3.1 逻辑代数教学基本要求,
掌握逻辑代数的基本定律与规则 ;
掌握代数法化简逻辑函数。
重点、难点,代数法化简逻辑函数作业,P120 3.1.3
在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称 逻辑电路,相应的研究工具是 逻辑代数（布尔代数） 。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（ 二值变量 ），即 0和 1，中间值没有意义，
这里的 0和 1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（ 0表示低电位,1表示高电位）、开关的开合等。
3.1 逻辑代数
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式一、基本运算规则
A+0=A A+1=1
A · 0 =0 · A=0 A · 1=A
1 AA AAA
0 AA
AAA
AA?
二、基本代数规律交换律结合律分配律
A+B=B+A
A? B=B? A
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
A? (B? C)=(A? B)? C
A(B+C)=A? B+A? C
A+B? C=(A+B)(A+C)
普通代数不适用 !
三、吸收规则
1.原变量的吸收：
A+AB=A
证明,A+AB=A(1+B)=A?1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。
例如：
CDABFEDABCDAB )(
被吸收
2.反变量的吸收：
BABAA
证明,BAABABAA
BAAABA )(
例如,DCBCADCBCAA
被吸收
3.混合变量的吸收：
CAABBCCAAB
证明：
BCAACAAB
BCCAAB
)(
CAAB
BCAABCCAAB
例如：
CAAB
BCCAAB
B C DBCCAAB
B C DCAAB
1
吸收吸收四,反演定理,(摩根定律）
BABA
BABA
A B AB
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
BA? A B BA?
可以用列真值表的方法证明：
例如，已知等式,用函数 Y=AC代替等式中的 A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
3.1.2逻辑代数运算的基本规则
（ 1） 代入规则：任何一个含有变量 A的等式,如果将所有出现 A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立 。 这个规则称为代入规则 。
BAAB
CBABACBAC)(
（ 2） 反演规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成,1”,,1”
换成,0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数 Y（ 或称补函数 ） 。 这个规则称为反演规则 。 例如：
EDCBAY ))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
（ 3） 对偶规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成,1”,,1”换成,0”,而 变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 Y＇,
Y＇ 称为函 Y的对偶函数 。 这个规则称为对偶规则 。 例如：
EDCBAY
对偶规则的意义在于,如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等 。 利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 。 例如：
注意,在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
ACABCBA )( ))(( CABABCA
ABABA ABABA )()(
))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
3,1.3 逻辑函数的代数变化与化简法把逻辑函数的输入、输出关系写成 与,或,非 等逻辑运算的组合式，即 逻辑代数式,又称为 逻辑函数式,通常采用,与或,的形式。
比如,A B CCBACBACBACBAF
若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为 最小项,上式中每一项都是 最小项 。
若两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别，则称它们为 逻辑相邻 。
A B CCBACBACBACBAF
逻辑相邻 CBCBACBA
逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子利用逻辑代数的基本公式化简：
例：
ABAC
BCA
BCBA
ABCBA
CCABCBA
A B CCABCBAF
)(
)(
)(
反变量吸收提出 AB
=1提出 A
例：
CBBCBAABF
)( CBBCBAAB ）（
反演
CBAABC
CCBAAB
)(
)( 配项
CBBCAA B C
CBACBAAB
被吸收被吸收
CBBBCAAB )(
CBCAAB
AB=AC B=C?
A+B=A+C B=C?
请注意与普通代数的区别！
小结,基本运算规则、基本代数规律吸收规则、反演定理、代数化简作 业,P120 3.1.3
3.2逻辑函数的卡诺图化简法教学基本要求,
理解最小项的基本概念
掌握卡诺图化简逻辑函数。
重点、难点,卡诺图、卡诺图化简逻辑函数规则作业,P121 3.2.2
3.2.1 逻辑函数的最小项及其性质
（ 1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量 A,B,C可组成 8个最小项：
A B CCABCBACBABCACBACBACBA,、、、、、、
（ 2）最小项的表示方法：通常用符号 mi来表示最小项。下标 i的确定：把最小项中的原变量记为 1，反变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i。
3个变量 A,B,C的 8个最小项可以分别表示为：
A B CmCABmCBAmCBAm
BCAmCBAmCBAmCBAm
7654
3210
、、、
、、、
（ 3）最小项的性质：
3 变量全部最小项的真值表
A B C m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
① 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1。
③ 全部最小项的和必为 1。
ABC ABC
② 任意两个不同的最小项的乘积必为 0。
3.2.2 逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 A＋ A＝ 1
和 A(B+C)＝ AB＋ BC来配项展开成最小项表达式。
)7,3,2,1,0(
)())((
73210
m
mmmmm
A B CBCACBACBACBA
BCAA B CCBACBACBABCA
BCAACCBBA
BCAY
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
A B C Y 最小项
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
1
0
1
0
0
m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
m1＝ ABC
m5＝ ABC
m3＝ ABC
m1＝ ABC
CBACBACBACBA
mmmmmY
)5,3,2,1(5321
将真值表中函数值为 0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
3.2.3 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列,
这样构成的图形就是卡诺图。
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。
（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
A
B 0 1
0 m 0 m 2
1 m 1 m 3
A B
C 00 01 11 10
0 m 0 m 2 m 6 m 4
1 m 1 m 3 m 7 m 5
2 变量卡诺图 3 变量卡诺图每个
2
变量的最小项有两个最小项与它相邻每个
3
变量的最小项有
3
个最小项与它相邻
A B
CD 00 01 11 10
00
m
0
m
4
m
12
m
8
01
m
1
m
5
m
13
m
9
11
m
3
m
7
m
15
m
1 1
10 m
2
m
6 m 14 m 1 0
4 变量卡诺图每个 4变量的最小项有 4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量
BACCBACBACBA )(
DCADCBADCAB
逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并
2、逻辑函数在卡诺图中的表示
（ 1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
AB
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,( mDCBAY
m1
m3
m4
m7 m6
m11
m15 m14
（ 2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
))(( CBDAY
CBDAY
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 0 0 1
10 1 1 0 1
变换为与或表达式
ＡＤ的公因子
ＢＣ的公因子说明,如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，
则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入 0，其余方格内填入 1。
3、卡诺图的性质
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1
11 0 0 0 1
10 0 1 0 0
（ 1）任何两个（ 21个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
A B
C 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
CBACBA?
A B CBCA?
DBCADCBA?
CDBADCBA?
CB?
BC?
DBA?
DBA?
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 1 0 0
（ 2）任何 4个（ 22个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去 2个变量。
A B
C 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0C
CBAABBABA
CBACABCBACBA
)(
BBACCACACAABCCABBCACBA )(
BA
DC
AB
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＡＤ
ＢＤ
ＢＤ ＢＤ
AB
CD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0 A B
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
（ 3）任何 8个（ 23个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去 3个变量。
Ｄ
Ｂ
小结
：
相邻最小项的数目必须为
2
个才能合并为一项
，
并消去
1
个变量
。
包含的最小项数目越多
，
即由这些最小项所形成的圈越大
，
消去的变量也就越多
，
从而所得到的逻辑表达式就越简单
。
这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
。
3.2.4 用卡诺图化简逻辑函数逻辑表达式或真值表卡诺图
)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,( mDCBAY
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
1
1
化简步骤：
合并最小项
①
圈越大越好
，
但每个圈中标
１
的方格数目必须为个
。
②
同一个方格可同时画在几个圈内
，
但每个圈都要有新的方格
，
否则它就是多余的
。
③
不能漏掉任何一个标
１
的方格
。
i2
最简与或表达式
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
DCACDBDDCBAY ),,,(
ＢＤ
ＣＤ
ＡＣＤ
冗余项
2
2
3
3
将代表每个圈的乘积项相加
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 1 00 1 1 0 1
01 0 1 1 1 01 0 1 1 1
11 0 0 1 1 11 0 0 1 1
10 0 0 0 0 10 0 0 0 0
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
不是最简
ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
最简
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 00 1 1 0 0
01 1 1 1 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 11 0 0 1 0
10 1 0 1 0 10 1 0 1 0
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
含随意项的逻辑函数的化简随意项,函数可以随意取值（可以为 0，也可以为 1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。
1,含随意项的逻辑函数例如：判断一位十进制数是否为偶数。
不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说 明
×1 1 1 100 1 1 1
×1 1 1 010 1 1 0
×1 1 0 100 1 0 1
×1 1 0 010 1 0 0
×1 0 1 100 0 1 1
×1 0 1 010 0 1 0
01 0 0 100 0 0 1
11 0 0 010 0 0 0
YA B C DYA B C D
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
输入变量 A,B,C,D取值为 0000～ 1001时，逻辑函数 Y有确定的值，根据题意，偶数时为 1，奇数时为 0。
)8,6,4,2,0(),,,( mDCBAY
A,B,C,D取值为 1010 ～ 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号,φ”、,×,或,d”表示。
随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。
0)15,14,13,12,11,10( d
含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：
)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),,,( dmDCBAF
2,含随意项的逻辑函数的化简在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，
随意项的取值可视具体情况取 0或取 1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取 1；如果随意项对化简不利，则取 0。
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
不利用随意项的化简结果为：
DCADAY
利用随意项的化简结果为：
DY?
3,变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为 1，则其它变量的值就一定为 0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。
变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
×
1
×
×
×
A B
C 00 01 11 10
0 0 1 × 1
1 1 × × ×
Y
A
B
C
1
1
1
简化真值表
CBAY
（ 2）先找 面积尽量大 的组合进行化简，可以减少更多的因子。
（ 3）各最小项 可以重复使用 。
（ 4）注意 利用约束项状态,可以使结果大大简化。
（ 5） 所有的 1都被圈 过后，化简结束。
（ 6）化简后的逻辑式是各 化简项的逻辑和 。
（ 1） 相临单元的个数是 2N个,并组成矩形时，
可以合并。
小结 -----利用卡诺图化简的规则：
CD
AB00 01 11 10
00
01
0 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 0
11
10
不是矩形教材第 120页 作 业
3.2.2
掌握逻辑代数的基本定律与规则 ;
掌握代数法化简逻辑函数。
重点、难点,代数法化简逻辑函数作业,P120 3.1.3
在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称 逻辑电路,相应的研究工具是 逻辑代数（布尔代数） 。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（ 二值变量 ），即 0和 1，中间值没有意义，
这里的 0和 1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（ 0表示低电位,1表示高电位）、开关的开合等。
3.1 逻辑代数
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式一、基本运算规则
A+0=A A+1=1
A · 0 =0 · A=0 A · 1=A
1 AA AAA
0 AA
AAA
AA?
二、基本代数规律交换律结合律分配律
A+B=B+A
A? B=B? A
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
A? (B? C)=(A? B)? C
A(B+C)=A? B+A? C
A+B? C=(A+B)(A+C)
普通代数不适用 !
三、吸收规则
1.原变量的吸收：
A+AB=A
证明,A+AB=A(1+B)=A?1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。
例如：
CDABFEDABCDAB )(
被吸收
2.反变量的吸收：
BABAA
证明,BAABABAA
BAAABA )(
例如,DCBCADCBCAA
被吸收
3.混合变量的吸收：
CAABBCCAAB
证明：
BCAACAAB
BCCAAB
)(
CAAB
BCAABCCAAB
例如：
CAAB
BCCAAB
B C DBCCAAB
B C DCAAB
1
吸收吸收四,反演定理,(摩根定律）
BABA
BABA
A B AB
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
BA? A B BA?
可以用列真值表的方法证明：
例如，已知等式,用函数 Y=AC代替等式中的 A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
3.1.2逻辑代数运算的基本规则
（ 1） 代入规则：任何一个含有变量 A的等式,如果将所有出现 A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立 。 这个规则称为代入规则 。
BAAB
CBABACBAC)(
（ 2） 反演规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成,1”,,1”
换成,0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数 Y（ 或称补函数 ） 。 这个规则称为反演规则 。 例如：
EDCBAY ))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
（ 3） 对偶规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成,1”,,1”换成,0”,而 变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 Y＇,
Y＇ 称为函 Y的对偶函数 。 这个规则称为对偶规则 。 例如：
EDCBAY
对偶规则的意义在于,如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等 。 利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 。 例如：
注意,在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
ACABCBA )( ))(( CABABCA
ABABA ABABA )()(
))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
3,1.3 逻辑函数的代数变化与化简法把逻辑函数的输入、输出关系写成 与,或,非 等逻辑运算的组合式，即 逻辑代数式,又称为 逻辑函数式,通常采用,与或,的形式。
比如,A B CCBACBACBACBAF
若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为 最小项,上式中每一项都是 最小项 。
若两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别，则称它们为 逻辑相邻 。
A B CCBACBACBACBAF
逻辑相邻 CBCBACBA
逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子利用逻辑代数的基本公式化简：
例：
ABAC
BCA
BCBA
ABCBA
CCABCBA
A B CCABCBAF
)(
)(
)(
反变量吸收提出 AB
=1提出 A
例：
CBBCBAABF
)( CBBCBAAB ）（
反演
CBAABC
CCBAAB
)(
)( 配项
CBBCAA B C
CBACBAAB
被吸收被吸收
CBBBCAAB )(
CBCAAB
AB=AC B=C?
A+B=A+C B=C?
请注意与普通代数的区别！
小结,基本运算规则、基本代数规律吸收规则、反演定理、代数化简作 业,P120 3.1.3
3.2逻辑函数的卡诺图化简法教学基本要求,
理解最小项的基本概念
掌握卡诺图化简逻辑函数。
重点、难点,卡诺图、卡诺图化简逻辑函数规则作业,P121 3.2.2
3.2.1 逻辑函数的最小项及其性质
（ 1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量 A,B,C可组成 8个最小项：
A B CCABCBACBABCACBACBACBA,、、、、、、
（ 2）最小项的表示方法：通常用符号 mi来表示最小项。下标 i的确定：把最小项中的原变量记为 1，反变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i。
3个变量 A,B,C的 8个最小项可以分别表示为：
A B CmCABmCBAmCBAm
BCAmCBAmCBAmCBAm
7654
3210
、、、
、、、
（ 3）最小项的性质：
3 变量全部最小项的真值表
A B C m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
① 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1。
③ 全部最小项的和必为 1。
ABC ABC
② 任意两个不同的最小项的乘积必为 0。
3.2.2 逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 A＋ A＝ 1
和 A(B+C)＝ AB＋ BC来配项展开成最小项表达式。
)7,3,2,1,0(
)())((
73210
m
mmmmm
A B CBCACBACBACBA
BCAA B CCBACBACBABCA
BCAACCBBA
BCAY
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
A B C Y 最小项
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
1
0
1
0
0
m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
m1＝ ABC
m5＝ ABC
m3＝ ABC
m1＝ ABC
CBACBACBACBA
mmmmmY
)5,3,2,1(5321
将真值表中函数值为 0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
3.2.3 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列,
这样构成的图形就是卡诺图。
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。
（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
A
B 0 1
0 m 0 m 2
1 m 1 m 3
A B
C 00 01 11 10
0 m 0 m 2 m 6 m 4
1 m 1 m 3 m 7 m 5
2 变量卡诺图 3 变量卡诺图每个
2
变量的最小项有两个最小项与它相邻每个
3
变量的最小项有
3
个最小项与它相邻
A B
CD 00 01 11 10
00
m
0
m
4
m
12
m
8
01
m
1
m
5
m
13
m
9
11
m
3
m
7
m
15
m
1 1
10 m
2
m
6 m 14 m 1 0
4 变量卡诺图每个 4变量的最小项有 4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量
BACCBACBACBA )(
DCADCBADCAB
逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并
2、逻辑函数在卡诺图中的表示
（ 1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
AB
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,( mDCBAY
m1
m3
m4
m7 m6
m11
m15 m14
（ 2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
))(( CBDAY
CBDAY
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 0 0 1
10 1 1 0 1
变换为与或表达式
ＡＤ的公因子
ＢＣ的公因子说明,如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，
则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入 0，其余方格内填入 1。
3、卡诺图的性质
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1
11 0 0 0 1
10 0 1 0 0
（ 1）任何两个（ 21个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
A B
C 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
CBACBA?
A B CBCA?
DBCADCBA?
CDBADCBA?
CB?
BC?
DBA?
DBA?
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 1 0 0
（ 2）任何 4个（ 22个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去 2个变量。
A B
C 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0C
CBAABBABA
CBACABCBACBA
)(
BBACCACACAABCCABBCACBA )(
BA
DC
AB
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＡＤ
ＢＤ
ＢＤ ＢＤ
AB
CD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0 A B
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
（ 3）任何 8个（ 23个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去 3个变量。
Ｄ
Ｂ
小结
：
相邻最小项的数目必须为
2
个才能合并为一项
，
并消去
1
个变量
。
包含的最小项数目越多
，
即由这些最小项所形成的圈越大
，
消去的变量也就越多
，
从而所得到的逻辑表达式就越简单
。
这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
。
3.2.4 用卡诺图化简逻辑函数逻辑表达式或真值表卡诺图
)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,( mDCBAY
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
1
1
化简步骤：
合并最小项
①
圈越大越好
，
但每个圈中标
１
的方格数目必须为个
。
②
同一个方格可同时画在几个圈内
，
但每个圈都要有新的方格
，
否则它就是多余的
。
③
不能漏掉任何一个标
１
的方格
。
i2
最简与或表达式
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
DCACDBDDCBAY ),,,(
ＢＤ
ＣＤ
ＡＣＤ
冗余项
2
2
3
3
将代表每个圈的乘积项相加
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 1 00 1 1 0 1
01 0 1 1 1 01 0 1 1 1
11 0 0 1 1 11 0 0 1 1
10 0 0 0 0 10 0 0 0 0
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
不是最简
ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
最简
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 00 1 1 0 0
01 1 1 1 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 11 0 0 1 0
10 1 0 1 0 10 1 0 1 0
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
含随意项的逻辑函数的化简随意项,函数可以随意取值（可以为 0，也可以为 1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。
1,含随意项的逻辑函数例如：判断一位十进制数是否为偶数。
不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说 明
×1 1 1 100 1 1 1
×1 1 1 010 1 1 0
×1 1 0 100 1 0 1
×1 1 0 010 1 0 0
×1 0 1 100 0 1 1
×1 0 1 010 0 1 0
01 0 0 100 0 0 1
11 0 0 010 0 0 0
YA B C DYA B C D
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
输入变量 A,B,C,D取值为 0000～ 1001时，逻辑函数 Y有确定的值，根据题意，偶数时为 1，奇数时为 0。
)8,6,4,2,0(),,,( mDCBAY
A,B,C,D取值为 1010 ～ 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号,φ”、,×,或,d”表示。
随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。
0)15,14,13,12,11,10( d
含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：
)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),,,( dmDCBAF
2,含随意项的逻辑函数的化简在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，
随意项的取值可视具体情况取 0或取 1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取 1；如果随意项对化简不利，则取 0。
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
不利用随意项的化简结果为：
DCADAY
利用随意项的化简结果为：
DY?
3,变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为 1，则其它变量的值就一定为 0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。
变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
×
1
×
×
×
A B
C 00 01 11 10
0 0 1 × 1
1 1 × × ×
Y
A
B
C
1
1
1
简化真值表
CBAY
（ 2）先找 面积尽量大 的组合进行化简，可以减少更多的因子。
（ 3）各最小项 可以重复使用 。
（ 4）注意 利用约束项状态,可以使结果大大简化。
（ 5） 所有的 1都被圈 过后，化简结束。
（ 6）化简后的逻辑式是各 化简项的逻辑和 。
（ 1） 相临单元的个数是 2N个,并组成矩形时，
可以合并。
小结 -----利用卡诺图化简的规则：
CD
AB00 01 11 10
00
01
0 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 0
11
10
不是矩形教材第 120页 作 业
3.2.2
