?重点熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法节点电压法注意了！讲新课了
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
（ 2） 元件的电压、电流关系特性。
（ 1） 电路的连接关系 —KCL,KVL定律。
方法的基础
(2) 系统性：计算方法有规律可循。
下 页上 页返 回
3.1 电路的图
1,电路的图
R4
R1 R3
R2
R5u
S
+ _
i
抛开元件性质一个元件作为一条支路
85 bn
元件的串联及并联组合作为一条支路
64 bn
6
5
4
3
2
1
7
8
5
4
3
2
1
6
有向图下 页上 页返 回
(1) 图的定义 (Graph) G={支路，结点 } ①
②
１
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
a,图中的结点和支路各自是一个整体。
b,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，
因此允许有孤立结点存在。
c,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
下 页上 页返 回从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。
(2) 路径
（ 3）连通图 图 G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。
下 页上 页返 回
(3) 子图 若图 G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称 G1是 G的子图。
树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含所有节点
(3)不含闭合路径下 页上 页返 回树支：构成树的支路 连支：属于 G而不属于 T的支路
2）树支的数目是一定的：
不是树
1 nb t
树特点 1）对应一个图有很多的树下 页上 页返 回
回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通,(2)每个节点关联 2条支路
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3
1 2
4
57
8
不是回路回路
2）基本回路的数目是一定的，为连支数特点
1）对应一个图有很多的回路
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数下 页上 页返 回基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3
1
2
3
6
基本回路具有独占的一条连枝下 页上 页返 回
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 iii
6 5
4 3
21
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 iii
0652 iii
0321 iii
41 2 3＋ ＋ ＋ ＝ 0
结论
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
下 页上 页返 回
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
结论
n个结点,b条支路的电路,独立的
KCL和 KVL方程数为：
bnbn )()( 11
下 页上 页返 回若一个电路有 n个结点,b条支路，则：
独立结点数,n - 1
独立回路数,b - (n - 1)
3.3 支路电流法对于有 n个节点,b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。
以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
1,支路电流法
2,独立方程的列写
（ 1）从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写 KCL方程
（ 2）选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL方程下 页上 页返 回
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
例
0621 iii1
3
2
0654 iii
0432 iii
有 6个支路电流，需列写 6个方程。
KCL方程,
取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列 KVL写方程,
0132 uuu
0354 uuu
Suuuu 651结合元件特性消去支路电压得：
0113322 iRiRiR
0335544 iRiRiR
SuiRiRiR 665511
回路 1
回路 2
回路 3
1 2
3
下 页上 页返 回支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和 KVL方程,所以方程列写方便,直观,但方程数较多,宜于在支路数不多的情况下使用 。
下 页上 页返 回例 1.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
求各支路电流解
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= 6
U=?US
7I1–11I2=70-6=64
1
270V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I2
7? 11?
203
7110
0117
111
12 18
7116
01164
110
1
406
760
0647
101
2
AI 62 0 31 2 1 81
AI 22 0 34 0 62
AIII 426213
下 页上 页返 回例 2.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
列写支路电流方程,(电路中含有理想电流源）
解 1.
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= U
7I1–11I2=70-U
a
1
270V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
增补方程,I2=6A
+
U
_
1
解 2.
70V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
a
由于 I2已知，故只列写两个方程节点 a,–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
7I1＋ 7I3=70
下 页上 页返 回例 3.
节点 a,–I1–I2+I3=0
列写支路电流方程,(电路中含有受控源）
解
11I2+7I3= 5U
7I1–11I2=70-5U
增补方程,U=7I3
a
1
270V
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
+
5U
_
+
U_
有受控源的电路，方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,并代入 (1)中所列的方程,消去中间变量 。
下 页上 页返 回网孔电流法,以网孔电流作为电路的独立变量，列写电路方程。它仅适用于平面电路。
3.4 网孔电流法
+
US1
－
+
US3
－
i3
R2
R1 R3①
+
US2
－
im1 im2
i1
网孔电流,沿网孔边界流动的假想电流 。
自电阻,指定网孔内所有电阻的总和 。
互电阻,两个相邻网孔的共有电阻 。
R11im1+R12im2+ …+R 1limm=uS11
R21im1+R22im2+ …+R 2limm =uS22
Rm1im1+Rm2im2+ …+R mlimm =uSmm
网孔电流法的解题步骤：
① 选定每个网孔的网孔电流,且参考方向一律为顺时针 。
④ 指定各支路电流的参考方向,各支路电流则为有关网孔电流的代数和 。 + 电源电压升
② 列出 m个 （ 网孔数 ） 网孔电流方程 。
③ 解上述方程,求得各网孔电流 。
⑴ uSkk是第 k个网孔中各电压源的电压升的代数和 。
⑵ 自电阻取正值,互电阻取负值
【 例 3-1】 用网孔电流法求各支路电流。
解：
I1 I3I2+
_
+
_
50V
Ia Ib Ic
R3
+
_
Id
10V 40V
60Ω 20Ω
40Ω
40Ω
408040
10406020
402080
32
321
21
II
III
II
3.5 回路电流法
基本思想 为减少未知量 (方程 )的个数,假想每个回路中有一个回路电流 。 各支路电流可用回路电流的线性组合表示 。 来求得电路的解 。
1.回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
独立回路为 2。 选图示的两个独立回路,支路电流可表示为：
122
2311
ll
ll
iii
iiii
下 页上 页返 回回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以 KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为：
列写的方程与支路电流法相比,
方程数减少 n-1个 。
回路 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得：
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
)( 1 nb
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
2,方程的列写下 页上 页返 回
R11=R1+R2 回路 1的自电阻。等于回路 1中所有电阻之和。
观察可以看出如下规律：
R22=R2+R3 回路 2的自电阻。等于回路 2中所有电阻之和。
自电阻总为正 。
R12= R21= –R2 回路 1、回路 2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。
ul1= uS1-uS2 回路 1中所有电压源电压的代数和。
ul2= uS2 回路 2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时,取负号；反之取正号 。
下 页上 页返 回
R11il1+R12il2=uSl1
R12il1+R22il2=uSl2
由此得标准形式的方程：
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,
其中,
Rjk:互电阻
+,流过互阻的两个回路电流方向相同
-,流过互阻的两个回路电流方向相反
0,无关
R11il1+R12il1+ …+R 1l ill=uSl1
…R21il1+R22il1+ …+R 2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il1+ …+R ll ill=uSll
Rkk:自电阻 (为正 )
下 页上 页返 回例 1,用回路电流法求解电流 i.
独立回路有三个
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
0)( 35252111 iRiRRRiR
0)( 35432514 iRRRiRiR
32 iii
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
下 页上 页返 回
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
解 2 只让一个回路电流经过 R5支路
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
0)()( 321252111 iRRiRRRiR
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
i1
i3
i2
2ii?
特点
（ 1）减少计算量
（ 2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻下 页上 页返 回回路法的一般步骤：
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l 个独立回路,以回路电流为未知量,列写其 KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l 个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
下 页上 页返 回
3.理想电流源支路的处理
引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
例
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iS
U
_+
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 22111 )(
UiRRiR 34314 )(
32 iii S
电流源看作电压源列方程增补方程：
下 页上 页返 回
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,
该回路电流即 IS 。
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iSi
1
i3
i2
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
例
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
Sii?2
为已知电流，实际减少了一方程下 页上 页返 回
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I
R
IS o
o
转换
+
_RIS
I
R
o
o
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用回路电流表示 。
下 页上 页返 回例
RS
R4 R
3
R1 R2
US +
_ 5U
_+
_
+
U
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 522111 )(
UiRRiR 534314 )(
受控电压源看作独立电压源列方程
33 iRU?
增补方程：
下 页上 页返 回例 列回路电流方程解 1 选网孔为独立回路
1
43
2_
+
_
+
U2
U3
233131 UiRiRR )(
3222 UUiR
0
)(
45
354313
iR
iRRRiR
134535 UUiRiR
111 iRU
增补方程：
Siii 21
124 gUii
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
下 页上 页返 回解 2 回路 2选大回路
Sii?1
14 gUi?
134242111 )( UiRiRRRiR
0)( 4525432413 iRiRRRiRiR
)( 2111 iiRU
增补方程：
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
1
43
2
下 页上 页返 回
【 例 3-3】 电路如图，已知,Us1=50V,Us3=20V,is2=1A，此电流源为无伴电流源，试列出回路电流方程。
_
+
_US1 US3
IS2 +
40?
20?
30?
15?10?
_
U
+
i1
i2 i3
1
20)1540(15
50)3010(10
01510)101520(
23
31
21
321
ll
ll
ll
Lll
II
II
UII
III
3.5 结点电压法选结点电压为未知量,则 KVL自动满足,
就无需列写 KVL 方程 。 各支路电流,电压可视为结点电压的线性组合,求出结点电压后,
便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想：
以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
1.结点电压法
列写的方程 结点电压法列写的是结点上的 KCL方程，独立方程数为：
与支路电流法相比,
方程数减少 b-(n-1)个 。)( 1?n
下 页上 页返 回任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压 (位 ),方向为从独立结点指向参考结点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足说明
uA-uB
uA u
B
2,方程的列写
iS1
uS
iS3
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
(1) 选定参考结点,
标明其余 n-1个独立结点的电压
1 3
2
下 页上 页返 回
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
1 3
2
把支路电流用结点电压表示：
S2S1
n2n1n1 ii
R
uu
R
u
21
0
432
RuR uuR uu n2n3n2n2n1
2
53
S
S i
R
uu
R
uu n3n3n2
下 页上 页返 回整理，得：
S2S1n2n1 )( )( iiuRuRR
221
111
011111 3
3
2
4322
nuRuRRRuR nn1 )(
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5533
111
R
uiu
RRuR
S
S2n3n2 )()(
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点电压方程等效电流源下 页上 页返 回其中
G11=G1+G2 结 点 1的自电导,等于接在结 点 1上所 有支路的电导之和 。
G22=G2+G3+G4 结 点 2的自电导,等于接在 结 点 2上所有支路的电导之和 。
G12= G21 =-G2 结 点 1与 结 点 2之间的互电导,等于接在结 点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之和,为负值 。
自电导总为正，互电导总为负。
G33=G3+G5 结 点 3的自电导,等于接在 结 点 3上所有支路的电导之和 。
G23= G32 =-G3 结 点 2与 结 点 3之间的互电导,等于接在 结点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之和,
为负值 。
下 页上 页返 回
iSn2=-iS2＋ uS/R5 流入 结 点 2的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入结点 1的电流源电流的代数和 。
流入结点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui?
4
n2
R
ui?
4
3
n3n2
R
uui
3
2
n2n1
R
uui
2
5
S
R
uui n 3
5
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压,各支路电流可用结点电压表示：
下 页上 页返 回一般情况
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导,等于接在 结 点 i上所有支路的电导之和
(包括电压源与电阻串联支路 )。 总为正 。
iSni — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 (包括由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导,等于接在 结 点 i与 结 点 j之间的所支路的电导之和,总为 负 。
下 页上 页返 回结点电压法的一般步骤：
(1) 选定参考结点，标定 n-1个独立结点；
(2) 对 n-1个独立结点,以结点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
下 页上 页返 回试列写电路的节点电压方程。
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=USGS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例
3,无伴电压源支路的处理
（ 1）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
GS
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_
3
1
2
下 页上 页返 回
I
(G1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US
看成电流源增补方程
（ 2） 选择合适的参考点
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
Us G3
G1
G4 G5
G2
+
_
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_
3
1
2
下 页上 页返 回
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。
(1)先 把受控源当作独立源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
S1)( iuRuRR nn 2
1
1
21
111
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iuguRRuR
例
12 nR uu?
iS1
R1 R3
R2
gmuR2+ uR2 _
2
1
下 页上 页返 回
(1)设参考点,把受控源当作独立源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
3S13
4
1
1
2
421
11)111( guiu
RuRuRRR nnn
5
33
534
2
4
1
5
)111(11 RuguuRRRuRuR Snnn
例
22
33
Rui
uu
n
n
2
1 3
iS1
R1
R4
R3
gu3
+ u3 _
R2
+ －r i
i
R5 + uS _
解
riu n?1
下 页上 页返 回例 列写电路的结点电压方程。
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2?3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
3
1
2
Vu n 41?
5
415.0)
23
15.01(
321
Uuuu
nnn
Auu nn 3205050 32 )..(.
注,与电流源串接的电阻不参与列方程增补方程：
U = Un3
下 页上 页返 回例 求 U和 I 。
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 1 应用结点法。
3 12
Vu n 1001?
Vu n 2 1 01 1 01 0 02
205050 321 nnn uuu,.
Vu n 1 7 51 0 550203
VuU n 1 9 52013
AuI n 1 2 01902 /)(
解得：
下 页上 页返 回
G11un1+G12un2+ …+G 1 (n-1) un (n-1) =iS11
G21un1+G22un2+ …+G 2 (n-1) un(n-1) =iS22
G (n-1)1un1+G (n-1) 2un2+ …+G (n-1) lun (n-1) =iS (n-1) (n-1)
结点电压法的解题步骤：
① 选定参考结点 。
④ 指定各支路电流的参考方向,由欧姆定律求出各支路电流 。
② 列出 （ n-1） 个 （ 独立结点数 ） 结点电压方程 。
③ 解上述方程,求得各结点电压 。
⑴ iSkk是与第 k个结点相关联的支路上的电流源流入该结点的电流的代数和 。
⑵ 自电导取正值,互电导取负值
【 例 3-5】 如图所示电路中，已知 R1= R2= R5= R6= 1Ω,R3=
R4= R7= R8= 0.5Ω,is4=2costA,is13= 4A,us3=4costV,
us7=3V,列出电路的结点电压方程 。
①
iS13
-
uS7
+
R1 R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
iS4
o
②
③
④
+
15V
－
I1 I4
I3
I2
10A
I5
5A
3Ω 2Ω
2Ω
2Ω6Ω
①
② ③
Un2
Un1
Un3
UO
+
_
【 例 3-6】 电路如图所示，用结点电压法求各支路电流及输出电压 UO。
i
iS2+u
S1
－ G1
G2
G3
① ②
【 例 3-7】 电路如图所示,uS1为无伴电压源的电压，试列出此电路的结点电压方程。
解：
解：
支路电流法回路电流法节点电压法注意了！讲新课了
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
（ 2） 元件的电压、电流关系特性。
（ 1） 电路的连接关系 —KCL,KVL定律。
方法的基础
(2) 系统性：计算方法有规律可循。
下 页上 页返 回
3.1 电路的图
1,电路的图
R4
R1 R3
R2
R5u
S
+ _
i
抛开元件性质一个元件作为一条支路
85 bn
元件的串联及并联组合作为一条支路
64 bn
6
5
4
3
2
1
7
8
5
4
3
2
1
6
有向图下 页上 页返 回
(1) 图的定义 (Graph) G={支路，结点 } ①
②
１
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
a,图中的结点和支路各自是一个整体。
b,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，
因此允许有孤立结点存在。
c,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
下 页上 页返 回从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。
(2) 路径
（ 3）连通图 图 G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。
下 页上 页返 回
(3) 子图 若图 G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称 G1是 G的子图。
树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含所有节点
(3)不含闭合路径下 页上 页返 回树支：构成树的支路 连支：属于 G而不属于 T的支路
2）树支的数目是一定的：
不是树
1 nb t
树特点 1）对应一个图有很多的树下 页上 页返 回
回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通,(2)每个节点关联 2条支路
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3
1 2
4
57
8
不是回路回路
2）基本回路的数目是一定的，为连支数特点
1）对应一个图有很多的回路
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数下 页上 页返 回基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3
1
2
3
6
基本回路具有独占的一条连枝下 页上 页返 回
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 iii
6 5
4 3
21
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 iii
0652 iii
0321 iii
41 2 3＋ ＋ ＋ ＝ 0
结论
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
下 页上 页返 回
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
结论
n个结点,b条支路的电路,独立的
KCL和 KVL方程数为：
bnbn )()( 11
下 页上 页返 回若一个电路有 n个结点,b条支路，则：
独立结点数,n - 1
独立回路数,b - (n - 1)
3.3 支路电流法对于有 n个节点,b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。
以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
1,支路电流法
2,独立方程的列写
（ 1）从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写 KCL方程
（ 2）选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL方程下 页上 页返 回
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
例
0621 iii1
3
2
0654 iii
0432 iii
有 6个支路电流，需列写 6个方程。
KCL方程,
取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列 KVL写方程,
0132 uuu
0354 uuu
Suuuu 651结合元件特性消去支路电压得：
0113322 iRiRiR
0335544 iRiRiR
SuiRiRiR 665511
回路 1
回路 2
回路 3
1 2
3
下 页上 页返 回支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和 KVL方程,所以方程列写方便,直观,但方程数较多,宜于在支路数不多的情况下使用 。
下 页上 页返 回例 1.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
求各支路电流解
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= 6
U=?US
7I1–11I2=70-6=64
1
270V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I2
7? 11?
203
7110
0117
111
12 18
7116
01164
110
1
406
760
0647
101
2
AI 62 0 31 2 1 81
AI 22 0 34 0 62
AIII 426213
下 页上 页返 回例 2.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
列写支路电流方程,(电路中含有理想电流源）
解 1.
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= U
7I1–11I2=70-U
a
1
270V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
增补方程,I2=6A
+
U
_
1
解 2.
70V 6A
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
a
由于 I2已知，故只列写两个方程节点 a,–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
7I1＋ 7I3=70
下 页上 页返 回例 3.
节点 a,–I1–I2+I3=0
列写支路电流方程,(电路中含有受控源）
解
11I2+7I3= 5U
7I1–11I2=70-5U
增补方程,U=7I3
a
1
270V
7?
b
+
–
I1 I3I2
7? 11?
+
5U
_
+
U_
有受控源的电路，方程列写分两步：
(1) 先将受控源看作独立源列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,并代入 (1)中所列的方程,消去中间变量 。
下 页上 页返 回网孔电流法,以网孔电流作为电路的独立变量，列写电路方程。它仅适用于平面电路。
3.4 网孔电流法
+
US1
－
+
US3
－
i3
R2
R1 R3①
+
US2
－
im1 im2
i1
网孔电流,沿网孔边界流动的假想电流 。
自电阻,指定网孔内所有电阻的总和 。
互电阻,两个相邻网孔的共有电阻 。
R11im1+R12im2+ …+R 1limm=uS11
R21im1+R22im2+ …+R 2limm =uS22
Rm1im1+Rm2im2+ …+R mlimm =uSmm
网孔电流法的解题步骤：
① 选定每个网孔的网孔电流,且参考方向一律为顺时针 。
④ 指定各支路电流的参考方向,各支路电流则为有关网孔电流的代数和 。 + 电源电压升
② 列出 m个 （ 网孔数 ） 网孔电流方程 。
③ 解上述方程,求得各网孔电流 。
⑴ uSkk是第 k个网孔中各电压源的电压升的代数和 。
⑵ 自电阻取正值,互电阻取负值
【 例 3-1】 用网孔电流法求各支路电流。
解：
I1 I3I2+
_
+
_
50V
Ia Ib Ic
R3
+
_
Id
10V 40V
60Ω 20Ω
40Ω
40Ω
408040
10406020
402080
32
321
21
II
III
II
3.5 回路电流法
基本思想 为减少未知量 (方程 )的个数,假想每个回路中有一个回路电流 。 各支路电流可用回路电流的线性组合表示 。 来求得电路的解 。
1.回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
独立回路为 2。 选图示的两个独立回路,支路电流可表示为：
122
2311
ll
ll
iii
iiii
下 页上 页返 回回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以 KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为：
列写的方程与支路电流法相比,
方程数减少 n-1个 。
回路 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得：
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
)( 1 nb
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
2,方程的列写下 页上 页返 回
R11=R1+R2 回路 1的自电阻。等于回路 1中所有电阻之和。
观察可以看出如下规律：
R22=R2+R3 回路 2的自电阻。等于回路 2中所有电阻之和。
自电阻总为正 。
R12= R21= –R2 回路 1、回路 2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。
ul1= uS1-uS2 回路 1中所有电压源电压的代数和。
ul2= uS2 回路 2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时,取负号；反之取正号 。
下 页上 页返 回
R11il1+R12il2=uSl1
R12il1+R22il2=uSl2
由此得标准形式的方程：
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,
其中,
Rjk:互电阻
+,流过互阻的两个回路电流方向相同
-,流过互阻的两个回路电流方向相反
0,无关
R11il1+R12il1+ …+R 1l ill=uSl1
…R21il1+R22il1+ …+R 2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il1+ …+R ll ill=uSll
Rkk:自电阻 (为正 )
下 页上 页返 回例 1,用回路电流法求解电流 i.
独立回路有三个
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
0)( 35252111 iRiRRRiR
0)( 35432514 iRRRiRiR
32 iii
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
下 页上 页返 回
RS
R5
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
i
解 2 只让一个回路电流经过 R5支路
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
0)()( 321252111 iRRiRRRiR
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
i1
i3
i2
2ii?
特点
（ 1）减少计算量
（ 2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻下 页上 页返 回回路法的一般步骤：
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l 个独立回路,以回路电流为未知量,列写其 KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l 个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
下 页上 页返 回
3.理想电流源支路的处理
引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
例
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iS
U
_+
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 22111 )(
UiRRiR 34314 )(
32 iii S
电流源看作电压源列方程增补方程：
下 页上 页返 回
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,
该回路电流即 IS 。
RS
R4 R
3
R1 R2
US
+
_
iSi
1
i3
i2
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
例
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
Sii?2
为已知电流，实际减少了一方程下 页上 页返 回
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I
R
IS o
o
转换
+
_RIS
I
R
o
o
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用回路电流表示 。
下 页上 页返 回例
RS
R4 R
3
R1 R2
US +
_ 5U
_+
_
+
U
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 522111 )(
UiRRiR 534314 )(
受控电压源看作独立电压源列方程
33 iRU?
增补方程：
下 页上 页返 回例 列回路电流方程解 1 选网孔为独立回路
1
43
2_
+
_
+
U2
U3
233131 UiRiRR )(
3222 UUiR
0
)(
45
354313
iR
iRRRiR
134535 UUiRiR
111 iRU
增补方程：
Siii 21
124 gUii
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
下 页上 页返 回解 2 回路 2选大回路
Sii?1
14 gUi?
134242111 )( UiRiRRRiR
0)( 4525432413 iRiRRRiRiR
)( 2111 iiRU
增补方程：
R1
R4 R5
gU1R
3
R2
U1
_
+
+
_
U1 iS
1
43
2
下 页上 页返 回
【 例 3-3】 电路如图，已知,Us1=50V,Us3=20V,is2=1A，此电流源为无伴电流源，试列出回路电流方程。
_
+
_US1 US3
IS2 +
40?
20?
30?
15?10?
_
U
+
i1
i2 i3
1
20)1540(15
50)3010(10
01510)101520(
23
31
21
321
ll
ll
ll
Lll
II
II
UII
III
3.5 结点电压法选结点电压为未知量,则 KVL自动满足,
就无需列写 KVL 方程 。 各支路电流,电压可视为结点电压的线性组合,求出结点电压后,
便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想：
以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
1.结点电压法
列写的方程 结点电压法列写的是结点上的 KCL方程，独立方程数为：
与支路电流法相比,
方程数减少 b-(n-1)个 。)( 1?n
下 页上 页返 回任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压 (位 ),方向为从独立结点指向参考结点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足说明
uA-uB
uA u
B
2,方程的列写
iS1
uS
iS3
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
(1) 选定参考结点,
标明其余 n-1个独立结点的电压
1 3
2
下 页上 页返 回
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
1 3
2
把支路电流用结点电压表示：
S2S1
n2n1n1 ii
R
uu
R
u
21
0
432
RuR uuR uu n2n3n2n2n1
2
53
S
S i
R
uu
R
uu n3n3n2
下 页上 页返 回整理，得：
S2S1n2n1 )( )( iiuRuRR
221
111
011111 3
3
2
4322
nuRuRRRuR nn1 )(
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5533
111
R
uiu
RRuR
S
S2n3n2 )()(
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点电压方程等效电流源下 页上 页返 回其中
G11=G1+G2 结 点 1的自电导,等于接在结 点 1上所 有支路的电导之和 。
G22=G2+G3+G4 结 点 2的自电导,等于接在 结 点 2上所有支路的电导之和 。
G12= G21 =-G2 结 点 1与 结 点 2之间的互电导,等于接在结 点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之和,为负值 。
自电导总为正，互电导总为负。
G33=G3+G5 结 点 3的自电导,等于接在 结 点 3上所有支路的电导之和 。
G23= G32 =-G3 结 点 2与 结 点 3之间的互电导,等于接在 结点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之和,
为负值 。
下 页上 页返 回
iSn2=-iS2＋ uS/R5 流入 结 点 2的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入结点 1的电流源电流的代数和 。
流入结点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui?
4
n2
R
ui?
4
3
n3n2
R
uui
3
2
n2n1
R
uui
2
5
S
R
uui n 3
5
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压,各支路电流可用结点电压表示：
下 页上 页返 回一般情况
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导,等于接在 结 点 i上所有支路的电导之和
(包括电压源与电阻串联支路 )。 总为正 。
iSni — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 (包括由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导,等于接在 结 点 i与 结 点 j之间的所支路的电导之和,总为 负 。
下 页上 页返 回结点电压法的一般步骤：
(1) 选定参考结点，标定 n-1个独立结点；
(2) 对 n-1个独立结点,以结点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
下 页上 页返 回试列写电路的节点电压方程。
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=USGS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例
3,无伴电压源支路的处理
（ 1）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
GS
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_
3
1
2
下 页上 页返 回
I
(G1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US
看成电流源增补方程
（ 2） 选择合适的参考点
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
Us G3
G1
G4 G5
G2
+
_
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_
3
1
2
下 页上 页返 回
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。
(1)先 把受控源当作独立源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
S1)( iuRuRR nn 2
1
1
21
111
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iuguRRuR
例
12 nR uu?
iS1
R1 R3
R2
gmuR2+ uR2 _
2
1
下 页上 页返 回
(1)设参考点,把受控源当作独立源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
3S13
4
1
1
2
421
11)111( guiu
RuRuRRR nnn
5
33
534
2
4
1
5
)111(11 RuguuRRRuRuR Snnn
例
22
33
Rui
uu
n
n
2
1 3
iS1
R1
R4
R3
gu3
+ u3 _
R2
+ －r i
i
R5 + uS _
解
riu n?1
下 页上 页返 回例 列写电路的结点电压方程。
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2?3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
3
1
2
Vu n 41?
5
415.0)
23
15.01(
321
Uuuu
nnn
Auu nn 3205050 32 )..(.
注,与电流源串接的电阻不参与列方程增补方程：
U = Un3
下 页上 页返 回例 求 U和 I 。
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 1 应用结点法。
3 12
Vu n 1001?
Vu n 2 1 01 1 01 0 02
205050 321 nnn uuu,.
Vu n 1 7 51 0 550203
VuU n 1 9 52013
AuI n 1 2 01902 /)(
解得：
下 页上 页返 回
G11un1+G12un2+ …+G 1 (n-1) un (n-1) =iS11
G21un1+G22un2+ …+G 2 (n-1) un(n-1) =iS22
G (n-1)1un1+G (n-1) 2un2+ …+G (n-1) lun (n-1) =iS (n-1) (n-1)
结点电压法的解题步骤：
① 选定参考结点 。
④ 指定各支路电流的参考方向,由欧姆定律求出各支路电流 。
② 列出 （ n-1） 个 （ 独立结点数 ） 结点电压方程 。
③ 解上述方程,求得各结点电压 。
⑴ iSkk是与第 k个结点相关联的支路上的电流源流入该结点的电流的代数和 。
⑵ 自电导取正值,互电导取负值
【 例 3-5】 如图所示电路中，已知 R1= R2= R5= R6= 1Ω,R3=
R4= R7= R8= 0.5Ω,is4=2costA,is13= 4A,us3=4costV,
us7=3V,列出电路的结点电压方程 。
①
iS13
-
uS7
+
R1 R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
iS4
o
②
③
④
+
15V
－
I1 I4
I3
I2
10A
I5
5A
3Ω 2Ω
2Ω
2Ω6Ω
①
② ③
Un2
Un1
Un3
UO
+
_
【 例 3-6】 电路如图所示，用结点电压法求各支路电流及输出电压 UO。
i
iS2+u
S1
－ G1
G2
G3
① ②
【 例 3-7】 电路如图所示,uS1为无伴电压源的电压，试列出此电路的结点电压方程。
解：
解：
