研究问题,静电学基本规律在有导体存在时的应用。
教学目的：
掌握导体在静电场中的性质；理解导体静电平衡条
件, 导体与静电场的相互作用和影响；
能够熟练运用有关物理概念和规律, 计算有导体存
在时的电场强度和电势；
掌握电容的概念和计算电容器电容的一般方法；
掌握静电场能量的意义和计算 。
第二章 静电场与导体
第二章 静电场与导体
§ 2.1 静电场中的导体
§ 2.2 静电场的唯一性
§ 2.3 尖端效应
§ 2.4 电容和电容器
§ 2.5 静电场的能量
§ 2.1 静电场中的导体
? 导体的静电平衡条件
? 导体上的电荷分布
? 导体表面的场强
? 静电屏蔽
? 尖端效应
? 静电场的计算
导体的静电平衡条件
静电平衡状态,
带电体系中的电荷静止不动时, 称为处于静电平
衡状态 。
实验表明, 通过电荷在导体上的流动以建立新的
平衡所需要的时间仅约 10-8— 10-10S。
静电平衡条件,达到静电平衡时,
（ 1） 导体内部场强处处为零；
（ 2） 导体是等势体；
同时：导体外表面附近的场强与导体表面垂直,
导体外表面是等势面 。
导体上的电荷分布
一般结论,达到静电平衡时，导体所带的电荷都分布在导体
表面上，导体内部不可能有未抵消的净电荷。
实心导体,如果导体带电，电荷一定分布于表面上。
空心导体, 空腔内没有电荷时，导体所带的电荷分布于导体
外表面上，空腔中没有电荷。空腔中有电荷 Q时，内表面感
应电荷为 -Q
导体外表面的面电荷分布,
一般情况, 与导体形状, 所带总电量及周围其它场源产
生的电场有关 。 孤立导体, 面电荷分布只与导体形状有关 。
表面曲率越大的地方, 面电荷密度越大
导体表面的场强
方向,
导体表面的场强垂直于导体表面；
（否则导体表面不可能是等势面）
大小：
由高斯定理可求得场强大小为
由此可知，
导体表面电荷面密度越大的地方，电场强度也越大。
（即使条件变化引起电荷分布的改变，场强与电荷面密度
的关系不变）
0?
??E
静电屏蔽
屏蔽作用,
静电平衡状态下的导体空腔内的场强为零, 因此空腔导体有
屏蔽作用 。
屏蔽类型,
（ 1） 导体外表面上的电荷和外界电荷激发的合电场在导体内部
为零, 所以放在导体空腔内的物体, 将不受外电场的影响 。
（ 2） 要屏蔽一个带电体, 使其不影响外界, 则必须将其放在接
地的空心导体内部 。
物理实质,
导体在电场作用下, 自由电荷重新分布, 感应电荷产生的场与
源电荷产生的场在一特定区域内合场强处处为零, 从而使处在
该区域内的物体不受电场作用 。
尖端效应
尖端效应的现象
在带电体尖端处, 电荷面密度很大, 附近场强也很大
（ 2— 3× 106V/m ）, 以致使周围的空气局部击穿, 产生电晕放
电现象 。
尖端效应的弊端,
电晕放电使大量电荷漏失于空气中, 浪费电能；对通信线
路造成干扰；电晕放电过程中产生的臭氧对绝缘物, 金属等有
腐蚀作用；放电时的火花会导致易燃物着火, 引起爆炸 。
尖端效应的应用,
避雷针
范德格拉夫起电机
场致发射显微镜
负氧离子发生器
静电场的计算
计算导体周围电场 ——
基本原则,
找出导体表面的电荷分布, 这种分布使每个导体内部各点的
合场强均为零, 每个导体都有一定的电势 。
具体方法,
通常先假定导体表面的电荷面密度为 σ,再根据导体的静电平
衡条件用叠加原理与库仑定律或由高斯定理和环路定理求出 σ
静电场的计算
例题 1,带电均匀金属平板, 求两表面上电荷单独产生电场和合场强 。
金属板内部 E=0,外表面
例题 2,一板带电, 另一板不带电, 平行放置, 求各表面电荷密度
例题 3：用导线连接两个相距甚远大小不等, 电量不等的导体球, 求
静电平衡时, 两导体球上电荷面密度之比 。
例题 4,点电荷置于不带电的导体球壳中心, 求球壳的电势 。
0?
??E
S
Q
22221 ????? ????
R
r
r
R ?
?
?
204
1
R
q
??? ?
思考题：
? 下列各叙述是否正确？
（ 1）接地的导体不带电；
（ 2）一导体的电势为零，则该导体不带电；
（ 3）任何导体，只要它所带的电量不变，则其电势也是不变的。
? 在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一
电量为 q的点电荷，球外离开球心为 r处的 P点的场强如何确定？
? 金属球 A内有两个球形空腔，此金属球整体不带电，在两空腔中
心绝缘地各放置一点电荷 q1和 q2,球外远处有一固定的点电荷 q,q
到球心的距离 r 比球的半径大得多，试讨论：
（ 1） q受到的静电力（ 2） q1受到 q的作用力（ 3） q受到 q2的作用
力；（ 4） q1受到 q2的作用力；（ 5）若释放 q,刚释放时的加速度。
计算题：
? 试证明：对于两个无限大带电的平行平面导体板，若周围无其他
带电体存在，则（ 1）相向的两个面上，电荷的面密度总是大小相
等而符号相反；（ 2）相背的两个面上，电荷的面密度总是大小相
等而符号相同。
? 金属球壳的内外半径分别为 a和 b,带电量为 Q,球壳内距球心 O为 r
处置一电量为 q的点电荷。求球心 O点的电势。
? 两个相等的电荷 +q和 -q相距 2d,一个接地导体球放在它们中间，
（ 1）如果要使这两个点电荷所受的作用力的矢量和都为零，计算
球的最小半径；（ 2）如果使导体球具有电势，球的半径如（ 1）
中所求，问每个电荷受力多少？
§ 2.2 静电场的唯一性
问题的提出,在什么条件下, 静电场有唯一确定的解？
静电学中的两类典型问题 ——
（ 1） 已知每个导体的电势,
（ 2） 已知每个导体的总电量,
求场中各点的场强或电势以及导体上电荷的分布 。
问题的实质是寻找满足边值关系的静电场分布 。
定理的内容,满足边值条件的存在于空间的电场分布是唯一的 。
定理的意义,既然在给定条件下静电场的分布是唯一的, 不论
用什么方法找到的满足条件的解, 一定是要寻找的那个唯一真正
的解 。
§ 2.4 电容和电容器
? 孤立导体的电容
? 电容器及其电容
? 电容器电容的计算
? 电容器电容的串联和并联
孤立导体的电容
? 孤立导体电容的定义,
（ 1F=1C/V）
意义,
电容与电荷及电势的值无关，而只与导体的大小
及几何形状有关，反映该导体在给定电势的条件下储
存电量能力的大小 。
?
qC ?
电容器及其电容
电容器,两个导体组成, 两导体间的电势差与电量间的正比关系
不受周围其他带电体或导体的影响 。
电容器电容的定义,
意义,电容仅由电容器的几何结构决定 。 电容的大小反映了当电
容器两极间存在一定电势差时, 极板上贮存电量的多少 。
说明：
电容器两极板所带电荷的绝对值不相等时, Q应是用导线将
两极板相连时, 自正极板流向负极板的电荷 。
任何两个由电介质或真空隔开的导体面之间都有一定的电
容 —— 分布电容 。
21 ?? ?
? qC
电容器电容的计算
平行板电容器
球形电容器
当 RB >>RA 时,
圆柱形电容器
d
SC 0??
AB
BA
RR
RRC
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04??
ARC 04???
A
B
R
R
L
C
ln
2 0??
?
电容器电容的串联和并联
电容器的串联
特点：两端电压等于各电容器电压之和；
各电容器所带电量相等,
总电容
电容器的并联
特点：电容器所带电量为各电容器电量之和；
各电容器电压相等；
总电容
?
?
?
n
i iCC 1
11
?
?
? n
i
iCC
1
思考题：
? 两个很大的金属平行平板，其面积为 S,两板之间的距离为 d (d很
小），两板带有等量同号电荷，能否计算这两导体的电容？其电
容是否由平行板电容器的公式给出？
? 平行板电容器充电后与电源断开，然后使极板间距增大,问电容器
的电容、两极间的电压和场强如何变化？
? 平行板电容器中有一薄金属板，当金属板向某极靠近时，这个系
统的电容将如何变化？
? 六只相同的电容器 C＝ 8μF耐压 U＝ 500V,先将它们每两个并联成
一组，再将各组串联起来，此电路正常工作时两端电压不能超过
多少？
计算题：
? 两根平行长直导线，截面半径都是 a,中心轴线之间的距离为 d
(d>>a),求它们单位长度的电容。
? 半径分别为 a 和 b 的两个金属球，球心间距为 r,（ r>>a,r>>b),今
用一根电容可忽略的细导线将两球相连，试求：
（ 1）该系统的电容；
（ 2）当两球所带的总电荷是 Q时，每一球上的电荷是多少？
? 三个同心薄金属球壳 A,B,D,半径分别为 a,b,d,而且
a<b<d,球壳 B与地相连接。求球壳 A与 D之间的有效电容。假定金
属球离地很远。
? 有一些相同的电容器，电容都是 2× 10-6F,耐压都是 200V。 现要获
得耐压为 1000V,电容分别为（ 1） C=0.40 × 10-6F和（ 2） C=1.2
× 10-6F的电容器组，问需这种电容器多少个？如何连接？
§ 2.5 静电场的能量
? 带电导体的静电能
? 电场的能量
? 静电场对导体的作用力
? 静电场能量的计算
带电导体的静电能
? 导体系的静电能
? 电容器的能量
i
i
iQW ?? ?2
1
C
QCUQUW 22
2
1
2
1
2
1 ???
电场的能量
电能是电场的能量
静电能分布在静电场中；当电场随时间变化时，场可以
脱离电荷单独存在，以有限的速度在空间传播，形成电
磁波。场是能量的携带者。
电场的能量密度
整个电场的能量
（总能量 =固有能 +相互作用能）
当场随时间 变化时,此式依然正确 。
2
02
1 E?? ?
dVEW V?? 2021 ?
静电场对导体的作用力
? 导体表面任一面元受到的静电场力为
? 单位面积所受到的静电场力为
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02
1
2
1 ?? ??
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02
1
静电场能量的计算
例题 1：由电场能量密度出发计算均匀带电球壳的固有能 。
例题 2：求半径为 R,带电量为 q的球形导体两半球之间的
相互排斥力
R
qdVW
V
2
08
1
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2
2
032
1
R
qdFFF
xx ????? ?
思考题：
? 将一接地的导体 B接近一带正电的孤立导体 A时,A的
电势升高还是降低？
? 带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带
电过程中外力反抗电力作的功，那么在使一个“点电
荷”带电的过程中，点电荷的概念是否仍然有效？
? 平行板电容器充电后两极板的面电荷密度分别为 +
和 -,求极板上单位面积的受力。
?
?
计算题：
? 一平行板电容器极板面积为 S,间距为 d,带电± Q,将极板的距
离拉开一倍，问：
（ 1）静电能改变多少？
（ 2）抵抗电场力作了多少功？
? 如果上述电容器接在电源上以保持电压为 U,将极板的距离拉开
一倍，问：
（ 1）静电能的改变？
（ 2）电场对电源作的功？
（ 3）外力对极板作的功？
? 一置于均匀电场中的半径为 R的中性导体球，球面感应电荷密度
为,求带有同号电荷的球面所受的电场力。??? c o s
0?
教学目的：
掌握导体在静电场中的性质；理解导体静电平衡条
件, 导体与静电场的相互作用和影响；
能够熟练运用有关物理概念和规律, 计算有导体存
在时的电场强度和电势；
掌握电容的概念和计算电容器电容的一般方法；
掌握静电场能量的意义和计算 。
第二章 静电场与导体
第二章 静电场与导体
§ 2.1 静电场中的导体
§ 2.2 静电场的唯一性
§ 2.3 尖端效应
§ 2.4 电容和电容器
§ 2.5 静电场的能量
§ 2.1 静电场中的导体
? 导体的静电平衡条件
? 导体上的电荷分布
? 导体表面的场强
? 静电屏蔽
? 尖端效应
? 静电场的计算
导体的静电平衡条件
静电平衡状态,
带电体系中的电荷静止不动时, 称为处于静电平
衡状态 。
实验表明, 通过电荷在导体上的流动以建立新的
平衡所需要的时间仅约 10-8— 10-10S。
静电平衡条件,达到静电平衡时,
（ 1） 导体内部场强处处为零；
（ 2） 导体是等势体；
同时：导体外表面附近的场强与导体表面垂直,
导体外表面是等势面 。
导体上的电荷分布
一般结论,达到静电平衡时，导体所带的电荷都分布在导体
表面上，导体内部不可能有未抵消的净电荷。
实心导体,如果导体带电，电荷一定分布于表面上。
空心导体, 空腔内没有电荷时，导体所带的电荷分布于导体
外表面上，空腔中没有电荷。空腔中有电荷 Q时，内表面感
应电荷为 -Q
导体外表面的面电荷分布,
一般情况, 与导体形状, 所带总电量及周围其它场源产
生的电场有关 。 孤立导体, 面电荷分布只与导体形状有关 。
表面曲率越大的地方, 面电荷密度越大
导体表面的场强
方向,
导体表面的场强垂直于导体表面；
（否则导体表面不可能是等势面）
大小：
由高斯定理可求得场强大小为
由此可知，
导体表面电荷面密度越大的地方，电场强度也越大。
（即使条件变化引起电荷分布的改变，场强与电荷面密度
的关系不变）
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静电屏蔽
屏蔽作用,
静电平衡状态下的导体空腔内的场强为零, 因此空腔导体有
屏蔽作用 。
屏蔽类型,
（ 1） 导体外表面上的电荷和外界电荷激发的合电场在导体内部
为零, 所以放在导体空腔内的物体, 将不受外电场的影响 。
（ 2） 要屏蔽一个带电体, 使其不影响外界, 则必须将其放在接
地的空心导体内部 。
物理实质,
导体在电场作用下, 自由电荷重新分布, 感应电荷产生的场与
源电荷产生的场在一特定区域内合场强处处为零, 从而使处在
该区域内的物体不受电场作用 。
尖端效应
尖端效应的现象
在带电体尖端处, 电荷面密度很大, 附近场强也很大
（ 2— 3× 106V/m ）, 以致使周围的空气局部击穿, 产生电晕放
电现象 。
尖端效应的弊端,
电晕放电使大量电荷漏失于空气中, 浪费电能；对通信线
路造成干扰；电晕放电过程中产生的臭氧对绝缘物, 金属等有
腐蚀作用；放电时的火花会导致易燃物着火, 引起爆炸 。
尖端效应的应用,
避雷针
范德格拉夫起电机
场致发射显微镜
负氧离子发生器
静电场的计算
计算导体周围电场 ——
基本原则,
找出导体表面的电荷分布, 这种分布使每个导体内部各点的
合场强均为零, 每个导体都有一定的电势 。
具体方法,
通常先假定导体表面的电荷面密度为 σ,再根据导体的静电平
衡条件用叠加原理与库仑定律或由高斯定理和环路定理求出 σ
静电场的计算
例题 1,带电均匀金属平板, 求两表面上电荷单独产生电场和合场强 。
金属板内部 E=0,外表面
例题 2,一板带电, 另一板不带电, 平行放置, 求各表面电荷密度
例题 3：用导线连接两个相距甚远大小不等, 电量不等的导体球, 求
静电平衡时, 两导体球上电荷面密度之比 。
例题 4,点电荷置于不带电的导体球壳中心, 求球壳的电势 。
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思考题：
? 下列各叙述是否正确？
（ 1）接地的导体不带电；
（ 2）一导体的电势为零，则该导体不带电；
（ 3）任何导体，只要它所带的电量不变，则其电势也是不变的。
? 在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一
电量为 q的点电荷，球外离开球心为 r处的 P点的场强如何确定？
? 金属球 A内有两个球形空腔，此金属球整体不带电，在两空腔中
心绝缘地各放置一点电荷 q1和 q2,球外远处有一固定的点电荷 q,q
到球心的距离 r 比球的半径大得多，试讨论：
（ 1） q受到的静电力（ 2） q1受到 q的作用力（ 3） q受到 q2的作用
力；（ 4） q1受到 q2的作用力；（ 5）若释放 q,刚释放时的加速度。
计算题：
? 试证明：对于两个无限大带电的平行平面导体板，若周围无其他
带电体存在，则（ 1）相向的两个面上，电荷的面密度总是大小相
等而符号相反；（ 2）相背的两个面上，电荷的面密度总是大小相
等而符号相同。
? 金属球壳的内外半径分别为 a和 b,带电量为 Q,球壳内距球心 O为 r
处置一电量为 q的点电荷。求球心 O点的电势。
? 两个相等的电荷 +q和 -q相距 2d,一个接地导体球放在它们中间，
（ 1）如果要使这两个点电荷所受的作用力的矢量和都为零，计算
球的最小半径；（ 2）如果使导体球具有电势，球的半径如（ 1）
中所求，问每个电荷受力多少？
§ 2.2 静电场的唯一性
问题的提出,在什么条件下, 静电场有唯一确定的解？
静电学中的两类典型问题 ——
（ 1） 已知每个导体的电势,
（ 2） 已知每个导体的总电量,
求场中各点的场强或电势以及导体上电荷的分布 。
问题的实质是寻找满足边值关系的静电场分布 。
定理的内容,满足边值条件的存在于空间的电场分布是唯一的 。
定理的意义,既然在给定条件下静电场的分布是唯一的, 不论
用什么方法找到的满足条件的解, 一定是要寻找的那个唯一真正
的解 。
§ 2.4 电容和电容器
? 孤立导体的电容
? 电容器及其电容
? 电容器电容的计算
? 电容器电容的串联和并联
孤立导体的电容
? 孤立导体电容的定义,
（ 1F=1C/V）
意义,
电容与电荷及电势的值无关，而只与导体的大小
及几何形状有关，反映该导体在给定电势的条件下储
存电量能力的大小 。
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电容器及其电容
电容器,两个导体组成, 两导体间的电势差与电量间的正比关系
不受周围其他带电体或导体的影响 。
电容器电容的定义,
意义,电容仅由电容器的几何结构决定 。 电容的大小反映了当电
容器两极间存在一定电势差时, 极板上贮存电量的多少 。
说明：
电容器两极板所带电荷的绝对值不相等时, Q应是用导线将
两极板相连时, 自正极板流向负极板的电荷 。
任何两个由电介质或真空隔开的导体面之间都有一定的电
容 —— 分布电容 。
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电容器电容的计算
平行板电容器
球形电容器
当 RB >>RA 时,
圆柱形电容器
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电容器电容的串联和并联
电容器的串联
特点：两端电压等于各电容器电压之和；
各电容器所带电量相等,
总电容
电容器的并联
特点：电容器所带电量为各电容器电量之和；
各电容器电压相等；
总电容
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11
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1
思考题：
? 两个很大的金属平行平板，其面积为 S,两板之间的距离为 d (d很
小），两板带有等量同号电荷，能否计算这两导体的电容？其电
容是否由平行板电容器的公式给出？
? 平行板电容器充电后与电源断开，然后使极板间距增大,问电容器
的电容、两极间的电压和场强如何变化？
? 平行板电容器中有一薄金属板，当金属板向某极靠近时，这个系
统的电容将如何变化？
? 六只相同的电容器 C＝ 8μF耐压 U＝ 500V,先将它们每两个并联成
一组，再将各组串联起来，此电路正常工作时两端电压不能超过
多少？
计算题：
? 两根平行长直导线，截面半径都是 a,中心轴线之间的距离为 d
(d>>a),求它们单位长度的电容。
? 半径分别为 a 和 b 的两个金属球，球心间距为 r,（ r>>a,r>>b),今
用一根电容可忽略的细导线将两球相连，试求：
（ 1）该系统的电容；
（ 2）当两球所带的总电荷是 Q时，每一球上的电荷是多少？
? 三个同心薄金属球壳 A,B,D,半径分别为 a,b,d,而且
a<b<d,球壳 B与地相连接。求球壳 A与 D之间的有效电容。假定金
属球离地很远。
? 有一些相同的电容器，电容都是 2× 10-6F,耐压都是 200V。 现要获
得耐压为 1000V,电容分别为（ 1） C=0.40 × 10-6F和（ 2） C=1.2
× 10-6F的电容器组，问需这种电容器多少个？如何连接？
§ 2.5 静电场的能量
? 带电导体的静电能
? 电场的能量
? 静电场对导体的作用力
? 静电场能量的计算
带电导体的静电能
? 导体系的静电能
? 电容器的能量
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电场的能量
电能是电场的能量
静电能分布在静电场中；当电场随时间变化时，场可以
脱离电荷单独存在，以有限的速度在空间传播，形成电
磁波。场是能量的携带者。
电场的能量密度
整个电场的能量
（总能量 =固有能 +相互作用能）
当场随时间 变化时,此式依然正确 。
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静电场对导体的作用力
? 导体表面任一面元受到的静电场力为
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静电场能量的计算
例题 1：由电场能量密度出发计算均匀带电球壳的固有能 。
例题 2：求半径为 R,带电量为 q的球形导体两半球之间的
相互排斥力
R
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思考题：
? 将一接地的导体 B接近一带正电的孤立导体 A时,A的
电势升高还是降低？
? 带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带
电过程中外力反抗电力作的功，那么在使一个“点电
荷”带电的过程中，点电荷的概念是否仍然有效？
? 平行板电容器充电后两极板的面电荷密度分别为 +
和 -,求极板上单位面积的受力。
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计算题：
? 一平行板电容器极板面积为 S,间距为 d,带电± Q,将极板的距
离拉开一倍，问：
（ 1）静电能改变多少？
（ 2）抵抗电场力作了多少功？
? 如果上述电容器接在电源上以保持电压为 U,将极板的距离拉开
一倍，问：
（ 1）静电能的改变？
（ 2）电场对电源作的功？
（ 3）外力对极板作的功？
? 一置于均匀电场中的半径为 R的中性导体球，球面感应电荷密度
为,求带有同号电荷的球面所受的电场力。??? c o s
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