第 8章 相量法
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式；
重点：
1,正弦量的表示、相位差；
正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
（ 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义：
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（ 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()(
1
k
n
k
k tkAtf
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
8.1 复 数一、复数的表示法
1.直角坐标形式：
0 a
b
+j
+1
F
jbaF
a
b
a rc tg
baF
22
s in
c o s
Fb
Fa
之间的关系为：和与和 baF?
2.三角表示, s inc o s jFF
3.指数形式,?jeFF?
4.极坐标形式, FF
二、运 算,1.加减运算：
+j
0
+1
2F 1F
21 FF?
0
+1
2F
1F
21 FF?
+j
)()(
)()(
2121
221121 bbjaa jbajbaFF
直角坐标形式：
2.乘除运算：
a.直角坐标形式 /三角形式：
)()( ))(( 12212121 221121 babajbbaa jbajbaFFF
2222
2112
2
2
2
2
2121
22
11
2
1
ba
babaj
ba
bbaa
jba
jba
F
FF
b.指数形式 /极坐标形式：
212121 FFFFF 21
2
1
2
1
F
F
F
FF
三,j 的几何意义：
称为旋转因子的算子叫旋转
tje
j
90 例 8-1
2121
21 / 1 3 510,43 FFFF FjF 和求：设
8.2 正 弦 量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为 正弦量一,三 要素：
1.数值：
a.瞬时值,正弦量在某一时刻的数值
b.幅 值,最大的瞬时值。
有效值也称 方均根值 。
T ttiTI 0 2d e f d)(1 T ttuTU 0 2d e f d)(1
c.有效值,
2,频率：
a.周期,T=2π/ω
b.频率,f = 1 / T
c.角频率,ω=2πf
3,相位：
+ _u
i
)co s ( im tIi
)s i n ( im tIi
ita相位：.
itb?时的相位初相,0,?
)()()(,2121 2121 iiii tttc ）（相位差：
同频率正弦量的相位差设 u(t)=Umcos(? t+y u),i(t)=Imcos(? t+y i)
则 相位差,? = (? t+y u)- (? t+y i)= y u-y i
>0,u超前 i?角,或 i 落后 u? 角 (u 比 i先到达最大值 )；
<0,i 超前 u?角,或 u 滞后 i?角,i 比 u 先到达最大值。
t
u,i
u
i
yuyi
O
等于初相位之差 规定,|? | (180° )。
＝ 0,同相：
= (?180o ),反相：特殊相位关系：
t
u,i
u
i
0
t
u,i
u
i0
=?/2：
u 领先 i?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
tti
tti
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
ttu
ttu
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
tti
tti
解
045)2(43
43452
000 1 3 5)1 0 5(30
000 1 2 0)1 5 0(30
)105100c o s (10)( 02 tti?
不能比较相位差
21
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 tti?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm 或若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
（ 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i
m
注
1,问题的提出：
电路方程是微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算。
+
_
R
u L
Ci
)(
2
tuudtduRCdt udLC CCC
) c o s (2 111 y tIi
) c o s (2 222 y tIi
8.3 向量法基础
i1
I1 I2 I3
i1+i2?i3i2
1?2?3
角频率：
有效值：
初相位：
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。 因此,
t
u,i
i1
i2
0
i3
正弦量 复数 实际是变换的思想一、概念：
1,向量,代表正弦量的复数。
的关系：与 Ii?.2
是值）是函数不相等（与 IiIi,).1( 一一对应与 Ii?).2(
]2R e [).3( tjeIi
二、运 算：
1,同频率正弦量相加减
21 UUU
得：
)2I m () s i n (2)(
)2I m () s i n (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUtUtu
eUtUtu
y?
y?
)()( )( 21 tututu
U?
)2I m ()2I m ( j2j1 tt eUeU
)22I m ( j2j1 tt eUeU ))(2I m ( j21 teUU
故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。
) c o s (2)( ΨIIΨtIti
) c o s (2)( θUUθtUtu
为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1,1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
u
ti
解
V602 20
A301 00
o
o
U
I
例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
ttu
ttu?
也可借助相量图计算
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ttututu
60430621 UUU
Re
Im
30
1U?
9.41
U?
Re
Im
9.41
30
1U?
60
2U?
U?
46.32319.5 jj
46.619.7 j V 9.4164.9 o
60
2U?
首尾相接同频正弦量的加,减运算可借助相量图进行 。 相量图在正弦稳态分析中有重要作用,尤其适用于定性分析 。
Re
Im
1U?
2U?
U?
Re
Im
1U?
U?
2U?
2,正弦量的微分，积分运算：
Ii
Ijdtdi
微分：
Ijid t1
Ii
积分：
例
) c o s (2)( itIti y
1)( i d tCdtdiLRitu
Ri(t)
u(t) L+- C
用相量运算,
Cj
IILjIRU
相量法的优点：
（ 1）把时域问题变为复数问题；
（ 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
（ 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
例 8-2
t
t
i
di
d
d
ii
Ati
Ati
221
2
1
)3(;)2(;)1(
)6/53 1 4c o s (222
,)3/3 1 4c o s (210
:
1
求：
。
分别为已知两个同频正弦电流
小结
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解,即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
1
2 非线性?
不适用
① 正弦量 相量时域 频域正弦波形图 相量图
8.4 电路定律的向量形式一,基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
二、元件的电压电流关系
1,电阻
uR(t)
i(t)
R
+
-
)s i n (2)( y tIti已知
)s i n (2)()( y tRItRitu R则相量形式：
y
y
RIU
II
R
有效值关系,UR = RI
相位关系,u,i 同相相量模型
R
+
-RU?
I?
相量关系
IRU R
时域
tIti?s i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tIL
tIL
t
ti
Ltu
j? L
相量模型
+
-
U?
I?
有效值关系
U=? L I
相位关系
u 超前 i 90°
频域
ILUj?
o0 II?
U?
I?
相量图
2,电感
i(t)
u (t) L
+
-
时域模型
t
u,i u
i
0
波形图感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 感抗和频率成正比。
XL
感抗;,,;,0 ),(0
开路短路直流
L
L
X
X
XL= U/I =? L= 2? f L,单位,欧
U=? L I
(3) 由于 感抗的存在使电流落后电压。
i
uL
I
UL
错误的写法时域
tUtu?s i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tCU
tCU
t
tu
Cti
有效值关系
I=? C U
相位关系
i 超前 u 90°
频域
UCIj?
o0 UU?
U?
I?
相量图
t
u,i
u
i
0
波形图
3,电容时域模型
i (t)
u(t) C
+
-
相量模型
I?
U?
+
- Cj?
1
容抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
(3) 由于 容抗的存在使电流领先电压。
i
u
C
1
I
U
C?
1
错误的写法容抗
I=? CU
CI
U
1?
CX C?
1定义;,0,;,),(0 C
旁路作用隔直作用直流
CX
X
CX
)5( Cj
I
U
C
C?
例 1 试判断下列表达式的正、误：
Liju )1(
005 c o s5 )2( ti?
mCUjI )3( m
L
L
I
UX
L )4(
LILjU )6( L
dt
diCu? )7(
U? I?
mU?
m
m
I
U
I
U?
Cj?
1
L
例 )(:),5c o s (2120 tit u ( t ) 求已知?+
_
15?u
4H
0.02Fi
解 00120U?
2054 jjjX L
1002.05 1 jjjX C
相量模型
U?
j20?
-j15?
1I? 2I?
+
_
15?
3I?
I?
CL
CLR jX
U
jX
U
R
UIIII
Ajjj
jj
09.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
At i ( t ) )9.365c o s (210 0
例 8-3
。和。求电压μ
，角频率其有效值为正弦电流源的电流，如图所示电路图中，
bdad
S
S
uuFCHL
Rsr a dAI
i
1,1
,3,/105 3
d
a b
+ _ + _
c
+
_
R Li
Si CR
u Lu
Cu
)10c o s (215
0
015
0
905000
1
905000
015
05
3
0
0
0
0
0
tu
u
bdR
CL
C
j
C
Lj
L
R
R
A
s
ad
bd
ad
bd
UUU
UUU
IU
IU
IU
II
解：设电流相量为参考相量例 8-4
的读数。和
。求电流表的读数为电流表的读数为表
，电流的读数为其中电流表读数为电流的有效值，
所指示的为交流电流表，其仪表如图所示电路中的仪表
4
32
1
25,20
5
A
AAAAA
AA
4I?
j? L
SU?
R
+
-
A
1A
3A4A
2A
I?
1I? 2I
Cj?
1
3I?
4I?
j? L
SU?
R
+
-
A
1A
3A4A
2A
I?
1I? 2I?
Cj?1
3I?
解：各电流表的读数是各电流的有效值。设并联支路的电压相量为参考相量
0
23
0
321
32
o
1
0
9055
4
4507.7
25,20,05
0
jII
III
jIAjII
U
S
I
I
U S
所求表的读数为：表 A7.07，表 A4,5A
例 )(:),1510c o s (25 06 tuti ( t ) S求已知 +
_
5?
uS 0.2?F
i
解 0155I?
5102.010 1 66 jjjX C
V
jUUU CRS
000
0
302254525155
55155
相量模型
+
_
5?
SU?
I?
-j5?
RUI,
CU?
SU?CU
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式；
重点：
1,正弦量的表示、相位差；
正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
（ 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义：
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（ 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()(
1
k
n
k
k tkAtf
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
8.1 复 数一、复数的表示法
1.直角坐标形式：
0 a
b
+j
+1
F
jbaF
a
b
a rc tg
baF
22
s in
c o s
Fb
Fa
之间的关系为：和与和 baF?
2.三角表示, s inc o s jFF
3.指数形式,?jeFF?
4.极坐标形式, FF
二、运 算,1.加减运算：
+j
0
+1
2F 1F
21 FF?
0
+1
2F
1F
21 FF?
+j
)()(
)()(
2121
221121 bbjaa jbajbaFF
直角坐标形式：
2.乘除运算：
a.直角坐标形式 /三角形式：
)()( ))(( 12212121 221121 babajbbaa jbajbaFFF
2222
2112
2
2
2
2
2121
22
11
2
1
ba
babaj
ba
bbaa
jba
jba
F
FF
b.指数形式 /极坐标形式：
212121 FFFFF 21
2
1
2
1
F
F
F
FF
三,j 的几何意义：
称为旋转因子的算子叫旋转
tje
j
90 例 8-1
2121
21 / 1 3 510,43 FFFF FjF 和求：设
8.2 正 弦 量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为 正弦量一,三 要素：
1.数值：
a.瞬时值,正弦量在某一时刻的数值
b.幅 值,最大的瞬时值。
有效值也称 方均根值 。
T ttiTI 0 2d e f d)(1 T ttuTU 0 2d e f d)(1
c.有效值,
2,频率：
a.周期,T=2π/ω
b.频率,f = 1 / T
c.角频率,ω=2πf
3,相位：
+ _u
i
)co s ( im tIi
)s i n ( im tIi
ita相位：.
itb?时的相位初相,0,?
)()()(,2121 2121 iiii tttc ）（相位差：
同频率正弦量的相位差设 u(t)=Umcos(? t+y u),i(t)=Imcos(? t+y i)
则 相位差,? = (? t+y u)- (? t+y i)= y u-y i
>0,u超前 i?角,或 i 落后 u? 角 (u 比 i先到达最大值 )；
<0,i 超前 u?角,或 u 滞后 i?角,i 比 u 先到达最大值。
t
u,i
u
i
yuyi
O
等于初相位之差 规定,|? | (180° )。
＝ 0,同相：
= (?180o ),反相：特殊相位关系：
t
u,i
u
i
0
t
u,i
u
i0
=?/2：
u 领先 i?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
tti
tti
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
ttu
ttu
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
tti
tti
解
045)2(43
43452
000 1 3 5)1 0 5(30
000 1 2 0)1 5 0(30
)105100c o s (10)( 02 tti?
不能比较相位差
21
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 tti?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm 或若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
（ 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i
m
注
1,问题的提出：
电路方程是微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算。
+
_
R
u L
Ci
)(
2
tuudtduRCdt udLC CCC
) c o s (2 111 y tIi
) c o s (2 222 y tIi
8.3 向量法基础
i1
I1 I2 I3
i1+i2?i3i2
1?2?3
角频率：
有效值：
初相位：
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。 因此,
t
u,i
i1
i2
0
i3
正弦量 复数 实际是变换的思想一、概念：
1,向量,代表正弦量的复数。
的关系：与 Ii?.2
是值）是函数不相等（与 IiIi,).1( 一一对应与 Ii?).2(
]2R e [).3( tjeIi
二、运 算：
1,同频率正弦量相加减
21 UUU
得：
)2I m () s i n (2)(
)2I m () s i n (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUtUtu
eUtUtu
y?
y?
)()( )( 21 tututu
U?
)2I m ()2I m ( j2j1 tt eUeU
)22I m ( j2j1 tt eUeU ))(2I m ( j21 teUU
故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。
) c o s (2)( ΨIIΨtIti
) c o s (2)( θUUθtUtu
为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1,1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
u
ti
解
V602 20
A301 00
o
o
U
I
例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
ttu
ttu?
也可借助相量图计算
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ttututu
60430621 UUU
Re
Im
30
1U?
9.41
U?
Re
Im
9.41
30
1U?
60
2U?
U?
46.32319.5 jj
46.619.7 j V 9.4164.9 o
60
2U?
首尾相接同频正弦量的加,减运算可借助相量图进行 。 相量图在正弦稳态分析中有重要作用,尤其适用于定性分析 。
Re
Im
1U?
2U?
U?
Re
Im
1U?
U?
2U?
2,正弦量的微分，积分运算：
Ii
Ijdtdi
微分：
Ijid t1
Ii
积分：
例
) c o s (2)( itIti y
1)( i d tCdtdiLRitu
Ri(t)
u(t) L+- C
用相量运算,
Cj
IILjIRU
相量法的优点：
（ 1）把时域问题变为复数问题；
（ 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
（ 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
例 8-2
t
t
i
di
d
d
ii
Ati
Ati
221
2
1
)3(;)2(;)1(
)6/53 1 4c o s (222
,)3/3 1 4c o s (210
:
1
求：
。
分别为已知两个同频正弦电流
小结
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解,即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
1
2 非线性?
不适用
① 正弦量 相量时域 频域正弦波形图 相量图
8.4 电路定律的向量形式一,基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
二、元件的电压电流关系
1,电阻
uR(t)
i(t)
R
+
-
)s i n (2)( y tIti已知
)s i n (2)()( y tRItRitu R则相量形式：
y
y
RIU
II
R
有效值关系,UR = RI
相位关系,u,i 同相相量模型
R
+
-RU?
I?
相量关系
IRU R
时域
tIti?s i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tIL
tIL
t
ti
Ltu
j? L
相量模型
+
-
U?
I?
有效值关系
U=? L I
相位关系
u 超前 i 90°
频域
ILUj?
o0 II?
U?
I?
相量图
2,电感
i(t)
u (t) L
+
-
时域模型
t
u,i u
i
0
波形图感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 感抗和频率成正比。
XL
感抗;,,;,0 ),(0
开路短路直流
L
L
X
X
XL= U/I =? L= 2? f L,单位,欧
U=? L I
(3) 由于 感抗的存在使电流落后电压。
i
uL
I
UL
错误的写法时域
tUtu?s i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tCU
tCU
t
tu
Cti
有效值关系
I=? C U
相位关系
i 超前 u 90°
频域
UCIj?
o0 UU?
U?
I?
相量图
t
u,i
u
i
0
波形图
3,电容时域模型
i (t)
u(t) C
+
-
相量模型
I?
U?
+
- Cj?
1
容抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
(3) 由于 容抗的存在使电流领先电压。
i
u
C
1
I
U
C?
1
错误的写法容抗
I=? CU
CI
U
1?
CX C?
1定义;,0,;,),(0 C
旁路作用隔直作用直流
CX
X
CX
)5( Cj
I
U
C
C?
例 1 试判断下列表达式的正、误：
Liju )1(
005 c o s5 )2( ti?
mCUjI )3( m
L
L
I
UX
L )4(
LILjU )6( L
dt
diCu? )7(
U? I?
mU?
m
m
I
U
I
U?
Cj?
1
L
例 )(:),5c o s (2120 tit u ( t ) 求已知?+
_
15?u
4H
0.02Fi
解 00120U?
2054 jjjX L
1002.05 1 jjjX C
相量模型
U?
j20?
-j15?
1I? 2I?
+
_
15?
3I?
I?
CL
CLR jX
U
jX
U
R
UIIII
Ajjj
jj
09.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
At i ( t ) )9.365c o s (210 0
例 8-3
。和。求电压μ
，角频率其有效值为正弦电流源的电流，如图所示电路图中，
bdad
S
S
uuFCHL
Rsr a dAI
i
1,1
,3,/105 3
d
a b
+ _ + _
c
+
_
R Li
Si CR
u Lu
Cu
)10c o s (215
0
015
0
905000
1
905000
015
05
3
0
0
0
0
0
tu
u
bdR
CL
C
j
C
Lj
L
R
R
A
s
ad
bd
ad
bd
UUU
UUU
IU
IU
IU
II
解：设电流相量为参考相量例 8-4
的读数。和
。求电流表的读数为电流表的读数为表
，电流的读数为其中电流表读数为电流的有效值，
所指示的为交流电流表，其仪表如图所示电路中的仪表
4
32
1
25,20
5
A
AAAAA
AA
4I?
j? L
SU?
R
+
-
A
1A
3A4A
2A
I?
1I? 2I
Cj?
1
3I?
4I?
j? L
SU?
R
+
-
A
1A
3A4A
2A
I?
1I? 2I?
Cj?1
3I?
解：各电流表的读数是各电流的有效值。设并联支路的电压相量为参考相量
0
23
0
321
32
o
1
0
9055
4
4507.7
25,20,05
0
jII
III
jIAjII
U
S
I
I
U S
所求表的读数为：表 A7.07，表 A4,5A
例 )(:),1510c o s (25 06 tuti ( t ) S求已知 +
_
5?
uS 0.2?F
i
解 0155I?
5102.010 1 66 jjjX C
V
jUUU CRS
000
0
302254525155
55155
相量模型
+
_
5?
SU?
I?
-j5?
RUI,
CU?
SU?CU
