例1：（7，4）循环码：g(x)=x3+x+1，且R(x)= x5+x4+x2，求S=? 解：法一：S(x)=Rg(x)[R(x)]=x2+1 法二：S=RHT ，  S=RH0T＝（101） 定理8—8：若S(x)是R(x)的伴随式，则R(x)循环左移一位得R（1）(x)，R（1）(x)的伴随式S1(x)是S(x)在伴随式计算电路中自发运算右移一位的结果。即： S1(x)＝x S(x) modg(x) TH8－8证明： 设：R(x)=rn-1xn-1+ rn-2xn-2+…+ r1x+ r0 对应伴随式：S(x)=Rg(x)[R(x)] ∴ R(x)＝a(x) g(x)+ S(x) xR(x)=rn-1xn+ rn-2xn-1+…+ r1x2+ r0x =(rn-2xn-1+…+r0x＋rn-1)＋rn-1(xn+1) = R（1）(x)＋rn-1(xn+1) 则：R（1）(x)＝xR(x)＋rn-1(xn+1) ＝xR(x) modg(x) ＝xS(x) modg(x) 而：S1(x)＝R（1）(x) modg(x) ∴ S1(x)＝xS(x) modg(x) 证毕！  定理8－9：设伴随式序列S=（sr-1sr-2…s1s0）对应于错误图样E=（en-1en-2…e1e0），则在无输入（自发运算）情况下，伴随式计算电路循环移位i-1次得到的新伴随式序列为Si-1，必对应于E的i-1次循环移位，即Si-1对应Ei-1。 Ei-1＝（en-ien-i-1…en-i+1） 例2：g(x)=x3+x+1 （7，4）循环码译码器： (对比一般线性分组码错型产生电路：7个逻辑组合电路组成)  捕错译码基本思想： 只要全部错误都集中在任意一个连续的r位码元段内，可通过S(x)与R(x)的移位运算，把错误捕获到后r位校验段内，从而得到可纠正的错误图样E进行纠错。 定理8－10：设（n，k）循环码的纠错能力为t，错误位数为m≤t，则伴随式序列S的重量W(S) ≤t的充要条件是全部m个错误落在码字的监督位上。     例：（7，3）循环码g(x)= x4+x3+x2+1 解：  定义8-3：若监督和式中某一特定位ei在每个和式中均出现，而其他位ej（i≠j）仅在其中一个和式中出现，则称和式在ei位正交，且称这个和式组为正交一致监督和式组。 定理8-11：若一个循环码在任意一位上能建立J个正交一致监督和式，则该码能纠正t≤[J/2]个错误。 定理8-12：若一个（n，k）循环码最小距离为d0，则它对某一码元正交的一致监督和式的个数J≤d0-1。 例：g(x)=x4+x3+x2+1