定义7－1：如果两个整数a，b被模m除后有相同的余数r，即：
a=q1m+r，b=q2m+r
则称a,b对模m同余，记作a≡b mod m。否则称a,b对模m不同余，记作a≡b mod m。
同余性质：
性质1：两个整数a，b对模m同余的充要条件是m∣(a-b)。
性质2：（反身性）a≡a mod m
性质3：（对称性）若a≡b mod m，
则b≡a mod m
性质4：（传递性）若a≡b mod m，
且c≡b mod m，则a≡c mod m
例3：m=5
C0={…－15，－10，－5，0，5，10，15，…}
C1={…－14，－9，－4，1，6，11，16，…} C2={…－13，－8，－3，2，7，12，17，…}
C3={…－12，－7，－2，3，8，13，18，…}
C4={…－11，－6，－1，4，9，14，19，…}
定义7－2：设a，b∈Zm＝｛0，1，2，…(m-1)｝，按下式规定a与b的加法称为模m加法：a⊕b=(a+b)m
按下式规定a与b的乘法称为模m乘法：a⊙b=(a×b)m
例4：m=2
48⊕12＝(60)2＝0 0⊕0=0 mod 2
51⊕3＝(54)2＝0 1⊕1=0 mod 2
51⊕2＝(53)2＝1 1⊕0=1 mod 2
例5：m=5
15⊕16=(31)5=1 0⊕1=1 mod 5
17⊙13=(221)5=1 2⊙3=6=1 mod 5
模m运算性质：
设a，b∈Z，m为非0正整数，且
a≡r1 mod m，b≡r2 mod m，则：
a⊕b=( r1⊕r2) mod m
a⊙b=( r1⊙r2) mod m
模5加法表
⊕
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
模5乘法表
⊙
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
定义7－3：一个非空集合G，对于所规定的代数运算（记为*），若满足以下条件，则称G为一个群（Group）：
封闭性：对于任意a，b∈G，恒有a*b∈G；
结合律成立：对于任意a，b，c∈G恒有(a*b)*c=a*(b*c)；
存在一个恒等元e，对于任意a∈G，满足a*e=a（或e * a =a）；
对于任意a∈G，都存在逆元a－1∈G，满足a* a－1=e（或a－1* a =e）。
“群”的练习：（对错判断）
1．（R，＋）构成加法Abel群。 （ ）
2. （R，×）构成乘法Abel群。 （ ）
3．（R＊，×）构成乘法Abel群。 （ ）
4．（｛0，1｝，⊕）构成加法Abel群。（ ）
5．（Zm，⊕）构成加法Abel群。 （ ）
定义7－4：设R是一个非空集合，R上存在两种运算“＋”与“·”，若R满足下述条件，就成为一个环（Ring）。
R对于加法“＋”构成一个交换群；
R对乘法是封闭的，且适合结合律：即对于任意 a，b，c∈R，恒有
(a·b) ·c=a·(b·c)；
加法、乘法间适合两个分配律：即对于对于任意 a，b，c∈R，恒有
a·(b+c)= a·b+ a·c和
(b+c)·a = b·a + c·a
定义7－5：非空元素集合F，若在F中定义了加和乘两种运算，且满足下述条件：
F对于加法构成阿贝尔群，其加法恒等元记为0；
F中非零元素全体对乘法构成阿贝尔群，其乘法恒等元（单位元）记为1；
加法和乘法间分配律成立：
a(b+c)=ab+ac
(b+c)a=ba+ca
则称F是一个域（Field）。
“域”的练习：下列代数系统是否构成域？
1．（Q，＋，×）； 2．（R，＋，×）；
3．（C，＋，×）； 4．（Z，＋，×）；
5．（Z5，⊕，⊙）； 6．（Z6，⊕，⊙）；
定理7－1：设p是一个素数，Zp=｛0，1，…,（p-1）｝，则Zp对模p加和模p乘构成一个p阶有限域。—素域GF(p) 定义7－6：对于F域上的一组矢量，如果存在一组不全为0的标量a1，a2，…，ak∈F，使，则称这组矢量线性相关；否则，若只有当a1，a2，…，ak全为0时等式才成立，则称其线性无关或线性独立。
定义7－7：如果分量取自域F上的n维矢量集合V：满足以下条件：
V中元素对于加法构成阿贝尔加群，其加法规定为：
；
，恒有，称c为纯量（或标量）；
分配律成立：，恒有：
结合律成立：，恒有：
则称V是F上的一个n维矢量空间（或线性空间），记为Vn（F）。
定义7－8：若线性空间V中的子集Vs也满足线性空间的条件，则称Vs是线性空间V中的一个子空间。
定义7－9：能张成（或生成）整个线性空间Vn（F）（或子空间）的一组线性无关的矢量集合称为该线性空间的一个基底，基底中的矢量数目称为该线性空间（或子空间）的维数。
定义7－10：两个矢量（或数组），若其内积：
则称这两个矢量（或数组）互为正交。
定义7－11：如果V1，V2是V中两个子空间，且V1中每个矢量都与V2中每个矢量正交，则称V1和V2互为零空间（解空间）或两空间正交。V1? V2＝0
定理7－3：n维线性空间Vn中两个正交子空间V1，V2，若V1是k维子空间，则V2必为（n-k）维子空间。
