第五章 随时间变化的电磁场
麦克斯韦方程
教学要求：
掌握法拉第电磁感应定律；掌握动生电动势, 感生电动势的
概念；掌握自感和互感的概念；理解变化磁场可以激发电场的思想；
熟练掌握动生电动势, 感生电动势, 自感系数, 互感系数及
磁能的计算；
掌握 LR电路暂态过程的分析方法和结论, 并能够进行相应的
计算
了解灵敏电流计, 交流发电机及电子感应加速器的工作原理
。
研究问题,随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。
第五章 随时间变化的电磁场
麦克斯韦方程
? § 5, 1 电磁感应现象与电磁感应定律
? § 5, 2 电磁感应现象的物理实质
? § 5, 3 互感与自感
? § 5, 4 LR电路中的暂态过程
? § 5, 5 位移电流及其物理实质
? § 5, 6 真空中的麦克斯韦方程组
? § 5, 7 电磁场的能量
§ 5, 1 电磁感应现象与电磁感应定律
? 电磁感应现象
? 感应电动势的大小和方向
? 法拉第电磁感应定律
? 思考题和计算题
电磁感应现象
电磁感应现象的发现：
1820年, 奥斯特发现电流的磁效应, 引起了相反
方向的探索 —— 寻找其逆效应, 即由磁产生电流的现象；
1831年, 法拉第经过十年的艰苦探索, 在多次实
验之后, 找到了正确的实验方法 。 他发现 ——
磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生
电磁感应现象
典型电磁感应实验现象：
（ 1） 闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时,
回路中 出现电流 。
（ 2） 闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时,
结果相同；
（ 3） 两个线圈都固定, 其中一个线圈中的电流发生变化
时,（ 闭合电键的开关, 电阻值的变化 ）, 在另一个线圈中引起感
应电流；
（ 4） 处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场
中运动, 回路中产生感应电流,
电磁感应现象
? 电磁感应现象的分类：
（ 1） 导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁
场 （ 磁铁或电流产生 ） 中运动, 回路中出现电流；
（ 2） 固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁
场发生变化, 回路中出现电流 。
? 电磁感应现象的共同特点：
感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强
度通量发生变化 。 引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感
应强度的变化, 也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起 。
感应电动势的大小和方向
? 电磁现象的本质
感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的，
即使不形成闭合回路也会存在电动势 —— 感应电动势
? 感应电动势的大小
对于任一给定回路，感应电动势的大小正比于回
路所围面积的磁感通量的变化率。
感应电动势的大小和方向
? 感应电动势的方向 —— 楞次定律
内容,闭合回路中感应电流的方向，总是企图使感应电流产
生的磁场去阻止引起该感应电流的磁感应通量的变化。
感应电流是在感应电动势作用下产生的，因此楞次定律给出了
感应电动势的方向。
楞次定律与能量守恒定律一致。
楞次定律含有惯性意义。通过闭合回路的磁通量一旦发生变化，
即有惯性显示，惯性反对磁通量的变化。
法拉第电磁感应定律
内容,
不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化, 回路中产生的
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比 。
表达式：
（ 负号表明感应电动势的方向与磁通量变化率的方向相反 ）
若回路由 N匝线圈组成
dt
d m????
dt
dN m????
例 题
例题 1：
矩形闭合导线回路放在均匀垂直磁场中,
一条边以速度 v滑动, 求回路中的感应电动势 。
例题 2：
无限长直导线中通有变化电流, 同一平面内
有矩形导线框 。 求导线框中的感应电动势 。
Blv???
R
bRaJ ??? ln
2
00
?
??
思考题：
? 哪些物理量的改变会引起通过闭合回路所包围面积的
磁通量发生变化？
? 把一条形永久磁铁从闭合线圈中的左端插入，由右端
抽出，试用图表示在此过程中感应电流的方向。
? 若感应电流的方向与楞次定律所确定的方向相反，会
导致什么结果？
计算题：
? 电阻 R=2,面积 S=400cm2 的矩形回路，以匀角速度
= 10/s 绕 y 轴旋转，此回路处于沿 x轴方向的磁感应强度
B=0.5T的均匀磁场中，求：
（ 1）穿过此回路的最大磁感通量 （ 2× 10-2W b)
（ 2）最大的感应电动势 (0.2V)
（ 3）最大转矩 (2× 10-3N·m)
（ 4）证明外转矩在一周人所做的功等于在此回路中消
耗的能量。
? ?
§ 5, 2 电磁感应现象的物理实质
? 问题：
对应于感应电动势的非静电力的起源是什么？
? 分析：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
载流线圈中电流的变化
磁铁或载流线圈的运动
磁场变化导体固定
部分导体运动导体回路或回路上的一磁场不变
磁通量的变化
,
,
§ 5, 2 电磁感应现象的物理实质
? 动生电动势
? 感应电场及其性质
? 两种电动势的统一认识
? 思考题和计算题
动生电动势
对应情况：
磁场不随时间变化, 导体回路或回路的一部分运动 。
非静电力的起源
是磁场作用于运动电荷的洛伦兹力
非静电性场,
其大小和方向均等于单位正电荷所受到的洛伦兹力 。
BvqF ??? ??
BvE K ??? ???
动生电动势
动生电动势
导线构成闭合回路时, 动生电动势将在电路中引起
电流；如果回路不闭合, 不存在电流, 但运动导体中动生电
动势依然存在 。
任意形状的回路在任意分布的恒定磁场中运动时,
??????? dBvdE K ????? ?? ? )(?
dt
ddBv m?????? ???? )(
动生电动势
能量转换关系：
动生电动势所提供能量的来源是外力所作的功 。
洛伦兹力使电荷定向运动形成电流；导体中一旦形成电流,
载流子相对导体的漂移运动又引起另一洛伦兹力, 宏观上表现为
磁场对载流导体的安培力, 它将阻碍导体在磁场中的运动 。 因此,
要保持导体在磁场中的运动, 反抗安培力的外力必作正功, 而两
个洛伦兹力作的总功为零 。
动生电动势
例题 1：
匀强磁场中, 一直导线垂直磁场绕一端点旋转 。
求动生电动势 。
（ 1） 应用动生电动势定义求解
（ 2） 应用法拉第电磁感应定律求解
2
2
1 BL?? ?
感应电场及其性质
对应情况：
导线回路固定不动, 由于磁场的变化在回路中产生感应电动势 。
非静电力的起源为感应电场对运动电荷的作用力 。
感应电场：
麦克斯韦假设：除了电荷产生电场外, 变化的磁场也产生电场 。
大量实验证明了麦克斯韦假设的正确性 。
变化磁场产生的电场称为感应电场 。
感应电场及其性质
感生电动势
由感应电场产生的感生电动势
法拉第电磁感应定律
意义：感应电场对任意闭合路径的线积分取决于磁感应强
度的变化率对这一闭合路径所圈围面积的通量 。
—— 感应电场是有旋场
? ?? C K dE ????
SdtBdE SC K ?
?
??? ?????? ??
感应电场及其性质
感应电场与静电场的区别和联系 ——
??
?
发感应电场由变化磁场激
发静电场是由静止电荷激产生场的场源
??
?
电力线为涡旋线感应电场是无源有旋场
电力线不闭合静电场是有源无旋场场的性质
,
,
??
?
?
?
???
?
????
????
?? ?
??
S KL K
SL
SdESd
t
BdE
qSdEdE
0,
/,0
0
????
?
??
??
?
??
感应电场
静电场
场方程
?
力同点是都对电荷有作用静电场和感应电场的共联系,
区别
感应电场及其性质
涡电流
大块金属内部的自由电子在涡旋电场作用下形成涡电流 。
涡电流一般非常大, 产生大量的焦耳热 。
有害之处在于造成能量的损耗
（ 如变压器, 电机等设备中铁芯的涡流损耗 ）
可利用之处是热效应、机械效应
（如感应电炉、电磁阻尼）
感应电场及其性质
例题 1：
无限长圆柱形区域内充满均匀且随时间变化的磁场,
方向与轴线平行, 求空间各点的电场强度
例题 2：
金属棒置于垂直磁场平面内, 圆形区域中心到棒的距
离为 h,磁场均匀且随时间变化, 求棒的电动势
?
?
?
?
?
??
??
?
))(s i n (
2
1
))(s i n (
2
1
2
0
0
art
r
a
B
artrB
E
???
???
dt
dBhL
2
1??
两种电动势的统一认识
共同点：
两种电动势非静电起源完全不同, 但都服从法拉第电磁感应定律 。
普遍情况
当导体在随时间变化的磁场中运动时, 感应电场以及磁场对
运动电荷的洛伦兹力同时存在 。 感应电动势为
电场为两种电场的叠加
电场仍满足
? ???? C K dBvE ????? )(?
SK EEE ??? ??
SdtBdE SC K ?
?
??? ?????? ??
两种电动势的统一认识
两种电动势的相对意义：
磁场的场源和闭合导体回路的静止和运动都是相对于观察者或实验室参
考系而言的 。 对于一个给定的参考系, 动生电动势和感生电动势是两种
独立的现象 。
电压的定义：
感应电场中, 电场强度的线积分与路径有关 。 在感应电场存在的
空间, 任意两点间的电势差或电压无意义, 但有时把两点间沿给定路径
的场强线积分定义为两点间的电压 —— 与静电场的重要区别 。
思考题：
? 一导体棒 OA在均匀磁场中绕其一端作切割磁力线的转动，
OA间是否有电势差？改用两倍长的导体棒 AB以相同的速度
绕中点 O作切割磁力线的转动，此时 OA之间的电势差与前者
是否相同？ AB之间的电势差是多少？
? 设想存在一个区域很大的均匀磁场，一金属板以恒定的速度
v在磁场中运动，板面与磁场垂直。
（ 1）金属板中是否有感应电流？磁场对金属板的运动是否
有阻尼作用？
（ 2）金属板中是否存在电动势？金属板是否为等势体？金
属板上有无电势差？
（ 3）若用一导线连接金属两端，导线中是否能形成电流？
计算题：
? AB和 BC两段导线，其长均为 10cm，在 B处相接成 300角。若使导
线在均匀磁场中以速度 v=1.5m/s垂直磁场运动，磁感应强度
B=2.5× 10-2T,问 A,C两端之间的电势差为多少？哪一端电势高？
（ 6.7 × 10-3V,A端电势高）
? 一细导线弯成直径为 d的半圆形状，位于水平面内，均匀磁场 B竖
直向上，通过导线所在平面。当导体绕过 A点的竖直轴以匀角速
度逆时针方向旋转时，求导体 AC间的电动势。 （ 0.628V)
? 一平行的金属导轨上放置一质量为 m的金属杆，导轨间距为 L，一
端用电阻 R相连，均匀磁场 B垂直于两导轨所在平面。若杆以初速
度 V0向右滑动，假定导轨是光滑的，忽略导轨的金属杆的电阻，
求：（ 1）金属杆移动的最大距离；（ 2）电阻 R上发出的焦耳热。
20
22
0 21)2()1( mvLBm R v
§ 5, 3 互感与自感
? 互感现象与互感系数
? 自感现象与自感系数
? 线圈的耦合
? 思考题和计算题
互感现象与互感系数
互感现象：
当一个回路中的电流发生变化或回路位移时, 在邻近的回路中所产
生的磁通量将发生变化, 因而在该回路中产生感应电动势和感应电流 。
互感系数,
磁通匝链数：
互感系数,M12= M21= M。 （ 1H=1V·s/A）
无铁磁性介质存在时, 由两个回路的几何形状, 相对位置以及周围
磁介质的性质决定而与电流无关
21212 IM?? 12121 IM??
互感现象与互感系数
互感电动势,
一个回路中的电流变化在另一个回路中产生的感
应电动势
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
d
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
d
22
21
21
21
22
12
12
12
????
?
??
????
?
??
?
?
互感现象与互感系数
互感系数的计算
利用磁通量计算 （ 可正可负 ）
利用互感电动势计算
例题：螺绕环上两组线圈之间的互感系数
12
22
1212
1
1 SdB
IIM S
?? ???? ?
dt
dIM 2
12
12
??
l
SNNM 210??
互感现象与互感系数
? 习题 1,求两同轴螺线管之间的互感
? 习题 2,一圆形线圈由 50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为
S=4.0m2,放在另一个半径 R=20m的大圆形线圈中心，两者同轴，
大圆形线圈由 100匝表面绝缘的导线绕成，求：
（ 1）两线圈的互感； （ 6.3× 10-6H)
（ 2）当大线圈导线中的电流每秒减少 50A时，小线圈中的感应
电动势。 (3.2 × 10-4V)
221022210
2
1212 VnnrlnnIM ??? ????
自感现象与自感系数
自感现象：
由于回路中电流产生的磁通量发生变化, 而在自己回路中
激起感应电动势 。
自感系数：
回路电流产生磁场通过回路本身的磁通量与电流成正比
真空中自感系数的量值仅决定于回路的几何形状而与所
通电流的大小无关；若存在磁介质, 则 L决定于回路的几何形状,
周围介质的性质；若存在铁磁介质, 则还与电流的大小有关 。
LI??
自感现象与自感系数
自感电动势
当回路的 L保持不变时,
自感系数的意义,
自感电动势有阻碍回路中电流变化的作用, 自感系数的大小反映
了一个回路保持其中电流不变的本领的大小 —— 自感系数可以作为电路
,惯性, 大小的量度 。
)( dtdLIdtdILdtd ???????
dt
dIL???
自感现象与自感系数
自感系数的计算：
利用磁通量计算
利用自感电动势计算
例题：计算长螺线管的自感系数
IL
??
dtdI
L ???
VnL 20??
自感现象与自感系数
? 习题 1,两根平行导线，横截面的半径都是 a,中心相距为 d，载有大小
相等方向相反的电流。设两导线内部的磁通量都可以忽略不计，求这样
一对导线在长为 l的一段的自感。
? 习题 2：一空心螺绕环，其平均周长为 60cm,横截面积为 3cm2,总匝数为
2400，现将一个匝数为 100的小线圈 S套在螺绕环上，求,
（ 1）螺绕环的自感系数； （ 3.6× 10-3H)
（ 2）环与线圈 S间的互感系数。 （ 1.5× 10-4H)
a
adlL ?? ln0
?
?
线圈的耦合
线圈耦合的互感与自感的关系
正负取决于两个线圈参考方向的选择 。
当 K=1时, 两线圈为理想耦合, 无漏磁；
有漏磁的情况下 K<1
例题：两个线圈串联在一起, 其总的自感系数为
L=L1+L2+2M 当两个线圈产生的磁场彼此加强时
L=L1+L2 -2M 当两个线圈产生的磁场彼此减弱时
21 LLKM ??
自感与互感现象的实例：
利用线圈具有阻碍电流变化的特点, 可以稳定电路中
的电流 —— 无线电设备中常用电感和电容器的组合构成谐振电
路或滤波器 。
通过互感线圈能够使能量或信号从一个线圈传到另一
个线圈 —— 电力传输中各种各样的变压器都是互感器件 。
有害现象：含有自感系数很大的线圈在断开时产生很
大的自感电动势, 以致击穿线圈本身的绝缘保护, 或产生强烈
的电弧, 烧坏开关 。 有线电话会由于互感而引起串音 。 无线电
设备中会由于导线间或器件间的互感而妨害正常工作 。
思考题：
? L是否有负值？ M是否有负值？怎样理解负值的物
理意义？
? 有两个相隔距离不太远的线圈，如何放置才能使
其互感系数为零？
? 用金属绕制的标准电阻要求是无自感的，怎样才
能绕制自感系数为零的线圈？
计算题：
? 已知两共轴细长螺线管，外管线圈半径为 R1，内管线圈半径为 R2，
匝数分别为 N1,N2。求证它们的互感系数为
? 两线圈顺接后总自感为 1.00H，在它们的形状和位置都不变的情况下，
反接后的总自感为 0.40H，求它们之间的互感。
（ 0.15H）
? 有两个相互并联的线圈，其自感系数分别为 L1和 L2，互感系数为 M，
求并联后的等效自感。
),1(
1
2
21 数称为两螺线管的耦合系式中 ??? R
RkLLkM
???????? ? ? MLL MLL 221
221
?
§ 5, 4 LR电路中的暂态过程
? 似稳电流 可变电流的电路方程
? LR电路中的暂态过程
? 可变电流电路中的能量转换 自感能
? 两个载流回路的磁能 互感能
? 真空中磁场的能量 磁能密度
? 思考题和计算题
似稳电流 可变电流的电路方程
欧姆定律的微分形式,
欧姆定律的微分形式对非稳恒电流仍然成立。
电路中的总场强
由静电性质的无旋场（ ES）、变化磁场产生的感应电场
（ EK） —— 涡旋场以及可能存在的由于物理化学性质不均匀等非
电磁学原因产生的非静电起因的等效场（ K）叠加而成。
)( KEEEj KS ???? ?? ??
似稳电流 可变电流的电路方程
似稳场：
电场和磁场以有限速度传播，空间各点的场由不同时刻
场源的电荷电流所激发；
一定时间内，场源变化很小时，电路上各点的电场和磁
场可以认为与同一时刻的场源分布相对应 —— 几乎同时随场源的
变化而变化，每一时刻的场源与场分布等效于一个稳恒的场源与
场分布，不同时刻的场源与场分布对应不同的稳恒场源和场分布。
似稳场：变化缓慢的电、磁场在任何时刻的分布可看作
一稳恒场。
似稳电流 可变电流的电路方程
似稳电流
在似稳场作用下形成的电流称为似稳电流 。
条件：
意义,场在电路上相距最远两点间传播所需的
时间远小于场随时间变化的周期 。
常用 50HZ交流电, T=10-2S,在一个周期内, 传播距离
cT=3× 106m.—— 当电路的线度远小于此时, 似稳条件得到满足 。
Tt ??0
似稳电流 可变电流的电路方程
可变电流的电路方程式
处理方法,似稳电流通过电路中各截面的电流的瞬时值
相等, 每一时刻可看作是稳恒电流, 有关直流电路的基本概念和
电路定律依然有效 （ 场的计算, 场的方程等 ） 。 与稳恒电流的区
别在于存在趋肤效应, 因而电流密度在导体截面上的分布是不均
匀的 。
沿整个可变电流的电路积分, 得
到电路的方程为
对于孤立电路,
)( KEEEj KS ???? ?? ??
?? ?? LiR
???? dtdiLiR
LR电路中的暂态过程
暂态过程：
L和 R组成的电路, 在接通和切断的瞬间, 由于自感的作用电
路中的电流并不立即达到稳定值或立即消失, 而要经历一段时间, 持
续一个过程 。
接通电流变化规律：
电流随时间而 增长, 直至达到最大值
)1( tL
R
eRi ??? ?
LR电路中的暂态过程
LR电路的时间常数
暂态过程持续时间长短的标志 。
经历 τ时间时, 电流达到 0.63I0.只要 t>>τ,电流实际已达到稳定
值 。
断路电流变化规律,
回路中电流将持续一定时间才衰减为零 。
衰减快慢仍用时间常数 τ表示 。
tLRe
Ri
?? ?
??? RLt
思考题：
? 将电路中的闸刀闭合时不见跳火，而当扳断电路时，
常有火花发生，为什么？
? 由稳恒电流的闭合性可以断言通过无分支的导线上各
个截面的电流相等。对非稳恒电流，这一结论不复成
立。但对似稳电流，这一结论近似成立。这一结论成
立的定量判据是什么？
计算题：
? 在图示电路中,L为一理想电感，已知 U=220V，
。将电路接通并持续很长
时间，求这段时间内电阻 R2上放出的焦耳热。然后切
断电路并持续很长时间，求这段时间内电阻 R2上放出
的焦耳热。
（ Q=220J）
（Ｑ 2420J）
U L R2
K R1
????? 100,10,10 21 RRHL
可变电流电路中的能量转换 自感能
能量转换,
接通 LR电路的暂态过程中,
电源作功 =电阻消耗能量 +克服自感电动势作功
建立稳恒电流的过程, 就是在空间建立磁场的过
程
2
0000
2
0 2
1 LILi d idt
dt
diiLdtRiid t ???? ???? ???? ?
可变电流电路中的能量转换 自感能
自感能, 与克服自感电动势相联系的电流的磁能
（ 适用于线圈中无铁磁质的情况 ）
电流切断时, 磁场消失, 磁场能量释放出来
切断电路中电源时放电电流所消耗焦耳热的来源 。
自感系数的计算,利用自感磁能的计算, 可求得自感系数 。
2021 LIW m ?
2
00
2
2
00
2
2
1 LIdteRIR d ti tLR ?? ?? ? ??
20
2
I
WL m?
两个载流回路的磁能 互感能
能量转换, 两个载流回路建立电流的过程中
电源作功 =电阻消耗能量 +克服自感电动势和互感电动势作
功
互感能,
总磁能 =两线圈的自感磁能 +两线圈的互感磁能
互感能 MI1I2与静电学中两个点电荷间的相互作用能量相当；自
感能与点电荷的固有能量相当 。 自感磁能恒为正值, 互感磁能可正可负,
视两线圈的电流的流向而定 。
)2(21 2222112211221211 ILIIMILAAAA ??????
)2(21 2222112211 ILIIMILW m ???
真空中磁场的能量 磁能密度
电流系的磁能是磁场的能量, 分布在整个磁场中 。
磁场的能量密度
磁场能量
两个载流回路磁场的总磁能 =两个回路的自感能 +两个回路的互感
能
利用磁场能量，可以求得回路的自感系数和互感系数。
2
02
1 B
m ?? ?
?? ?? dVBdVW mm 202 1??
??? ???? dVBBdVBdVBW m 210220210 12 12 1 ?????
真空中磁场的能量 磁能密度
实际问题中磁场能量的实例：
超导体可产生 10T的磁场，在这样的磁场中，能量密度大约为
4× 107J/m3。
一个普通的超导体，它的磁场中所储存的能量达到 5× 105J，足
以煮沸 200g水。
自由空间中最强的电场大约是 107V/m,能量密度大约为 450J/m3，
比强磁场的能量密度小得多。
思考题：
? 自感磁能是否有负值？为什么？互感磁能是否有负值？
为什么？
? 一体积为Ｖ的长螺线管的自感系数为Ｌ，半个螺线管
的自感系数是否为一半？如果螺线管的磁能为Ｗ，半
个螺线管中的磁能是否为一半？为什么？
计算题：
? 有一线圈，其电感为 20H，电阻为 10,把这线圈突然接到 100V的
无内阻的电池组上，试求在线圈与电池组连接之后经过 0.1s时，
(1)磁场中贮藏能量的增加率； ( 47.5J/s )
(2)产生焦耳热的速率； ( 2.5j/s )
(3)电池放出能量的速率。 ( 50j/s )
? 真空中，在同一平面内有一条无限长的载流为Ｉ １ 的细直导线和一边
长为 a载流为Ｉ ２ 的正方形线圈，已知直导线与正方形线圈的一边平
行且相互最近距离为 b，在线圈向左移动到 b/2的过程中，若维持电
流都不变，求磁力作功Ａ和磁能增量。
?
Wba baIaIA ????? 2ln2 210 ??
§ 5, 5 位移电流及其物理实质
? 问题的提出
? 位移电流
? 位移电流的物理实质
? 思考题和计算题
问题的提出
回顾：真空中的电磁场方程
静电场方程
静电场是有源无旋场
稳恒电流磁场方程
静磁场是无源有旋场
磁场随时间变化时的电场方程
总电场是有源有旋场
?? ?? VS dVSdE ?? 01?? ? ??C dE 0???
? ??S SdB 0?? ?? ??? SC SdjdB ????? 0?
?? ??? VS dVSdE ??1?? SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
问题的提出
安培环路定理在非稳恒电流情况下是否依然成立？
对同一闭合路径 C,磁感应强度的线积分有两种可能 ——
稳恒电流是连续的
非稳恒情况下
例如当电路中插入电容器, 电容器充电 （ 放电 ） 的过程 。
结论：
安培环路定理推广到非稳恒电流的情况时, 应作必要的修
正 。
? ??S Sdj 0??
? ???S dtdqSdj ??
问题的提出
变化的磁场激发电场, 变化的电场能否激发磁场？
奥斯特发现了电流的磁效应, 法拉第找到了磁场
产生电流的方法, 并得到了电磁感应定律, 但并不是
磁场产生电流, 而是变化的磁场产生电流 。 在上述电
磁场的基本方程中, 电场和磁场仍然是不对称的 。 变
化的电场没有与变化的磁场相当的地位 。
位移电流
位移电流假设的提出 （ 1861-1862）,
麦克斯韦把电场的变化率看作是一种电流, 称为位移电
流 。 在传导电流中断的地方, 由位移电流接续 。 这一假设解决了
上述两个问题 。
位移电流概念的引入：
全电流密度 =传导电流密度 +位移电流密度
全电流具有闭合性
全电流磁场的安培环路定理
Dct jjj ??? ??
0)( ????? ?? SdjjSdj DS cS t ?????
?? ???? S DcC SdjjldB ????? )0?
位移电流的物理实质
位移电流密度的表达式
根据电荷守恒定律
位移电流密度,
等于真空中介电常数与电场强度的变化率的乘积 。
)( 0 SdEdtddtdqSdjSdj SS DS C ?????? ????????? ??? ?
SdtESdj SS D ?
???
????? ?? 0?
t
Ej
D ?
?? ??
0?
位移电流的物理实质
非稳恒电流磁场的安培环路定理
意义,磁场的环流不仅取决于通过圈围面积的传导电流, 而且
与通过该曲面的电场强度的变化率的通量有关 。
位移电流的意义, 变化的电场激发磁场
与电场的相应的方程比较,, 形式相似, 所
不同的是变化的磁场与其伴随的电场构成左手螺旋, 而变化的电场与其
伴随的磁场构成右手螺旋 。
??? ??????? SS cC SdtESdjldB ?????? 000 ???
SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
位移电流的物理实质
? 位移电流在不同物质中的大小
如果所加电场为交变电场
则位移电流密度为
自由电子密度为
对于金属导体，例如铜，,即使对于无线电中所遇到的
最高频率１０ 9～１０ 10ＨＺ，传导电流 >>位移电流。
对于绝缘介质，,当频率达到１０ 9～１０ 10ＨＺ时，
位移电流 >>传导电流。
ftEE ?2s in0?
ftEftEj d ???? 2c o s2 000 ????
ftEEj ??? 2s in00 ??
mS /103.6 7???
mS /103.6 7???
思考题
? 存在位移电流，是否必存在位移电流的磁场？
? 研究平行板电容器在充电或放电过程中，磁场与
传导电流、位移电流的关系。
计算题：
? 比较导体中的传导电流和位移电流的大小。设导体中存在电场，
电场强度为 导体的电导率为 。
? 一球形电容器，内半径为 a，外半径为 b，两球壳间充满均匀而各
向同性的导电介质，若在初始时刻电容器内球壳所带电量为 q0，
求电容器内部的电场和磁场与时间的关系。
tEE ?c o s0? m??? /10 7?
比是微不足道的位移电流与传导电流相良导体中
时当频率低于光波频率
,
,10~,10 13170 HzffEEjj
m
m
c
d ???
?
??
)(0
4
1
4 2
0
2
0
cd
RCtRCtc
jjB
e
Rr
qe
r
IjE
???
??? ??
?????
§ 5, 6 真空中的麦克斯韦方程组
? 麦克斯韦方程组的积分形式
? 电磁波
? 计算题
麦克斯韦方程组的积分形式
电磁场的基本方程组
?? ?? VS dVSdE ??
0
1??
SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
? ??S SdB 0??
??? ??????? SS cC SdtESdjldB ?????? 000 ???
－－（ 1）
－－（ 2）
－－（ 3）
－－（ 4）
麦克斯韦方程组的积分形式
? 各方程物理意义的分析
(1) 反映电荷以发散的方式激发电场, 这样的电场是有
源场 。 在库仑定律的基础上导出, 原只适用于静电场, 麦克斯韦
将其推广到变化的电场 。
（ 2） 变化的磁场必伴随着电场, 而变化的磁场是涡旋电场
的涡旋中心 。 来源于法拉第电磁感应定律, 是普遍的结论 。
（ 3） 反映自然界不存在磁荷的事实 。 麦克斯韦将稳恒磁场
中得到的结论推广到变化的磁场中 。
（ 4） 反映传导电流和变化的电场都是磁场的涡旋中心, 同
时也表明变化的电场必伴随磁场 。 起源于稳恒磁场的安培环路定
理, 加上位移电流假设后, 适用于随时间变化的电流和磁场 。
麦克斯韦方程组的积分形式
电磁场基本方程组包括场不随时间变化的情况
当场矢量不随时间变化时, 方程组分成两组独立的方程：
静电场基本方程
稳恒电流磁场的基本方程 。
场方程式不对称的原因
自然界存在电荷, 却不存在磁荷 。
电磁波
电场与磁场的传播,
麦克斯韦方程组体现了磁场变化伴随着涡旋电场, 电场
变化伴随着涡旋磁场的交替过程 —— 电场和磁场可以脱离电荷
和电流单独存在, 相互激发, 不可分割地联系在一起, 并以确
定的速度传播 。
电磁波：
麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在 。 四年后, 赫兹通
过实验, 测得了电磁波的传播速度, 证实了麦克斯韦的预言 。
电磁波
自由空间中 电磁场方程为
? ??S SdE 0??
SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
? ??S SdB 0??
?? ????? SC SdtEldB ???? 00 ??
0,0 ?? ?cj
（ 1）电场是无源场
（ 2）电场是有旋场，变化磁场是涡旋中心
（ 3）磁场仍是无源场
（ 4）磁场是有旋场，变化电场是涡旋中心
电磁波
平面电磁波：
定义：场量只随 Z变化, Z为恒量的平面是场矢量的等值面 。
表达式
平面电磁波的性质,
（ 1） 平面电磁波是横波, 电矢量和磁矢量都与传播方向垂直；
（ 2） 电矢量和磁矢量互相垂直, 且与传播方向构成右手螺旋；
（ 3） 电矢量和磁矢量的相位相同, 大小成正比, E=CB；
（ 4） 电磁波在真空中传播的速度等于真空中的光速 。
)c os (),(
)c os (),(
Bm
Em
kztBtzB
kztEtzE
??
??
???
??? ?? ??
计算题：
? 在自由空间中沿 x轴方向传播的单色平面波的波长为
3.0m，电场 E沿着 y方向，振幅为 300V/m，试求：
( 1 ) 这个电磁波的频率；
( 2 ) 磁场 B的方向和振幅；
( 3 ) 电磁波的波数 k和圆频率； sk
T
K H z
/102,
3
2
)3(
100.1)2(
101)1(
8
6
8
???
?
?
?
???
§ 5, 7 电磁场的能量
? 电磁场的能量 能量密度
? 电磁场的能量转化和守恒
? 平面电磁波的能量和能量密度
? 直流供电过程能量分析
? 思考题和计算题
电磁场的能量 能量密度
电磁场的能量密度
电磁场任一体积中的能量
能流密度 （ 坡印延矢量 ）
能流密度是矢量 。
大小等于单位时间内通过垂直于能量传播方向的单位面
积的能量；方向为电磁波传播的方向 。
)1(21 2
0
2
0 BE ??? ??
?? ??? dVBEdVW V )1(21 2020 ???
BES ??? ??
0
1
?
电磁场的能量转化和守恒
能量的转化和守恒：
不存在消耗电磁场能量的机制的区域中, 引起电磁场能量变化
的唯一原因是有能量通过包围 V的边界面流入或流出 。
—— V内电磁场能量的减少 =通过 S面流出的能量
（ V内存在导体时, 则有焦耳热损失 ）
?? ?????? SV adSdVBEdtddtdW ??)1(21 2
0
2
0 ??
平面电磁波的能量和能流密度
? 平面电磁波的能量密度
? 平面电磁波的能流密度
2
0
2
0
2
0 )
1(
2
1 EBE ?
??? ???
???? cEcEcEBS ???? 202
00
11
直流供电过程能量分析
忽略电缆本身电阻时
同轴电缆两圆筒之间
电场 方向沿径向；
磁场 方向沿圆周的切线
能流密度 方向沿轴线
re
R
Rr
UE ??
1
2ln
?
??
? e
r
IB ??
2
0?
ze
R
Rr
IUBES ????
1
220 ln2
1
??
???
直流供电过程能量分析
由此可知：
能流密度分布在两圆筒之间的空间中, 沿着电流方
向传播, 在导线内部并无能流 。 单位时间通过电缆横截面的
总能量即功率为
—— 正好等于电源的输出功率 。
电源向负载提供的能量, 是通过电缆两圆筒间的空间由坡印
延矢量传递的 。 导线引导能量的走向 。
IUr d r
R
R
IUr d rSP R
R
R
R ??
??? 2
1
2
1
2
ln2
2
1
22
?
?
?
直流供电过程能量分析
导体电阻不能忽略时,
两圆柱间的空间
能流密度
结论：一部分能量流向负载,
另一部分能量进入导体 —— 变成焦耳热 。
zr EEE
??? ??
)(11
00
BEBEBES zr ??????? ?????? ??
思考题：
? 比较在真空中任意一点电磁波中的电能密度和磁能密
度的大小。
? 一个正在充电的圆形平板电容器，若不计边缘效应，
证明：电磁场的输入功率
式中 C是电容器的电容,q是极板上的电量,dA是柱侧面上
取的面元。
静电能的增加率)2( 2CqdtdAdS?? ?? ??
计算题：
? 设某电台发出的电磁波传至某地时，其磁感应强度 B=10-10T，
（ 1）计算磁场能量密度的时间平均值； (4.0× 10-15j/m3)
（ 2）若磁场变化的频率为 550Hz，现有一匝数为 N=120，截面积
为 S=10-4m2的线圈，它的线圈平面与 B方向垂直，试估计该变化的
磁场在线圈中激发的感应电动势的有效值。 (4.15× 10-6V)
? 设 100W的灯泡将全部能量以电磁波的形式沿各方向均匀地辐射出
去，求：
（ 1） 20m处的地方电场强度的方均根值； (2.7V/m)
（ 2）在该处对理想反射面产生的光压。 (1.3 × 10-10N/ m2)
麦克斯韦方程
教学要求：
掌握法拉第电磁感应定律；掌握动生电动势, 感生电动势的
概念；掌握自感和互感的概念；理解变化磁场可以激发电场的思想；
熟练掌握动生电动势, 感生电动势, 自感系数, 互感系数及
磁能的计算；
掌握 LR电路暂态过程的分析方法和结论, 并能够进行相应的
计算
了解灵敏电流计, 交流发电机及电子感应加速器的工作原理
。
研究问题,随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。
第五章 随时间变化的电磁场
麦克斯韦方程
? § 5, 1 电磁感应现象与电磁感应定律
? § 5, 2 电磁感应现象的物理实质
? § 5, 3 互感与自感
? § 5, 4 LR电路中的暂态过程
? § 5, 5 位移电流及其物理实质
? § 5, 6 真空中的麦克斯韦方程组
? § 5, 7 电磁场的能量
§ 5, 1 电磁感应现象与电磁感应定律
? 电磁感应现象
? 感应电动势的大小和方向
? 法拉第电磁感应定律
? 思考题和计算题
电磁感应现象
电磁感应现象的发现：
1820年, 奥斯特发现电流的磁效应, 引起了相反
方向的探索 —— 寻找其逆效应, 即由磁产生电流的现象；
1831年, 法拉第经过十年的艰苦探索, 在多次实
验之后, 找到了正确的实验方法 。 他发现 ——
磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生
电磁感应现象
典型电磁感应实验现象：
（ 1） 闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时,
回路中 出现电流 。
（ 2） 闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时,
结果相同；
（ 3） 两个线圈都固定, 其中一个线圈中的电流发生变化
时,（ 闭合电键的开关, 电阻值的变化 ）, 在另一个线圈中引起感
应电流；
（ 4） 处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场
中运动, 回路中产生感应电流,
电磁感应现象
? 电磁感应现象的分类：
（ 1） 导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁
场 （ 磁铁或电流产生 ） 中运动, 回路中出现电流；
（ 2） 固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁
场发生变化, 回路中出现电流 。
? 电磁感应现象的共同特点：
感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强
度通量发生变化 。 引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感
应强度的变化, 也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起 。
感应电动势的大小和方向
? 电磁现象的本质
感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的，
即使不形成闭合回路也会存在电动势 —— 感应电动势
? 感应电动势的大小
对于任一给定回路，感应电动势的大小正比于回
路所围面积的磁感通量的变化率。
感应电动势的大小和方向
? 感应电动势的方向 —— 楞次定律
内容,闭合回路中感应电流的方向，总是企图使感应电流产
生的磁场去阻止引起该感应电流的磁感应通量的变化。
感应电流是在感应电动势作用下产生的，因此楞次定律给出了
感应电动势的方向。
楞次定律与能量守恒定律一致。
楞次定律含有惯性意义。通过闭合回路的磁通量一旦发生变化，
即有惯性显示，惯性反对磁通量的变化。
法拉第电磁感应定律
内容,
不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化, 回路中产生的
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比 。
表达式：
（ 负号表明感应电动势的方向与磁通量变化率的方向相反 ）
若回路由 N匝线圈组成
dt
d m????
dt
dN m????
例 题
例题 1：
矩形闭合导线回路放在均匀垂直磁场中,
一条边以速度 v滑动, 求回路中的感应电动势 。
例题 2：
无限长直导线中通有变化电流, 同一平面内
有矩形导线框 。 求导线框中的感应电动势 。
Blv???
R
bRaJ ??? ln
2
00
?
??
思考题：
? 哪些物理量的改变会引起通过闭合回路所包围面积的
磁通量发生变化？
? 把一条形永久磁铁从闭合线圈中的左端插入，由右端
抽出，试用图表示在此过程中感应电流的方向。
? 若感应电流的方向与楞次定律所确定的方向相反，会
导致什么结果？
计算题：
? 电阻 R=2,面积 S=400cm2 的矩形回路，以匀角速度
= 10/s 绕 y 轴旋转，此回路处于沿 x轴方向的磁感应强度
B=0.5T的均匀磁场中，求：
（ 1）穿过此回路的最大磁感通量 （ 2× 10-2W b)
（ 2）最大的感应电动势 (0.2V)
（ 3）最大转矩 (2× 10-3N·m)
（ 4）证明外转矩在一周人所做的功等于在此回路中消
耗的能量。
? ?
§ 5, 2 电磁感应现象的物理实质
? 问题：
对应于感应电动势的非静电力的起源是什么？
? 分析：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
载流线圈中电流的变化
磁铁或载流线圈的运动
磁场变化导体固定
部分导体运动导体回路或回路上的一磁场不变
磁通量的变化
,
,
§ 5, 2 电磁感应现象的物理实质
? 动生电动势
? 感应电场及其性质
? 两种电动势的统一认识
? 思考题和计算题
动生电动势
对应情况：
磁场不随时间变化, 导体回路或回路的一部分运动 。
非静电力的起源
是磁场作用于运动电荷的洛伦兹力
非静电性场,
其大小和方向均等于单位正电荷所受到的洛伦兹力 。
BvqF ??? ??
BvE K ??? ???
动生电动势
动生电动势
导线构成闭合回路时, 动生电动势将在电路中引起
电流；如果回路不闭合, 不存在电流, 但运动导体中动生电
动势依然存在 。
任意形状的回路在任意分布的恒定磁场中运动时,
??????? dBvdE K ????? ?? ? )(?
dt
ddBv m?????? ???? )(
动生电动势
能量转换关系：
动生电动势所提供能量的来源是外力所作的功 。
洛伦兹力使电荷定向运动形成电流；导体中一旦形成电流,
载流子相对导体的漂移运动又引起另一洛伦兹力, 宏观上表现为
磁场对载流导体的安培力, 它将阻碍导体在磁场中的运动 。 因此,
要保持导体在磁场中的运动, 反抗安培力的外力必作正功, 而两
个洛伦兹力作的总功为零 。
动生电动势
例题 1：
匀强磁场中, 一直导线垂直磁场绕一端点旋转 。
求动生电动势 。
（ 1） 应用动生电动势定义求解
（ 2） 应用法拉第电磁感应定律求解
2
2
1 BL?? ?
感应电场及其性质
对应情况：
导线回路固定不动, 由于磁场的变化在回路中产生感应电动势 。
非静电力的起源为感应电场对运动电荷的作用力 。
感应电场：
麦克斯韦假设：除了电荷产生电场外, 变化的磁场也产生电场 。
大量实验证明了麦克斯韦假设的正确性 。
变化磁场产生的电场称为感应电场 。
感应电场及其性质
感生电动势
由感应电场产生的感生电动势
法拉第电磁感应定律
意义：感应电场对任意闭合路径的线积分取决于磁感应强
度的变化率对这一闭合路径所圈围面积的通量 。
—— 感应电场是有旋场
? ?? C K dE ????
SdtBdE SC K ?
?
??? ?????? ??
感应电场及其性质
感应电场与静电场的区别和联系 ——
??
?
发感应电场由变化磁场激
发静电场是由静止电荷激产生场的场源
??
?
电力线为涡旋线感应电场是无源有旋场
电力线不闭合静电场是有源无旋场场的性质
,
,
??
?
?
?
???
?
????
????
?? ?
??
S KL K
SL
SdESd
t
BdE
qSdEdE
0,
/,0
0
????
?
??
??
?
??
感应电场
静电场
场方程
?
力同点是都对电荷有作用静电场和感应电场的共联系,
区别
感应电场及其性质
涡电流
大块金属内部的自由电子在涡旋电场作用下形成涡电流 。
涡电流一般非常大, 产生大量的焦耳热 。
有害之处在于造成能量的损耗
（ 如变压器, 电机等设备中铁芯的涡流损耗 ）
可利用之处是热效应、机械效应
（如感应电炉、电磁阻尼）
感应电场及其性质
例题 1：
无限长圆柱形区域内充满均匀且随时间变化的磁场,
方向与轴线平行, 求空间各点的电场强度
例题 2：
金属棒置于垂直磁场平面内, 圆形区域中心到棒的距
离为 h,磁场均匀且随时间变化, 求棒的电动势
?
?
?
?
?
??
??
?
))(s i n (
2
1
))(s i n (
2
1
2
0
0
art
r
a
B
artrB
E
???
???
dt
dBhL
2
1??
两种电动势的统一认识
共同点：
两种电动势非静电起源完全不同, 但都服从法拉第电磁感应定律 。
普遍情况
当导体在随时间变化的磁场中运动时, 感应电场以及磁场对
运动电荷的洛伦兹力同时存在 。 感应电动势为
电场为两种电场的叠加
电场仍满足
? ???? C K dBvE ????? )(?
SK EEE ??? ??
SdtBdE SC K ?
?
??? ?????? ??
两种电动势的统一认识
两种电动势的相对意义：
磁场的场源和闭合导体回路的静止和运动都是相对于观察者或实验室参
考系而言的 。 对于一个给定的参考系, 动生电动势和感生电动势是两种
独立的现象 。
电压的定义：
感应电场中, 电场强度的线积分与路径有关 。 在感应电场存在的
空间, 任意两点间的电势差或电压无意义, 但有时把两点间沿给定路径
的场强线积分定义为两点间的电压 —— 与静电场的重要区别 。
思考题：
? 一导体棒 OA在均匀磁场中绕其一端作切割磁力线的转动，
OA间是否有电势差？改用两倍长的导体棒 AB以相同的速度
绕中点 O作切割磁力线的转动，此时 OA之间的电势差与前者
是否相同？ AB之间的电势差是多少？
? 设想存在一个区域很大的均匀磁场，一金属板以恒定的速度
v在磁场中运动，板面与磁场垂直。
（ 1）金属板中是否有感应电流？磁场对金属板的运动是否
有阻尼作用？
（ 2）金属板中是否存在电动势？金属板是否为等势体？金
属板上有无电势差？
（ 3）若用一导线连接金属两端，导线中是否能形成电流？
计算题：
? AB和 BC两段导线，其长均为 10cm，在 B处相接成 300角。若使导
线在均匀磁场中以速度 v=1.5m/s垂直磁场运动，磁感应强度
B=2.5× 10-2T,问 A,C两端之间的电势差为多少？哪一端电势高？
（ 6.7 × 10-3V,A端电势高）
? 一细导线弯成直径为 d的半圆形状，位于水平面内，均匀磁场 B竖
直向上，通过导线所在平面。当导体绕过 A点的竖直轴以匀角速
度逆时针方向旋转时，求导体 AC间的电动势。 （ 0.628V)
? 一平行的金属导轨上放置一质量为 m的金属杆，导轨间距为 L，一
端用电阻 R相连，均匀磁场 B垂直于两导轨所在平面。若杆以初速
度 V0向右滑动，假定导轨是光滑的，忽略导轨的金属杆的电阻，
求：（ 1）金属杆移动的最大距离；（ 2）电阻 R上发出的焦耳热。
20
22
0 21)2()1( mvLBm R v
§ 5, 3 互感与自感
? 互感现象与互感系数
? 自感现象与自感系数
? 线圈的耦合
? 思考题和计算题
互感现象与互感系数
互感现象：
当一个回路中的电流发生变化或回路位移时, 在邻近的回路中所产
生的磁通量将发生变化, 因而在该回路中产生感应电动势和感应电流 。
互感系数,
磁通匝链数：
互感系数,M12= M21= M。 （ 1H=1V·s/A）
无铁磁性介质存在时, 由两个回路的几何形状, 相对位置以及周围
磁介质的性质决定而与电流无关
21212 IM?? 12121 IM??
互感现象与互感系数
互感电动势,
一个回路中的电流变化在另一个回路中产生的感
应电动势
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
d
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
d
22
21
21
21
22
12
12
12
????
?
??
????
?
??
?
?
互感现象与互感系数
互感系数的计算
利用磁通量计算 （ 可正可负 ）
利用互感电动势计算
例题：螺绕环上两组线圈之间的互感系数
12
22
1212
1
1 SdB
IIM S
?? ???? ?
dt
dIM 2
12
12
??
l
SNNM 210??
互感现象与互感系数
? 习题 1,求两同轴螺线管之间的互感
? 习题 2,一圆形线圈由 50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为
S=4.0m2,放在另一个半径 R=20m的大圆形线圈中心，两者同轴，
大圆形线圈由 100匝表面绝缘的导线绕成，求：
（ 1）两线圈的互感； （ 6.3× 10-6H)
（ 2）当大线圈导线中的电流每秒减少 50A时，小线圈中的感应
电动势。 (3.2 × 10-4V)
221022210
2
1212 VnnrlnnIM ??? ????
自感现象与自感系数
自感现象：
由于回路中电流产生的磁通量发生变化, 而在自己回路中
激起感应电动势 。
自感系数：
回路电流产生磁场通过回路本身的磁通量与电流成正比
真空中自感系数的量值仅决定于回路的几何形状而与所
通电流的大小无关；若存在磁介质, 则 L决定于回路的几何形状,
周围介质的性质；若存在铁磁介质, 则还与电流的大小有关 。
LI??
自感现象与自感系数
自感电动势
当回路的 L保持不变时,
自感系数的意义,
自感电动势有阻碍回路中电流变化的作用, 自感系数的大小反映
了一个回路保持其中电流不变的本领的大小 —— 自感系数可以作为电路
,惯性, 大小的量度 。
)( dtdLIdtdILdtd ???????
dt
dIL???
自感现象与自感系数
自感系数的计算：
利用磁通量计算
利用自感电动势计算
例题：计算长螺线管的自感系数
IL
??
dtdI
L ???
VnL 20??
自感现象与自感系数
? 习题 1,两根平行导线，横截面的半径都是 a,中心相距为 d，载有大小
相等方向相反的电流。设两导线内部的磁通量都可以忽略不计，求这样
一对导线在长为 l的一段的自感。
? 习题 2：一空心螺绕环，其平均周长为 60cm,横截面积为 3cm2,总匝数为
2400，现将一个匝数为 100的小线圈 S套在螺绕环上，求,
（ 1）螺绕环的自感系数； （ 3.6× 10-3H)
（ 2）环与线圈 S间的互感系数。 （ 1.5× 10-4H)
a
adlL ?? ln0
?
?
线圈的耦合
线圈耦合的互感与自感的关系
正负取决于两个线圈参考方向的选择 。
当 K=1时, 两线圈为理想耦合, 无漏磁；
有漏磁的情况下 K<1
例题：两个线圈串联在一起, 其总的自感系数为
L=L1+L2+2M 当两个线圈产生的磁场彼此加强时
L=L1+L2 -2M 当两个线圈产生的磁场彼此减弱时
21 LLKM ??
自感与互感现象的实例：
利用线圈具有阻碍电流变化的特点, 可以稳定电路中
的电流 —— 无线电设备中常用电感和电容器的组合构成谐振电
路或滤波器 。
通过互感线圈能够使能量或信号从一个线圈传到另一
个线圈 —— 电力传输中各种各样的变压器都是互感器件 。
有害现象：含有自感系数很大的线圈在断开时产生很
大的自感电动势, 以致击穿线圈本身的绝缘保护, 或产生强烈
的电弧, 烧坏开关 。 有线电话会由于互感而引起串音 。 无线电
设备中会由于导线间或器件间的互感而妨害正常工作 。
思考题：
? L是否有负值？ M是否有负值？怎样理解负值的物
理意义？
? 有两个相隔距离不太远的线圈，如何放置才能使
其互感系数为零？
? 用金属绕制的标准电阻要求是无自感的，怎样才
能绕制自感系数为零的线圈？
计算题：
? 已知两共轴细长螺线管，外管线圈半径为 R1，内管线圈半径为 R2，
匝数分别为 N1,N2。求证它们的互感系数为
? 两线圈顺接后总自感为 1.00H，在它们的形状和位置都不变的情况下，
反接后的总自感为 0.40H，求它们之间的互感。
（ 0.15H）
? 有两个相互并联的线圈，其自感系数分别为 L1和 L2，互感系数为 M，
求并联后的等效自感。
),1(
1
2
21 数称为两螺线管的耦合系式中 ??? R
RkLLkM
???????? ? ? MLL MLL 221
221
?
§ 5, 4 LR电路中的暂态过程
? 似稳电流 可变电流的电路方程
? LR电路中的暂态过程
? 可变电流电路中的能量转换 自感能
? 两个载流回路的磁能 互感能
? 真空中磁场的能量 磁能密度
? 思考题和计算题
似稳电流 可变电流的电路方程
欧姆定律的微分形式,
欧姆定律的微分形式对非稳恒电流仍然成立。
电路中的总场强
由静电性质的无旋场（ ES）、变化磁场产生的感应电场
（ EK） —— 涡旋场以及可能存在的由于物理化学性质不均匀等非
电磁学原因产生的非静电起因的等效场（ K）叠加而成。
)( KEEEj KS ???? ?? ??
似稳电流 可变电流的电路方程
似稳场：
电场和磁场以有限速度传播，空间各点的场由不同时刻
场源的电荷电流所激发；
一定时间内，场源变化很小时，电路上各点的电场和磁
场可以认为与同一时刻的场源分布相对应 —— 几乎同时随场源的
变化而变化，每一时刻的场源与场分布等效于一个稳恒的场源与
场分布，不同时刻的场源与场分布对应不同的稳恒场源和场分布。
似稳场：变化缓慢的电、磁场在任何时刻的分布可看作
一稳恒场。
似稳电流 可变电流的电路方程
似稳电流
在似稳场作用下形成的电流称为似稳电流 。
条件：
意义,场在电路上相距最远两点间传播所需的
时间远小于场随时间变化的周期 。
常用 50HZ交流电, T=10-2S,在一个周期内, 传播距离
cT=3× 106m.—— 当电路的线度远小于此时, 似稳条件得到满足 。
Tt ??0
似稳电流 可变电流的电路方程
可变电流的电路方程式
处理方法,似稳电流通过电路中各截面的电流的瞬时值
相等, 每一时刻可看作是稳恒电流, 有关直流电路的基本概念和
电路定律依然有效 （ 场的计算, 场的方程等 ） 。 与稳恒电流的区
别在于存在趋肤效应, 因而电流密度在导体截面上的分布是不均
匀的 。
沿整个可变电流的电路积分, 得
到电路的方程为
对于孤立电路,
)( KEEEj KS ???? ?? ??
?? ?? LiR
???? dtdiLiR
LR电路中的暂态过程
暂态过程：
L和 R组成的电路, 在接通和切断的瞬间, 由于自感的作用电
路中的电流并不立即达到稳定值或立即消失, 而要经历一段时间, 持
续一个过程 。
接通电流变化规律：
电流随时间而 增长, 直至达到最大值
)1( tL
R
eRi ??? ?
LR电路中的暂态过程
LR电路的时间常数
暂态过程持续时间长短的标志 。
经历 τ时间时, 电流达到 0.63I0.只要 t>>τ,电流实际已达到稳定
值 。
断路电流变化规律,
回路中电流将持续一定时间才衰减为零 。
衰减快慢仍用时间常数 τ表示 。
tLRe
Ri
?? ?
??? RLt
思考题：
? 将电路中的闸刀闭合时不见跳火，而当扳断电路时，
常有火花发生，为什么？
? 由稳恒电流的闭合性可以断言通过无分支的导线上各
个截面的电流相等。对非稳恒电流，这一结论不复成
立。但对似稳电流，这一结论近似成立。这一结论成
立的定量判据是什么？
计算题：
? 在图示电路中,L为一理想电感，已知 U=220V，
。将电路接通并持续很长
时间，求这段时间内电阻 R2上放出的焦耳热。然后切
断电路并持续很长时间，求这段时间内电阻 R2上放出
的焦耳热。
（ Q=220J）
（Ｑ 2420J）
U L R2
K R1
????? 100,10,10 21 RRHL
可变电流电路中的能量转换 自感能
能量转换,
接通 LR电路的暂态过程中,
电源作功 =电阻消耗能量 +克服自感电动势作功
建立稳恒电流的过程, 就是在空间建立磁场的过
程
2
0000
2
0 2
1 LILi d idt
dt
diiLdtRiid t ???? ???? ???? ?
可变电流电路中的能量转换 自感能
自感能, 与克服自感电动势相联系的电流的磁能
（ 适用于线圈中无铁磁质的情况 ）
电流切断时, 磁场消失, 磁场能量释放出来
切断电路中电源时放电电流所消耗焦耳热的来源 。
自感系数的计算,利用自感磁能的计算, 可求得自感系数 。
2021 LIW m ?
2
00
2
2
00
2
2
1 LIdteRIR d ti tLR ?? ?? ? ??
20
2
I
WL m?
两个载流回路的磁能 互感能
能量转换, 两个载流回路建立电流的过程中
电源作功 =电阻消耗能量 +克服自感电动势和互感电动势作
功
互感能,
总磁能 =两线圈的自感磁能 +两线圈的互感磁能
互感能 MI1I2与静电学中两个点电荷间的相互作用能量相当；自
感能与点电荷的固有能量相当 。 自感磁能恒为正值, 互感磁能可正可负,
视两线圈的电流的流向而定 。
)2(21 2222112211221211 ILIIMILAAAA ??????
)2(21 2222112211 ILIIMILW m ???
真空中磁场的能量 磁能密度
电流系的磁能是磁场的能量, 分布在整个磁场中 。
磁场的能量密度
磁场能量
两个载流回路磁场的总磁能 =两个回路的自感能 +两个回路的互感
能
利用磁场能量，可以求得回路的自感系数和互感系数。
2
02
1 B
m ?? ?
?? ?? dVBdVW mm 202 1??
??? ???? dVBBdVBdVBW m 210220210 12 12 1 ?????
真空中磁场的能量 磁能密度
实际问题中磁场能量的实例：
超导体可产生 10T的磁场，在这样的磁场中，能量密度大约为
4× 107J/m3。
一个普通的超导体，它的磁场中所储存的能量达到 5× 105J，足
以煮沸 200g水。
自由空间中最强的电场大约是 107V/m,能量密度大约为 450J/m3，
比强磁场的能量密度小得多。
思考题：
? 自感磁能是否有负值？为什么？互感磁能是否有负值？
为什么？
? 一体积为Ｖ的长螺线管的自感系数为Ｌ，半个螺线管
的自感系数是否为一半？如果螺线管的磁能为Ｗ，半
个螺线管中的磁能是否为一半？为什么？
计算题：
? 有一线圈，其电感为 20H，电阻为 10,把这线圈突然接到 100V的
无内阻的电池组上，试求在线圈与电池组连接之后经过 0.1s时，
(1)磁场中贮藏能量的增加率； ( 47.5J/s )
(2)产生焦耳热的速率； ( 2.5j/s )
(3)电池放出能量的速率。 ( 50j/s )
? 真空中，在同一平面内有一条无限长的载流为Ｉ １ 的细直导线和一边
长为 a载流为Ｉ ２ 的正方形线圈，已知直导线与正方形线圈的一边平
行且相互最近距离为 b，在线圈向左移动到 b/2的过程中，若维持电
流都不变，求磁力作功Ａ和磁能增量。
?
Wba baIaIA ????? 2ln2 210 ??
§ 5, 5 位移电流及其物理实质
? 问题的提出
? 位移电流
? 位移电流的物理实质
? 思考题和计算题
问题的提出
回顾：真空中的电磁场方程
静电场方程
静电场是有源无旋场
稳恒电流磁场方程
静磁场是无源有旋场
磁场随时间变化时的电场方程
总电场是有源有旋场
?? ?? VS dVSdE ?? 01?? ? ??C dE 0???
? ??S SdB 0?? ?? ??? SC SdjdB ????? 0?
?? ??? VS dVSdE ??1?? SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
问题的提出
安培环路定理在非稳恒电流情况下是否依然成立？
对同一闭合路径 C,磁感应强度的线积分有两种可能 ——
稳恒电流是连续的
非稳恒情况下
例如当电路中插入电容器, 电容器充电 （ 放电 ） 的过程 。
结论：
安培环路定理推广到非稳恒电流的情况时, 应作必要的修
正 。
? ??S Sdj 0??
? ???S dtdqSdj ??
问题的提出
变化的磁场激发电场, 变化的电场能否激发磁场？
奥斯特发现了电流的磁效应, 法拉第找到了磁场
产生电流的方法, 并得到了电磁感应定律, 但并不是
磁场产生电流, 而是变化的磁场产生电流 。 在上述电
磁场的基本方程中, 电场和磁场仍然是不对称的 。 变
化的电场没有与变化的磁场相当的地位 。
位移电流
位移电流假设的提出 （ 1861-1862）,
麦克斯韦把电场的变化率看作是一种电流, 称为位移电
流 。 在传导电流中断的地方, 由位移电流接续 。 这一假设解决了
上述两个问题 。
位移电流概念的引入：
全电流密度 =传导电流密度 +位移电流密度
全电流具有闭合性
全电流磁场的安培环路定理
Dct jjj ??? ??
0)( ????? ?? SdjjSdj DS cS t ?????
?? ???? S DcC SdjjldB ????? )0?
位移电流的物理实质
位移电流密度的表达式
根据电荷守恒定律
位移电流密度,
等于真空中介电常数与电场强度的变化率的乘积 。
)( 0 SdEdtddtdqSdjSdj SS DS C ?????? ????????? ??? ?
SdtESdj SS D ?
???
????? ?? 0?
t
Ej
D ?
?? ??
0?
位移电流的物理实质
非稳恒电流磁场的安培环路定理
意义,磁场的环流不仅取决于通过圈围面积的传导电流, 而且
与通过该曲面的电场强度的变化率的通量有关 。
位移电流的意义, 变化的电场激发磁场
与电场的相应的方程比较,, 形式相似, 所
不同的是变化的磁场与其伴随的电场构成左手螺旋, 而变化的电场与其
伴随的磁场构成右手螺旋 。
??? ??????? SS cC SdtESdjldB ?????? 000 ???
SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
位移电流的物理实质
? 位移电流在不同物质中的大小
如果所加电场为交变电场
则位移电流密度为
自由电子密度为
对于金属导体，例如铜，,即使对于无线电中所遇到的
最高频率１０ 9～１０ 10ＨＺ，传导电流 >>位移电流。
对于绝缘介质，,当频率达到１０ 9～１０ 10ＨＺ时，
位移电流 >>传导电流。
ftEE ?2s in0?
ftEftEj d ???? 2c o s2 000 ????
ftEEj ??? 2s in00 ??
mS /103.6 7???
mS /103.6 7???
思考题
? 存在位移电流，是否必存在位移电流的磁场？
? 研究平行板电容器在充电或放电过程中，磁场与
传导电流、位移电流的关系。
计算题：
? 比较导体中的传导电流和位移电流的大小。设导体中存在电场，
电场强度为 导体的电导率为 。
? 一球形电容器，内半径为 a，外半径为 b，两球壳间充满均匀而各
向同性的导电介质，若在初始时刻电容器内球壳所带电量为 q0，
求电容器内部的电场和磁场与时间的关系。
tEE ?c o s0? m??? /10 7?
比是微不足道的位移电流与传导电流相良导体中
时当频率低于光波频率
,
,10~,10 13170 HzffEEjj
m
m
c
d ???
?
??
)(0
4
1
4 2
0
2
0
cd
RCtRCtc
jjB
e
Rr
qe
r
IjE
???
??? ??
?????
§ 5, 6 真空中的麦克斯韦方程组
? 麦克斯韦方程组的积分形式
? 电磁波
? 计算题
麦克斯韦方程组的积分形式
电磁场的基本方程组
?? ?? VS dVSdE ??
0
1??
SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
? ??S SdB 0??
??? ??????? SS cC SdtESdjldB ?????? 000 ???
－－（ 1）
－－（ 2）
－－（ 3）
－－（ 4）
麦克斯韦方程组的积分形式
? 各方程物理意义的分析
(1) 反映电荷以发散的方式激发电场, 这样的电场是有
源场 。 在库仑定律的基础上导出, 原只适用于静电场, 麦克斯韦
将其推广到变化的电场 。
（ 2） 变化的磁场必伴随着电场, 而变化的磁场是涡旋电场
的涡旋中心 。 来源于法拉第电磁感应定律, 是普遍的结论 。
（ 3） 反映自然界不存在磁荷的事实 。 麦克斯韦将稳恒磁场
中得到的结论推广到变化的磁场中 。
（ 4） 反映传导电流和变化的电场都是磁场的涡旋中心, 同
时也表明变化的电场必伴随磁场 。 起源于稳恒磁场的安培环路定
理, 加上位移电流假设后, 适用于随时间变化的电流和磁场 。
麦克斯韦方程组的积分形式
电磁场基本方程组包括场不随时间变化的情况
当场矢量不随时间变化时, 方程组分成两组独立的方程：
静电场基本方程
稳恒电流磁场的基本方程 。
场方程式不对称的原因
自然界存在电荷, 却不存在磁荷 。
电磁波
电场与磁场的传播,
麦克斯韦方程组体现了磁场变化伴随着涡旋电场, 电场
变化伴随着涡旋磁场的交替过程 —— 电场和磁场可以脱离电荷
和电流单独存在, 相互激发, 不可分割地联系在一起, 并以确
定的速度传播 。
电磁波：
麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在 。 四年后, 赫兹通
过实验, 测得了电磁波的传播速度, 证实了麦克斯韦的预言 。
电磁波
自由空间中 电磁场方程为
? ??S SdE 0??
SdtBdEC S ?
?
??? ??????? ?
? ??S SdB 0??
?? ????? SC SdtEldB ???? 00 ??
0,0 ?? ?cj
（ 1）电场是无源场
（ 2）电场是有旋场，变化磁场是涡旋中心
（ 3）磁场仍是无源场
（ 4）磁场是有旋场，变化电场是涡旋中心
电磁波
平面电磁波：
定义：场量只随 Z变化, Z为恒量的平面是场矢量的等值面 。
表达式
平面电磁波的性质,
（ 1） 平面电磁波是横波, 电矢量和磁矢量都与传播方向垂直；
（ 2） 电矢量和磁矢量互相垂直, 且与传播方向构成右手螺旋；
（ 3） 电矢量和磁矢量的相位相同, 大小成正比, E=CB；
（ 4） 电磁波在真空中传播的速度等于真空中的光速 。
)c os (),(
)c os (),(
Bm
Em
kztBtzB
kztEtzE
??
??
???
??? ?? ??
计算题：
? 在自由空间中沿 x轴方向传播的单色平面波的波长为
3.0m，电场 E沿着 y方向，振幅为 300V/m，试求：
( 1 ) 这个电磁波的频率；
( 2 ) 磁场 B的方向和振幅；
( 3 ) 电磁波的波数 k和圆频率； sk
T
K H z
/102,
3
2
)3(
100.1)2(
101)1(
8
6
8
???
?
?
?
???
§ 5, 7 电磁场的能量
? 电磁场的能量 能量密度
? 电磁场的能量转化和守恒
? 平面电磁波的能量和能量密度
? 直流供电过程能量分析
? 思考题和计算题
电磁场的能量 能量密度
电磁场的能量密度
电磁场任一体积中的能量
能流密度 （ 坡印延矢量 ）
能流密度是矢量 。
大小等于单位时间内通过垂直于能量传播方向的单位面
积的能量；方向为电磁波传播的方向 。
)1(21 2
0
2
0 BE ??? ??
?? ??? dVBEdVW V )1(21 2020 ???
BES ??? ??
0
1
?
电磁场的能量转化和守恒
能量的转化和守恒：
不存在消耗电磁场能量的机制的区域中, 引起电磁场能量变化
的唯一原因是有能量通过包围 V的边界面流入或流出 。
—— V内电磁场能量的减少 =通过 S面流出的能量
（ V内存在导体时, 则有焦耳热损失 ）
?? ?????? SV adSdVBEdtddtdW ??)1(21 2
0
2
0 ??
平面电磁波的能量和能流密度
? 平面电磁波的能量密度
? 平面电磁波的能流密度
2
0
2
0
2
0 )
1(
2
1 EBE ?
??? ???
???? cEcEcEBS ???? 202
00
11
直流供电过程能量分析
忽略电缆本身电阻时
同轴电缆两圆筒之间
电场 方向沿径向；
磁场 方向沿圆周的切线
能流密度 方向沿轴线
re
R
Rr
UE ??
1
2ln
?
??
? e
r
IB ??
2
0?
ze
R
Rr
IUBES ????
1
220 ln2
1
??
???
直流供电过程能量分析
由此可知：
能流密度分布在两圆筒之间的空间中, 沿着电流方
向传播, 在导线内部并无能流 。 单位时间通过电缆横截面的
总能量即功率为
—— 正好等于电源的输出功率 。
电源向负载提供的能量, 是通过电缆两圆筒间的空间由坡印
延矢量传递的 。 导线引导能量的走向 。
IUr d r
R
R
IUr d rSP R
R
R
R ??
??? 2
1
2
1
2
ln2
2
1
22
?
?
?
直流供电过程能量分析
导体电阻不能忽略时,
两圆柱间的空间
能流密度
结论：一部分能量流向负载,
另一部分能量进入导体 —— 变成焦耳热 。
zr EEE
??? ??
)(11
00
BEBEBES zr ??????? ?????? ??
思考题：
? 比较在真空中任意一点电磁波中的电能密度和磁能密
度的大小。
? 一个正在充电的圆形平板电容器，若不计边缘效应，
证明：电磁场的输入功率
式中 C是电容器的电容,q是极板上的电量,dA是柱侧面上
取的面元。
静电能的增加率)2( 2CqdtdAdS?? ?? ??
计算题：
? 设某电台发出的电磁波传至某地时，其磁感应强度 B=10-10T，
（ 1）计算磁场能量密度的时间平均值； (4.0× 10-15j/m3)
（ 2）若磁场变化的频率为 550Hz，现有一匝数为 N=120，截面积
为 S=10-4m2的线圈，它的线圈平面与 B方向垂直，试估计该变化的
磁场在线圈中激发的感应电动势的有效值。 (4.15× 10-6V)
? 设 100W的灯泡将全部能量以电磁波的形式沿各方向均匀地辐射出
去，求：
（ 1） 20m处的地方电场强度的方均根值； (2.7V/m)
（ 2）在该处对理想反射面产生的光压。 (1.3 × 10-10N/ m2)
