第三章 稳恒电流
（ 1） 掌握电流的稳恒条件和导电规律 。 掌握电流的连续性方
程, 了解欧姆定律, 焦耳定律的微分形式及意义；
（ 2） 了解金属导电的微观机制 。
（ 3） 掌握电源电动势的概念和含源电路的欧姆定律, 能够熟练
计算简单和复杂电路的电流分布及有关问题；
（ 4） 清楚电桥, 电位差计的工作原理, 了解温差电现象及应
用 。
研究问题,
导体中稳恒电流的形成, 规律以及直流电路的计算 。
教学要求：
第三章 稳恒电流
§ 3.1 稳恒电流的闭合性
§ 3.2 欧姆定律
§ 3.3 固体导电机理
§ 3.4 电动势和全电路欧姆定律
§ 3.5 电路定理
§ 3.1 稳恒电流的闭合性
? 电流的形成
? 电流和电流密度
? 电流的连续性方程
稳恒电流的闭合性
? 思考题和习题
电流的形成
电流的形成,大量电荷的定向运动形成电流 。 （ 漂移运动 ）
形成电流的条件,
（ 1） 存在可以自由运动的电荷 （ 载流子 ） 。
（ 2） 存在迫使电荷作定向运动的某种作用 。
电流的效应,热效应, 磁效应, 化学效应, 机械效应等 。
说明：
（ 1） 传导电流 —— 金属和电解质导电时, 其内部是电中
性的, 这种电流称之为传导电流；
（ 2） 对流电流 —— 如电子管中的电流 。
电流和电流密度
电流强度,
定义,（ 1A=1C/s）
意义：描述导线中电流强弱的物理量 。 标量 。
电流密度矢量,
定义：
意义：细致描述电流分布的物理量 。 矢量 。
微观量表示：
t
QI
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SdjdI ?? ??
uNqj ?? ?
电流和电流密度
电流密度和电流强度的关系,
一个矢量场和它的通量的关系 。
通过任意曲面的电流反映的是单位时间内通过某一曲面
的总电量, 而电流密度则反映了空间各点电流的分布情况 。
电流线,
形象地描述空间各点电流密度的分布情况 。 电流线上每
一点的切线方向与该点电流密度的方向相同, 电流线的疏密
程度代表电流密度的大小 。
? ???? S S dSjSdjI ?c o s??
电流的连续性方程
表达式：
意义：
（ 1） 流出闭合面 S的电流 I等于 S面内部总电荷量的变
化率的负值 。 —— 电荷守恒定律的数学表述 。
（ 2） 电流场是有源场 。 电流线是发出或终止于电荷
密度发生变化的地方 。
? ???S dtdqSdj ??
电流的连续性方程
稳恒电流 —— 空间电流分布不随时间变化的电流 。
稳恒电流的基本性质 ——
（ 1） 空间各点的电荷分布不随时间变化 。
（ 2） 电流线闭合 。
（ 3） 空间各处电场不随时间变化, 电场能量也不随时间变化 。
(4） 稳恒电流电场必须由电源的非静电力维持，
电源向电场提供能量，电场对电流作功消耗能量，
电场在能量转换过程中起了媒介作用。
电流的连续性方程
稳恒电场与静电场的比较 — —
（ 1） 场源,
静电场由静止电荷所激发,
稳恒电场由空间分布不随时间变化的电荷激发；
（ 2） 场的基本性质：
稳恒电流电场仍为有源无旋场，遵守静电场的两个基本方程
（ 3） 区别,
对于稳恒电流电场，导体不再一定是等势体。
（金属导体内部的场强与电流密度有关），
而在静电平衡时，导体内部电场为零，导体为等势体。
思考题：
? 若导体内部有电流，即导体内部电流密度不为零，问
导体内部电荷体密度是否一定也不等于零？在电中性
的导体中能否有电流？
? 通过某一截面的电流强度为零，截面上的电流密度是
否必为零？反之如何？
? 在电解液中，正负离子均可运动导电，此时的电流密
度将如何描写？
? 设通过铜导线的电流密度 j=2.4A/mm2,铜的自由电子密
度为 8.4× 1028/m3,电子的定向运动速度 u有多大？若电
源到用电器的距离为 1km,则一个给定的电子从电源
运动到用电器要经历多少时间？
计算题：
? 有一真空二极管，其内阴极和阳极为一对平行导体板，
面积都是 2.0cm2,它们之间的电流 I完全是由电子从阴极
飞向阳极构成的。若电流 I=50mA,电子到达阳极时的
速率是 1.2× 107m·s-1,电子电荷 e=-1.6 × 10-19C,求阳极表
面外每立方毫米内的电子数 n,(1.3 × 105个）
? 在范德格拉夫静电起电机里，一宽为 30cm的橡皮带以
20m/s的速度运动，在下边的滚轴处给橡皮带表面输电，
橡皮带上的面电荷密度可以产生 40V/cm的静电场，问
运动的橡皮带所产生的相应电流是多少 mA?
（ 4.2 × 104mA)
§ 3.2 欧姆定律
? 欧姆定律
? 电阻率
? 欧姆定律的微分形式
? 电流的功率 焦耳定律
? 思考题和计算题
欧姆定律
? 内容：
在温度不变时, 一段金属导线中的电流 I与导线两端的
电势差成正比 。 （ 1826年 ）
? 导体电阻的定义,
导体上任意两个等势面间的电压与通过导体的电流之比
是一个与电流和电压都无关的量, 反映了导体本身的性质 。
导体电阻与导体开头及电流流动方式有关 。 即使同一导
体, 当电流流动的方式不同时, 对应的电阻也不同 。
UI?
I
UR?
欧姆定律
? 广延导体的电阻
（ 1） 对大块导体, 对确定的两接线柱, 导体的电阻定义为
两接线柱间的电压与流过接线柱的电流之比 。
（ 2） 对于几何形状简单的广延导体,
（ 3） 已知场强分布时, 可以利用静电学的结果, 求电阻,
两接线柱间的电压
选择包围接线柱的等势面, 通过该等势面的电流
则导体的电阻为
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? ?? ??? dEU
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I
UR?
欧姆定律
? 应用范围,
（ 1） 对于金属导体, 欧姆定律是十分准确的 。
只当电流大到每 cm2几百万 A时,,才发现有 1%的差异 。
? （ 2） 遵守欧姆定律的电学元件称为线性元件,
其电阻称为线性电阻或欧姆电阻 。 非线性元件不服从
欧姆定律, 伏安特性曲线不是直线 。 对于非线性元件,
欧姆定律虽不适用, 但仍可以定义其电阻 。
电阻率
? 导体电阻的大小与导体的材料及几何形状有关 。
? 电阻率,与导体的形状与大小无关, 只与导体材料及
温度有关 。
? 电导率,电阻率的倒数称为电导率
室温下, 金属电阻率在 10-8— 10-6Ωm之间；绝缘体电阻率
为 108— 1018Ωm,比金属大 1014倍以上 。 半导体材料的电阻率约在
10-5— 108Ωm范围 。
? 电阻率是选用金属材料的重要物理量 。
电阻率
? 电阻率与温度的关系,
（ 1） 多数纯金属的电阻率随温度的升高而增加 。 金属导
体的电阻随温度变化的性质可以用来制作电阻温度计 。
（ 2） 绝缘体和半导体的电阻率随温度升高而急剧减小 。
（ 3） 在极低温度下, 有些导体的电阻率突然减小到零 —
— 超导现象 。 （ 1911年, 荷兰物理学家昂纳斯发现 。 1987年, 超
导转变温度已达到 90K,超过液氮温度 ）
欧姆定律的微分形式
? 微分形式,
? 意义：
（ 1） 反映导体中某点的电流密度与该点的电场强度之间的
关系, 表示了物质的性质 。
（ 2） 电流密度与该点的电场强度成正比表明, 电子的定
向运动速率与该点的电场强度成正比, 电子在金属中作定向运动
时除受到电场的作用力外, 还受到来自金属内部的某种阻力的作
用, 而且这种阻力与电子的定向速度成正比 。
? 对于线性介质, γ是与电场强度及电流密度无关的常数 。
? 欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦成立 。
Ej ?? ??
电流的功率 焦耳定律
? 电流的功率：
（ 1） 单位时间内电场做功的功率即电流的功率为 P=IU
（ 2） 意义：任一用电器, 若其两端电压为 U,进入用电器
的电流为 I,则用电器吸收的功率与用电器的性质无关 。 至于吸收
的能量转变为何种形式的其他能量, 则取决于用电器的性质 。
电路是电动机 —— 机械能,
电路是电池或电解槽 —— 化学能
纯电阻电路 —— 热能
电流的功率 焦耳定律
? 焦耳定律：
（ 1） 对于电阻为 R的欧姆介质,
（ 2） 意义：电流通过欧姆介质时, 电能将以
发热的形式释放出来 。 通过一欧姆介质的电流为 I时,
单位时间内电阻上发出的焦耳热 。
（ 3） 用电器吸收的功率仅在纯电阻电路中等
于焦耳热功率 。
R
URIP 22 ??
电流的功率 焦耳定律
? 焦耳定律的微分形式
（ 1） 电功率密度：
单位时间内导体内的电功率
（ 2） 焦耳定律的微分形式：
考察点仅存在欧姆介质时, （ 热
功率密度 ） 。
? 意义,电流通过欧姆介质时，单位体积的导体中产
生的焦耳热。
Ejp ?? ??
?
2j
p ?
例题
? 例题 1,金属球埋入地下为接地电极, 由一联线将电
流导入, 求接地电阻 。
? 例题 2：同轴圆柱形导体，中间充以电阻率一定的介
质，求沿径向的电阻。
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思考题：
? 一长方体铜块，其长、宽、高均已知，此铜块的电阻
是唯一确定的吗？
? 举例说明 P=IU与 P=I2R两式意义的异同。
? 断丝后的白炽灯泡，若设法将灯丝重新搭上后，通常
灯泡总要比原来亮，但寿命一般不长。试解释此现象。
? 把一恒定不变的电势差加于一导线两端，使导线中产
生一稳恒电流。若突然改变导线的形状（如折屈导
线），在此瞬间会发生什么现象？是什么因素保持电
流稳恒？
计算题：
? 大地可看成是均匀的导电介质，设其电阻率为,用一半径
为 a的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地下，电极本身
的电阻可以忽略，求此电极的接地电阻。
? 两个同心的导体薄球壳，半径分别为 a和 b,其间充满电阻率为
的均匀介质，（ 1）求两球壳之间的电阻；（ 2）若两球壳之间
的电压是 U,求电流密度。
? 电子直线加速器产生电子脉冲，脉冲电流为 0.50A,脉冲宽度为
0.10微秒，（ 1）每一脉冲有多少电子被加速？（ 2）机器工作
于 500脉冲 /s,其平均电流是多少？（ 3）如电子被加速到能量
为 50MeV,问加速器输出的平均功率是多大？
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§ 3.3 固体导电机理
? 金属导电的微观解释
? 电子气的热运动
? 欧姆定律的微观解释
? 焦耳定律的微观解释
金属导电的微观解释
? 金属的微观模型
位于晶格点阵上带正电的原子实和脱离了原子的自
由电子的集合 。
各种金属的自由电子数密度的数量级为 1022cm-3.
? 电流的形成
自由电子无场作用时, 作无规则的热运动；
存在外场时, 除固有的无规则运动外, 在电场力的
作用下作定向运动形成电流 。
电子气的热运动
? 金属的经典电子论
（ 1） 金属导电的载流子是自由电子 ；
（ 2） 假设自由电子像理想气体一样, 它的运动
遵守牛顿运动定律, 并且忽略自由电子间的相互作用,
而自由电子与正离子间的相互作用, 则仅在碰撞时才
考虑；
（ 3） 电子气遵守理想气体的规律 。
电子气的热运动
? 均方根速率,
（ 1） 根据能量按自由度均分定理，
每个电子具有的平均热运动能量为
（ 2） 均方根速率
（ 3） 室温下，自由电子热运动的均方根速率约为 110km/s.自
由电子热运动的平均速率与这一数值相近（ ），但由于
运动的无规则，平均速度接近于零。因此无外加电场时，金属中
无定向电子流。
smTmkTu /1074.63 32 ???
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欧姆定律的微观解释
? 自由电子在电场力作用下
? 两次碰撞之间经历的位移
? 对大量电子求平均位移
? 载流子的定向速度
（ τ为平均自由时间, 〈 t2>=2τ2〉）
? 导体中的电流密度
? 电导率为
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欧姆定律的微观解释
? 成立条件,
对随时间变化的电流，欧姆定成立的条件为 ——
场强变化的周期 T应远大于 τ。
即,T>>τ。
τ的值约为 10-14s，
故要求场强的周期 T>>10-14s，
或频率 v<<1014Hz。
即直到频率超过微波段 v<<1014Hz 时，欧姆定律仍然成
立。而频率再高（红外或红外以上），定律不再成立。
焦耳定律的微观解释
? 电流通过导体时放出焦耳热, 是由于金属中的电子在外电场作用下
获得额外的动能, 而在与离子碰撞时, 这动能转化为无规则运动动
能引起的 。
? 一次碰撞过程中, 传递给离子的能量为
? 碰撞一次的过程中转化为热运动的能量为
? 单位时间内平均碰撞次数为
? 单位时间内, 单位体积中电子传递给离子的总能量为
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§ 3.4 电动势和全电路欧姆定律
? 电源的作用
? 电动势
? 稳恒电场在稳恒电路中的作用
? 接触电势差 温差电动势
? 思考题和计算题
电源的作用
? 维持稳恒电流必须存在非静电力的作用 。
? 电源的作用就是提供非静电的外加力, 迫使正电荷从低电势处逆
着静电力经过内电路移到高电势处 。
? 非静电场的场强,作用于单位正电荷的非静电力
? 不同的电源中非静电力的起源不同 ——
（ 1） 化学电源 —— 化学力；
（ 2） 范德格拉夫起电机 —— 机械力；
（ 3） 一般发电机 —— 电磁感应 。
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FK 非静电力?? ?
电动势
? 存在非静电场时, 欧姆定律的微分形式修正为
? 电源电动势的定义, ?
意义：绕闭合路径一周, 非静电力对单位正电荷所
作的功 。 标量, 在数值上等于电源开路时的路端电压 。
? 全电路欧姆定律 ?= I(R+r)
)( KEj ??? ?? ?
? ?? ldK ??
电动势
? 能量关系,
电源电动势在数值上等于放电电流为 1A时, 非
静电力所作的功率 。
（ 1） 放电时, 电源对外电路提供的功率为
（ 2） 充电时, 外电路对电源提供的功率为
rIIUI 2?? ?
rIIUI 2?? ?
稳恒电场在稳恒电路中的作用
? 在稳恒电路中, 稳恒电场和非静电场共
同作用维持闭合电流 。
? 能量转换过程中, 稳恒电场起着能量中
转作用 ——
自外界不断吸收能量同时又不断向外
界放出能量 —— 将电源内的非静电能转送到
外电路上 。
接触电势差 温差电动势
? 帕耳帖电动势,
现象：两种紧密接触的金属, 自由电子的数密度不同, 在
接触处存在着源于自由电子数密度梯度的力, 驱使电子由密度大
的金属扩散迁移到密度小的金属 。
电动势,（ 温度的函数 ）
帕耳帖电动势的数量级,对于任何实际的金属, 电子的数密
度相差很小, 因而珀耳帖电动势通常只有百分之几伏 。
（ 在单一温度下仅依靠珀耳帖电动势不能在闭合回路中建立稳恒电
流 ）
B
A
AB n
n
e
kT ln??
接触电势差 温差电动势
? 汤姆孙电动势
现象：同一块金属中有温度梯度存在时, 金属中就同时
有电势梯度存在, 所相当的电动势称为汤姆孙电动势 。 此时如果有
电流通过, 会产生附加的吸热或放热效应 （ 汤姆孙效应 ） 。
电动势
汤姆孙电动势的数量级,σA为金属的汤姆孙系数, 数值很小,
如室温下铋的 σA数量级为 10-5V/0C。
（ 用同一种金属, 只依靠汤姆孙电动势, 不能在闭合回路中产生稳恒
电流 。 ）
dTB
A
T
T A?? ??
接触电势差 温差电动势
? 温差电动势,
现象,构成回路的两种不同金属 A,B的连接点处于不同
温度时, 回路中存在不为零的电动势 —— 珀耳帖电动势和汤姆
孙电动势之和 。
电动势
应用,温差电偶温度计 。
热容量小, 测温范围大, 灵敏度与准确度高 。
21212 )(
2
1)( TTbTTa ?????
接触电势差 温差电动势
? 脱出功与外接触电势差,
脱出功,自由电子脱离金属时克服阻力所作的功 。 多数金属
的脱出功在 1— 6eV之间 。
常温下, 只有少数动能较大的电子能够脱离金属；随着温
度的升高, 动能大于脱出功因而能够飞离金属的电子逐渐增多 。
温度达到 10000C以上时, 热电子发射 。
外接触电势差,在相互紧邻的金属 A,B外侧靠近接触面处的
两点间存在着电势差 （ 数值约为 10-1V至 1V） 。
思考题：
? 在全电路中，电流的方向是否总是沿着电势降落的方
向？在任何情况下，电流密度与电场强度是否总是同
方向？
? 一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路
端电压是否可以超过电源电动势？
? 试证明：在 A,B两种金属构成的温差电偶回路中串接
金属 C,只要 C两端温度相同，就不会影响回路的温差
电动势。
计算题：
? 蓄电池在充电时通过的电流为 3A,此时其端电压为 4.25V。 当这
蓄电池放电时，流出的电流为 4A,此时端电压为 3.9V,求此蓄电
池的电动势和内电阻。
? 有电动势和内电阻相同的两个电池组，既可以串联也可以并联，
用来在电阻器 R中产生电流，试导出两种连接法 R中电流的表达式，
问 （ 1）如果 R>r,怎样连接产生的电流较大？（ 2）如果 R<r,又
如何？
? 由一对铜 — 康铜线所组成的热电偶，其温差电动势为 0.04mV/0C,
在测量温度差时，热电偶与一电流计 G相联。试从下列数据求热
电偶两接头处的温度差：热电偶及导线电阻 R1=40, 电流计的
电阻 R2=2000, 电流计中的电流 I=7.8× 10-8A..
?
?
§ 3.5 电路定理
? 含源电路的欧姆定律
? 基尔霍夫定律
? 基尔霍夫定律的应用
? 叠加原理
? 电压源和戴维宁定理
? 电流源和诺尔顿定理
含源电路的欧姆定律
? 表达式
? 意义：电路上任意两点 a,b之间的电压等于从 a
到 b的路径上, 各电阻上电势降落的代数和减去
各电源的电动势所产生的电势升高的代数和 。
? 符号法则：沿观察方向,, 降正升负, 。
? ??? ?IRU
基尔霍夫定律
? 有关电路的基本概念,
（ 1） 支路：
两点之间由多个元件串联而成的组合 。 一个支路中的各
个元件中通有相同的电流 。
（ 2） 节点 （ 分支点 ）,
几个支路的联接点 。
（ 3） 回路：
电路中任意一个闭合路径 。 电路至少要有一个回路 。
基尔霍夫定律
? 基尔霍夫第一方程 （ 节点电流方程 ）
（ 1）内容：对每一分支点，流入的电流等于流出的电流。
（ 2） 表达式：
（ 3） 实质：稳恒电流条件下的电荷守恒定律 。
? 基尔霍夫第二方程 （ 回路电压方程 ）
（ 1） 内容：沿任意闭合回路绕行一周, 回路中各电阻上电势
降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和 。
（ 2） 表达式：
（ 3） 基础：稳恒电流场的环路定理 。 沿回路环绕一周回到出
发点, 电势的数值不变 。
? ?? ?IR
0??
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I
基尔霍夫定律的应用
? 计算电路问题, 归根结底是要计算在电流的作用下,
电路中有多大的电流, 各部分又有多大的电压 。
（ 1） 在各条支路上, 标出各支路中电流的方向；
（ 2） n个分支点, 列出 n-1个节点电流方程；
（ 3） 选定独立的闭合回路, 列出回路电压方程；
（ 4） 求解方程, 得到未知量 。
叠加原理
? 内容：
在具有几个电动势的电路中, 几个电动势共同
在某一支路中引起的电流, 等于各个电动势单独存
在时在该支路上所产生的电流之和 。
? 应用,
将复杂电路分解成若干比较简单的电路 。
? 适用范围,计算线性电路中各电流和电压 。
电压源和戴维宁定理
? 内容,
一个任意的两端有源网络和外电路相连, 可以用一个有
效电动势和串联的内电阻来代替两端间原来的电路而不影响外
部电路 。 此有效电动势等于该网络两端开路时的端电压, 而内
阻等于该网络除源后 （ 将各电源的电动势短路但保留电源的内
阻 ） 两端间的电阻 。
? 意义：
一个实际电路可以看成是电动势为 ε,内阻为 0的理想电
压源与内阻 r的串联 。
如果 r=0,不论外电阻如何, 电源提供的电压总是恒定
值 —— 恒压源 （ 理想电压源 ） 。
电流源和诺尔顿定理
? 内容：
任何两端有源网络都可以用一个电流源代替
而不影响外电路 。 电流源的 I0等于网络两端短路时
流经两端点的电流 。 并联的电阻 r0等于该网络除源
后两端间的电阻 。
? 意义,
一个实际电路可以看成一定的内阻 r0与恒流源并联 。
思考题：
? 为了测量电路两点间的电压，必须将电压表并联在电
路上所要测的两点上，这是否会改变原电路中的电流
和电压的分配？为了作出较为准确的测量，对电压表
有什么要求？
? 为了测量电路中的电流，必须将电路断开，将电流表
接入，这是否会影响原电路的电流？对电流表有何要
求？
? 两只完全相同的电流表，各改装成 10mV和 1000V的电
压表，一只并联在 5mV的负载两端，另一只并联在
500V的负载两端，问通过哪一只表的电流大？为什么？
计算题：
? 用惠斯通电桥测电阻, 当Ｒ 1,Ｒ 2之比为１：１００,
将Ｒ 3调至１,４Ｋ时, 检流计的指示为零,
则被测电阻Ｒ x的阻值为 ____。 （ 140k )
? 如图Ｉ G＝０, 则 ＝ ____________，
Ｕ AB＝ ________。
( ; 或 或 ）
? 如图所示电路, Ｒ ab＝ _______________。
（ 1k )
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2
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1
21 ?R RR ?
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（ 1） 掌握电流的稳恒条件和导电规律 。 掌握电流的连续性方
程, 了解欧姆定律, 焦耳定律的微分形式及意义；
（ 2） 了解金属导电的微观机制 。
（ 3） 掌握电源电动势的概念和含源电路的欧姆定律, 能够熟练
计算简单和复杂电路的电流分布及有关问题；
（ 4） 清楚电桥, 电位差计的工作原理, 了解温差电现象及应
用 。
研究问题,
导体中稳恒电流的形成, 规律以及直流电路的计算 。
教学要求：
第三章 稳恒电流
§ 3.1 稳恒电流的闭合性
§ 3.2 欧姆定律
§ 3.3 固体导电机理
§ 3.4 电动势和全电路欧姆定律
§ 3.5 电路定理
§ 3.1 稳恒电流的闭合性
? 电流的形成
? 电流和电流密度
? 电流的连续性方程
稳恒电流的闭合性
? 思考题和习题
电流的形成
电流的形成,大量电荷的定向运动形成电流 。 （ 漂移运动 ）
形成电流的条件,
（ 1） 存在可以自由运动的电荷 （ 载流子 ） 。
（ 2） 存在迫使电荷作定向运动的某种作用 。
电流的效应,热效应, 磁效应, 化学效应, 机械效应等 。
说明：
（ 1） 传导电流 —— 金属和电解质导电时, 其内部是电中
性的, 这种电流称之为传导电流；
（ 2） 对流电流 —— 如电子管中的电流 。
电流和电流密度
电流强度,
定义,（ 1A=1C/s）
意义：描述导线中电流强弱的物理量 。 标量 。
电流密度矢量,
定义：
意义：细致描述电流分布的物理量 。 矢量 。
微观量表示：
t
QI
?
??
SdjdI ?? ??
uNqj ?? ?
电流和电流密度
电流密度和电流强度的关系,
一个矢量场和它的通量的关系 。
通过任意曲面的电流反映的是单位时间内通过某一曲面
的总电量, 而电流密度则反映了空间各点电流的分布情况 。
电流线,
形象地描述空间各点电流密度的分布情况 。 电流线上每
一点的切线方向与该点电流密度的方向相同, 电流线的疏密
程度代表电流密度的大小 。
? ???? S S dSjSdjI ?c o s??
电流的连续性方程
表达式：
意义：
（ 1） 流出闭合面 S的电流 I等于 S面内部总电荷量的变
化率的负值 。 —— 电荷守恒定律的数学表述 。
（ 2） 电流场是有源场 。 电流线是发出或终止于电荷
密度发生变化的地方 。
? ???S dtdqSdj ??
电流的连续性方程
稳恒电流 —— 空间电流分布不随时间变化的电流 。
稳恒电流的基本性质 ——
（ 1） 空间各点的电荷分布不随时间变化 。
（ 2） 电流线闭合 。
（ 3） 空间各处电场不随时间变化, 电场能量也不随时间变化 。
(4） 稳恒电流电场必须由电源的非静电力维持，
电源向电场提供能量，电场对电流作功消耗能量，
电场在能量转换过程中起了媒介作用。
电流的连续性方程
稳恒电场与静电场的比较 — —
（ 1） 场源,
静电场由静止电荷所激发,
稳恒电场由空间分布不随时间变化的电荷激发；
（ 2） 场的基本性质：
稳恒电流电场仍为有源无旋场，遵守静电场的两个基本方程
（ 3） 区别,
对于稳恒电流电场，导体不再一定是等势体。
（金属导体内部的场强与电流密度有关），
而在静电平衡时，导体内部电场为零，导体为等势体。
思考题：
? 若导体内部有电流，即导体内部电流密度不为零，问
导体内部电荷体密度是否一定也不等于零？在电中性
的导体中能否有电流？
? 通过某一截面的电流强度为零，截面上的电流密度是
否必为零？反之如何？
? 在电解液中，正负离子均可运动导电，此时的电流密
度将如何描写？
? 设通过铜导线的电流密度 j=2.4A/mm2,铜的自由电子密
度为 8.4× 1028/m3,电子的定向运动速度 u有多大？若电
源到用电器的距离为 1km,则一个给定的电子从电源
运动到用电器要经历多少时间？
计算题：
? 有一真空二极管，其内阴极和阳极为一对平行导体板，
面积都是 2.0cm2,它们之间的电流 I完全是由电子从阴极
飞向阳极构成的。若电流 I=50mA,电子到达阳极时的
速率是 1.2× 107m·s-1,电子电荷 e=-1.6 × 10-19C,求阳极表
面外每立方毫米内的电子数 n,(1.3 × 105个）
? 在范德格拉夫静电起电机里，一宽为 30cm的橡皮带以
20m/s的速度运动，在下边的滚轴处给橡皮带表面输电，
橡皮带上的面电荷密度可以产生 40V/cm的静电场，问
运动的橡皮带所产生的相应电流是多少 mA?
（ 4.2 × 104mA)
§ 3.2 欧姆定律
? 欧姆定律
? 电阻率
? 欧姆定律的微分形式
? 电流的功率 焦耳定律
? 思考题和计算题
欧姆定律
? 内容：
在温度不变时, 一段金属导线中的电流 I与导线两端的
电势差成正比 。 （ 1826年 ）
? 导体电阻的定义,
导体上任意两个等势面间的电压与通过导体的电流之比
是一个与电流和电压都无关的量, 反映了导体本身的性质 。
导体电阻与导体开头及电流流动方式有关 。 即使同一导
体, 当电流流动的方式不同时, 对应的电阻也不同 。
UI?
I
UR?
欧姆定律
? 广延导体的电阻
（ 1） 对大块导体, 对确定的两接线柱, 导体的电阻定义为
两接线柱间的电压与流过接线柱的电流之比 。
（ 2） 对于几何形状简单的广延导体,
（ 3） 已知场强分布时, 可以利用静电学的结果, 求电阻,
两接线柱间的电压
选择包围接线柱的等势面, 通过该等势面的电流
则导体的电阻为
?? SdR ??
? ?? ??? dEU
? ?? SdEI ???
I
UR?
欧姆定律
? 应用范围,
（ 1） 对于金属导体, 欧姆定律是十分准确的 。
只当电流大到每 cm2几百万 A时,,才发现有 1%的差异 。
? （ 2） 遵守欧姆定律的电学元件称为线性元件,
其电阻称为线性电阻或欧姆电阻 。 非线性元件不服从
欧姆定律, 伏安特性曲线不是直线 。 对于非线性元件,
欧姆定律虽不适用, 但仍可以定义其电阻 。
电阻率
? 导体电阻的大小与导体的材料及几何形状有关 。
? 电阻率,与导体的形状与大小无关, 只与导体材料及
温度有关 。
? 电导率,电阻率的倒数称为电导率
室温下, 金属电阻率在 10-8— 10-6Ωm之间；绝缘体电阻率
为 108— 1018Ωm,比金属大 1014倍以上 。 半导体材料的电阻率约在
10-5— 108Ωm范围 。
? 电阻率是选用金属材料的重要物理量 。
电阻率
? 电阻率与温度的关系,
（ 1） 多数纯金属的电阻率随温度的升高而增加 。 金属导
体的电阻随温度变化的性质可以用来制作电阻温度计 。
（ 2） 绝缘体和半导体的电阻率随温度升高而急剧减小 。
（ 3） 在极低温度下, 有些导体的电阻率突然减小到零 —
— 超导现象 。 （ 1911年, 荷兰物理学家昂纳斯发现 。 1987年, 超
导转变温度已达到 90K,超过液氮温度 ）
欧姆定律的微分形式
? 微分形式,
? 意义：
（ 1） 反映导体中某点的电流密度与该点的电场强度之间的
关系, 表示了物质的性质 。
（ 2） 电流密度与该点的电场强度成正比表明, 电子的定
向运动速率与该点的电场强度成正比, 电子在金属中作定向运动
时除受到电场的作用力外, 还受到来自金属内部的某种阻力的作
用, 而且这种阻力与电子的定向速度成正比 。
? 对于线性介质, γ是与电场强度及电流密度无关的常数 。
? 欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦成立 。
Ej ?? ??
电流的功率 焦耳定律
? 电流的功率：
（ 1） 单位时间内电场做功的功率即电流的功率为 P=IU
（ 2） 意义：任一用电器, 若其两端电压为 U,进入用电器
的电流为 I,则用电器吸收的功率与用电器的性质无关 。 至于吸收
的能量转变为何种形式的其他能量, 则取决于用电器的性质 。
电路是电动机 —— 机械能,
电路是电池或电解槽 —— 化学能
纯电阻电路 —— 热能
电流的功率 焦耳定律
? 焦耳定律：
（ 1） 对于电阻为 R的欧姆介质,
（ 2） 意义：电流通过欧姆介质时, 电能将以
发热的形式释放出来 。 通过一欧姆介质的电流为 I时,
单位时间内电阻上发出的焦耳热 。
（ 3） 用电器吸收的功率仅在纯电阻电路中等
于焦耳热功率 。
R
URIP 22 ??
电流的功率 焦耳定律
? 焦耳定律的微分形式
（ 1） 电功率密度：
单位时间内导体内的电功率
（ 2） 焦耳定律的微分形式：
考察点仅存在欧姆介质时, （ 热
功率密度 ） 。
? 意义,电流通过欧姆介质时，单位体积的导体中产
生的焦耳热。
Ejp ?? ??
?
2j
p ?
例题
? 例题 1,金属球埋入地下为接地电极, 由一联线将电
流导入, 求接地电阻 。
? 例题 2：同轴圆柱形导体，中间充以电阻率一定的介
质，求沿径向的电阻。
aI
drrI
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思考题：
? 一长方体铜块，其长、宽、高均已知，此铜块的电阻
是唯一确定的吗？
? 举例说明 P=IU与 P=I2R两式意义的异同。
? 断丝后的白炽灯泡，若设法将灯丝重新搭上后，通常
灯泡总要比原来亮，但寿命一般不长。试解释此现象。
? 把一恒定不变的电势差加于一导线两端，使导线中产
生一稳恒电流。若突然改变导线的形状（如折屈导
线），在此瞬间会发生什么现象？是什么因素保持电
流稳恒？
计算题：
? 大地可看成是均匀的导电介质，设其电阻率为,用一半径
为 a的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地下，电极本身
的电阻可以忽略，求此电极的接地电阻。
? 两个同心的导体薄球壳，半径分别为 a和 b,其间充满电阻率为
的均匀介质，（ 1）求两球壳之间的电阻；（ 2）若两球壳之间
的电压是 U,求电流密度。
? 电子直线加速器产生电子脉冲，脉冲电流为 0.50A,脉冲宽度为
0.10微秒，（ 1）每一脉冲有多少电子被加速？（ 2）机器工作
于 500脉冲 /s,其平均电流是多少？（ 3）如电子被加速到能量
为 50MeV,问加速器输出的平均功率是多大？
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a b Uj
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WA 1 2 4 0)3(;25)2(;101.3)1( 11 ??
§ 3.3 固体导电机理
? 金属导电的微观解释
? 电子气的热运动
? 欧姆定律的微观解释
? 焦耳定律的微观解释
金属导电的微观解释
? 金属的微观模型
位于晶格点阵上带正电的原子实和脱离了原子的自
由电子的集合 。
各种金属的自由电子数密度的数量级为 1022cm-3.
? 电流的形成
自由电子无场作用时, 作无规则的热运动；
存在外场时, 除固有的无规则运动外, 在电场力的
作用下作定向运动形成电流 。
电子气的热运动
? 金属的经典电子论
（ 1） 金属导电的载流子是自由电子 ；
（ 2） 假设自由电子像理想气体一样, 它的运动
遵守牛顿运动定律, 并且忽略自由电子间的相互作用,
而自由电子与正离子间的相互作用, 则仅在碰撞时才
考虑；
（ 3） 电子气遵守理想气体的规律 。
电子气的热运动
? 均方根速率,
（ 1） 根据能量按自由度均分定理，
每个电子具有的平均热运动能量为
（ 2） 均方根速率
（ 3） 室温下，自由电子热运动的均方根速率约为 110km/s.自
由电子热运动的平均速率与这一数值相近（ ），但由于
运动的无规则，平均速度接近于零。因此无外加电场时，金属中
无定向电子流。
smTmkTu /1074.63 32 ???
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欧姆定律的微观解释
? 自由电子在电场力作用下
? 两次碰撞之间经历的位移
? 对大量电子求平均位移
? 载流子的定向速度
（ τ为平均自由时间, 〈 t2>=2τ2〉）
? 导体中的电流密度
? 电导率为
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欧姆定律的微观解释
? 成立条件,
对随时间变化的电流，欧姆定成立的条件为 ——
场强变化的周期 T应远大于 τ。
即,T>>τ。
τ的值约为 10-14s，
故要求场强的周期 T>>10-14s，
或频率 v<<1014Hz。
即直到频率超过微波段 v<<1014Hz 时，欧姆定律仍然成
立。而频率再高（红外或红外以上），定律不再成立。
焦耳定律的微观解释
? 电流通过导体时放出焦耳热, 是由于金属中的电子在外电场作用下
获得额外的动能, 而在与离子碰撞时, 这动能转化为无规则运动动
能引起的 。
? 一次碰撞过程中, 传递给离子的能量为
? 碰撞一次的过程中转化为热运动的能量为
? 单位时间内平均碰撞次数为
? 单位时间内, 单位体积中电子传递给离子的总能量为
2
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§ 3.4 电动势和全电路欧姆定律
? 电源的作用
? 电动势
? 稳恒电场在稳恒电路中的作用
? 接触电势差 温差电动势
? 思考题和计算题
电源的作用
? 维持稳恒电流必须存在非静电力的作用 。
? 电源的作用就是提供非静电的外加力, 迫使正电荷从低电势处逆
着静电力经过内电路移到高电势处 。
? 非静电场的场强,作用于单位正电荷的非静电力
? 不同的电源中非静电力的起源不同 ——
（ 1） 化学电源 —— 化学力；
（ 2） 范德格拉夫起电机 —— 机械力；
（ 3） 一般发电机 —— 电磁感应 。
q
FK 非静电力?? ?
电动势
? 存在非静电场时, 欧姆定律的微分形式修正为
? 电源电动势的定义, ?
意义：绕闭合路径一周, 非静电力对单位正电荷所
作的功 。 标量, 在数值上等于电源开路时的路端电压 。
? 全电路欧姆定律 ?= I(R+r)
)( KEj ??? ?? ?
? ?? ldK ??
电动势
? 能量关系,
电源电动势在数值上等于放电电流为 1A时, 非
静电力所作的功率 。
（ 1） 放电时, 电源对外电路提供的功率为
（ 2） 充电时, 外电路对电源提供的功率为
rIIUI 2?? ?
rIIUI 2?? ?
稳恒电场在稳恒电路中的作用
? 在稳恒电路中, 稳恒电场和非静电场共
同作用维持闭合电流 。
? 能量转换过程中, 稳恒电场起着能量中
转作用 ——
自外界不断吸收能量同时又不断向外
界放出能量 —— 将电源内的非静电能转送到
外电路上 。
接触电势差 温差电动势
? 帕耳帖电动势,
现象：两种紧密接触的金属, 自由电子的数密度不同, 在
接触处存在着源于自由电子数密度梯度的力, 驱使电子由密度大
的金属扩散迁移到密度小的金属 。
电动势,（ 温度的函数 ）
帕耳帖电动势的数量级,对于任何实际的金属, 电子的数密
度相差很小, 因而珀耳帖电动势通常只有百分之几伏 。
（ 在单一温度下仅依靠珀耳帖电动势不能在闭合回路中建立稳恒电
流 ）
B
A
AB n
n
e
kT ln??
接触电势差 温差电动势
? 汤姆孙电动势
现象：同一块金属中有温度梯度存在时, 金属中就同时
有电势梯度存在, 所相当的电动势称为汤姆孙电动势 。 此时如果有
电流通过, 会产生附加的吸热或放热效应 （ 汤姆孙效应 ） 。
电动势
汤姆孙电动势的数量级,σA为金属的汤姆孙系数, 数值很小,
如室温下铋的 σA数量级为 10-5V/0C。
（ 用同一种金属, 只依靠汤姆孙电动势, 不能在闭合回路中产生稳恒
电流 。 ）
dTB
A
T
T A?? ??
接触电势差 温差电动势
? 温差电动势,
现象,构成回路的两种不同金属 A,B的连接点处于不同
温度时, 回路中存在不为零的电动势 —— 珀耳帖电动势和汤姆
孙电动势之和 。
电动势
应用,温差电偶温度计 。
热容量小, 测温范围大, 灵敏度与准确度高 。
21212 )(
2
1)( TTbTTa ?????
接触电势差 温差电动势
? 脱出功与外接触电势差,
脱出功,自由电子脱离金属时克服阻力所作的功 。 多数金属
的脱出功在 1— 6eV之间 。
常温下, 只有少数动能较大的电子能够脱离金属；随着温
度的升高, 动能大于脱出功因而能够飞离金属的电子逐渐增多 。
温度达到 10000C以上时, 热电子发射 。
外接触电势差,在相互紧邻的金属 A,B外侧靠近接触面处的
两点间存在着电势差 （ 数值约为 10-1V至 1V） 。
思考题：
? 在全电路中，电流的方向是否总是沿着电势降落的方
向？在任何情况下，电流密度与电场强度是否总是同
方向？
? 一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路
端电压是否可以超过电源电动势？
? 试证明：在 A,B两种金属构成的温差电偶回路中串接
金属 C,只要 C两端温度相同，就不会影响回路的温差
电动势。
计算题：
? 蓄电池在充电时通过的电流为 3A,此时其端电压为 4.25V。 当这
蓄电池放电时，流出的电流为 4A,此时端电压为 3.9V,求此蓄电
池的电动势和内电阻。
? 有电动势和内电阻相同的两个电池组，既可以串联也可以并联，
用来在电阻器 R中产生电流，试导出两种连接法 R中电流的表达式，
问 （ 1）如果 R>r,怎样连接产生的电流较大？（ 2）如果 R<r,又
如何？
? 由一对铜 — 康铜线所组成的热电偶，其温差电动势为 0.04mV/0C,
在测量温度差时，热电偶与一电流计 G相联。试从下列数据求热
电偶两接头处的温度差：热电偶及导线电阻 R1=40, 电流计的
电阻 R2=2000, 电流计中的电流 I=7.8× 10-8A..
?
?
§ 3.5 电路定理
? 含源电路的欧姆定律
? 基尔霍夫定律
? 基尔霍夫定律的应用
? 叠加原理
? 电压源和戴维宁定理
? 电流源和诺尔顿定理
含源电路的欧姆定律
? 表达式
? 意义：电路上任意两点 a,b之间的电压等于从 a
到 b的路径上, 各电阻上电势降落的代数和减去
各电源的电动势所产生的电势升高的代数和 。
? 符号法则：沿观察方向,, 降正升负, 。
? ??? ?IRU
基尔霍夫定律
? 有关电路的基本概念,
（ 1） 支路：
两点之间由多个元件串联而成的组合 。 一个支路中的各
个元件中通有相同的电流 。
（ 2） 节点 （ 分支点 ）,
几个支路的联接点 。
（ 3） 回路：
电路中任意一个闭合路径 。 电路至少要有一个回路 。
基尔霍夫定律
? 基尔霍夫第一方程 （ 节点电流方程 ）
（ 1）内容：对每一分支点，流入的电流等于流出的电流。
（ 2） 表达式：
（ 3） 实质：稳恒电流条件下的电荷守恒定律 。
? 基尔霍夫第二方程 （ 回路电压方程 ）
（ 1） 内容：沿任意闭合回路绕行一周, 回路中各电阻上电势
降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和 。
（ 2） 表达式：
（ 3） 基础：稳恒电流场的环路定理 。 沿回路环绕一周回到出
发点, 电势的数值不变 。
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0??
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I
基尔霍夫定律的应用
? 计算电路问题, 归根结底是要计算在电流的作用下,
电路中有多大的电流, 各部分又有多大的电压 。
（ 1） 在各条支路上, 标出各支路中电流的方向；
（ 2） n个分支点, 列出 n-1个节点电流方程；
（ 3） 选定独立的闭合回路, 列出回路电压方程；
（ 4） 求解方程, 得到未知量 。
叠加原理
? 内容：
在具有几个电动势的电路中, 几个电动势共同
在某一支路中引起的电流, 等于各个电动势单独存
在时在该支路上所产生的电流之和 。
? 应用,
将复杂电路分解成若干比较简单的电路 。
? 适用范围,计算线性电路中各电流和电压 。
电压源和戴维宁定理
? 内容,
一个任意的两端有源网络和外电路相连, 可以用一个有
效电动势和串联的内电阻来代替两端间原来的电路而不影响外
部电路 。 此有效电动势等于该网络两端开路时的端电压, 而内
阻等于该网络除源后 （ 将各电源的电动势短路但保留电源的内
阻 ） 两端间的电阻 。
? 意义：
一个实际电路可以看成是电动势为 ε,内阻为 0的理想电
压源与内阻 r的串联 。
如果 r=0,不论外电阻如何, 电源提供的电压总是恒定
值 —— 恒压源 （ 理想电压源 ） 。
电流源和诺尔顿定理
? 内容：
任何两端有源网络都可以用一个电流源代替
而不影响外电路 。 电流源的 I0等于网络两端短路时
流经两端点的电流 。 并联的电阻 r0等于该网络除源
后两端间的电阻 。
? 意义,
一个实际电路可以看成一定的内阻 r0与恒流源并联 。
思考题：
? 为了测量电路两点间的电压，必须将电压表并联在电
路上所要测的两点上，这是否会改变原电路中的电流
和电压的分配？为了作出较为准确的测量，对电压表
有什么要求？
? 为了测量电路中的电流，必须将电路断开，将电流表
接入，这是否会影响原电路的电流？对电流表有何要
求？
? 两只完全相同的电流表，各改装成 10mV和 1000V的电
压表，一只并联在 5mV的负载两端，另一只并联在
500V的负载两端，问通过哪一只表的电流大？为什么？
计算题：
? 用惠斯通电桥测电阻, 当Ｒ 1,Ｒ 2之比为１：１００,
将Ｒ 3调至１,４Ｋ时, 检流计的指示为零,
则被测电阻Ｒ x的阻值为 ____。 （ 140k )
? 如图Ｉ G＝０, 则 ＝ ____________，
Ｕ AB＝ ________。
( ; 或 或 ）
? 如图所示电路, Ｒ ab＝ _______________。
（ 1k )
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2
1
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2
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R
R
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2
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