第 九 章 绪 论 一、教学目标和教学内容 教学目标 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。 教学内容 应力状态的概念； 平面应力状态分析； 三向应力状态下的最大应力； 广义胡克定律?体应变； 复杂应力状态的比能； ⑥梁的主应力?主应力迹线的概念。 二、重点难点 重点： 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用。 难点： 1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。 2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 学时 五、讲课提纲 1、应力状态的概念 所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。 　　应力状态分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。 　　一点处的应力状态，可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述，通常是用围绕该点取出一个微小正六面体（简称单元体element）来表示。单元体的表面就是应力作用面。由于单元体微小，可以认为单元体各表面上的应力是均匀分布的，而且一对平行表面上的应力情况是相同的。例如，图9.1截面mm上a~d点的应力状态表示方式，如图（c）所示。  图9.1 　　9.2节中的分析将表明，一点处不同方向面上的应力是不相同的。我们把在过一点的所有截面中，切应力为零的截面称为应力主平面，简称为主平面（principal plane）。例如，图（c）中a、d单元体的三对面及b、c单元体的前后一对表面均为主平面。由主平面构成的单元体称为主单元体（principal element），如图（c）中的a、d单元体。主平面的法向称为应力主方向。简称主方向（principal direction）。主平面上的正应力称为主应力（principal stresss），如图（c）中a、d单元体上的及。用弹性力学方法可以证明，物体中任一点总可找到三个相互垂直的主方向，因而每一点处都有三个相互垂直的主平面和三个主应力；但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况下，主平面及主方向便会多于三个。 　　一点处的三个主应力，通常按其代数值依次用来表示，如图（c）中a、d单元体，虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力，但须分别用，表示。根据一点处存在几个不为零的主应力，可以将应力状态分为三类： 　　1）单向（或简单）应力状态：三个主应力中只有一个主应力不为零，如图9.2（a）所示。 　　2）二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不为零，如图9.2（b）所示。 　　3）三向（或空间）应力状态：三个主应力均不为零，如图9.2（c）所示。  图9.2 　　单向及二向应力状态常称为平面应力状态（plane state of stresses）。二向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。因为，一个单向应力状态与另一个单向应力状态叠加，可能是单向、二向或零应力状态；一个单向应力状态与一个二向应力状态叠加，可能是单向、二向或三向应力状态；……。也就是说，一个应状态与另一个应力状态叠加，不一定属于原有应力状态。 　　对于平面应力状态，由于必有一个主应力为零的主方向，可以用与该方向相垂直的平面单元来表示单元体，例如图9.1（c）示各单元体，可以用图9.1（d）示平面单元表示。这时，应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度。 　　在材料力学中所遇到的应力状态，主要为平面应力状态。本章重点讨论平面应力状态有关问题。 2、平面应力状态分析 在本节中,将介绍在平面应力状态下，如何根据单元体各面上的已知应力来确定任意斜截面上的应力。 　　在以下讨论中，取平面单元位于xy平面内，如图9.3（a）所示。已知x面（法线平行x轴的面）上的应力及，y面（法线平行于y轴的面）上有应力及。根据切应力互等定理。现在需要求与z轴平行的任意斜截面ab上的应力。设斜截面ab的外法线n与x轴成角，以后简称该斜截面为面，并用及分别表示面上的正应力及切应力。 　　将应力、角正负号规定为： 　　角：从x方向反时针转至面外法线n的角为正值；反之为负值。角的取值区间为或。 　　正应力：拉应力为正，压应力为负。 　　切应力：使微元体产生顺时针方向转动趋势为正；反之为负。或者，截面外法线矢顺时针向转后的方向为正；反之为负。 　　求面上的应力、的方法，有解析法和图解法两种。分别介绍如下： 2.1解析法 　　利用截面法，沿截面ab将图9.3（a）示单元切成两部分，取其左边部分为研究对象。设面的面积为dA，则x面、y面的面积分别为及。于是，得研究对象的受力情况如图（b）示。该部分沿面法向及切向的平衡方程分别为：  图9.3   由此得 　　　　　（a） 由，，及，式（a）可改写为： 　　　　 　（9.1） 这就是斜面上应力的计算公式。应用时一定要遵循应力及角的符号规定。如果用替代式（9.1）第一式中的，则： 　　　　 　 从而有 　　 （9.2） 可见，在平面应力状态下，一点处与z轴平行的两相互垂直面上的正应力的代数和是一个不变量。 　　由式（9.1）可知，斜截面上的应力、均为角的函数，即它们的大小和方向随斜截面的方位而变化。现在来求它们的极限及平面应力状态的主应力。 　　对于斜截面上的正应力，设极值时的角为，由得  可见，取极值的截面上切应力为零，即的极值便是单元体的主应力。这时的可由上式求得为： 　　　　 　　　　　　　　　　　（9.3） 式（9.3）的在取值区间内有两个根及，它说明与有关的两个极值（主应力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（9.3）求时，可以视，并按、、的正负号来判定、、的正负符号，从而唯一地确定或值。于是有 ， ， 　　将以上各式代入式（9.1）的第一式，得的两个极值（对应面）、（对应面）为：  （9.4） 可以证明，式（9.4）中的指向，是介于仅由单元体切应力产生的主拉应力指向（与x轴夹角为或）与单元体正应力、中代数值较大的一个正应力指向之间。 　　式（9.4）的、为平面应力状态一点处三个主应力中的两个主应力，它的另一个主应力为零。至于如何根据这三个主应力来排列、、的次序，应视、的具体数值来决定。 　　平面应力状态下，切应力极值可按下述方法确定。设极值时的角为，由得：  （9.5） 比较式（9.3）和式（9.5），有，可见，即斜截面上切应力的极值作用面与正应力的极值作用面互成夹角。将由式（9.5）确定的代入式（9.1）的第二式，可以求得斜截面上切应力极值（对应）、（对应）为：  （9.6） 这说明，斜截面上切应力极值的绝对值，等于该点处两个正应力极值差的绝对值的一半。另外，由式（9.5）可得，代入式（9.1）第一式得：  （9.7） 可见在极值作用面上的正应力相等，且为、的平均值。 2.2图解（莫尔圆）法 平面应力状态分析，也可采用图解的方法。图解法的优点是简明直观，勿须记公式。当采用适当的作图比例时，其精确度是能满足工程设计要求的。这里只介绍图解法中的莫尔圆法，它是1882年德国工程师莫尔（O. Mohr）对1866年德国库尔曼（K. Culman）提出的应力圆作进一步研究，借助应力圆确定一点应力状态的几何方法。 2.2.1应力圆方程 将式（9.1）改写为：  （a） 于是，由上述二式得到一圆方程：  （b） 据此，若已知、、，则在以为横坐标，为纵坐标轴的坐标系中，可以画出一个圆，其圆心为，半径为。圆周上一点的坐标就代表单元体一个斜截面上的应力。因此，这个圆称为应力圆或莫尔圆（Mohr circle for stresses）。  图9.4 2.2.2应力圆的画法 在已知、及（图9.4（a）），作相应应力圆时，先在坐标系中，按选定的比例尺，以(,)、(,)为坐标确定x（对应x面）、y（对应y面）两点，（在应力圆中，正应力以拉应力为正，切应力以与其作用面外法线顺时钟转向后的方向一致时为正）。然后直线连接x、y两点交轴于C点，并以C点圆心，以或为半径画圆，此圆就是应力圆，如图9.4（b）。从图中不难看出，应力圆的圆心及半径，与式（b）完全相同。 2.2.3几种对应关系 应力圆上的点与平面应力状态任意斜截面上的应力有如下对应关系： 点面对应 应力圆上某一点的坐标对应单元体某一方面上的正应力和切应力值。如图（9.4（a））上的n点的坐标即为斜截面面的正应力和切应力。 2）转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，斜截面外法线亦沿相同方向旋转，才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。 3）二倍角对应 应力圆上半径转过的角度，等于斜截面外法线旋转角度的两倍。因为，在单元体中，外法线与x轴间夹角相差的两个面是同一截面，而应力圆中圆心角相差时才能为同一点。 2.2.4应力圆的应用 1）应用应力圆能确定任意斜截面上应力的大小和方向。如果欲求面上的应力及，则可从与x面对应的x点开始沿应力圆圆周逆时针向转2圆心角至n点，这时n点的坐标便同外法线与x轴成角的面上的应力对应。的方向按如下方法确定：过x点作轴的平行线交应力圆于P点，以P为极点，连接两点，则射线便为n点对应截面的外法线方向，即为的方位线。 2）确定主应力的大小和方位。应力圆与轴的交点1及2点，其纵坐标（即切应力）为零，因此，对应的正应力便是平面应力状态的两个正应力极值，但是，在图9.4示情况，因，所以用单元体主应力、表示，这时的应为零。至于在别的情况时，图9.4（b）中的1、2点应取1、2、3中的哪两个数，按类似原则确定。主应力的方位按如下方法确定：从极点P至1点引射线为作用面外法方向，为主应力作用面的外法线方向。从图9.4（b）中不难看出，主应力、的作用面（主平面）的外法线（主方向）相互垂直。 由图9.4（b）不难看出，应力圆上的、两点，是与切应力极值面（面和面）上的应力对应的。不难证明：正应力极值面与切应力极值面互成的夹角。 3、三向应力状态的最大应力 组成工程结构物的构件都是三维体，能按材料力学方法进行受力分析的，只是一般三维构件的特殊情况，但属三维问题。既然这样，在建立强度条件时，必须按三维考虑才符合实际。因此，在研究了三向应力状态的一种特殊情况——平面应力状态后，还应将它们返回到三向应力状态，作进一步的分析，才能符合工程实际。另外，在工程中还是存在不少三向应力状态的问题。例如，在地层的一定深度处的单元体（图9.5），在地应力作用下便是处于三向应力状态；滚珠轴承中的滚珠与外环接触处、火车轮与轨道接触处，也是处于三向应力状态的。  图9.5 本节只讨论三个主应力均已知的三向应力状态，对于单元体各面上既有正应力，又有切应力的三向应力状态，可以用弹性力学方法求得这三个主应力。对于材料力学中的问题，可以用9.2节的方法以求得三个主应力、及。  图9.6 对于图9.6（a）示已知三个主应力的主单体，可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态，分析平行于三个主应力的三组特殊方向面上的应力。在平行于主应力的方向面上，可视为只有和作用的平面应力状态；在平行于主应力的方向面上可视为只有和作用的平面应力状态；在平行于主应力的方向面上，可视为只有和作用的平面应力状态。并可绘出图（b）示三个应力图，并称为三向应力状态应力圆（stress circle of three dimensional stress state）。用弹性力学方法可以证明，主单元体中任意斜截面上的正应力及切应力，必位于以这三个应力圆为界的阴影区内。 由三向应力圆可以看出，在三向应力状态下，代数值最大和最小的正应力为： ，  （9.8） 而最大切应力为  （9.9） 式（9.8）、（9.9）也适用于三向应力状态的两种特殊情况：二向应力状态及单向应力状态。 4、广义胡克定律 ? 体应变 在后续课程中要考虑单元体的变形，本节将讨论应力与应变间的关系。 4.1广义胡克定律 在三向应力状态下主单元体同时受到主应力、及作用，如图9.6（a）所示。这时，我们把沿单元体主应力方向的线应变称为主应变（principal strain），习惯上分别用、及来表示。对于连续均质各向同性线弹性材料，可以将这种应力状态，视为三个单向应力状态叠加来求主应变。由工程力学Ⅰ知，在单独作用下，沿主应力、及方向的线应变分别为： ， ，  式中E、为材料的弹性模量及泊松比（Poisson ratio）。 同理，在和单独作用时，上述应变分别为： ， ，  ， ，  将同方向的线应变叠加得三向应力状态下主单元体的主应变为：  （9.10） 式（9.10）中的、及均以代数值代入，求出的主应变为正值表示伸长，负值表示缩短。主应变的排列顺序为，可见，主单元体中代数值最大的线应变为：  （9.9） 如果不是主单元体，则单元体各面上将作用有正应力、、和切应力、、，如图9.7所示。图中正应力的下标表示其作用面的外法线方向；切应力有两个下标，前一个下标表示其作用面的外法线方向，后一个下标表示其作用方向沿着哪一个坐标轴。如果某一面的外法线沿坐标轴的正方向，该面称为正面，正面上的各应力分量便以指向坐标轴正方向为正，反之为负；如果某一面的外法线沿坐标轴的负方向，则称该面为负面，负面上的各应力便以指向坐标轴的负方向为正，反之为负。须说明，这里的约定与9.2节的约定是各自独立的。对于图9.7，单元体除了沿x、y及z方向产生线应变、及外，还在三个坐标面xy、yz、zx内产生切应变、及。  图9.7 由理论证明及实验证实，对于连续均质各向同性线弹性材料，正应力不会引起切应变，切应力也不会引起线应变，而且切应力引起的切应变互不耦联。于是，线应变可以按推导式（9.10）的方法求得，而切应变可以利用剪切胡克定律得到，最后有  （9.12） 式中G为剪切弹性模量。E，及G均为与材料有关的弹性常数，但三者这中只有两个是独立的，可以证明这三个常数之间存在着如下关系：  （9.13） 式（9.10）或（9.12）称为广义胡克定律（generalization Hooke law）. 广义胡克定律对于二向及单向应力状态也适用。在二向主单元体中，有一个主应力为零，例如，设，则式（9.10）变为：  （9.14）  图9.8 在一般平面应力状态下，单元体必有一个主应力为零的主平面，设为z面，这时有，及，如图（9.8）所示。于是，式（9.12）写成：  （9.15） 而，由式可以解得：  （9.16） 4.2体应变 体应变又称体积应变（volume strain），是指在应力状态下单元体单位体积的体积改变，设单元体各棱边的变形前长度分别为dx、dy和dz，变形前的单元体体积便为  在三向应力状态下，主单元体变形后的各棱边长度将分别为、及，因此，变形后主单元体的体积为  因为、及均微小，略去高阶微量后  根据主单元体体应变的定义，有  （9.17） 将式（9.10）的三个主应变代入上式，化简后得  （9.18） 上述表明，小变形时的连续均质各同性线弹性体，一点处的体应变与该点处的三个主应力的代数和成正比。 在纯剪切平面应力状态下，因，，由式（9.18）可得该应力状态下单元体的体变=0。因此，在图（9.13）示的一般形式的空间应力状态下，切应力、及的存在均不会影响该点处的体应变，并可仿照以上推导求得  （9.19） 可见，小变形时连续均质各向同性线弹性体内，一点处的体应变，只与过该点沿三个相互垂直的坐标轴方向正应力的代数和成正比，而与坐标方位和切应力无关。 5、复杂应力状态下的应变比能 弹性体在外力作用下将产生变形，在变形过程中，外力便要通过外力作用方向的位移做功，并将它积蓄在弹性体内，通常称积蓄在物体内的这种能量为应变能（strain energy），而把每单位体积内所积蓄的应变能称为比能（strain.energy density）。与应变能有关的问题将在第十五章能量法中详细介绍。 在单向应力状态中，如果棱边边长分别为dx、dy、dz的单元体，作用于x面的应力为。如图9.9（a）所示，作用在单元体上的外力为，沿外力方向的位移为，外力所做的功为  图9.9  根据能量守恒定律，外力功全部积蓄到弹性体内，变成了弹性体的应变能。 单元体的应变能  单元体的应变比能为  应变比能为图9.17（b）示阴影面积。 在三向应力状态下，如果已知、及三个主应力（图9.18a），各对力通过其对应位移所做的功的总和，便为积蓄在物体内的应变能。因此   单元体的比能为  式中的、、分别表示沿、、方向的线应变，应按广义胡克定律（式9.10）计算，用三个主应力、、表示主应变、、，化简后有  （9.20） 由于单元体的变形有体积改变和形状改变，因此，可以将比能分为相应的两部分。与体积改变对应的比能称为体积改变比能（strain.energy density corresponding to the change of volume），用表示；与形状改变对应的比能称为形状改变比能（strain.energy density corresponding to the distortion），用表示。即  （a） 现在来推导体积改变比能和形状改变比能的计算公式。将图9.18（a）示单元体表示为图b、c两部分叠加。图9.18（b）中的三个主应力相等，其值为平均应力，有  由式（9.18）知，图9.18（b）与图9.18（a）的体应变是相等的，那么体积改变比能也应相等。因此图9.18（b）的三个主应力相等，变形后的形状与原来的形状相似，只发生体积改变而无形状改变，则全部比能应为体积改变化能。这样，图9.18（a）的体积改变比能为：  （9.21） 将式（9.21）代入式（a），并注意到式（9.20），化简后得单元体的形状改变能为  （9.22） 读者自己证明，式（9.22）即为图c的比能。式（9.22）将在强度理论中得到应用。 6 、梁的主应力·主应力迹线的概念 6.1梁的主应力 梁在平面弯曲时，横截面上一般将有正应力和切应力，而纵截面上无正应力。由于它为平面应力状态，如果取图9.19示坐标系，则、、。这时，不管及为正或负，按式（9.4）求得的正应力极值，总是，，所以梁的主应力总是为  （9.23） 由式（9.23）求得的梁内任一点处的两个不等于零的主应力中，显然，必为拉应力，而必为压应力，两者是相互垂直的。 6.2梁的主应力迹线 按式（9.23）求出的梁内主应力，不仅各点处大小不同，而且方向也是不同的。以图9.19示矩形截面梁某截面mm上的1~5点为例，可以用莫尔圆法确定其主应力及主方向，如图所示。从图可以看出，主应力方向沿梁的高度是连续变化的，从梁顶到梁底，主拉应力和主压应力的方向均变化了。  图9.19 根据梁内主应力方向是连续变化的特性，可以在梁的xy平面内绘出两族正交曲线，一族曲线的切线方向为该点处的主拉应力方向，另一族曲线的切线方向为该点处的主压应力方向。这样的曲线称为主应力迹线，如图9.20（b）所示。掌握梁的主应力迹线的变化规律，对于结构设计是有用的。例如，在设计混凝土梁时，可以根据主拉应力方向判断可能产生裂缝的方向，从而合理的布置钢筋。  图9.20 绘制主应力迹线的方法为（图9.20（a））：从梁内任一截面上的任一点a处开始，确定该点的主应力之一，如的方向ab后，将它的作用线延长至邻近截面，交于b点；再求b点处的方向，延长至下一个邻近截面，交于c点。依次进行下去，便得到一条折线abcd……。它近似地表示了主拉应力方向的一条迹线。若各截面相隔很近，并作一条与折线相切的曲线，这条曲线就表示主拉应力的一条迹线。按同样的方法，可以绘出主压应力的迹线。图b就是均布荷载矩形截面简支梁的主应力迹线图。实线为主拉应力的迹线，虚线为主压应力的迹线。 须注意，所有的主应力迹线均与梁轴（中性层）成，而与梁的顶、底表面相垂直或平行。主应力迹线只显示了主应力的方向，而不反映主应力的大小。