第四章 稳恒电流的磁场
?研究问题,真空中稳恒磁场的基本性质和规律
?教学要求,
（ 1）掌握应用毕 — 萨定律求解磁场的计算方法；
（ 2）掌握磁场的高斯定理和安培环路定理，了解
稳恒磁场的性质；
（ 3）掌握稳恒电流的磁场对载流导线和运动电荷
作用力的规律及应用。
第四章 稳恒电流的磁场
§ 4.1 基本磁现象 安培定律
§ 4.2 电流的磁场 磁感强度
§ 4.3 稳恒电流磁场的基本方程式
§ 4.4 带电粒子在电场和磁场中的运动
§ 4.1 基本磁现象 安培定律
? 磁现象
? 电流间的相互作用力 安培定律
? 安培定律的应用
? 思考题和计算题
磁现象
? 人类对磁性现象的认识始于天然磁石的研究 。
? 基本磁现象：
磁铁对磁铁的相互作用
电流对磁铁的作用
磁铁对电流的作用
电流对电流的作用
? 磁现象的本质：
安培分子环流假说 —— 磁性起源于分子电流 。
电流间的相互作用力 安培定律
安培对磁现象的认识：
载流螺线管与条形磁铁的等效性实验
平行载流直导线相互作用实验
问题,电流之间是怎样相互作用的？
实验结论：
两个载流回路间的作用力与带电体之间的相互作
用相似 。 任意电流周围的空间有由此电流所引起的力场存
在着, 而这力场施力于场中的其它电流 。
电流间的相互作用力 安培定律
分析：
决定电流之间相互作用的问题分解为两个比较
简单的问题 ——
决定任意电流的磁场；
决定已知磁场作用于在这一磁场中的电流上的力 。
研究方法：
通过探索电流元之间的相互作用, 了解电流之间
相互作用的规律 。
电流间的相互作用力 安培定律
电流元 1 对电流元 2 的作用力为,
意义,两电流元之间作用力大小为
方向由双重叉积决定 。
比例系数
2
21
211122
21
)(
r
edIdIkFd ?????? ???
2
21
212121
21
s ins in
r
ddIIkdF ?????
):(104 0270 真空磁导率??? ?? ??? ANk
电流间的相互作用力 安培定律
安培定律：
两个载流回路之间的相互作用力为
此结论与实验结果一致
两个电流元之间的作用力不符合牛顿第三定律（孤
立的电流元根本不存在），但两个闭合回路之间的作
用力完全符合牛顿第三定律。
? ? ???? 1 221 2
21
211122 )(
C CCC r
edIdIkF ??????
安培定律的应用
方法,
将载流回路看成是大量无限短的电流元的集合, 由电流元
之间相互作用力的规律而得到电流之间的相互作用力 。
例题,
求两平行的无限长载流直导线之间的相互作用力 。
载流导线 1作用于载流导线 2的单位长度上的力为
当两电流同方向时为吸引力, 反方向时为排斥力 。
rer
IIf ??
?
?
2
210??
思考题：
? 在安培定律的表达式中，若 r →0,则 dF →∞,这一结
论是否正确？如何解释？
? 比较库仑定律在静电学中的地位与安培定律在静磁学
中的地位。
? 把一个电流元依次放在无限长的载流直导线附近的两
点 A和 B，如果 A点和 B点到导线的距离相等，问电流
元所受到的磁力大小是否一定相等？
计算题：
? 根据安培定律证明：
两个电流元之间的作用力不符合牛顿第三定律
（孤立的电流元根本不存在）；
但两个闭合回路之间的作用力完全符合牛顿第三
定律。
? 两根无限长平行载流直导线 AB和 CD，垂直距离为 a，
电流分别为 I1和 I2，方向相同，求两导线每单位长
度所受的作用力。
)2( 210
1
21
2
12
a
II
dl
df
dl
df
?
???
§ 4.2 电流的磁场 磁感强度
? 磁场
? 毕奥 — 萨伐尔定律
? 毕奥 — 萨伐尔定律的应用
? 平面载流线圈在磁场中所受的力和力矩
? 思考题和计算题
磁场
磁相互作用的本质
磁相互作用通过磁场来传递
电流 （ 磁铁 ） ? 磁场 ? 电流 （ 磁铁 ）
磁相互作用归根结底是电流之间的相互作用
运动电荷 ? 磁场 ? 运动电荷
运动电荷的性质
不仅产生电场, 而且产生磁场；
除受电场力作用外, 还受到磁场力的作用 。
磁场
磁感应强度
通过磁场对电流的作用引入描写磁场的物理量
磁感应强度的定义,
载流回路的磁场对电流元的作用力
引入
（ 安培公式 ）
? ??? C rr eIddIF 20004
???
??? ??
? ?? C rr eIdB 204
????
?
?
BdIF ???? ?? 00
磁场
磁感应强度矢量的意义
磁感应强度是一个矢量, 其大小等于试探电
流元在该点所受最大磁场力的大小, 方向由右手定
则确定 （ 电流元不受力的方向 ） 。
适用条件,
磁感应强度的定义适用于任意磁场 。
磁感应强度的单位,特斯拉 （ 1T=1N·A-1·m -1）
毕奥 — 萨伐尔定律
表达式：
意义：
电流元所激发的磁场在距离为 r 处的磁感应强
度。
叠加原理：
整个闭合回路激发的磁场是各电流元所激发磁
场的矢量和。
2
0
4 r
eIdBd r???? ??
?
?
? ?? C rr eIdB 204
????
?
?
毕奥 — 萨伐尔定律
说明：
（ 1） 一个孤立的稳恒的电流元并不存在, 毕奥 — 萨伐
尔定律的正确性只能从由它所推出的结果与实验符合这一事实
来断定 。
（ 2） 根据广泛的实验材料, 电子论将电流的相互作
用归结为运动电子的相互作用, 每一个电流元都是名符其实的
电流元 。 因此将非无限小电流分解成诸电流元的总和这一数学
方法, 在某一方面和所有电流都可归结为个别电子 （ 或离子 ）
的运动这一近代的物理观念相一致 。
（ 3） 对于非线性导体, dV
r
rjB
C
r? ??
3
0
4
???
?
?
毕奥 — 萨伐尔定律的应用
例题 1：求无限长载流直导线的磁场
应用 —— 无限大载流平面的磁场
例题 2：求圆电流轴线上的磁场
应用 —— 旋转带电圆盘轴线上的磁场
例题 3：求载流螺线管内部的磁场
r
IB
?
?
2
0?
iB 021 ??
? ? 2322
2
0
2 xR
IRB
?
? ?
)22(2 22 220 xxR xRB ???? ???
)c o s( c o s21 210 ??? ?? nIB
平面载流线圈在磁场中所受的力和力矩
载流线圈磁矩的定义：
磁场对载流回路的力矩
提供另一种定义磁感应强度的大小和方向的方法 。
力矩有使磁矩转向与外场方向相平行的趋势
相互作用能的变化可以用磁矩作的功来量度
磁矩一定的载流小回路 —— 磁偶极子 。
非均匀磁场中,
载流回路除受到磁场的力矩作用外, 还受到不等于零的
合力的作用, 因此回路将发生移动 。
SIm ?? ?
Bm ??? ???
思考题：
? 比较电场强度和磁感应强度的定义，为什么不以磁场
作用于电流元上的力的方向作为磁场的方向？
? 比较电偶极子在电场中所受的电场力和力矩与磁偶极
子在磁场中所受的磁场力和力矩。
? 在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的
线圈，一个是三角形，另一个是矩形。问两者所受到
的磁力是否相同？所受到的最大磁力矩是否相同？
计算题：
? 载流正方形线圈的边长为 2a，通以电流 I，求线圈轴线上距
其中心 O为 r 处的磁感强度。
? 在半径为 R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相
互平行，以单层盖住半个球面。沿导线流过的电流为 I,总
匝数为 N，求此电流在球中心 O产生的磁感强度
? 一多层螺线管内外半径分别为 R1和 R2，长为 2L，设总匝数为
N，导线中通过的电流为 I,求这螺线管中心 O点的磁感强度。
))2)(( 2(
212222
2
0
arar
IaB
??? ?
?
)4( 0 RNIB ??
)ln)(2(
22
11
22
22
12
0
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?? lRR
lRR
RR
NIB ?
§ 4.3 稳恒电流磁场的基本方程式
? 磁场的高斯定理
? 磁场的安培环路定理
? 稳恒电流磁场的基本方程式
? 思考题和计算题
磁场的高斯定理
磁感应线：
规定,切线方向与该点的磁感应强度的方向相同
疏密程度正比与磁感应强度的大小 。
性质,磁感应线是无头无尾的闭合曲线,
与产生磁场的闭合电流线相互交链着 。
高斯定理
磁通量,（ 韦伯 1Wb=1T·m2）
定理内容：
对于稳恒电流的磁场, 通过任意闭合曲面的磁通量恒等于
零 。
意义：磁感应线都是闭合的, 自然界不存在磁荷 。
? ??? S SdB ??
? ??S SdB 0??
磁场的安培环路定理
定理内容,
在稳恒电流的磁场中, 磁感应强度沿任意闭合路径的线
积分, 等于穿过这一闭合路径的全部电流代数和的 μ0倍 。
物理意义, 磁场的环流不为零, 是非保守场 （ 有旋场 ） 。
一定有电流穿过闭合的磁感应线 。 电流以涡旋方式激发
磁场
适用范围,只对闭合电流的磁场成立 。
电流分布在广延导体中时,
? ???S k kIdB 0????
? ? ???S SdjdB ????? 0?
磁场的安培环路定理
安培环路定理的应用：
当电流分布具有高度对称性时，可以应用安培
环路定理方便地计算磁感应强度
例题 1：无限长载流圆柱体磁场的计算
例题 2,无限长载流螺线管内部磁场的计算
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
2
)(
2
0
2
0
Rr
r
I
Rrr
R
I
B
?
?
?
?
nIB 0??
稳恒电流磁场的基本方程式
磁场的高斯定理
—— 磁场是无源场, 磁感线具有闭合性
安培环路定理
—— 磁场是有旋场
?? ? SS d B0 ? ?
? ???S k kIdB 0????
思考题：
? 从毕奥 — 萨伐尔定律出发，证明稳恒电流磁场的
高斯定理。
? 一根磁感应线上各点的 B的值是否恒定？在没有
电流的区域，是否可能存在着有这样的磁感应线：
它们是一族平行直线，但是沿着与它垂直的方向
逐渐变密？为什么？
? 能否直接应用安培环路定理求长为 L的载流直导
线产生的磁场？
? 在载流螺线管的外面环绕闭合路径一周，磁感强
度的回路积分等于多少？
计算题：
? 同轴电缆由一导体圆柱和一与它同轴的
导体圆筒所构成。使用时，电流 I 从一
导体流入，从另一导体流出，设导体中
的电流均匀地分布在横截面上，圆柱的
半径为 R1，圆筒的内外半径分别为 R2和
R3，求空间各处的磁感应强度。
? 在一个半径为 a的无限长圆柱形导体内
挖一个半径为 b 的圆柱形空腔，它们的
轴线互相平行，两轴的距离为 d(b>a+d),
电流密度沿着截面均匀分布，求空腔内
的磁感应强度。
)(0
)(
)(2
)(
)(
2
)0(
2
3
322
2
2
3
22
30
21
0
12
1
0
RrB
RrR
RRr
rRI
B
RrR
r
I
B
Rr
R
Ir
B
??
??
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
轴的平面垂直和方向与过 OO
djB
?
? 20?
§ 4.4 带电粒子在电场和磁场中的运动
? 洛伦兹力
? 带电粒子在匀强磁场中的运动
? 带电粒子在电磁场中运动的实例
? 思考题和计算题
洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力
意义：磁场对运动电荷的作用力大小为
方向垂直于带电粒子速度和磁感应强度所组成的平面 。
特点：作用力恒与粒子运动方向垂直 —— 它不对粒子作功
只改变粒子的运动方向, 不改变其速率 。
洛伦兹力公式 空间除了存在磁场外，还存在电场，
则运动电荷所受到的力为
—— 电磁现象中最基本的规律之一
BvqF ??? ??
?s inqv BF ?
)( BvEqF ???? ???
带电粒子在匀强磁场中的运动
横向匀强磁场中带电粒子的运动
（ 磁感应强度与带电粒子速度互相垂直 ）
带电粒子受力
带电粒子运动 —— 匀速圆周运动
半径, 周期 频率
特点,R与 v成正比, T和 f与 v无关 。
应用这一结果, 促成了宇宙线中正电子的发现 。
qvBF ?
m
Bq
vR ?
m
BqT
?2? mqBTf ?21 ??
带电粒子在匀强磁场中的运动
纵向匀强磁场中带电粒子的运动
（ 磁感应强度与带电粒子速度互相平行 ）
带电粒子受力 F=0
带电粒子运动 —— 匀速直线运动
运动速度 V恒定不变
带电粒子在匀强磁场中的运动
任意方向的匀强磁场中带电粒子的运动
带电粒子受力
带电粒子运动 —— 螺旋线运动
螺距 回转半径
磁聚焦原理：带电粒子流在磁场的作用下, 各粒子
沿不同半径的螺旋线前进, 经过一个螺距后重新会聚 ——
类似于光束经过透镜后聚焦的现象 。
BvqBvvqF ?????? ????? íí// )(
qB
mvTvh //
//
2??? qBímvR ?
带电粒子在电磁场中运动的实例
电子荷质比的测量
原理, 利用电场和磁场对带电粒子的作用, 通过测量带
电粒子在电磁场中的偏转计算电子的电荷和质量之比 。
结论：
意义,第一次发现电子 。
1897年, J.J.汤姆孙通过电场和磁场对阴极射线的作用,
得出了这种射线不是以太波而是物质微粒的结论, 并测量了这些
微粒的荷质比 。 射线质粒的荷质比很大, 说明这种质粒是比原子
更小的质粒 —— 电子 。
111
2 107.1
????? kgC
LaB
Ed
m
q
带电粒子在电磁场中运动的实例
质谱仪
原理,将物质电离成离子, 利用电场与磁场对离子的
作用将不同质量的离子分离开并对离子的质量进行定性或定量的
分析 。
结论,
意义, 把电荷相同而质量不同的各个粒子分开
—— 发现同位素的方法 。
（ 同位素：同一种化学元素的原子的质量不一定相等, 这些
质量不等的原子称为同位素, 它们的原子核中含有不同数量的中
子 ）
22
2
rB
U
m
q ?
带电粒子在电磁场中运动的实例
回旋加速器
原理,利用电场对带电粒子加速, 利用磁场使带电粒子
偏转, 循环作半径渐增而周期不变的圆周运动, 粒子多次经过一个
较小的电势差作用而获得甚高的能量 。
结论,最大速度 最大动能
意义,研究粒子物理的最基本的实验设备之一, 用于加
速带电粒子 。 当速度很大时, 根据相对论效应调节振荡电源的频率,
使之与粒子在磁场中运动的时间同步, 可制成同步回旋加速器 。
BRmqv ???????m a x 22221 RBmqE k ?
带电粒子在电磁场中运动的实例
霍耳效应
现象, 导电板放在垂直磁场中, 当有电流通过时, 导电板的
两侧产生电势差 。 （ 霍耳, 1879年 ）
结论, （ 为霍耳系数 ）
电势差与电流和磁感应强度成正比, 与板的厚度成反比 。
原因, 磁场对载流子的作用力方向与其所带电荷的正负有关 。
意义, 测量霍耳系数, 可测得导体中载流子的密度；
根据霍耳系数的正负, 可以判断载流子所带电荷的符号；
用于测量磁场的磁感应强度, 亦可用于测量电流 。
d
IBKU
AA ?? nqK
1?
思考题：
? 电量为 q的点电荷在均匀磁场中运动，判断下列说法是否正确？
1、只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就相同；
2、速度不变时，电荷反号，力方向反向，数值不变；
3,V,B,F三个矢量，已知任意两个量的大小和方向，就能判定
第三个量的大小和方向；
4、质量为 m 的运动电荷，受到洛伦兹力后，其动能与动量不变。
? 如果认为磁场对载流导体的安培力的起源是磁场作用于载流子
的洛伦兹力通过与产生霍耳电场的电荷间的相互作用，最终把
力传递给导体，那么当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流
并处在相同的磁场中时，导体受到的安培力是否相同？
计算题：
? 在空间有互相垂直的均匀电场 E 和均匀磁场 B, B沿 x轴方向，
E 沿 z 轴方向。一电子开始以速度 V向 y 轴方向前进，求电子
运动的轨迹。
? 在方向一致的电场和磁场中运动着的电子，其法向和切向加速
度如何？（ 1）电子的速度 v沿着场的方向；（ 2）电子的速度 v
垂直于场的方向。
)c os1)((
s in)(
0
2
2
t
m
eB
vbE
eB
m
z
t
m
eB
t
m
eB
vbE
eB
m
vty
x
????
??
?
??
?
????
?
22)(;0)2(;0;)1( EvBmeaaameEa ntnt ??????
?研究问题,真空中稳恒磁场的基本性质和规律
?教学要求,
（ 1）掌握应用毕 — 萨定律求解磁场的计算方法；
（ 2）掌握磁场的高斯定理和安培环路定理，了解
稳恒磁场的性质；
（ 3）掌握稳恒电流的磁场对载流导线和运动电荷
作用力的规律及应用。
第四章 稳恒电流的磁场
§ 4.1 基本磁现象 安培定律
§ 4.2 电流的磁场 磁感强度
§ 4.3 稳恒电流磁场的基本方程式
§ 4.4 带电粒子在电场和磁场中的运动
§ 4.1 基本磁现象 安培定律
? 磁现象
? 电流间的相互作用力 安培定律
? 安培定律的应用
? 思考题和计算题
磁现象
? 人类对磁性现象的认识始于天然磁石的研究 。
? 基本磁现象：
磁铁对磁铁的相互作用
电流对磁铁的作用
磁铁对电流的作用
电流对电流的作用
? 磁现象的本质：
安培分子环流假说 —— 磁性起源于分子电流 。
电流间的相互作用力 安培定律
安培对磁现象的认识：
载流螺线管与条形磁铁的等效性实验
平行载流直导线相互作用实验
问题,电流之间是怎样相互作用的？
实验结论：
两个载流回路间的作用力与带电体之间的相互作
用相似 。 任意电流周围的空间有由此电流所引起的力场存
在着, 而这力场施力于场中的其它电流 。
电流间的相互作用力 安培定律
分析：
决定电流之间相互作用的问题分解为两个比较
简单的问题 ——
决定任意电流的磁场；
决定已知磁场作用于在这一磁场中的电流上的力 。
研究方法：
通过探索电流元之间的相互作用, 了解电流之间
相互作用的规律 。
电流间的相互作用力 安培定律
电流元 1 对电流元 2 的作用力为,
意义,两电流元之间作用力大小为
方向由双重叉积决定 。
比例系数
2
21
211122
21
)(
r
edIdIkFd ?????? ???
2
21
212121
21
s ins in
r
ddIIkdF ?????
):(104 0270 真空磁导率??? ?? ??? ANk
电流间的相互作用力 安培定律
安培定律：
两个载流回路之间的相互作用力为
此结论与实验结果一致
两个电流元之间的作用力不符合牛顿第三定律（孤
立的电流元根本不存在），但两个闭合回路之间的作
用力完全符合牛顿第三定律。
? ? ???? 1 221 2
21
211122 )(
C CCC r
edIdIkF ??????
安培定律的应用
方法,
将载流回路看成是大量无限短的电流元的集合, 由电流元
之间相互作用力的规律而得到电流之间的相互作用力 。
例题,
求两平行的无限长载流直导线之间的相互作用力 。
载流导线 1作用于载流导线 2的单位长度上的力为
当两电流同方向时为吸引力, 反方向时为排斥力 。
rer
IIf ??
?
?
2
210??
思考题：
? 在安培定律的表达式中，若 r →0,则 dF →∞,这一结
论是否正确？如何解释？
? 比较库仑定律在静电学中的地位与安培定律在静磁学
中的地位。
? 把一个电流元依次放在无限长的载流直导线附近的两
点 A和 B，如果 A点和 B点到导线的距离相等，问电流
元所受到的磁力大小是否一定相等？
计算题：
? 根据安培定律证明：
两个电流元之间的作用力不符合牛顿第三定律
（孤立的电流元根本不存在）；
但两个闭合回路之间的作用力完全符合牛顿第三
定律。
? 两根无限长平行载流直导线 AB和 CD，垂直距离为 a，
电流分别为 I1和 I2，方向相同，求两导线每单位长
度所受的作用力。
)2( 210
1
21
2
12
a
II
dl
df
dl
df
?
???
§ 4.2 电流的磁场 磁感强度
? 磁场
? 毕奥 — 萨伐尔定律
? 毕奥 — 萨伐尔定律的应用
? 平面载流线圈在磁场中所受的力和力矩
? 思考题和计算题
磁场
磁相互作用的本质
磁相互作用通过磁场来传递
电流 （ 磁铁 ） ? 磁场 ? 电流 （ 磁铁 ）
磁相互作用归根结底是电流之间的相互作用
运动电荷 ? 磁场 ? 运动电荷
运动电荷的性质
不仅产生电场, 而且产生磁场；
除受电场力作用外, 还受到磁场力的作用 。
磁场
磁感应强度
通过磁场对电流的作用引入描写磁场的物理量
磁感应强度的定义,
载流回路的磁场对电流元的作用力
引入
（ 安培公式 ）
? ??? C rr eIddIF 20004
???
??? ??
? ?? C rr eIdB 204
????
?
?
BdIF ???? ?? 00
磁场
磁感应强度矢量的意义
磁感应强度是一个矢量, 其大小等于试探电
流元在该点所受最大磁场力的大小, 方向由右手定
则确定 （ 电流元不受力的方向 ） 。
适用条件,
磁感应强度的定义适用于任意磁场 。
磁感应强度的单位,特斯拉 （ 1T=1N·A-1·m -1）
毕奥 — 萨伐尔定律
表达式：
意义：
电流元所激发的磁场在距离为 r 处的磁感应强
度。
叠加原理：
整个闭合回路激发的磁场是各电流元所激发磁
场的矢量和。
2
0
4 r
eIdBd r???? ??
?
?
? ?? C rr eIdB 204
????
?
?
毕奥 — 萨伐尔定律
说明：
（ 1） 一个孤立的稳恒的电流元并不存在, 毕奥 — 萨伐
尔定律的正确性只能从由它所推出的结果与实验符合这一事实
来断定 。
（ 2） 根据广泛的实验材料, 电子论将电流的相互作
用归结为运动电子的相互作用, 每一个电流元都是名符其实的
电流元 。 因此将非无限小电流分解成诸电流元的总和这一数学
方法, 在某一方面和所有电流都可归结为个别电子 （ 或离子 ）
的运动这一近代的物理观念相一致 。
（ 3） 对于非线性导体, dV
r
rjB
C
r? ??
3
0
4
???
?
?
毕奥 — 萨伐尔定律的应用
例题 1：求无限长载流直导线的磁场
应用 —— 无限大载流平面的磁场
例题 2：求圆电流轴线上的磁场
应用 —— 旋转带电圆盘轴线上的磁场
例题 3：求载流螺线管内部的磁场
r
IB
?
?
2
0?
iB 021 ??
? ? 2322
2
0
2 xR
IRB
?
? ?
)22(2 22 220 xxR xRB ???? ???
)c o s( c o s21 210 ??? ?? nIB
平面载流线圈在磁场中所受的力和力矩
载流线圈磁矩的定义：
磁场对载流回路的力矩
提供另一种定义磁感应强度的大小和方向的方法 。
力矩有使磁矩转向与外场方向相平行的趋势
相互作用能的变化可以用磁矩作的功来量度
磁矩一定的载流小回路 —— 磁偶极子 。
非均匀磁场中,
载流回路除受到磁场的力矩作用外, 还受到不等于零的
合力的作用, 因此回路将发生移动 。
SIm ?? ?
Bm ??? ???
思考题：
? 比较电场强度和磁感应强度的定义，为什么不以磁场
作用于电流元上的力的方向作为磁场的方向？
? 比较电偶极子在电场中所受的电场力和力矩与磁偶极
子在磁场中所受的磁场力和力矩。
? 在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的
线圈，一个是三角形，另一个是矩形。问两者所受到
的磁力是否相同？所受到的最大磁力矩是否相同？
计算题：
? 载流正方形线圈的边长为 2a，通以电流 I，求线圈轴线上距
其中心 O为 r 处的磁感强度。
? 在半径为 R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相
互平行，以单层盖住半个球面。沿导线流过的电流为 I,总
匝数为 N，求此电流在球中心 O产生的磁感强度
? 一多层螺线管内外半径分别为 R1和 R2，长为 2L，设总匝数为
N，导线中通过的电流为 I,求这螺线管中心 O点的磁感强度。
))2)(( 2(
212222
2
0
arar
IaB
??? ?
?
)4( 0 RNIB ??
)ln)(2(
22
11
22
22
12
0
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?? lRR
lRR
RR
NIB ?
§ 4.3 稳恒电流磁场的基本方程式
? 磁场的高斯定理
? 磁场的安培环路定理
? 稳恒电流磁场的基本方程式
? 思考题和计算题
磁场的高斯定理
磁感应线：
规定,切线方向与该点的磁感应强度的方向相同
疏密程度正比与磁感应强度的大小 。
性质,磁感应线是无头无尾的闭合曲线,
与产生磁场的闭合电流线相互交链着 。
高斯定理
磁通量,（ 韦伯 1Wb=1T·m2）
定理内容：
对于稳恒电流的磁场, 通过任意闭合曲面的磁通量恒等于
零 。
意义：磁感应线都是闭合的, 自然界不存在磁荷 。
? ??? S SdB ??
? ??S SdB 0??
磁场的安培环路定理
定理内容,
在稳恒电流的磁场中, 磁感应强度沿任意闭合路径的线
积分, 等于穿过这一闭合路径的全部电流代数和的 μ0倍 。
物理意义, 磁场的环流不为零, 是非保守场 （ 有旋场 ） 。
一定有电流穿过闭合的磁感应线 。 电流以涡旋方式激发
磁场
适用范围,只对闭合电流的磁场成立 。
电流分布在广延导体中时,
? ???S k kIdB 0????
? ? ???S SdjdB ????? 0?
磁场的安培环路定理
安培环路定理的应用：
当电流分布具有高度对称性时，可以应用安培
环路定理方便地计算磁感应强度
例题 1：无限长载流圆柱体磁场的计算
例题 2,无限长载流螺线管内部磁场的计算
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
2
)(
2
0
2
0
Rr
r
I
Rrr
R
I
B
?
?
?
?
nIB 0??
稳恒电流磁场的基本方程式
磁场的高斯定理
—— 磁场是无源场, 磁感线具有闭合性
安培环路定理
—— 磁场是有旋场
?? ? SS d B0 ? ?
? ???S k kIdB 0????
思考题：
? 从毕奥 — 萨伐尔定律出发，证明稳恒电流磁场的
高斯定理。
? 一根磁感应线上各点的 B的值是否恒定？在没有
电流的区域，是否可能存在着有这样的磁感应线：
它们是一族平行直线，但是沿着与它垂直的方向
逐渐变密？为什么？
? 能否直接应用安培环路定理求长为 L的载流直导
线产生的磁场？
? 在载流螺线管的外面环绕闭合路径一周，磁感强
度的回路积分等于多少？
计算题：
? 同轴电缆由一导体圆柱和一与它同轴的
导体圆筒所构成。使用时，电流 I 从一
导体流入，从另一导体流出，设导体中
的电流均匀地分布在横截面上，圆柱的
半径为 R1，圆筒的内外半径分别为 R2和
R3，求空间各处的磁感应强度。
? 在一个半径为 a的无限长圆柱形导体内
挖一个半径为 b 的圆柱形空腔，它们的
轴线互相平行，两轴的距离为 d(b>a+d),
电流密度沿着截面均匀分布，求空腔内
的磁感应强度。
)(0
)(
)(2
)(
)(
2
)0(
2
3
322
2
2
3
22
30
21
0
12
1
0
RrB
RrR
RRr
rRI
B
RrR
r
I
B
Rr
R
Ir
B
??
??
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
轴的平面垂直和方向与过 OO
djB
?
? 20?
§ 4.4 带电粒子在电场和磁场中的运动
? 洛伦兹力
? 带电粒子在匀强磁场中的运动
? 带电粒子在电磁场中运动的实例
? 思考题和计算题
洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力
意义：磁场对运动电荷的作用力大小为
方向垂直于带电粒子速度和磁感应强度所组成的平面 。
特点：作用力恒与粒子运动方向垂直 —— 它不对粒子作功
只改变粒子的运动方向, 不改变其速率 。
洛伦兹力公式 空间除了存在磁场外，还存在电场，
则运动电荷所受到的力为
—— 电磁现象中最基本的规律之一
BvqF ??? ??
?s inqv BF ?
)( BvEqF ???? ???
带电粒子在匀强磁场中的运动
横向匀强磁场中带电粒子的运动
（ 磁感应强度与带电粒子速度互相垂直 ）
带电粒子受力
带电粒子运动 —— 匀速圆周运动
半径, 周期 频率
特点,R与 v成正比, T和 f与 v无关 。
应用这一结果, 促成了宇宙线中正电子的发现 。
qvBF ?
m
Bq
vR ?
m
BqT
?2? mqBTf ?21 ??
带电粒子在匀强磁场中的运动
纵向匀强磁场中带电粒子的运动
（ 磁感应强度与带电粒子速度互相平行 ）
带电粒子受力 F=0
带电粒子运动 —— 匀速直线运动
运动速度 V恒定不变
带电粒子在匀强磁场中的运动
任意方向的匀强磁场中带电粒子的运动
带电粒子受力
带电粒子运动 —— 螺旋线运动
螺距 回转半径
磁聚焦原理：带电粒子流在磁场的作用下, 各粒子
沿不同半径的螺旋线前进, 经过一个螺距后重新会聚 ——
类似于光束经过透镜后聚焦的现象 。
BvqBvvqF ?????? ????? íí// )(
qB
mvTvh //
//
2??? qBímvR ?
带电粒子在电磁场中运动的实例
电子荷质比的测量
原理, 利用电场和磁场对带电粒子的作用, 通过测量带
电粒子在电磁场中的偏转计算电子的电荷和质量之比 。
结论：
意义,第一次发现电子 。
1897年, J.J.汤姆孙通过电场和磁场对阴极射线的作用,
得出了这种射线不是以太波而是物质微粒的结论, 并测量了这些
微粒的荷质比 。 射线质粒的荷质比很大, 说明这种质粒是比原子
更小的质粒 —— 电子 。
111
2 107.1
????? kgC
LaB
Ed
m
q
带电粒子在电磁场中运动的实例
质谱仪
原理,将物质电离成离子, 利用电场与磁场对离子的
作用将不同质量的离子分离开并对离子的质量进行定性或定量的
分析 。
结论,
意义, 把电荷相同而质量不同的各个粒子分开
—— 发现同位素的方法 。
（ 同位素：同一种化学元素的原子的质量不一定相等, 这些
质量不等的原子称为同位素, 它们的原子核中含有不同数量的中
子 ）
22
2
rB
U
m
q ?
带电粒子在电磁场中运动的实例
回旋加速器
原理,利用电场对带电粒子加速, 利用磁场使带电粒子
偏转, 循环作半径渐增而周期不变的圆周运动, 粒子多次经过一个
较小的电势差作用而获得甚高的能量 。
结论,最大速度 最大动能
意义,研究粒子物理的最基本的实验设备之一, 用于加
速带电粒子 。 当速度很大时, 根据相对论效应调节振荡电源的频率,
使之与粒子在磁场中运动的时间同步, 可制成同步回旋加速器 。
BRmqv ???????m a x 22221 RBmqE k ?
带电粒子在电磁场中运动的实例
霍耳效应
现象, 导电板放在垂直磁场中, 当有电流通过时, 导电板的
两侧产生电势差 。 （ 霍耳, 1879年 ）
结论, （ 为霍耳系数 ）
电势差与电流和磁感应强度成正比, 与板的厚度成反比 。
原因, 磁场对载流子的作用力方向与其所带电荷的正负有关 。
意义, 测量霍耳系数, 可测得导体中载流子的密度；
根据霍耳系数的正负, 可以判断载流子所带电荷的符号；
用于测量磁场的磁感应强度, 亦可用于测量电流 。
d
IBKU
AA ?? nqK
1?
思考题：
? 电量为 q的点电荷在均匀磁场中运动，判断下列说法是否正确？
1、只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就相同；
2、速度不变时，电荷反号，力方向反向，数值不变；
3,V,B,F三个矢量，已知任意两个量的大小和方向，就能判定
第三个量的大小和方向；
4、质量为 m 的运动电荷，受到洛伦兹力后，其动能与动量不变。
? 如果认为磁场对载流导体的安培力的起源是磁场作用于载流子
的洛伦兹力通过与产生霍耳电场的电荷间的相互作用，最终把
力传递给导体，那么当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流
并处在相同的磁场中时，导体受到的安培力是否相同？
计算题：
? 在空间有互相垂直的均匀电场 E 和均匀磁场 B, B沿 x轴方向，
E 沿 z 轴方向。一电子开始以速度 V向 y 轴方向前进，求电子
运动的轨迹。
? 在方向一致的电场和磁场中运动着的电子，其法向和切向加速
度如何？（ 1）电子的速度 v沿着场的方向；（ 2）电子的速度 v
垂直于场的方向。
)c os1)((
s in)(
0
2
2
t
m
eB
vbE
eB
m
z
t
m
eB
t
m
eB
vbE
eB
m
vty
x
????
??
?
??
?
????
?
22)(;0)2(;0;)1( EvBmeaaameEa ntnt ??????
