第 13章 非正弦周期电流电路
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
1,周期函数分解为付里叶级数下 页返 回
13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化例 1 半波整流电路的输出信号
)()( kTtftf
下 页上 页返 回例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下 页上 页返 回脉冲电路中的脉冲信号
T t
例 2
下 页上 页返 回交直流共存电路
Es
+V
例 4
下 页上 页返 回
非正弦周期信号作用下线性电路的分析方法用数学中的傅立叶级数展开方法，再由线性电路的叠加原理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量最后叠加 —— 谐波分析法
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
脉冲波形方波电压锯齿波磁化电流 半波整流波形例：有两个余弦函数信号
f1（ t） = 2cos? t f2（ t） = 1 / 2 cos2? t
求,f（ t） = f1（ t） + f2（ t）
T
f（ t）2
f1（ t）1/ 2
1 / 2 T
f2（ t）
t0 叠加后的波形为非正弦波。
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
)c o s ()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
13.2 周期函数分解为付里叶级数
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
周期函数展开成付里叶级数：
下 页上 页返 回
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
ar c t an
s i n c o s
22
00
系数之间的关系为下 页上 页返 回
2
0
11
2
0
11
0
00
)(s i n)(
1
)(c o s)(
1
)(
1
ttdktfb
ttdktfa
tdtf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t)的展开式。
系数的计算：
下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化
（ 1）偶函数
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( kbtftf
－ T/2 tT/2
f(t)
0 katftf )()(
（ 2）奇函数
（ 3）奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
t
f (t)
T/2 T
下 页上 页返 回
t
T/2 T
Si
mI
周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
ti S
2
0
2
0
)(
m
2
11
0
2
0
mT T
mSO
IdtI
TdttiTI
/)(直流分量：
谐波分量,
2
0
1 ) (s i n)( tdtktib
SK
K为偶数
K为奇数
k
Itk
k
I
m
m 2
0
)c o s
1
( 0
下 页上 页返 回
0s i n
12
)(c os)(
2
0
2
0
tk
k
I
tdtktia
m
Sk
k
IbabA m
KKKK
222 （ K为奇数）
0a r c t a n
K
K
K b
a?
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i n22 tttIIi mmS
下 页上 页返 回
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波下 页上 页返 回
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si
5si
下 页上 页返 回尽管取前几项的数学表达式可以比较好地表达周期函数分解的结果，但是不够直观。为了表示一个周期函数分解后能够直观地看出包含哪些频率分量及其所占的比重，我们采用长度与各次谐波振幅及相位大小相对应的线段按频率高低排列起来，画成一个图，称为 f（ t）的频谱图。
2? 3?4? 5? 6? k?
Akm
0
幅度频谱讨论 频谱的意义：
工程上讨论一个电系统实质上都是用来传输，转换，分析某种信号。
因此在分析各种系统时，对信号的认识具有很重要的意义。信号频谱分析，使我们能从时域而进入频域去描述信号。
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
753
Akm
0
矩形波的频谱图下 页上 页返 回在电路分析中，常见的非正弦周期函数往往具有某种对称性，傅立叶系数与这种对称性有着密切的联系，根据 f（ t）的对称性可以预见谐波分析中那些谐波存在，哪些存在哪些不存在，从而可以使计算简单。
1、若一个周期函数 f（ t）的波形对称于原点。其函数 – f（ – t），则称为奇函数。
t
f（ t）
2、若一个函数 f（ t）它的波形对称于纵轴,f（ t） = f（ – t）
0
t
f（ t）
ao = T2?
0
T / 2
f（ t） d t
aK = T4?
0
T / 2
f（ t） cosK?t d t
bK = 0
其展开式中可能包含直流项，以及余弦项。
0
3、若一个函数 f（ t）的波形的前半周向前移动半周，则与后半周的波形成横轴对称。（镜对称）即,f（ t） = – f（ t + T /2）
0 T / 2 T t
f（ t）
ao = 0
aK = { 0
T
4? T/ 2f（ t） cosK? t d t K = 1,3,5,-------
bK = { 0
T
4
0
T/ 2
f（ t） sinK? t d t K = 1,3,5,-------
2020 0)(c o s 0)(s i n ttdkttdk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
（ 1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。 k整数
（ 2） sin2,cos2在一个周期内的积分为?。
)(c o s )(s i n 20 220 2 ttdkttdk
下 页上 页返 回
（ 3） 三角函数的正交性
0)(s i ns i n
0)(c o sc o s
0)(s i nc o s
2
0
2
0
2
0
tdtptk
ttdptk
ttdptk
pk?
下 页上 页返 回
2,非正弦周期函数的有效值
)c o s ()( k
k
km tkIIti
1
0
若则有效值,
)(c os
)(
tdtkII
T
tdti
T
I
T
k
kkm
T
2
0
1
0
0
2
1
1
下 页上 页返 回
1
22
0?
k
kmIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
222120 IIII
结论下 页上 页返 回
3,非正弦周期函数的平均值
00 )(
1 Idtti
T
I
T
AV
则其平均值为：
正弦量的平均值为 0
)c o s ()( k
k
k tkIIti
1
0
若下 页上 页返 回
4,非正弦周期交流电路的平均功率
T dtiuTP 01
)c o s ()( uk
k
km tkUUtu
1
0
)c o s ()( ik
k
km tkIIti
1
0
利用三角函数的正交性，得：
..,.,.
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
下 页上 页返 回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论下 页上 页返 回
13.4 非正弦周期交流电路 的计算
1,计算步骤
（ 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法计算；
（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路,L相于短路。）
（ 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
（ 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
下 页上 页返 回
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
STI CLR m?28.6 A1 5 7 pF1 0 0 0 mH1 20,,、μ
t
T/2 T
Si
mI
R
LC
u
Si
解 （ 1）已知方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
2
2
t
tt
II
i mmS
sT
AI m
μ28.6
,μ157
代入已知数据：
下 页上 页返 回直流分量 A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m
A 10014.3 57.1221 mm II基波最大值
μA2051 15 mm II五次谐波最大值
r a d / s101028.6 14.322 66T
角频率三次谐波最大值 AII
mm?3.333
1
13
A5.780SI
电流源 各频率的谐波分量为：
A10s i n1 0 0 61?ti s?
A103s i n31 0 0 63?ti s A105s i n5100 65?ti s
下 页上 页返 回
mV57.1105.7820 600SRIU
（ 2） 对 各种频率的谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
电容断路，电感短路,
A5.780SI
（ b)基波作用 ti
s 61 10s i n1 0 0?
k11010
k1
101 00 010
11
36
1
126
1
L
C
R
LC
u
Si
k50)( )()()( 1 RC LR XXXXjR jXjXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
下 页上 页返 回
K Ω50)( 1Z
mV25 0 0 050210100(
6
111
）?ZIU
A10s i n1 0 0 61 μti s?
(c)三次谐波作用 ti
s
6
3 103s i n3
1 0 0
0
33
33
1 19.895.374)(
))(()3(
CL
CL
XXjR
jXjXRZ?
Ωk
.
3101033
330
101000103
1
3
1
36
1
126
1
L
K
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
下 页上 页返 回
(d)五次谐波作用 A105s i n
5
100 6
5?ti s
53.893.208)5( ))(()5(
55
55
1 CL
CL
XXjR
jXjXRZ?
Ωk
)ΩK(.
5101055
20
101000105
1
5
1
36
1
126
1
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5( 6
155
ZIU s
下 页上 页返 回
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV).s i n (,
).s i n (,
s i n.
538951664
28934712
5000571
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV25 0 0 01?U?
mV53.89
2
1 6 6.4
5
U
下 页上 页返 回如图电路中的独立电源都是同频正弦量，试列出电路的结点电压方程和回路电流方程。 + -
+ -Z
Z
Z
Z 2
1
4
3
1
I?
1
I
1S
U?
2S
U?
tu 310c o s21 0 0?
Lu
i
L
+
-
L
u
R
+
-
u
图示正弦交流电路，已知
V，电源向电路提供功率 P=200W,的有效值为 50V，求 R和 L。
22 LR UUU
R=
P
UR2
I=
R
UR
L=
31.21 0 0 0
50
I
U L
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
1,周期函数分解为付里叶级数下 页返 回
13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化例 1 半波整流电路的输出信号
)()( kTtftf
下 页上 页返 回例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下 页上 页返 回脉冲电路中的脉冲信号
T t
例 2
下 页上 页返 回交直流共存电路
Es
+V
例 4
下 页上 页返 回
非正弦周期信号作用下线性电路的分析方法用数学中的傅立叶级数展开方法，再由线性电路的叠加原理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量最后叠加 —— 谐波分析法
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
脉冲波形方波电压锯齿波磁化电流 半波整流波形例：有两个余弦函数信号
f1（ t） = 2cos? t f2（ t） = 1 / 2 cos2? t
求,f（ t） = f1（ t） + f2（ t）
T
f（ t）2
f1（ t）1/ 2
1 / 2 T
f2（ t）
t0 叠加后的波形为非正弦波。
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
)c o s ()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
13.2 周期函数分解为付里叶级数
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
周期函数展开成付里叶级数：
下 页上 页返 回
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
ar c t an
s i n c o s
22
00
系数之间的关系为下 页上 页返 回
2
0
11
2
0
11
0
00
)(s i n)(
1
)(c o s)(
1
)(
1
ttdktfb
ttdktfa
tdtf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t)的展开式。
系数的计算：
下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化
（ 1）偶函数
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( kbtftf
－ T/2 tT/2
f(t)
0 katftf )()(
（ 2）奇函数
（ 3）奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
t
f (t)
T/2 T
下 页上 页返 回
t
T/2 T
Si
mI
周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
ti S
2
0
2
0
)(
m
2
11
0
2
0
mT T
mSO
IdtI
TdttiTI
/)(直流分量：
谐波分量,
2
0
1 ) (s i n)( tdtktib
SK
K为偶数
K为奇数
k
Itk
k
I
m
m 2
0
)c o s
1
( 0
下 页上 页返 回
0s i n
12
)(c os)(
2
0
2
0
tk
k
I
tdtktia
m
Sk
k
IbabA m
KKKK
222 （ K为奇数）
0a r c t a n
K
K
K b
a?
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i n22 tttIIi mmS
下 页上 页返 回
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波下 页上 页返 回
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si
5si
下 页上 页返 回尽管取前几项的数学表达式可以比较好地表达周期函数分解的结果，但是不够直观。为了表示一个周期函数分解后能够直观地看出包含哪些频率分量及其所占的比重，我们采用长度与各次谐波振幅及相位大小相对应的线段按频率高低排列起来，画成一个图，称为 f（ t）的频谱图。
2? 3?4? 5? 6? k?
Akm
0
幅度频谱讨论 频谱的意义：
工程上讨论一个电系统实质上都是用来传输，转换，分析某种信号。
因此在分析各种系统时，对信号的认识具有很重要的意义。信号频谱分析，使我们能从时域而进入频域去描述信号。
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
753
Akm
0
矩形波的频谱图下 页上 页返 回在电路分析中，常见的非正弦周期函数往往具有某种对称性，傅立叶系数与这种对称性有着密切的联系，根据 f（ t）的对称性可以预见谐波分析中那些谐波存在，哪些存在哪些不存在，从而可以使计算简单。
1、若一个周期函数 f（ t）的波形对称于原点。其函数 – f（ – t），则称为奇函数。
t
f（ t）
2、若一个函数 f（ t）它的波形对称于纵轴,f（ t） = f（ – t）
0
t
f（ t）
ao = T2?
0
T / 2
f（ t） d t
aK = T4?
0
T / 2
f（ t） cosK?t d t
bK = 0
其展开式中可能包含直流项，以及余弦项。
0
3、若一个函数 f（ t）的波形的前半周向前移动半周，则与后半周的波形成横轴对称。（镜对称）即,f（ t） = – f（ t + T /2）
0 T / 2 T t
f（ t）
ao = 0
aK = { 0
T
4? T/ 2f（ t） cosK? t d t K = 1,3,5,-------
bK = { 0
T
4
0
T/ 2
f（ t） sinK? t d t K = 1,3,5,-------
2020 0)(c o s 0)(s i n ttdkttdk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
（ 1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。 k整数
（ 2） sin2,cos2在一个周期内的积分为?。
)(c o s )(s i n 20 220 2 ttdkttdk
下 页上 页返 回
（ 3） 三角函数的正交性
0)(s i ns i n
0)(c o sc o s
0)(s i nc o s
2
0
2
0
2
0
tdtptk
ttdptk
ttdptk
pk?
下 页上 页返 回
2,非正弦周期函数的有效值
)c o s ()( k
k
km tkIIti
1
0
若则有效值,
)(c os
)(
tdtkII
T
tdti
T
I
T
k
kkm
T
2
0
1
0
0
2
1
1
下 页上 页返 回
1
22
0?
k
kmIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
222120 IIII
结论下 页上 页返 回
3,非正弦周期函数的平均值
00 )(
1 Idtti
T
I
T
AV
则其平均值为：
正弦量的平均值为 0
)c o s ()( k
k
k tkIIti
1
0
若下 页上 页返 回
4,非正弦周期交流电路的平均功率
T dtiuTP 01
)c o s ()( uk
k
km tkUUtu
1
0
)c o s ()( ik
k
km tkIIti
1
0
利用三角函数的正交性，得：
..,.,.
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
下 页上 页返 回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论下 页上 页返 回
13.4 非正弦周期交流电路 的计算
1,计算步骤
（ 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法计算；
（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路,L相于短路。）
（ 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
（ 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
下 页上 页返 回
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
STI CLR m?28.6 A1 5 7 pF1 0 0 0 mH1 20,,、μ
t
T/2 T
Si
mI
R
LC
u
Si
解 （ 1）已知方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
2
2
t
tt
II
i mmS
sT
AI m
μ28.6
,μ157
代入已知数据：
下 页上 页返 回直流分量 A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m
A 10014.3 57.1221 mm II基波最大值
μA2051 15 mm II五次谐波最大值
r a d / s101028.6 14.322 66T
角频率三次谐波最大值 AII
mm?3.333
1
13
A5.780SI
电流源 各频率的谐波分量为：
A10s i n1 0 0 61?ti s?
A103s i n31 0 0 63?ti s A105s i n5100 65?ti s
下 页上 页返 回
mV57.1105.7820 600SRIU
（ 2） 对 各种频率的谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
电容断路，电感短路,
A5.780SI
（ b)基波作用 ti
s 61 10s i n1 0 0?
k11010
k1
101 00 010
11
36
1
126
1
L
C
R
LC
u
Si
k50)( )()()( 1 RC LR XXXXjR jXjXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
下 页上 页返 回
K Ω50)( 1Z
mV25 0 0 050210100(
6
111
）?ZIU
A10s i n1 0 0 61 μti s?
(c)三次谐波作用 ti
s
6
3 103s i n3
1 0 0
0
33
33
1 19.895.374)(
))(()3(
CL
CL
XXjR
jXjXRZ?
Ωk
.
3101033
330
101000103
1
3
1
36
1
126
1
L
K
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
下 页上 页返 回
(d)五次谐波作用 A105s i n
5
100 6
5?ti s
53.893.208)5( ))(()5(
55
55
1 CL
CL
XXjR
jXjXRZ?
Ωk
)ΩK(.
5101055
20
101000105
1
5
1
36
1
126
1
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5( 6
155
ZIU s
下 页上 页返 回
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV).s i n (,
).s i n (,
s i n.
538951664
28934712
5000571
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV25 0 0 01?U?
mV53.89
2
1 6 6.4
5
U
下 页上 页返 回如图电路中的独立电源都是同频正弦量，试列出电路的结点电压方程和回路电流方程。 + -
+ -Z
Z
Z
Z 2
1
4
3
1
I?
1
I
1S
U?
2S
U?
tu 310c o s21 0 0?
Lu
i
L
+
-
L
u
R
+
-
u
图示正弦交流电路，已知
V，电源向电路提供功率 P=200W,的有效值为 50V，求 R和 L。
22 LR UUU
R=
P
UR2
I=
R
UR
L=
31.21 0 0 0
50
I
U L
