第 4章 电路定理下 页返 回
重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
1,叠加定理在线性电路中,任一支路的电流 (或电压 )可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
2,定理的证明
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
下 页上 页返 回
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n
或表示为：
)()()( 3
1
2
1
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
支路电流为：
)3(
3
)2(
3
)1(
3
32
13
33
32
3
2
32
32
3313
)()()(
iii
GG
iG
uG
GG
G
u
GG
GG
Guui SSSSn
)3(
2
)2(
2
)1(
2332211
32
12
32
323
22
32
2
2212
)()(
iiiububib
GG
iG
GG
uGG
uG
GG
G
Guui
SSS
SS
SSn
下 页上 页返 回结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
下 页上 页返 回
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加,但叠加只适用于独立源,受控源应始终保留 。
下 页上 页返 回
4,叠加定理的应用例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U(1)
画出分电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1(
3A电源作用,VU 63)3//6()2( VU 264
解下 页上 页返 回例 2
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u（ 1）
＋
Vu 931361 )//()(
Viu 81266 22 )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u (2）i (2)
Ai 2361262 )/()()( Vuuu 178921 )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用：
其余电源作用：
下 页上 页返 回例 3 计算电压 u电流 i。
画出分电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1)＋－
1?2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ii
Viiiu 6321 1111 )()()()(
Ai 21?)(
Vu 826
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)＋－
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 iii Ai 12)(
Viu 2142 )2()2(
Ai 112 )(
受控源始终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
下 页上 页返 回例 4
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
Ai
AiVu SS
2
11
,
响应时，当
Ai
AiVu SS
1
21
,
响应时，当
？响应时，－求 iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有：
SS ukiki 21
代入实验数据，得,221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
Aiui SS 253
研究激励和响应关系的实验下 页上 页返 回例 5.求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解,(1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 6,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用 的分电路为,解,
I1'= 10/（ 6+4） = 1A
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
Us'= -10 I1'+4 I1' = -6V
受控源要保留例 6,求电压 Us。
(2) 4A电流源单独作用的分电路为：解,
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
AI 6146 441,
VIIU S 6.25)6(10 11
Us'= -6V
图 4－ 2
例 电路如图 4-2所示。
(l)已知 I5=1A，求各支路电流和电压源电压 US。
解：用 2b方程，由后向前推算：
V80)10()5(
A8 A4
10
)12()7(
A4 A3
4
)12
21S
321
53
2
543
5
4
IIU
III
II
I
III
I
I
（
1A
3A4A4A
8A
80V
(2)若已知 US=120V，再求各支路电流。
1A
3A4A4A
8A
80V
解：当 US=120V时,它是原来电压 80V的 1.5倍,根据线性电路齐次性可以断言,该电路中各电压和电流均增加到 1.5倍,即
A5.1A15.1
A5.4A35.1
6AA45.1
A12A85.1
5
4
32
1
I
I
II
I
120V
12A
6A 6A 4.5A
1.5A
例 6.
采用倒推法：设 i'=1A。
则求电流 i 。RL=2? R1=1? R2=1? us=51V
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s 即解
5,齐性原理下 页上 页返 回齐性原理线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
下 页上 页返 回
4,2 替代定理对于给定的任意一个电路,若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的独立电压源,或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理支路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
下 页上 页返 回
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
＋
＋
－A
ik
+
–
uk
支路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
下 页上 页返 回例 求图示电路的支路电压和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
A
i
10
1010551 1 01
//)(/
Aii 653 12 / Aii 452 13 /
Viu 6010 2
替代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 /)(
Ai 415603 /
替代后各支路电压和电流完全不变。
下 页上 页返 回替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的 u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变 (KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
下 页上 页返 回
4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
下 页上 页返 回
1,几个名词
(1) 端口 端口指电路引出的一对端钮,其中从一个端钮 (如 a)流入的电流一定等于从另一端钮 (如 b)流出的电流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络内部 含有独立电源 的一端口网络称为 含源一端口网络。
内部 不含有独立源 的一端口网络称为 无源一端口网络。
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而电阻等于一端口的输入电阻 （ 或等效电阻 Req） 。
A
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
下 页上 页返 回
I
例
Uoc
a
b
+
–
Req 5?
15V -
+
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
10? 10?
+
–
20V
+
–
U0C
a
b
+
–
10V
1A 5?2A
+
–
U0C
a
b
AI 5.020 1020
510//10 eqR
VU oc 1510105.0
下 页上 页返 回
2.定理的证明
+
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
a
b
A i+
–
u
a
b
A +
–u'
a
b
P
i+
–
u''R
eq
则替代叠加
A中独立源置零
ocuu?' iRu eq''
iRu
uuu
eqoc
'''
下 页上 页返 回
3.定理的应用
(1) 开路电压 Uoc的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,电流源开路 )后,所得无源一端口网络的输入电阻 。
常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc。 计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算 。
下 页上 页返 回
2 3 方法更有一般性。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
开路电压，短路电流法。3
外加电源法（加压求流或加流求压）。2
a
b
P
i+
–
u
Req
a
b
P
i+
–
uR
eq i
uR
eq?
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
uR?
下 页上 页返 回
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
下 页上 页返 回求 负载 RL消耗的功率。例 1.
100?
50?
+
–
40V
RL
a
b
+ –
50V
I1
4I1
50?
5?
解
(1) 求开路电压 Uoc
下 页上 页返 回
100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
4I1
50? +
–
Uoc 100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
200I1
50? +
–
Uoc
–+
401 0 02 0 01 0 0 111 III
AI 1.01? VIU oc 10100 1
(2) 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
Isc
50?
+
–
40V
a
b
Isc50?
AI sc 4.0100/40 254.0/10
sc
oc
eq I
UR
下 页上 页返 回
a
b
Uoc
+
–
Req 5?25?
10V
＋
－
50V
IL A
UI oc
L 230
60
525
50
WIP LL 20455 2
已知开关 S
例 4,1 A ＝ 2A
2 V ＝ 4V
求开关 S打向 3，电压 U等于多少解 VUAi
ocSc 4 2
2eqR
VU 1141)52(
线性含源网络 A V
5?
U
+
－
S
1 32 1A
＋
－4V
下 页上 页返 回含受控源电路求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30U
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=（ -6I） /3=-2I
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc
=9/1.5=6?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电流源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。 证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Geq(Req)Isc
下 页上 页返 回例 1 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
(1) 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
Isc
I1
I2
(2) 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67?
(3) 诺顿等效电路,
Req 2?10?
a
b
应 用 分流公式
4?I
a
b
-9.6A
1.67?
I =2.83A
下 页上 页返 回例 2 求电压 U。
3?
6?
+
–
24V
a
b
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
(1) 求短路电流 Isc
Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b
处的短路电流比开路电压容易求。
AI sc 363 366//3 242136//6 24
(2) 求等效电阻 Req
Req
466//3//63//6eqR
(3) 诺顿等效电路,
Isc
a
b
1A
4?
＋
－
U
VU 164)13(
下 页上 页返 回戴维宁 —诺顿定理在电路调试中的应用一个新的电子产品往往需要调整电路的某些元件参数来改善其电气性能。戴维宁 —诺顿定理能在不知道电路结构和参数的情况下，指出元件参数变动时电压和电流变化的规律，对调试工作十分有用，这是其它电路分析方法难以做到的。
如果要调整实际电路中任一电阻 RL的电压和电流,如图 (a)所示,可以将电路其余部分用戴维宁 —诺顿电路来模拟,得到图 (b)和 (c)所示电路模型,由此可以得到
oc
L
o
oc
Lo
L
1
1
u
R
R
u
RR
R
u
这是工作于线性区的任何电阻电路中任一电阻电压和电流的一般表达式，由此可看到电路参数变化对电压、电流的影响。
)a124(
1
1
oc
L
o
oc
Lo
L?
u
R
RuRR
Ru
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
A
i +
–
u 负载
i
Uoc
+
–
u+
–
Req
RL应用戴维宁定理下 页上 页返 回本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图 (a)所示的电路模型来分析网络 N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络,它可用戴维宁等效电路来代替,如图 (b)所示 。 电阻 RL
表示获得能量的负载 。 此处要讨论的问题是电阻 RL为何值时,可以从单口网络获得最大功率 。
写出负载 RL吸收功率的表达式
2
Lo
2
ocL2
L )( RR
uRiRp
欲求 p的最大值，应满足 dp/dRL=0，即
0)( )()( 2)(d d 3
Lo
2
ocLo
3
Lo
2
ocL
2
Lo
2
oc
L
RR uRRRR uRRR uRp
由此式求得 p为极大值或极小值的条件是
oL RR?
由于
0
8d
d
0
3
o
2
oc
2
L
2
ooL
RRR R
u
R
p
由此可知，当 Ro>0,且 RL=Ro时，负载电阻 RL从单口网络获得最大功率。
最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络 (Ro>0)向可变电阻负载 RL传输最大功率的条件是：负载电阻 RL与单口网络的输出电阻 Ro相等。满足 RL=Ro条件时，称为最大功率匹配，此时负载电阻 RL获得的最大功率为
o
2
oc
ma x 4 R
up?
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
RL
P
0
P max
eqL RR?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件下 页上 页返 回例 电路如图所示。
试求,(l) RL为何值时获得最大功率；
(2) RL获得的最大功率；
(3) 10V电压源的功率传输效率。
解,(l)断开负载 RL，求得单口网络 N1的戴维宁等效电路参数为：
122 22 V5V1022 2 ooc Ru
如图 (b)所示，由此可知当 RL=Ro=1?时可获得最大功率。
(2)求得 RL获得的最大功率
W25.6W
14
25
4 o
2
oc
ma x R
up
(3)先计算 10V电压源发出的功率。当 RL=1?时
3 7,5 W3,7 5 A10VA 75.3A5.225.1
V5.2 A 5.2A
2
5
21
LLL
Lo
oc
L
piii
iRu
RR
u
i
10V电压源发出 37.5W功率，电阻 RL
吸收功率 6.25W，其功率传输效率为 %7.16
5.37
25.6η
例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率 。
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–
UR
RL
10?
20
RU
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
20IUR eq
＋
－
Uoc
I1 I2 2021 RUII AII 221
IIIU 202/2010
VIU oc 602020102 2
20?
+
–
I
a
b
+
–
UR
10?
20
RU
UI2I1
221 III
AII 121
下 页上 页返 回
(3) 由最大功率传输定理得,
20eqL RR 时其上可获得最大功率
WRUP
eq
oc 45
204
60
4
22
m a x
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
下 页上 页返 回
3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
上 页返 回国庆节过的好吗？国庆节过的好吗？
国庆节过的好吗？
该收心学习了。
温故知新10月 11日
重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
1,叠加定理在线性电路中,任一支路的电流 (或电压 )可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
2,定理的证明
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
下 页上 页返 回
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n
或表示为：
)()()( 3
1
2
1
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
支路电流为：
)3(
3
)2(
3
)1(
3
32
13
33
32
3
2
32
32
3313
)()()(
iii
GG
iG
uG
GG
G
u
GG
GG
Guui SSSSn
)3(
2
)2(
2
)1(
2332211
32
12
32
323
22
32
2
2212
)()(
iiiububib
GG
iG
GG
uGG
uG
GG
G
Guui
SSS
SS
SSn
下 页上 页返 回结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
下 页上 页返 回
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加,但叠加只适用于独立源,受控源应始终保留 。
下 页上 页返 回
4,叠加定理的应用例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U(1)
画出分电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1(
3A电源作用,VU 63)3//6()2( VU 264
解下 页上 页返 回例 2
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u（ 1）
＋
Vu 931361 )//()(
Viu 81266 22 )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u (2）i (2)
Ai 2361262 )/()()( Vuuu 178921 )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用：
其余电源作用：
下 页上 页返 回例 3 计算电压 u电流 i。
画出分电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1)＋－
1?2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ii
Viiiu 6321 1111 )()()()(
Ai 21?)(
Vu 826
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)＋－
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 iii Ai 12)(
Viu 2142 )2()2(
Ai 112 )(
受控源始终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
下 页上 页返 回例 4
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
Ai
AiVu SS
2
11
,
响应时，当
Ai
AiVu SS
1
21
,
响应时，当
？响应时，－求 iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有：
SS ukiki 21
代入实验数据，得,221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
Aiui SS 253
研究激励和响应关系的实验下 页上 页返 回例 5.求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解,(1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 6,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用 的分电路为,解,
I1'= 10/（ 6+4） = 1A
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
Us'= -10 I1'+4 I1' = -6V
受控源要保留例 6,求电压 Us。
(2) 4A电流源单独作用的分电路为：解,
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
AI 6146 441,
VIIU S 6.25)6(10 11
Us'= -6V
图 4－ 2
例 电路如图 4-2所示。
(l)已知 I5=1A，求各支路电流和电压源电压 US。
解：用 2b方程，由后向前推算：
V80)10()5(
A8 A4
10
)12()7(
A4 A3
4
)12
21S
321
53
2
543
5
4
IIU
III
II
I
III
I
I
（
1A
3A4A4A
8A
80V
(2)若已知 US=120V，再求各支路电流。
1A
3A4A4A
8A
80V
解：当 US=120V时,它是原来电压 80V的 1.5倍,根据线性电路齐次性可以断言,该电路中各电压和电流均增加到 1.5倍,即
A5.1A15.1
A5.4A35.1
6AA45.1
A12A85.1
5
4
32
1
I
I
II
I
120V
12A
6A 6A 4.5A
1.5A
例 6.
采用倒推法：设 i'=1A。
则求电流 i 。RL=2? R1=1? R2=1? us=51V
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s 即解
5,齐性原理下 页上 页返 回齐性原理线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
下 页上 页返 回
4,2 替代定理对于给定的任意一个电路,若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的独立电压源,或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理支路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
下 页上 页返 回
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
＋
＋
－A
ik
+
–
uk
支路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
下 页上 页返 回例 求图示电路的支路电压和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
A
i
10
1010551 1 01
//)(/
Aii 653 12 / Aii 452 13 /
Viu 6010 2
替代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 /)(
Ai 415603 /
替代后各支路电压和电流完全不变。
下 页上 页返 回替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的 u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变 (KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
下 页上 页返 回
4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
下 页上 页返 回
1,几个名词
(1) 端口 端口指电路引出的一对端钮,其中从一个端钮 (如 a)流入的电流一定等于从另一端钮 (如 b)流出的电流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络内部 含有独立电源 的一端口网络称为 含源一端口网络。
内部 不含有独立源 的一端口网络称为 无源一端口网络。
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而电阻等于一端口的输入电阻 （ 或等效电阻 Req） 。
A
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
下 页上 页返 回
I
例
Uoc
a
b
+
–
Req 5?
15V -
+
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
10? 10?
+
–
20V
+
–
U0C
a
b
+
–
10V
1A 5?2A
+
–
U0C
a
b
AI 5.020 1020
510//10 eqR
VU oc 1510105.0
下 页上 页返 回
2.定理的证明
+
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
a
b
A i+
–
u
a
b
A +
–u'
a
b
P
i+
–
u''R
eq
则替代叠加
A中独立源置零
ocuu?' iRu eq''
iRu
uuu
eqoc
'''
下 页上 页返 回
3.定理的应用
(1) 开路电压 Uoc的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,电流源开路 )后,所得无源一端口网络的输入电阻 。
常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc。 计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算 。
下 页上 页返 回
2 3 方法更有一般性。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
开路电压，短路电流法。3
外加电源法（加压求流或加流求压）。2
a
b
P
i+
–
u
Req
a
b
P
i+
–
uR
eq i
uR
eq?
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
uR?
下 页上 页返 回
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
下 页上 页返 回求 负载 RL消耗的功率。例 1.
100?
50?
+
–
40V
RL
a
b
+ –
50V
I1
4I1
50?
5?
解
(1) 求开路电压 Uoc
下 页上 页返 回
100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
4I1
50? +
–
Uoc 100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
200I1
50? +
–
Uoc
–+
401 0 02 0 01 0 0 111 III
AI 1.01? VIU oc 10100 1
(2) 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
Isc
50?
+
–
40V
a
b
Isc50?
AI sc 4.0100/40 254.0/10
sc
oc
eq I
UR
下 页上 页返 回
a
b
Uoc
+
–
Req 5?25?
10V
＋
－
50V
IL A
UI oc
L 230
60
525
50
WIP LL 20455 2
已知开关 S
例 4,1 A ＝ 2A
2 V ＝ 4V
求开关 S打向 3，电压 U等于多少解 VUAi
ocSc 4 2
2eqR
VU 1141)52(
线性含源网络 A V
5?
U
+
－
S
1 32 1A
＋
－4V
下 页上 页返 回含受控源电路求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30U
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=（ -6I） /3=-2I
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc
=9/1.5=6?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电流源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。 证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Geq(Req)Isc
下 页上 页返 回例 1 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
(1) 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
Isc
I1
I2
(2) 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67?
(3) 诺顿等效电路,
Req 2?10?
a
b
应 用 分流公式
4?I
a
b
-9.6A
1.67?
I =2.83A
下 页上 页返 回例 2 求电压 U。
3?
6?
+
–
24V
a
b
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
(1) 求短路电流 Isc
Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b
处的短路电流比开路电压容易求。
AI sc 363 366//3 242136//6 24
(2) 求等效电阻 Req
Req
466//3//63//6eqR
(3) 诺顿等效电路,
Isc
a
b
1A
4?
＋
－
U
VU 164)13(
下 页上 页返 回戴维宁 —诺顿定理在电路调试中的应用一个新的电子产品往往需要调整电路的某些元件参数来改善其电气性能。戴维宁 —诺顿定理能在不知道电路结构和参数的情况下，指出元件参数变动时电压和电流变化的规律，对调试工作十分有用，这是其它电路分析方法难以做到的。
如果要调整实际电路中任一电阻 RL的电压和电流,如图 (a)所示,可以将电路其余部分用戴维宁 —诺顿电路来模拟,得到图 (b)和 (c)所示电路模型,由此可以得到
oc
L
o
oc
Lo
L
1
1
u
R
R
u
RR
R
u
这是工作于线性区的任何电阻电路中任一电阻电压和电流的一般表达式，由此可看到电路参数变化对电压、电流的影响。
)a124(
1
1
oc
L
o
oc
Lo
L?
u
R
RuRR
Ru
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
A
i +
–
u 负载
i
Uoc
+
–
u+
–
Req
RL应用戴维宁定理下 页上 页返 回本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图 (a)所示的电路模型来分析网络 N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络,它可用戴维宁等效电路来代替,如图 (b)所示 。 电阻 RL
表示获得能量的负载 。 此处要讨论的问题是电阻 RL为何值时,可以从单口网络获得最大功率 。
写出负载 RL吸收功率的表达式
2
Lo
2
ocL2
L )( RR
uRiRp
欲求 p的最大值，应满足 dp/dRL=0，即
0)( )()( 2)(d d 3
Lo
2
ocLo
3
Lo
2
ocL
2
Lo
2
oc
L
RR uRRRR uRRR uRp
由此式求得 p为极大值或极小值的条件是
oL RR?
由于
0
8d
d
0
3
o
2
oc
2
L
2
ooL
RRR R
u
R
p
由此可知，当 Ro>0,且 RL=Ro时，负载电阻 RL从单口网络获得最大功率。
最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络 (Ro>0)向可变电阻负载 RL传输最大功率的条件是：负载电阻 RL与单口网络的输出电阻 Ro相等。满足 RL=Ro条件时，称为最大功率匹配，此时负载电阻 RL获得的最大功率为
o
2
oc
ma x 4 R
up?
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
RL
P
0
P max
eqL RR?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件下 页上 页返 回例 电路如图所示。
试求,(l) RL为何值时获得最大功率；
(2) RL获得的最大功率；
(3) 10V电压源的功率传输效率。
解,(l)断开负载 RL，求得单口网络 N1的戴维宁等效电路参数为：
122 22 V5V1022 2 ooc Ru
如图 (b)所示，由此可知当 RL=Ro=1?时可获得最大功率。
(2)求得 RL获得的最大功率
W25.6W
14
25
4 o
2
oc
ma x R
up
(3)先计算 10V电压源发出的功率。当 RL=1?时
3 7,5 W3,7 5 A10VA 75.3A5.225.1
V5.2 A 5.2A
2
5
21
LLL
Lo
oc
L
piii
iRu
RR
u
i
10V电压源发出 37.5W功率，电阻 RL
吸收功率 6.25W，其功率传输效率为 %7.16
5.37
25.6η
例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率 。
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–
UR
RL
10?
20
RU
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
20IUR eq
＋
－
Uoc
I1 I2 2021 RUII AII 221
IIIU 202/2010
VIU oc 602020102 2
20?
+
–
I
a
b
+
–
UR
10?
20
RU
UI2I1
221 III
AII 121
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(3) 由最大功率传输定理得,
20eqL RR 时其上可获得最大功率
WRUP
eq
oc 45
204
60
4
22
m a x
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
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3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
上 页返 回国庆节过的好吗？国庆节过的好吗？
国庆节过的好吗？
该收心学习了。
温故知新10月 11日
