可以降低梁的最大弯矩Mmax的数值. 二、选择合理截面形状 由 知梁可能承受的最大弯矩与抗弯截面系数成正比，W越大越有利，而W又与截面面积和形状有关。因此应选择W/A较大的截面（工字形、槽形>矩形>圆形）。 应使截面的上、下缘应力同时达到材料的相应容许应力。 三、采用变截面梁 在横力弯曲下，弯矩是沿梁轴变化的。因此在按最大弯矩设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面材料的强度均未得到充分利用。为了节省材料，减轻梁的重量，可根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁设计成变截面的。若变截面梁的每一横截面上的最大正应力均等于材料的许用应力，这种梁就称为等强度梁。 在工程实践中，由于构造和加工的关系，很难做到理论上的等强度梁，但在很多情况下，都利用了等强度梁的概念即在弯矩大的梁段使其横截面相应地大一些。例如厂房建筑中广泛使用的鱼腹梁和机械工程中常见的阶梯轴等。