零输入响应重点掌握第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析零状态响应三要素法全响应
t
u
Ci C
d
d
t
Lu L
d
di
1）电容电压不能跃变，因此电容电流也不能跃变。
2）电容两端有电压，就一定有电流流过电容。
3）某一时刻流过电容电流的大小取决于该时刻电容压的大小。
4）电容两端电压是常数，流过电容的电流就一定为零。
5）电感两端电压为零，流过电感的电流就一定为零。
先复习一下吧
K未动作前
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
一,动态电路
i
+
–
uCUs R C
§ 7-1 动态电路方程及其初始条件稳态分析
K
+
–
uCUs R C
it = 0
K接通电源后很长时间
K
+
–
uCUs R C
i
初始状态过渡状态新稳态t1
USuc
t0
a,动态电路,含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
iR
US
b,动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路的方程为微分方程。
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。
SC
C Uu
dt
duRC
K
+
–
uCUs R C
i
+
- us
R1
R2 R3
二,过渡过程产生的原因
1,电路内部含有储能元件 L,C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
t
wp
2,电路结构、状态发生变化支路接入或断开,参数变化换路三,稳态分析和动态分析的区别稳 态换路发生 很长时间后重新达到稳态换路 刚 发生后的整个变化过程微分方程的特解动 态微分方程的一般解恒定或周期性激励 任意激励四,一阶电路换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
动态电路：含有动态元 件的电路。
动态元件：元件的电压、电流约束关系是通过导数或积分来表达的。
初始状态：电路中所求变量在 t=0+时的值。
换路：由于电路结构的变化所引起的电路变化。
过渡过程：由于发生换路，从原来的状态变化到新状态所经历的过程。
一阶电路：电路中仅含有一个动态元件的电路，其电路方程是一阶微分方程。
激励：电路中的独立源。
响应：在激励作用下电路中产生的电流和电压。
几个基本概念一,t = 0+与 t = 0- 的概念换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间
0+ 换路后一瞬间电路的初始条件电路中的 u,i 及其各阶导数在 t = 0+
时的值。
0- 0+0
t
f(t)
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
初始条件：
二,换路定律
iL(0+) = iL(0-)uc(0+) = uc (0-)
电容电压（电荷）换路前后保持不变。
t=0-时,uc (0-)=U0,则 uc(0+) = uc(0-)= U0，在换路的瞬间，
电容可视为一个电压值为 U0的电压源。
t=0-时,uc(0-)=0,则 uc(0+) = uc(0-)= 0，在换路的瞬间，电容相当于短路。
t=0-时,iL(0-)=I0,则 iL(0+)= iL(0-)=I0，在换路的瞬间，电感可视为一个电流值为 I0的电流源。
t=0-时,iL(0-)=0,则 iL(0+)=iL(0-)=0，在换路的瞬间，电感相当于开路。
电感电流（磁链）换路前后保持不变。
三,电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0(Ci
(1) 由 0-电路求 uC(0-)或 iL(0-)
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0-)=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+) i
C(0--)=0 iC(0+)
例 1 +
- 10V
i
iC
+
uC
-k
10k
40k
求 iC(0+)
0)0(
0)0(
L
L
u
u
iL(0+)= iL(0-) =2A
Vu L 842)0(
例 2 t = 0时闭合开关 k,
求 uL(0+)。
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
由 0+电路求 uL(0+),+u
L
-10V
1? 4?
2A
先求
Ai L 241 10)0(
由换路定律,
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求出 uC(0-)
和 iL(0-)。
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b.若 uC(0+) 或 iL(0+) 不为零,电容 （ 电感 ）
用 电压源 （ 电流源 ）替代。
电压源 （ 电流源 ）取 0+时刻值，其方向同原假定的电容电压,电感电流方向。
a,若 uC(0+) 或 iL(0+) 为零,电容 （ 电感 ）用短路 （ 开路 ）替代。
iL(0+) = iL(0-) = IS
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= –RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0)0( RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
+ –uL
iL
C
+
–
uCRIS
iC
0-电路
1.求 uC(0-)和 iL(0-)
iL(0-) = IS
uC(0-) = RIS
2.求 uC(0+)和 iL(0+)
3.求 iC(0+)和 uL(0+)
例题 1
如图所示电路中直流电压源的电压为 U0。 当电路的电压和电流恒定不变时打开开关 S。试求 uc(0+),iL(0+)、
iC(0+),uL(0+)和 uR2(0+)。
(a)
R2
R1
S(t=0)
Uo+ - Li
Ci +
- Cu
+
-
+
-
( )?0Ci
)0(?Lu
21
0RRU?
021 2 URR R?
(b)
R2
Vuu CC 24122)0()0(
Aii LL 124/48)0()0(
例
iL
+
uL
-
LK
2?
+
-
48V
3?
2?
C
求 K闭合瞬间各支路电流和电感电压解 由 0－ 电路得：
12A 24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
由 0+电路得：
Ai C 83/)2448()0(
Ai 20812)0(
Vu L 2412248)0(
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点：
动态电路当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
例
+
-
us
R1
R2
（ t=0）i
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零电阻电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
K
+
–
uCUs R C
i(t = 0)
K接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态电容电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uL = 0
uL= 0,i=Us /R
K接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路
K
+
–
uLUs R L
i(t = 0)
电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C,电路在换路时能量发生变化，而 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开电路参数变化
iL(0+) = iL(0-)uc(0+) = uc (0-)
)( tuu
td
duRC
Sc
c
)( tuuRi Sc
应用 KVL和电容的 VCR得：
td
duCi c?
若以电流为变量：
)(1 tui d t
C
Ri S
+
–
uCus（ t） R C
i(t >0)
dt
tdu
C
i
td
diR S )(
2,动态电路的方程
+
–
uLus（ t） R L
i(t >0)
)( tuuRi SL
)( tutddiLRi S
有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用 KVL和电感的 VCR得：
td
diLu
L?
若以电感电压为变量,)( tuudtu
L
R
SLL
dt
tdu
dt
duu
L
R SL
L
)(
+
–
uLuS（ t） R L
i(t >0)
C
uC＋－
＋
－
)(2
2
tuu
td
duRC
dt
udLC
Sc
cc
)( tuuuRi ScL
二阶电路
td
duCi c?
td
diLu
L?
若以电流为变量：
)(1 tui d t
Cdt
diLRi
S
dt
tdui
Cdt
idL
dt
diR S )(1
2
2
一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：
（ 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
0)(01 ttexadtdxa
0)(012
2
2 ttexadt
dxa
dt
xda
二阶电路 二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。
§ 7-2 一阶电路的零输入响应零输入响应,激励 (独立电源 )为零，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应 。
一,RC电路的零输入响应已知 uC (0-)=U0
t
uCi C
d
d
iK(t=0)
+
–
uRC
+
–
uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
uR= Ri
0 CR uu
一阶微分方程
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
RCp
1特征根
tRCe 1 A
设
ptC eu A?
0 ptpt AeR C A p e
特征方程RCp+1=0得
ptC eu A?则
0dd pt
pt
AetAeRC
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
uC (0+)=uC(0-)=U0
A=U0
令? =RC,称?为一阶电路的 时间常数。
00
1
)0( UAeu t
tRC
C
t
U0 uC
0 0
0
0 teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
tRC
C Aeu
1?
秒伏安秒欧伏库欧法欧 RC?
I0
t
i
0
电压、电流以同一指数规律衰减，
衰减快慢取决于 RC乘积。
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
0
0
teUu RC
t
c
时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= R C
大 过渡过程时间的 长
小 过渡过程时间的 短电压初值一定：
R 大 （ C不变） i=u/R 放电电流小 放电时间 长
U0
t
uc
0?小
大
C 大 （ R不变） W=0.5Cu2 储能大
11
RCp
固有频率
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为,经过 3? - 5?,过渡过程结束。
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0
U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
图所示电路中 S原在 1位置上，且电路已达稳态,t
=0时开关由 1合向 2，试求 时的电流
()ti
0?t
+
-
+
-
1RR 1
2
10V C 1F
S(t=0)4Ω2Ω
2R4Ω
2R4Ω
1R
C
1F
+
-
Cu Cu
4Ω
ii
例题
tct
t
cc
cc
c
e
tu
ieeuu
sCR
RR
RR
R
vuu
vu
5.05.0
'
21
21'
4
)(
,4)0(
2,2
4)0()0(
4
442
410
)0(
能量关系：
R d tiW R 0 2
C不断释放能量被 R吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量 2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量
R d teRU RC
t
2
0
0 )(
2
02
1 CU?
uC R+
- C
dteRU RC
t2
0
2
0
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
二,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
R?特征根 p =
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A
A= i(0+)= I0
i(0-) =
01 IRR
U S?
00dd tRitiL
ptAeti?)(
0)( 00 teIeIti tL
R
pt得
i(0+) =i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
t
iLu
L d
d?
令? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
tLReIi
0
0/ 0 teRI RL
t
0/ 0 teI RL
t
-RI0
uL
t
I0
t
i
0
][][][][][][ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 RL?
iL (0+) = iL(0-)? 1 A
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
例 iLK(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?V RV
10k?10V
t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象,电压表坏了
/ tL ei
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4
01 0 0 0 0 2500 teiRu tLVV
分析
i
S(t=0)
L
+
–
U
R
+
-
VuV RV
例题如图所示是一台 300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻 R=0.189Ω，电感 L=0.398H，直流电压
U=35V。电压表的量程为 50V，内阻 RV=5kΩ 。开关未断开时电路中电流已恒定不变。在 t=0时断开开关。
求,（ 1）电阻、电感回路的时间常数；
（ 2）电流 i的初始值；
（ 3）电流和电压表处电压 uV；
（ 4）开关刚断开时，电压表处的电压。
kv
v
u
V
t
ei
V
R
v
u
A
t
ei
t
eii
Aii
A
R
U
i
s
VRR
L
926)0().4(
1 2 5 6 0
2.185
3
105
1 2 5 6 0
2.185,)0().3(
2.185)0()0(
2.185
189.0
35
)0().2(
6.79
105189.0
398.0
).1(
3
i
S(t=0)
L
+
–
U
R
+
-
VuV RV
小结：
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数?
RC电路? = RC,RL电路? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
t
eyty )0()(
时间常数?的简便计算：
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例 1
例 2
R等 C? = R
等 C
+
-
R1
R2 L
R1
R2 L
等效电阻的求解,电压源短路电流源开路后，把电容或电感端口断开后的等效电阻例 t=0时,开关 K由 1→2,求 电感电压和电流
0V 12 A2 tedtdiLuei tLLtL
sRL 166
解
iL
K(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?+
－
uL
2?
1 2
A
ii LL
2
63
6
6//324
24
)0()0(
t >0
i
L
+
–
uL
R
66//)42(3R
零状态响应,储能元件初始能量为零，电路在输入激励作用下产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC
d
d
列方程：iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
§ 7-3 一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为,
CCC uuu
齐次方程的通解非齐次方程的特解一,RC电路的零状态响应
SC UuRi
强制分量 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，此时强制分量称为 稳态分量。
RC
t
C Aeu
变化规律由电路参数和结构决定齐次方程 的通解
0dd CC utuRC
,特解（强制分量）
Cu?
= US
Cu?
,通解（自由分量，暂态分量）
Cu
SC
C Uu
t
uRC
d
d
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
RC
t
C Aeu
全解
uC (0+)=A+US= 0?A= – US
由起始条件 uC (0+)=0 定 积分常数 A
= US
Cu?
RC
t
SCCC AeUuuu
SC
C Uu
t
uRC
d
di
K(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
)0( )1( teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
)0( )1( teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
RC
t
S e
R
U
t
uCi
d
d C
-US uC"
uC'U
S
t
i
R
US
0
t
uc
0
能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
2
2
1
SCU?
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量：
2
0 0
dd SRC
t
S
SS CUteR
UUtiU
电阻消耗
tRRUtRi RCS
t
e d)(d 2
00
2
R
C+
-
US
例 t=0时,开关 K闭合，已知 uC（ 0－ ） =0,求 （ 1）
电容电压和电流，（ 2） uC＝ 80V时的充电时间 t 。
解
500?
10?F+
-
100V
K
+
－
uC
i(1) 这是一个 RC电路零状态响应问题，有：
)0() V e-1 0 0 ( 1 )1( 200t- teUu RC
t
Sc
sRC 35 105105 0 0
Aee
R
U
t
uCi tRC tS 200C 2.0
d
d
（ 2）设经过 t1秒,uC＝ 80V
8,0 4 5 m st)e-1 0 0 ( 180 1- 2 0 0 t 1
二,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL
)1( tL
RS
L eR
Ui
tLR
S
L
L eUt
iLu
d
d
iL(0-)=0 求,电感电流 iL(t)已知
LLL iii
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0
R
Ui S
L A0)0(
tLRS Ae
R
U
iLK(t=0)
US + –uR L +
–
uL
R
例 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的变化规律 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iLK
+
–
uL2H
R 80?
10A 200
300
iL
+
–
uL2H
10A
Req
2 0 03 0 0//2 0 080eqR
Ai L 10)(
sRL eq 01.02 0 0/2/
Aeti tL )1(10)( 100
VedtdiLtu tL 1002 0 0 0)(
t>0
例 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 i
L,uL
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A 10?
5?
+
–
u
t>0
iL
+
–
uL2HU
S
Req+
－
201010eqR
VU S 20102
sRL eq 1.020/2/
Aeti tL )1()( 10
Vetu tL 1020)(
ARUi eqSL 1/)(
§ 7-4 一阶电路的全响应全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一,一阶电路的全响应及其两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC
d
d
稳态解 uC' = US
解答为 uC(t) = uC' + uC"
uC (0-)=U0
非齐次方程
=RC?tSC eUu A
暂态解?t
C eu
A
1、全响应
uC (0+)=A+US=U0?A=U0 –US由起始值定 A
0)( 0 teUUUu
t
SSC?
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
0)( 0 teUUUu
t
SSC?
uC"
-USU0
暂态解
uC'US 稳态解
U0 uc
全解
t
uc
0
(1),全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
2、全响应的两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0-)=0
+
uC (0-)=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
(2),全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
等效+
- uc
uC (0-)=U0
i
C +
- U0
uc
iC
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
(3).两种分解方式的比较
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应物理概念清楚便于叠加计算全响应 = 零状态响应 + 零输入响应全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
t
Ssc eUUUu
)(
0
稳态解 暂态解
(t ≥ 0)
Ais/
st/
3
2?
O
ocU
eqR a
b
sU
sI
L
i
li
S(t=0)
R a
b
如图所示电路中 Us=10V.Is=2A,R=2Ω,L=4H,试求 S闭合后电路的电流 和,ii
l
例题
t
t
SSL
eq
ls
LL
eqSsoc
eeIIIi
s
R
L
AiI
Aii
RRVRIUU
5.0
0
'
53)(
2
32/6
2)0()0(
2,6)2210(
电路如图，开关 S合在 1时已达到稳态,t=0时开关 S由 1合向 2，求 t>0时的电压 uL(t) 。
2Ω
+
uL
S(t=0)4Ω
0.1H
2A
8V4Ω
+
+?2i1
①
②i
1
例题
10,244
1224,2
1
111
111
i
U
Uiii
viiuAi oc
求解戴维宁等效电路：
ocU
eqR a
b
加压求流法求等效电阻二,三要素法分析一阶电路
t
effftf
)]()0([)()(
时间常数起始值稳态解三要素
)0(
)(
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
t
eftf A)()(
令 t = 0+
A)()0( ff
)()0( ffA
cbftd fda
其解答一般形式为：
（ 1） f（ 0+） --------由 0+ 等效电路求得
1,画出 0? 等效电路，求出 u（ 0-）,i（ 0-）
2,换路定律
3,画出 0+ 等效电路，在 0+ 等效电路中电容处用电压等于 u （ 0+） 的电压源 替代。电感处用电流等于
i（ 0+） 的电流源替代。
4,求出所需响应的 f（ 0+） 值。
（ 2） f（?） ----由 t →?时的等效电路求得。
（ 3）? -----? =RC? =L? R
求?时将电压源短路，将电流源 开路。
三要素计算方法：
实践 出真 知
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
V2)0()0( CC uu
V6 6 7.0112 2)(Cu
s2332 CR 等?
033.1667.0
)667.02(667.0
5.0
5.0
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关求 换路后的 uC(t) 。
解：
t
uc
2
(V)
0.667
0
t
cccc euuutu
)]()0([)()(
例 2 t=0时,开关闭合，求 t>0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
sRL 5/1)5//5/(6.0/
Aii LL 25/10)0()0(
iL
+
–
20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
Ai L 65/205/10)(
t
LLLL eiiiti
)]()0([)()(应用三要素公式
0 46)62(6)( 55 teeti ttL
VeedtdiLtu ttLL 55 10)5()4(5.0)(
Aeuti tL 51 225/)10()(
Aeuti tL 52 245/)20()(
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t) 。
2A 4?
1?
0.1F+
uC
－
+
－4?
i1
2i1 8V+
－
12解 三要素为：
10/
10
1
1
iuR
iu
eq
Viiiu C 12624)( 111
4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
Vuu CC 8)0()0(
sCR eq 11.010
t
cccc euuutu )]()0([)()(
Ve
etu
t
t
c
2012
]128[12)(
t
u
Ci C
d
d
t
Lu L
d
di
1）电容电压不能跃变，因此电容电流也不能跃变。
2）电容两端有电压，就一定有电流流过电容。
3）某一时刻流过电容电流的大小取决于该时刻电容压的大小。
4）电容两端电压是常数，流过电容的电流就一定为零。
5）电感两端电压为零，流过电感的电流就一定为零。
先复习一下吧
K未动作前
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
一,动态电路
i
+
–
uCUs R C
§ 7-1 动态电路方程及其初始条件稳态分析
K
+
–
uCUs R C
it = 0
K接通电源后很长时间
K
+
–
uCUs R C
i
初始状态过渡状态新稳态t1
USuc
t0
a,动态电路,含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
iR
US
b,动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路的方程为微分方程。
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。
SC
C Uu
dt
duRC
K
+
–
uCUs R C
i
+
- us
R1
R2 R3
二,过渡过程产生的原因
1,电路内部含有储能元件 L,C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
t
wp
2,电路结构、状态发生变化支路接入或断开,参数变化换路三,稳态分析和动态分析的区别稳 态换路发生 很长时间后重新达到稳态换路 刚 发生后的整个变化过程微分方程的特解动 态微分方程的一般解恒定或周期性激励 任意激励四,一阶电路换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
动态电路：含有动态元 件的电路。
动态元件：元件的电压、电流约束关系是通过导数或积分来表达的。
初始状态：电路中所求变量在 t=0+时的值。
换路：由于电路结构的变化所引起的电路变化。
过渡过程：由于发生换路，从原来的状态变化到新状态所经历的过程。
一阶电路：电路中仅含有一个动态元件的电路，其电路方程是一阶微分方程。
激励：电路中的独立源。
响应：在激励作用下电路中产生的电流和电压。
几个基本概念一,t = 0+与 t = 0- 的概念换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间
0+ 换路后一瞬间电路的初始条件电路中的 u,i 及其各阶导数在 t = 0+
时的值。
0- 0+0
t
f(t)
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
初始条件：
二,换路定律
iL(0+) = iL(0-)uc(0+) = uc (0-)
电容电压（电荷）换路前后保持不变。
t=0-时,uc (0-)=U0,则 uc(0+) = uc(0-)= U0，在换路的瞬间，
电容可视为一个电压值为 U0的电压源。
t=0-时,uc(0-)=0,则 uc(0+) = uc(0-)= 0，在换路的瞬间，电容相当于短路。
t=0-时,iL(0-)=I0,则 iL(0+)= iL(0-)=I0，在换路的瞬间，电感可视为一个电流值为 I0的电流源。
t=0-时,iL(0-)=0,则 iL(0+)=iL(0-)=0，在换路的瞬间，电感相当于开路。
电感电流（磁链）换路前后保持不变。
三,电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0(Ci
(1) 由 0-电路求 uC(0-)或 iL(0-)
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0-)=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+) i
C(0--)=0 iC(0+)
例 1 +
- 10V
i
iC
+
uC
-k
10k
40k
求 iC(0+)
0)0(
0)0(
L
L
u
u
iL(0+)= iL(0-) =2A
Vu L 842)0(
例 2 t = 0时闭合开关 k,
求 uL(0+)。
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
由 0+电路求 uL(0+),+u
L
-10V
1? 4?
2A
先求
Ai L 241 10)0(
由换路定律,
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求出 uC(0-)
和 iL(0-)。
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b.若 uC(0+) 或 iL(0+) 不为零,电容 （ 电感 ）
用 电压源 （ 电流源 ）替代。
电压源 （ 电流源 ）取 0+时刻值，其方向同原假定的电容电压,电感电流方向。
a,若 uC(0+) 或 iL(0+) 为零,电容 （ 电感 ）用短路 （ 开路 ）替代。
iL(0+) = iL(0-) = IS
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= –RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0)0( RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
+ –uL
iL
C
+
–
uCRIS
iC
0-电路
1.求 uC(0-)和 iL(0-)
iL(0-) = IS
uC(0-) = RIS
2.求 uC(0+)和 iL(0+)
3.求 iC(0+)和 uL(0+)
例题 1
如图所示电路中直流电压源的电压为 U0。 当电路的电压和电流恒定不变时打开开关 S。试求 uc(0+),iL(0+)、
iC(0+),uL(0+)和 uR2(0+)。
(a)
R2
R1
S(t=0)
Uo+ - Li
Ci +
- Cu
+
-
+
-
( )?0Ci
)0(?Lu
21
0RRU?
021 2 URR R?
(b)
R2
Vuu CC 24122)0()0(
Aii LL 124/48)0()0(
例
iL
+
uL
-
LK
2?
+
-
48V
3?
2?
C
求 K闭合瞬间各支路电流和电感电压解 由 0－ 电路得：
12A 24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
由 0+电路得：
Ai C 83/)2448()0(
Ai 20812)0(
Vu L 2412248)0(
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点：
动态电路当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
例
+
-
us
R1
R2
（ t=0）i
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零电阻电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
K
+
–
uCUs R C
i(t = 0)
K接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态电容电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uL = 0
uL= 0,i=Us /R
K接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路
K
+
–
uLUs R L
i(t = 0)
电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C,电路在换路时能量发生变化，而 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开电路参数变化
iL(0+) = iL(0-)uc(0+) = uc (0-)
)( tuu
td
duRC
Sc
c
)( tuuRi Sc
应用 KVL和电容的 VCR得：
td
duCi c?
若以电流为变量：
)(1 tui d t
C
Ri S
+
–
uCus（ t） R C
i(t >0)
dt
tdu
C
i
td
diR S )(
2,动态电路的方程
+
–
uLus（ t） R L
i(t >0)
)( tuuRi SL
)( tutddiLRi S
有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用 KVL和电感的 VCR得：
td
diLu
L?
若以电感电压为变量,)( tuudtu
L
R
SLL
dt
tdu
dt
duu
L
R SL
L
)(
+
–
uLuS（ t） R L
i(t >0)
C
uC＋－
＋
－
)(2
2
tuu
td
duRC
dt
udLC
Sc
cc
)( tuuuRi ScL
二阶电路
td
duCi c?
td
diLu
L?
若以电流为变量：
)(1 tui d t
Cdt
diLRi
S
dt
tdui
Cdt
idL
dt
diR S )(1
2
2
一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：
（ 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
0)(01 ttexadtdxa
0)(012
2
2 ttexadt
dxa
dt
xda
二阶电路 二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。
§ 7-2 一阶电路的零输入响应零输入响应,激励 (独立电源 )为零，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应 。
一,RC电路的零输入响应已知 uC (0-)=U0
t
uCi C
d
d
iK(t=0)
+
–
uRC
+
–
uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
uR= Ri
0 CR uu
一阶微分方程
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
RCp
1特征根
tRCe 1 A
设
ptC eu A?
0 ptpt AeR C A p e
特征方程RCp+1=0得
ptC eu A?则
0dd pt
pt
AetAeRC
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
uC (0+)=uC(0-)=U0
A=U0
令? =RC,称?为一阶电路的 时间常数。
00
1
)0( UAeu t
tRC
C
t
U0 uC
0 0
0
0 teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
tRC
C Aeu
1?
秒伏安秒欧伏库欧法欧 RC?
I0
t
i
0
电压、电流以同一指数规律衰减，
衰减快慢取决于 RC乘积。
iK(t=0)
+
–
uRC +–uC R
0
0
teUu RC
t
c
时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= R C
大 过渡过程时间的 长
小 过渡过程时间的 短电压初值一定：
R 大 （ C不变） i=u/R 放电电流小 放电时间 长
U0
t
uc
0?小
大
C 大 （ R不变） W=0.5Cu2 储能大
11
RCp
固有频率
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为,经过 3? - 5?,过渡过程结束。
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0
U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
图所示电路中 S原在 1位置上，且电路已达稳态,t
=0时开关由 1合向 2，试求 时的电流
()ti
0?t
+
-
+
-
1RR 1
2
10V C 1F
S(t=0)4Ω2Ω
2R4Ω
2R4Ω
1R
C
1F
+
-
Cu Cu
4Ω
ii
例题
tct
t
cc
cc
c
e
tu
ieeuu
sCR
RR
RR
R
vuu
vu
5.05.0
'
21
21'
4
)(
,4)0(
2,2
4)0()0(
4
442
410
)0(
能量关系：
R d tiW R 0 2
C不断释放能量被 R吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量 2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量
R d teRU RC
t
2
0
0 )(
2
02
1 CU?
uC R+
- C
dteRU RC
t2
0
2
0
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
二,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
R?特征根 p =
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数 A
A= i(0+)= I0
i(0-) =
01 IRR
U S?
00dd tRitiL
ptAeti?)(
0)( 00 teIeIti tL
R
pt得
i(0+) =i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
t
iLu
L d
d?
令? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
tLReIi
0
0/ 0 teRI RL
t
0/ 0 teI RL
t
-RI0
uL
t
I0
t
i
0
][][][][][][ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 RL?
iL (0+) = iL(0-)? 1 A
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
例 iLK(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?V RV
10k?10V
t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象,电压表坏了
/ tL ei
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4
01 0 0 0 0 2500 teiRu tLVV
分析
i
S(t=0)
L
+
–
U
R
+
-
VuV RV
例题如图所示是一台 300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻 R=0.189Ω，电感 L=0.398H，直流电压
U=35V。电压表的量程为 50V，内阻 RV=5kΩ 。开关未断开时电路中电流已恒定不变。在 t=0时断开开关。
求,（ 1）电阻、电感回路的时间常数；
（ 2）电流 i的初始值；
（ 3）电流和电压表处电压 uV；
（ 4）开关刚断开时，电压表处的电压。
kv
v
u
V
t
ei
V
R
v
u
A
t
ei
t
eii
Aii
A
R
U
i
s
VRR
L
926)0().4(
1 2 5 6 0
2.185
3
105
1 2 5 6 0
2.185,)0().3(
2.185)0()0(
2.185
189.0
35
)0().2(
6.79
105189.0
398.0
).1(
3
i
S(t=0)
L
+
–
U
R
+
-
VuV RV
小结：
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数?
RC电路? = RC,RL电路? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
t
eyty )0()(
时间常数?的简便计算：
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例 1
例 2
R等 C? = R
等 C
+
-
R1
R2 L
R1
R2 L
等效电阻的求解,电压源短路电流源开路后，把电容或电感端口断开后的等效电阻例 t=0时,开关 K由 1→2,求 电感电压和电流
0V 12 A2 tedtdiLuei tLLtL
sRL 166
解
iL
K(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?+
－
uL
2?
1 2
A
ii LL
2
63
6
6//324
24
)0()0(
t >0
i
L
+
–
uL
R
66//)42(3R
零状态响应,储能元件初始能量为零，电路在输入激励作用下产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC
d
d
列方程：iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
§ 7-3 一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为,
CCC uuu
齐次方程的通解非齐次方程的特解一,RC电路的零状态响应
SC UuRi
强制分量 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，此时强制分量称为 稳态分量。
RC
t
C Aeu
变化规律由电路参数和结构决定齐次方程 的通解
0dd CC utuRC
,特解（强制分量）
Cu?
= US
Cu?
,通解（自由分量，暂态分量）
Cu
SC
C Uu
t
uRC
d
d
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
RC
t
C Aeu
全解
uC (0+)=A+US= 0?A= – US
由起始条件 uC (0+)=0 定 积分常数 A
= US
Cu?
RC
t
SCCC AeUuuu
SC
C Uu
t
uRC
d
di
K(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=0
)0( )1( teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
)0( )1( teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
RC
t
S e
R
U
t
uCi
d
d C
-US uC"
uC'U
S
t
i
R
US
0
t
uc
0
能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
2
2
1
SCU?
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量：
2
0 0
dd SRC
t
S
SS CUteR
UUtiU
电阻消耗
tRRUtRi RCS
t
e d)(d 2
00
2
R
C+
-
US
例 t=0时,开关 K闭合，已知 uC（ 0－ ） =0,求 （ 1）
电容电压和电流，（ 2） uC＝ 80V时的充电时间 t 。
解
500?
10?F+
-
100V
K
+
－
uC
i(1) 这是一个 RC电路零状态响应问题，有：
)0() V e-1 0 0 ( 1 )1( 200t- teUu RC
t
Sc
sRC 35 105105 0 0
Aee
R
U
t
uCi tRC tS 200C 2.0
d
d
（ 2）设经过 t1秒,uC＝ 80V
8,0 4 5 m st)e-1 0 0 ( 180 1- 2 0 0 t 1
二,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL
)1( tL
RS
L eR
Ui
tLR
S
L
L eUt
iLu
d
d
iL(0-)=0 求,电感电流 iL(t)已知
LLL iii
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0
R
Ui S
L A0)0(
tLRS Ae
R
U
iLK(t=0)
US + –uR L +
–
uL
R
例 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的变化规律 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iLK
+
–
uL2H
R 80?
10A 200
300
iL
+
–
uL2H
10A
Req
2 0 03 0 0//2 0 080eqR
Ai L 10)(
sRL eq 01.02 0 0/2/
Aeti tL )1(10)( 100
VedtdiLtu tL 1002 0 0 0)(
t>0
例 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 i
L,uL
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A 10?
5?
+
–
u
t>0
iL
+
–
uL2HU
S
Req+
－
201010eqR
VU S 20102
sRL eq 1.020/2/
Aeti tL )1()( 10
Vetu tL 1020)(
ARUi eqSL 1/)(
§ 7-4 一阶电路的全响应全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一,一阶电路的全响应及其两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC
d
d
稳态解 uC' = US
解答为 uC(t) = uC' + uC"
uC (0-)=U0
非齐次方程
=RC?tSC eUu A
暂态解?t
C eu
A
1、全响应
uC (0+)=A+US=U0?A=U0 –US由起始值定 A
0)( 0 teUUUu
t
SSC?
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
0)( 0 teUUUu
t
SSC?
uC"
-USU0
暂态解
uC'US 稳态解
U0 uc
全解
t
uc
0
(1),全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
2、全响应的两种分解方式
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0-)=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0-)=0
+
uC (0-)=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
(2),全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
等效+
- uc
uC (0-)=U0
i
C +
- U0
uc
iC
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
(3).两种分解方式的比较
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应物理概念清楚便于叠加计算全响应 = 零状态响应 + 零输入响应全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
t
Ssc eUUUu
)(
0
稳态解 暂态解
(t ≥ 0)
Ais/
st/
3
2?
O
ocU
eqR a
b
sU
sI
L
i
li
S(t=0)
R a
b
如图所示电路中 Us=10V.Is=2A,R=2Ω,L=4H,试求 S闭合后电路的电流 和,ii
l
例题
t
t
SSL
eq
ls
LL
eqSsoc
eeIIIi
s
R
L
AiI
Aii
RRVRIUU
5.0
0
'
53)(
2
32/6
2)0()0(
2,6)2210(
电路如图，开关 S合在 1时已达到稳态,t=0时开关 S由 1合向 2，求 t>0时的电压 uL(t) 。
2Ω
+
uL
S(t=0)4Ω
0.1H
2A
8V4Ω
+
+?2i1
①
②i
1
例题
10,244
1224,2
1
111
111
i
U
Uiii
viiuAi oc
求解戴维宁等效电路：
ocU
eqR a
b
加压求流法求等效电阻二,三要素法分析一阶电路
t
effftf
)]()0([)()(
时间常数起始值稳态解三要素
)0(
)(
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
t
eftf A)()(
令 t = 0+
A)()0( ff
)()0( ffA
cbftd fda
其解答一般形式为：
（ 1） f（ 0+） --------由 0+ 等效电路求得
1,画出 0? 等效电路，求出 u（ 0-）,i（ 0-）
2,换路定律
3,画出 0+ 等效电路，在 0+ 等效电路中电容处用电压等于 u （ 0+） 的电压源 替代。电感处用电流等于
i（ 0+） 的电流源替代。
4,求出所需响应的 f（ 0+） 值。
（ 2） f（?） ----由 t →?时的等效电路求得。
（ 3）? -----? =RC? =L? R
求?时将电压源短路，将电流源 开路。
三要素计算方法：
实践 出真 知
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
V2)0()0( CC uu
V6 6 7.0112 2)(Cu
s2332 CR 等?
033.1667.0
)667.02(667.0
5.0
5.0
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关求 换路后的 uC(t) 。
解：
t
uc
2
(V)
0.667
0
t
cccc euuutu
)]()0([)()(
例 2 t=0时,开关闭合，求 t>0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
sRL 5/1)5//5/(6.0/
Aii LL 25/10)0()0(
iL
+
–
20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
Ai L 65/205/10)(
t
LLLL eiiiti
)]()0([)()(应用三要素公式
0 46)62(6)( 55 teeti ttL
VeedtdiLtu ttLL 55 10)5()4(5.0)(
Aeuti tL 51 225/)10()(
Aeuti tL 52 245/)20()(
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t) 。
2A 4?
1?
0.1F+
uC
－
+
－4?
i1
2i1 8V+
－
12解 三要素为：
10/
10
1
1
iuR
iu
eq
Viiiu C 12624)( 111
4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
Vuu CC 8)0()0(
sCR eq 11.010
t
cccc euuutu )]()0([)()(
Ve
etu
t
t
c
2012
]128[12)(
